CÁLCULO ELÉCTRICO DE LAS LINEAS DE TRANSMISIÓN

U.T.O. – F.N.I. - LINEAS DE TRANSMISION
Ing. Gustavo Adolfo Nava Bustillo
CAPITULO 7
CÁLCULO ELÉCTRICO DE LAS LINEAS DE TRANSMISIÓN
7.1. EFECTO CORONA.
Si los conductores de una línea de transmisión se someten a un voltaje creciente,
hasta que el gradiente de potencial (campo eléctrico) en la superficie del conductor
llegue a un valor mayor que la rigidez dieléctrica del aire (gradiente disruptivo del
aire), entonces se producen pérdidas de energía debido a la corriente que se forma a
través del medio, es decir se ioniza el aire que rodea al conductor. Es decir, que todo
sucede como si el aire se hiciera conductor, dando lugar a una corriente de fuga. En
los conductores aéreos, el efecto es visible en la oscuridad, pudiéndose apreciar
cómo quedan envueltos por un halo luminoso, azulado, de sección transversal
circular, es decir, en forma de corona, por lo que al fenómeno se le dio el nombre de
efecto corona.
En las líneas de transmisión, el efecto corona origina pérdidas de energía y, si
alcanza ciertos valores, puede producir corrosiones en los conductores a causa del
ácido que se forma.
Este efecto, depende de varios factores como:
El nivel de tensión
El diámetro del conductor
Temperatura del medio ambiente
Densidad relativa del aire
Humedad del aire
El efecto corona tiene las siguientes consecuencias:
1) Pérdidas de energía que se manifiestan en forma de calor
2) Oscilaciones electromagnéticas de alta frecuencia que se transmiten en toda
la línea y provocan perturbaciones en las señales de radio y televisión
La consecuencia práctica del Efecto Corona es una corriente de fuga análoga a la
debida a la conductancia del aislamiento
La tensión a la cual empiezan las pérdidas a través del aire se llama Tensión Crítica
Disruptiva y para ella el fenómeno aún no es visible. Cuando se alcanza la Tensión
Crítica Visual, los efluvios se hacen luminosos o sea:
Tensión Crítica Disruptiva < Tensión Crítica Visual
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Las pérdidas empiezan a producirse desde el momento en que la tensión de la línea
se hace mayor que la tensión crítica disruptiva. Algunos fenómenos atmosféricos
modifican la tensión disruptiva, por ejemplo la niebla y el granizo rebajan el valor de
dicha tensión y lo mismo sucede con los humos de las fábricas. Es beneficioso que la
tensión crítica Vc sea ligeramente menor que la tensión de funcionamiento normal de
la línea, ya que en caso de sobretensiones el efecto corona hace el papel de
autoválvula de descarga
7.2. TENSIÓN CRÍTICA DISRUPTIVA.
De acuerdo a la fórmula de Peek
)
DMG
 kV
RMG
(
UC  21,1   mc  mt  RMG  n  ln
TIPO DE CONDUCTOR
mc
1
0,93 – 0,98
0,83 – 0,87
)
(
lo
g
(
Donde
UC = Tensión eficaz simple (fase-neutro) de la tensión crítica disruptiva (kV)
21,1 = 29,8/√2 =Valor eficaz de la rigidez dieléctrica del aire (kV/cm)
29,8 = Rigidez dieléctrica del aire a 25 ºC y 760 mm de Hg. Como se trata de
corriente alterna (sinusoidal) se divide entre √2
3,926 b
δ = Densidad relativa del aire =
273  t
b = Presión barométrica (cm de Hg);
y 

y
b  anti log
76 
log( b )  log( 76) 
18336
18336

y = Altura sobre el nivel del mar (m)
t = Temperatura (º C)
mC = Coeficiente de irregularidad (de rugosidad) de la superficie del conductor
Hilos de superficie lisa
Hilos oxidados y rugosos
Para cables
Fuente: Líneas de transporte de energía- Checa
mt = Coeficiente relativo al tiempo
mt = 1 con tiempo seco
mt = 0,8 con tiempo lluvioso
n = número de conductores del haz de cada fase
r = Radio del conductor (cm)
DMG = Distancia media geométrica (cm)
RMG = Radio ficticio (cm)

RMG  n n . r . R n 1
105

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Fases simples:
n=1;
RMG  r
Fases dúplex:
n=2;
RMG  r . 
Fases tríplex:
n=3;
RMG  3 r . 2
Fases cuádruplex:
n=4;
RMG 
4
r . 2 . 3
 = separación entre los centros de los conductores (ver inciso 6.2.4)
El coeficiente de seguridad por corona se define como la relación entre el voltaje
crítico disruptivo por el voltaje al neutro de operación e la línea:
UC
U
7.3. TENSIÓN CRÍTICA VISUAL.

