El espacio euclideano

Capı́tulo 1
El espacio euclideano
1.
Definiciones básicas
El espacio Euclideano, denotado por R n , está definido por el conjunto
(1.1)
Rn = {x = (x1 , x2 , . . . , xn ) : xi ∈ R}.
Es decir, Rn es efectivamente el producto cartesiano de n copias de R, el
conjunto de los números reales. Recordemos que R es un campo ordenado
completo, es decir, todo conjunto no vacı́o acotado por arriba tiene una
mı́nima cota superior (supremo). Una manera equivalente de enunciar la
completitud de R es el hecho de que toda sucesión de Cauchy en R converge.
Hablaremos más sobre sucesiones de Cauchy, particularmente en R n , más
adelante.
Notemos que, en la ecuación (1.1), las coordenadas de cada vector en R n
se donotan con superı́ndices, en lugar de subı́ndices: x 1 , x2 , etc. Esto nos
simplificará la notación más adelantes.
Rn es un espacio vectorial con suma
x + y = (x1 + y 1 , x2 + y 2 , . . . , xn + y n ) = (xi + y i )
y multiplicación escalar
αx = (αx1 , αx2 , . . . , αxn ) = (αxi ).
Además, posee el producto interno
x · y = x 1 y 1 + x2 y 2 + . . . + x n y n =
n
X
xi y i .
i=1
1
2
1. El espacio euclideano
Este, a su vez, induce la norma
v
u n
uX
√
|x| = x · x = t (xi )2
i=1
llamada la norma euclideana.
Proposición 1.1.
1. |x| = 0 si y sólo si x = 0;
2. |αx| = |α||x| para todo α ∈ R, x ∈ Rn ;
3. Si x, y ∈ Rn ,
(1.2)
4. Si x, y ∈ Rn ,
(1.3)
|x · y| ≤ |x||y|;
|x + y| ≤ |x| + |y|.
La ecuación (1.2) es conocida como la desigualdad de Cauchy-Schwarz,
mientras que la (1.3) como la desigualdad del triángulo.
Demostración. La demostración de las propiedades (1) y (2) se dejan como
ejercicio. Para (3), Si x = 0, entonces ambos lados de la ecuación (1.2) son
cero. Supongamos entonces que x 6= 0. Sea w el vector
y·x
w=
x.
|x|2
El vector w es llamado la proyección de y sobre x (véase la figura 1).
Entonces,
y
w
x
Figura 1. Proyección de y en x
y·x y·x 0 ≤ |y − w|2 = (y − w) · (y − w) = y −
x
·
y
−
x
|x|2
|x|2
(y · x)2 (y · x)2 2
(y · x)2
2
= |y|2 − 2
+
|x|
=
|y|
−
,
|x|2
|x|4
|x|2
de lo cual la ecuación (1.2) se sigue inmediatamente.
3
1. Definiciones básicas
Para (4),
|x + y|2 = (x + y) · (x + y) = |x|2 + 2x · y + |y|2 ≤ |x|2 + 2|x||y| + |y|2 ,
donde la última desigualdad se sigue por la desigualdad de Cauchy-Schwarz.
Por lo tanto, tenemos
|x + y|2 ≤ (|x| + |y|)2 .
Decimos que los vectores u1 , u2 , . . . , um ∈ Rn generan Rn si para todo
x ∈ Rn existen α1 , . . . , αm tales que
x = α 1 u1 + α 2 u2 + . . . + α m um .
Es decir, todo x ∈ Rn es una combinación lineal de los vectores u 1 , u2 ,
. . . , um .
Decimos que u1 , u2 , . . . , um son linealmente independientes si
α1 u1 + α 2 u2 + . . . + α m um = 0
implica que
α1 = α2 = . . . = αm = 0.
Si u1 , u2 , . . . , um generan Rn y son linealmente independientes, entonces decimos que forman una base. Enunciaremos el siguiente teorema, cuya demostración se puede encontrar en cualquier libro de álgebra lineal.
Teorema 1.2. Si u1 , u2 , . . . , um forman una base de Rn , entonces m = n.
Es preciso observar que las bases no son únicas y, además, que si u 1 , u2 ,
. . . , um forman una base de Rn y x ∈ Rn , entonces existen únicos α1 , . . . , αn
tales que
x = α 1 u1 + α 2 u2 + . . . + α n un .
Ejemplo 1.3. La base estándar de Rn está formada por los vectores e1 , e2 ,
. . . , en , donde
i-ésimo
ei = (0, 0, . . . ,
De hecho,
z}|{
1 , . . . , 0).
x = (x1 , x2 , . . . , xn ) = x1 e1 + x2 e2 + . . . + xn en .
Ejemplo 1.4. En R2 , los vectores u1 = (1, 1), u2 = (1, −1) forman una
base, ya que
x1 + x 2
x1 − x 2
(x1 , x2 ) =
u1 +
u2
2
2
y son linealmente independientes.
4
1. El espacio euclideano
Decimos que los vectores x, y ∈ Rn son ortogonales si x · y = 0. Por
ejemplo, como ei · ej = 0 si i 6= j, entonces los vectores e1 , . . . , en de la base
estándar son ortogonales entre sı́.
Decimos que u1 , u2 , . . . , un forman una base ortonormal (o.n.) si los vectores son ortogonales entre sı́ y unitarios, es decir, |u i | = 1 para todo i.
Por ejemplo, e1 , . . . , en forman una base estándar.
Los vectores u1 = (1, 1) y u2 = (1, −1) son ortogonales, pero no unitarios.
Sin embargo, se pueden “normalizar”dividiendo cada vector entre su norma:
1 1 1
u1
1 u2
v1 =
= √ ,√ ,
= √ , −√ .
v2 =
|u1 |
|u2 |
2 2
2
2
Proposición 1.5. Sea u1 , u2 , . . . , un una base ortonormal de Rn .
1. Si x ∈ Rn , x = (x · u1 )u1 + . . . + (x · un )un .
pP
2
2. Si x ∈ Rn , |x| =
i (x · ui ) .
3. Si x, y ∈ Rn ,
x·y =
n
X
i=1
(x · ui )(y · ui ).
4. Si V es el subespacio de Rn generado por los vectores ortonormales
v1 , v2 , . . . , vr , entonces
ProyV x =
r
X
i=1
(x · vi )vi .
El espacio generado por los vectores v 1 , v2 , . . . , vr es el subespacio de Rn
formado por todas las combinaciones lineales de v 1 , v2 , . . . , vr , y se denota
por gen{v1 , v2 , . . . , vr }.
ProyV x es la proyección ortogonal de x sobre el subespacio V , es decir,
el único vector y ∈ V tal que x − y es ortogonal a todo vector en V .
1. Si x = α1 u1 + α2 u2 + . . . + αn un , entonces
Demostración.
x · ui = (α1 u1 + α2 u2 + . . . + αn un ) · ui = αi ui · ui = αi .
2.
2
|x| = x · x =
=
n
X
n
X
i=1
n
X
(x · ui )ui
(x · ui )ui ·
i=1
n
X
(x · ui )(x · uj )ui · uj =
i,j=1
i=1
(x · ui )2 .
5
1. Definiciones básicas
3. Similarmente al inciso anterior,
n
n
X
X
(y · ui )ui
x·y =
(x · ui )ui ·
=
i=1
i=1
n
X
(x · ui )(y · uj )ui · uj =
i,j=1
Pr
n
X
i=1
(x · ui )(y · ui ).
· vi )vi , entonces y ∈ V y, para z ∈ V ,
r
r
X
X
(x · vi )vi ·
(x − y) · z = x −
(z · vi )vi
4. Si y =
i=1 (x
i=1
=x·
r
X
i=1
i=1
(z · vi )vi −
r
X
i=1
(x · vi )(z · vi ) = 0.
El siguiente teorema nos garantiza que, dado un espacio generado por
vectores v1 , v2 , . . . , vr , siempre podemos escoger en él una base ortonormal.
Su demostración es constructiva, y al algoritmo resultante se le conoce como
el proceso de Gram-Schmidt.
Teorema 1.6 (Proceso de Gram-Schmidt). Sean v 1 , v2 , . . . , vr vectores linealmente independientes en Rn . Entonces existen vectores ortonormales
u1 , u2 , . . . , ur tales que
para k = 1, . . . , r.
gen{u1 , u2 , . . . , uk } = gen{v1 , v2 , . . . , vk }
Demostración. Tomamos
u1 =
Para construir u2 , sea
v1
.
|v1 |
w2 = v2 − (v2 · u1 )u1 .
Vemos que w2 es ortogonal a u1 (figura 2), ası́ que tomamos
w2
u2 =
.
|w2 |
Como u1 y u2 son combinaciones lineales de v1 y v2 ,
gen{u1 , u2 } ⊂ gen{v1 , v2 }.
De manera similar, v1 y v2 son combinaciones lineales de u1 y u2 , ası́ que
gen{v1 , v2 } ⊂ gen{u1 , u2 }.
Por inducción, para construir uk+1 tomamos
wk+1 = vk+1 − Proygen{u1 ,...,uk } vk+1 .
6
1. El espacio euclideano
v2
u2
w2
u1
Figura 2. La construcción del vector w2 .
Entonces es fácil ver que wk+1 · ui = 0, i = 1, .., k, y wk+1 6= 0 por que los vi
son linealmente independientes. Por lo que escogemos
wk+1
uk+1 =
.
|wk+1 |
Es fácil ver, como antes, que
gen{u1 , . . . , uk+1 } = gen{v1 , . . . , vk+1 }.
La proposición 1.5 y el proceso de Gram-schmidt implican que podrı́amos
escoger cualquier producto interno en R n y “no darnos cuenta”, es decir,
tendrı́amos la misma geometrı́a siempre y cuando tomemos una base ortonormal respecto de dicho producto.
2.
2.1.
Bestiario
Rectas. La recta que pasa por x1 y x2 está parametrizada por
γ(t) := (1 − t)x1 + tx2 ,
t ∈ R,
Notemos que γ(0) = x1 y γ(1) = x2 . La restricción de γ a [0, 1] es el segmento
de x1 a x2 .
2.2.
Hiperplanos. Un hiperplano es un conjunto de la forma
P = {x ∈ Rn : x · x0 = c},
donde x0 ∈ Rn y c ∈ R. El hiperplano ortogonal a n ∈ R, que pasa por x 0 ,
está dado por
{x : (x − x0 ) · n = 0}.
Un hiperplano P divide a Rn en dos semiespacios
{x : x · x0 > c}
y
{x : x · x0 < c}.
Si x0 = en , c = 0, a estos se les llama semiespacio superior e inferior,
respectivamente.
7
2. Bestiario
2.3.
Esferas y Bolas. La esfera en Rn es el conjunto
Sn−1 = {x : |x| = 1}.
La bola está dada por
Bn = {x : |x| ≤ 1}.
La esfera de radio R alrededor de x0 está dada por
SR (x0 ) = {x : |x − x0 | = R} = RSn−1 + x0 ,
mientras que la bola de radio R alrededor de x 0 está dada por
BR (x0 ) = {x : |x − x0 | ≤ R} = RBn + x0 .
La bola abierta de radio R alrededor de x 0 es el conjunto
0
(x0 ) = {x : |x − x0 | < R}.
BR
2.4. Conjuntos convexos y estrella. Decimos que A ⊂ R n es un conjunto convexo si, para todo x, y ∈ A, el segmento de x a y está en A. Decimos
que A ⊂ Rn es un conjunto estrella si existe x0 ∈ A tal que, para x ∈ A, el
segmento de x0 a x está en A. Véase la figura 3. Más adelante estudiaremos
(b)
(a)
Figura 3. Ejemplos de un conjunto convexo (a) y un conjunto estrella (b).
los conjuntos convexos con más profundidad.
2.5.
Rectángulos. Un rectángulo en R n es un conjunto de la forma
R = I 1 × I2 × . . . × I n
donde los Ii son intervalos acotados en R. Si cada es un intervalo abierto,
entonces decimos que R es un rectángulo abierto. Si cada I i es cerrado,
entonces decimos que R es un rectángulo cerrado 1 . Recordemos que A1 ×
A2 × . . . × An ⊂ Rn es el producto cartesiano de los conjuntos A 1 , . . . , An
{(x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ Rn : xi ∈ Ai ∀i}.
1Los rectángulos en Rn también son conocidos por los nombres cubo o hipercubo.
8
3.
1. El espacio euclideano
Topologı́a de Rn
Definición 1.7. Decimos que U ⊂ Rn es un conjunto abierto si para cada
x ∈ U existe un rectángulo abierto R tal que x ∈ R y R ⊂ U .
Ejemplo 1.8. Un rectángulo abierto es un conjunto abierto.
Ejemplo 1.9. Los conjunto ∅ y Rn son abiertos.
Ejemplo 1.10. Una bola abierta es un conjunto abierto. Para mostrar esto,
consideremos la bola
Br0 (x) = {y ∈ Rn : |x − y| < r}
y tomamos y ∈ Br0 (x). Sea δ = r − |x − y|, y definimos
δ
δ
δ
δ δ δ R = y 1 − √ , y 1 + √ × y 2 − √ , y 2 + √ ×. . .× y n − √ , y n + √ .
n
n
n
n
n
n
El rectángulo abierto R es tal que, si z ∈ R, entonces |y − z| < δ, como se
puede observar en la figura 4. Entonces, si z ∈ R,
δ
δ
n
y
δ
n
Figura 4. El rectángulo R del ejemplo 1.10.
|x − z| ≤ |x − y| + |y − z| < |x − y| + δ = |x − y| + r − |x − y| = r,
por lo que z ∈ Br0 (x). Por lo tanto, R ⊂ Br0 (x).
Proposición 1.11. U ⊂ Rn es abierto si, y sólo si, para todo x ∈ U existe
r > 0 tal que Br0 (x) ⊂ U .
Demostración. Sea U abierto y x ∈ u. Entonces existe R = (a 1 , b1 ) ×
(a2 , b2 ) × . . . × (an , bn ) tal que x ∈ R y R ⊂ U . Sea
1
r = mı́n{x1 − a1 , b1 − x1 , . . . , xn − an , bn − xn }.
2
Entonces Br0 (x) ⊂ R ⊂ U .
Supongamos ahora que Br0 (x) ⊂ U . Sea
r
r
r
r r r R = x1 − √ , x1 + √ × x2 − √ , x2 + √ ×. . .× xn − √ , xn + √ .
n
n
n
n
n
n
3. Topologı́a de Rn
9
Entonces x ∈ R y R ⊂ Br0 (x) ⊂ U , ası́ que U es abierto.
Observación 1.12. La demostración de la proposición anterior muestra
que dado x en el rectángulo abierto R, existe r > 0 tal que B r0 (x) ⊂ R y,
para toda bola abierta Br0 (x), existe un rectángulo abierto R tal que x ∈ R
y R ⊂ Br (x). Esto implica que podemos utilizar, en cualquier definición
topoloógica, rectángulos abiertos o bolas abiertas, y obtener definiciones
equivalentes.
Definición 1.13. Sea A ⊂ Rn y x ∈ Rn . Decimos que x es un punto de
acumulación de A si, para todo rectángulo abierto R tal que x ∈ R, R ∩ A
es infinito.
Si el conjunto A tiene algún punto de acumulación, entonces A, por la
definición anterior, es infinito. Además, si x es un punto de acumulación de
A, entonces no necesariamente x ∈ A. Sin embargo, si x es un punto de
acumulación de A y x ∈
/ A, entonces nos podemos “acercar”desde A a x
arbitrariamente, es decir, para todo ε > 0 existe y ∈ A tal que |x − y| < ε.
Definición 1.14. Decimos que A ⊂ Rn es cerrado si contiene todos sus
puntos de acumulación.
Proposición 1.15. A ⊂ Rn es cerrado si, y sólo si, Rn \ A es abierto.
Demostración. Supongamos que A es cerrado y x ∈ R n \ A. Como x ∈
/ A,
x no es punto de acumulación de A, ası́ que existe un rectángulo abierto R
tal que R ∩ A = ∅. Es decir, R ⊂ Rn \ A. Ası́ que Rn \ A es abierto.
Supongamos ahora que Rn \ A es abierto y x ∈
/ A. Entonces x ∈ Rn \ A.
n
Como R \ A es abierto, existe un rectángulo abierto R tal que x ∈ R y
R ⊂ Rn \ A. Entonces R ∩ A = ∅, por lo que x no es punto de acumulación
de A.
Definición 1.16. Sea A ⊂ Rn . La frontera de A, ∂A, es el conjunto de
x ∈ Rn tales que, para todo rectángulo abierto R,
R ∩ A 6= ∅
y
R ∩ (Rn \ A) 6= ∅.
Véase la figura 5.
Notemos que, si x ∈ ∂A, entonces x es un punto de acumulación de A
ó de Rn \ A. Más aún, si x es un punto de acumulación de A y x ∈
/ A,
entonces x ∈ ∂A.
Podemos observar que, además, ∂A = ∂(R n \ A).
Ejemplo 1.17. ∂Rn = ∂∅ = ∅.
10
1. El espacio euclideano
A
AC
Figura 5. Un punto en la frontera de A.
Ejemplo 1.18. La frontera de un bola es una esfera. De hecho,
∂Br (x) = ∂Br0 (x) = Sr (x).
Más aún, ∂Sr (x) = Sr (x).
Ejemplo 1.19. Si R = (a1 , b1 ) × . . . × (an , bn ), entonces
∂R =
{a1 } × [a2 , b2 ] × . . . × [an , bn ] ∪ {b1 } × [a2 , b2 ] × . . . × [an , bn ]∪
. . . ∪ [a1 , b1 ] × . . . × {bn }.
Es decir, ∂R es la unión de las ”caras”de R.
T
Ejemplo 1.20. Sea Q = [0, 1] Q y consideremos Q × [0, 1] ⊂ R2 . Véase la
figura 6. Si x ∈ [0, 1] × [0, 1] y x ∈ (a, b) × (c, d) entonces existe
1
.
0
1/3
1/2
2/3
1
Figura 6. Representación simple del conjunto A = Q × [0, 1]. Nótese
que A está formado por la unión de rectas verticales, cada una sobre un
número racional en [0, 1].
3. Topologı́a de Rn
11
q ∈ (a, b) ∩ [0, 1] ∩ Q,
ası́ que (q, x2 ) ∈ Q × [0, 1]. Además, existe
ası́ que
(α, x2 )
∈
R2
α ∈ (a, b) ∩ [0, 1] \ Q,
\ (Q × [0, 1]). Por lo tanto
∂(Q × [0, 1]) = [0, 1] × [0, 1].
Definición 1.21. Sea A ⊂ Rn . La cerradura de A, denotada por Ā, está definida como la unión de A y sus puntos de acumulación.
La siguiente proposición establece algunas propiedades de la cerradura.
Proposición 1.22. Sea A ⊂ Rn .
1. Ā es cerrado.
2. Si E es cerrado y E ⊃ A, entonces Ā ⊂ E.
3. Si A ⊂ B entonces Ā ⊂ B̄.
4. Ā = Ā.
Demostración.
1. Sea x un punto de acumulación de Ā y R un
rectángulo que contiene a x. Queremos mostrar que R ∩ A es infinito. Si no, como R ∩ Ā es infinito, podemos tomar y ∈ R ∩ Ā \ A.
Pero entonces y es un punto de acumulación de A y, como y ∈ R,
R ∩ A es infinito, lo cual es una contradicción.
2. Si x es un punto de acumulación de A y A ⊂ E, entonces x es un
punto de acumulación de E. Como E es cerrado, x ∈ E. Pero esto
implica que Ā ⊂ E
3. La demostración es similar a (2).
4. Por (1), Ā es cerrado, ası́ que Ā ⊂ Ā. Por (2), como A ⊂ Ā, Ā ⊂ Ā.
Definición 1.23. Sea A ⊂ Rn . El interior de A es el conjunto
int(A) = A0 = {x ∈ A : ∃ rectángulo abierto R tal que x ∈ R, R ⊂ A}.
El exterior de A está definido como
ext(A) = {x ∈ Rn \ A : ∃ rectángulo abierto R con x ∈ R, R ∩ A = ∅}.
Nótese que ext(A) = int(Rn \ A). La siguiente proposición es muy fácil
de demostrar (ejercicio 7).
Proposición 1.24. Sea A ⊂ Rn .
1. A0 = A \ ∂A.
2. ext(A) = (Rn \ Ā).
12
1. El espacio euclideano
3. ∂A = Ā ∩ (Rn \ A).
Ejemplo 1.25. Q = ∅ y Q̄ = R. Nótese que, en este caso, el interior es
vacı́o, aún cuando la cerradura es ”grande”.
4.
Conjuntos Compactos
Definición 1.26. Sea A ⊂ Rn . Una
S cubierta de A es una colección {U α } de
conjuntos abiertos tales que A ⊂ α Uα .
Si {Uα } es una cubierta de A, una subcubierta
es un subconjunto de
S
{Uα }, digamos {Uαβ } ⊂ {Uα }, tal que A ⊂ β Uαβ .
Decimos que A es compacto, si toda cubierta de A tiene una subcubierta
finita.
Ejemplo 1.27. ∅ es compacto.
Ejemplo 1.28. Un conjunto finito {x1 , x2 , . . . , xk } es compacto. Si {Uα } es
una cubierta de {x1 , x2 , . . . , xk }, existe, para cada i = 1, 2, .., k, αi tal que
xi ∈ Uαi . Entonces {Uα1 , Uα2 , . . . , Uαk } es una subcubierta finita.
Proposición 1.29. Sean E ⊂ F ⊂ Rn . Si E es cerrado y F es compacto,
entonces E es compacto.
Demostración. Sea {Uα } una cubierta
de E. Como E es cerrado, entonces
S
Rn \ E es abierto, ası́ que {Rn \ E} {Uα } es una cubierta de F . Como F es
compacto, tiene una subcubierta finita, digamos {R n \ E,α1 , Uα2 , . . . , Uαk }.
Entonces {Uα1 , Uα2 , . . . , Uαk } es una subcubierta finita para E.
El siguiente teorema clasifica los conjuntos cerrados en R n , y es conocido
como el Teorema de Heine-Borel.
Teorema 1.30 (Heine-Borel). A ⊂ Rn es compacto si y sólo si A es cerrado
y acotado.
Decimos que A es acotado si existe un rectángulo cerrado R ⊃ A. Para
demostrar este teorema, por la proposición 1.29, es suficiente con demostrar
que un rectángulo cerrado es compacto. Para ello necesitaremos los siguientes
lemas.
Lema 1.31. [a, b] ⊂ R es compacto.
Demostración. Sea {Uα } una cubierta una cubierta de [a, b], y sea
S = {x ∈ [a, b] : {Uα } tiene una subcubierta finita para [a, x]}.
Mostraremos que S = [0, 1]. Sabemos que, al menos, a ∈ S, ası́ que S 6= ∅.
Como S es acotado (S ⊂ [a, b]), entonces tiene un supremo, por el axioma de
completitud, digamos m = sup S. Vamos a demostrar que m ∈ S y m = b.
13
4. Conjuntos Compactos
Como m ∈ [a, b], m ∈ Uαm para algún αm . Uαm es abierto, ası́ que
existe x ∈ S ∩ Uαm . Como [a, x] tiene una subcubierta finita, entonces,
agregando Uαm a dicha subcubierta, obtenemos una subcubierta finita para
[a, m]. Entonces m ∈ S.
Si m < b, entonces existe m < y ≤ b tal que y ∈ U αm . Agregando Uαm
a una subcubierta finita para [a, m], obtenemos una subcubierta finita para
[a, y], y y ∈ S. Esto contradice que m = sup S. Por lo tanto m = b.
Es fácil ver que, si x ∈ Rn , y B ⊂ Rm , y es compacto, entonces
{x} × B ⊂ Rn × Rm = Rn+m
es compacto. El siguiente lema ofrece una versión mucho más fuerte de este
hecho.
Lema 1.32. Si {Uα } es una cubierta de {×}xB. Entonces existe V ⊂ R n ,
con x ∈ V , tal que {Uα } tiene una subcubierta finita para V × B.
Demostración. Para cada (x, y) ∈ {x} × B, existe U α(x,y) tal que (x, y) ∈
Uα(x,y) . Como cada Uα(x,y) es abierto, existe un rectángulo abierto R x,y tal
que
(x, y) ∈ Rx,y y Rx,y ⊂ Uα(x,y) .
Podemos escribir
Rx,y = Sx,y × Tx,y ,
donde Sx,y es un rectángulo abierto en Rn y Tx,y uno en Rm . Ahora bien,
{Tx,y } es una cubierta de B. Como B es compacto, existen T x,y1 , Tx,y2 , . . . ,
Tx,yk tales que
B ⊂ Tx,y1 ∪ Tx,y2 ∪ . . . ∪ Tx,yk .
Si tomamos
V = Sx,y1 ∩ Sx,y2 ∩ . . . ∩ Sx,yk ,
V es un rectángulo abierto y
V × B ⊂ (Sx,y1 × Tx,y1 ) ∪ . . . ∪ (Sx,yk × Tx,yk )
= Rx,y1 ∪ Rx,y2 ∪ . . . ∪ Rx,yk
⊂ Uα(x,y1 ) ∪ Uα(x,y2 ) ∪ . . . ∪ U α(x,yk ) .
Lema 1.33. Si A ⊂ Rn , B ⊂ Rm son compactos, entonces A × B es compacto.
Demostración. Sea {Uα } una cubierta de A × B. Para cada x ∈ A existe,
por el lema 1.32, un abierto Vx ⊂ Rn y una subcubierta Θx finita para
14
1. El espacio euclideano
Vx × B. Pero los Vx forman una cubierta para A y A es compacto, ası́ que
existen Vx1 , . . . , Vxp tales que
Entonces
Sp
i=1
A ⊂ V x1 ∪ . . . ∪ V xp .
Θxi es una subcubierta finita para A × B.
Los lemas 1.31 y 1.33 implican el siguiente corolario.
Corolario 1.34. Un rectángulo cerrado R = [a 1 , b1 ] × . . . × [an , bn ] es compacto.
Ahora sı́, la demostración del teorema de Heine-Borel es fácil.
Demostración del Teorema de Heine-Borel. Si A es acotado, entonces existe un rectángulo cerrado R tal que A ⊂ R. Por la proposición 1.29 y
el corolario 1.34, si A es cerrado, entonces A es compacto.
5.
Sucesiones en Rn
Una sucesión en Rn es una función f : N → Rn . Si f (k) = xk , simplemente denotamos f como (xk ). Notemos que
xk = (x1k , x2k , . . . xnk ),
por lo que cada una de las coordenadas de los x k definen una sucesión (xik )
en R.
Definición 1.35. Decimos que la sucesión (x k ) converge a L ∈ Rn si, para
todo ε > 0, existe N tal que, si k ≥ N ,
|L − xk | < ε.
Proposición 1.36. La sucesión (x k ) converge en Rn si, y sólo si, cada (xik )
converge en R.
Demostración. Suponemos que xk → L y sea ε > 0. Sea N tal que k ≥ N
implica |xk − L| < ε. Entonces, para k ≥ N ,
q
|xik − Li | ≤ (x1k − L1 )2 + . . . + (xik − Li )2 + . . . + (xnk − Ln )2 < ε.
Suponemos ahora que cada xik → Li , y sea ε > 0. Tomamos Ni tal que
si k ≥ Ni ,
ε
|xik − Li | < √ .
n
Tomamos N = máxi Ni . Entonces si, k ≥ N ,
r
q
ε2
ε2
|xk − L| ≤ (x1k − L1 )2 + . . . + (xnk − Ln )2 <
+ ... +
= ε.
n
n
5. Sucesiones en Rn
15
Decimos que (xk ) es una sucesión en A ⊂ Rn si xk ∈ A para todo
k. La siguiente proposición clasifica los conjuntos cerrados en términos de
sucesiones.
Proposición 1.37. Un conjunto A ⊂ R n es cerrado si, y sólo si, para toda
sucesión (xk ) en A que converge a L, entonces L ∈ A.
Demostración. Supongamos que A es cerrado y sea (x k ) en A una sucesión
que converge a L. Sea R un rectángulo abierto que contiene a L, y ε > 0 tal
que Bε (L) ⊂ R. Entonces, como xk → L, existe K tal que xK ∈ R. Como
xK ∈ A, hemos demostrado que R ∩ A 6= ∅. Entonces, L está en A ó es un
punto de acumulación de A. Como A es cerrado, en ambos casos L ∈ A.
Supongamos ahora que toda sucesión en A que converge tiene su lı́mite
en A. Sea x un punto de acumulación de A. Para cada k ≥ 1, sea x k ∈ A tal
que |xk − x| < 1/k. Tal xk debe existir porque B1/k (x) ∩ A 6= ∅. Entonces
xk es una sucesión en A y xk → x, por lo que x ∈ A.
Definición 1.38. Decimos que la sucesiı́on (x k ) es acotada si existe un
rectángulo R tal que xk ∈ R para todo k.
El siguiente teorema es muy importante, y es conocido como el Teorema
de Bolzano-Weierstrass. Para su demostración asumiremos el teorema en el
caso real.
Teorema 1.39 (Bolzano-Weierstrass). Toda sucesión acotada tiene una
subsucesión que converge.
Demostración. Si (xk ) es acotada, cada (xik ) es acotada. Por el teorema de
Bolzano-Weierstrass en R, (x1k ) tiene una subsucesión que converge, digamos
(x1kl )l . Inductivamente, si
(x1kl )l , (x2kl )l , . . . , (xpkl )l
son subsucesiones convergentes de (x 1k ), . . . , (xpk ), respectivamente, entonces
tomamos una subsucesión de (kl ) de tal forma que (xp+1
klm )m converge. Al
final, obtenemos subsucesiones
(x1kl )l , (x2kl )l , . . . , (xnkl )l
convergentes, por lo que (xkl ) es un subsucesión de (xk ) convergente, por la
proposicion 1.36.
El Teorema de Bolzano-Weierstrass nos permite demostrar la siguiente
importante propiedad de los conjuntos cerrados, de la cual haremos uso más
adelante.
Proposición 1.40. Sea A un conjunto cerrado, A 6= ∅, y x ∈ R n . Entonces
existe un punto y ∈ A tal que |x − y| es mı́nimo.
16
1. El espacio euclideano
Demostración. Sea x ∈ Rn y definimos d : A → R por d(y) = |x − y|. Sea
r0 = inf{d(y) : y ∈ A}. Entonces, para todo k ≥ 1, existe y k ∈ A tal que
r0 ≤ d(yk ) < r0 + 1/k.
La sucesión (yk ) claramente es acotada y, por el Teorema de BolzanoWeierstrass, tiene una subsucesión que converge, digamos y kl → y. Como A
es cerrado, la proposición 1.37 implica que y ∈ A. Además d(y) = r 0 .
Nota que, si x ∈ A, entonces d(x) = 0, por lo que d toma su mı́nimo en
x. Si x ∈
/ A, entonces, como A es cerrado, x no es un punto de acumulación
de A y existe r > 0 tal que Br (x) ∩ A = ∅. Entonces r0 ≥ r > 0.
Ejercicios
1. Muestra la desigualdad del triángulo inversa: Si x, y ∈ R n ,
|x| − |y| ≤ |x − y|.
2. Demuestra la identidad del palalelogramo: Si x, y ∈ R n ,
1
|x|2 + |y|2 = |x + y|2 + |x − y|2 .
2
Explica qué tiene que ver esta identidad con un paralelogramo.
3. Muestra que, si x1 , x2 ∈ Rn , el conjunto
es un hiperplano.
{x ∈ Rn : |x − x1 | = |x − x2 |}
n
4. Muestra que si {U
S α } es una colección de conjuntos abiertos en R , entonces la unión α Uα es un conjunto abierto.
5. Muestra que la intersección de dos rectángulos en R n es vacı́a o es otro
rectángulo.
6. Muestra que si U1 , U2 , . . . , Uk son conjuntos abiertos en Rn , entonces la
T
intersección ki=1 Ui es un conjunto abierto.
7. Demuestra la Proposición 1.24.
8. Una sucesión (xk ) en Rn es de Cauchy si, para todo ε > 0, existe N tal
que si k, l ≥ N entonces |xk − xl | < ε. Muestra que la sucesión (xk ) es
de Cauchy en Rn si y sólo si cada sucesión (xik ) es de Cauchy en R.
9. Concluye, del problema anterior, que toda sucesión de Cauchy en R n
converge.
10. Muestra que todo conjunto infinito y acotado en R n tiene un punto de
acumulación.