0,301  3 2
DMG
U v  21,1. 1 
.  . m f m s r . n. ln
RMG
r 

Donde mf = Coeficiente que toma en cuenta la forma de la sección del cable
ms = Coeficiente que toma en cuenta el estado de la superficie
mf
1
0,85
0,90
ms
0,90
0,80
0,70
0,50 a 0,30
CONDUCTOR
Para una superficie perfectamente circular
Para un cable con 6 hilos en la capa exterior
Para un cable con 12 a 30 hilos en la capa
exterior
CONDUCTOR
Para cables limpios o envejecidos
Para cables nuevos
Para cables sucios o engrasados
Para cables recubiertos de gotas de agua
Fuente:Redes Eléctricas(T-1) - J.Viqueira
7.4. PÉRDIDAS POR EFECTO CORONA.
Las pérdidas en una línea se originan si el voltaje de servicio es superior a la tensión
crítica y aumentan rápidamente con la diferencia entre ambas.
Las pérdidas, expresadas en kW/km-fase, pueden calcularse mediante la fórmula
también debida a Peek:
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Con buen tiempo:
PCK 
241
f  25 r . U  UC 2 .10 5 (kW / km  fase)

DMG
Con mal tiempo:
PCK 
241
f  25 r U  0,8UC 2 .10 5 (kW / km  fase)

DMG
Donde U es la tensión simple (tensión fase-tierra) de la línea en kV
En Bolivia la frecuencia es de 50 Hz, entonces las expresiones quedan:
0,1807
r
Con buen tiempo:
PCK 
U  UC 2 (kW / km  fase)

DMG
Con mal tiempo:
PCK 
0,1807
r
U  0,8UC 2 (kW / km  fase)

DMG
Ejemplo:
Hallar la tensión crítica disruptiva, el coeficiente de seguridad por corona y las
pérdidas por efecto corona, de una línea de 95 km de longitud, voltaje de 120 kV,
frecuencia 50 Hz, situada a 2800 m.s.n.m. y temperatura media de 18 ºC. La línea es
un circuito trifásico simple con disposición coplanar horizontal. El conductor es ACSR
Nº 266.800 MCM (Partridge)
De tablas dC = 16,28 mm;
r = 8,14 mm
DMG  3 4,4  4,4  8,8  5,544 m  5544 mm
mt = 1 (tiempo seco)
mc = 0,85 (para cables)
δ= 0,721 (b=53,47 mm Hg)
Luego:
U C  21,1  0,721  0,85  1  0,814  ln
U
120
3
5544
 68,67  ( kV )
8,14
 69,28(kV ) Tensión de fase
Como U es mayor que UC entonces existirán pérdidas por efecto corona
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El factor de seguridad por corona será:
68,67
 0.991
69,28
Las pérdidas serán:
0,1807
r
PCK 
U  UC 2  0,1807 8,14 69,28  68,672  0,00357(kW / km  fase)

DMG
0,721 5544
Las pérdidas totales serán
PC  3  PCK  l  3  0,00357  95  1,01(kW )
La energía perdida durante un año será 8913 (kWh)
El voltaje crítico disruptivo con lluvia será: 68,67 x 0,80 = 54,94 (kV)
Y la pérdida de potencia será:
PCK 
0,1807
r
U  0,8U C 2  0,1807 8,14 69,28  0,8  68,67 2  1.975(kW / km  fase)

DMG
0,721 5544
Las pérdidas totales serán
PC  3  PCK  l  3  1,975  95  562,9 (kW )
7.5. CIRCUITO EQUIVALENTE MONOFÁSICO
En un circuito eléctrico, los generadores, cualquiera sea su conexión, pueden
representarse por una conexión estrella equivalente, para lo cual se puede definir
una f.e.m. al neutro para cada fase.
Igualmente las cargas equilibradas cualquiera sea su conexión, pueden
representarse por una carga equivalente conectada en estrella. Por tanto un sistema
trifásico equilibrado puede reducirse al estudio de un sistema monofásico formado
por cualquiera de las fases y por un conductor neutro sin impedancia.
En general cada fase de una línea de transmisión comprende resistencia efectiva y
reactancia inductiva en serie y resistencia de aislamiento y reactancia capacitiva al
neutro en paralelo; estos parámetros están distribuidos a lo largo de la línea
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En las líneas de transmisión aéreas la resistencia de aislamiento generalmente se
considera de valor infinito, por tanto no se la considera en los cálculos eléctricos
porque no tiene mayor incidencia.
7.6. CLASIFICACIÓN DE LAS LÍNEAS DE TRANSMISIÓN
La importancia de la corriente capacitiva de una línea de transmisión en relación con
la corriente que toma la carga conectada, depende de la longitud de la línea y del
voltaje de transmisión.
En las líneas de no más de 80 kms de longitud y voltajes no mayores a 40 kV, la
capacitancia puede generalmente despreciarse. Estas líneas de las clasifica como
LINEAS CORTAS
En las líneas de longitud comprendida entre 80 y 250 kms y de voltajes no mayores a
220 kV aproximadamente, la capacitancia puede considerarse concentrada en uno o
dos puntos de la línea. Estas líneas se las clasifica como LINEAS MEDIAS.
En las líneas de más de 250 kms y voltajes mayores a 220 kV, es necesario
considerar las constantes distribuidas a lo largo de la línea. Estas líneas están
clasificadas como LINEAS LARGAS
Esta clasificación simplemente nos permite tener un elemento de juicio para poder
modelar a una línea de transmisión.
7.7. LINEAS DE TRANSMISIÓN CORTAS
Suponiendo una línea de transmisión trifásica simétrica en la que se desprecia la
capacitancia.
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Cada fase puede resolverse independientemente y la simetría de la red hace que las
magnitudes de todos los voltajes y corrientes sean iguales a todas las fases. El
circuito trifásico equilibrado puede representarse mediante un circuito monofásico de
fase a neutro.
VG = Voltaje de fase en el extremo generador (al inicio de la línea)
VR = Voltaje de fase en el extremo receptor (al final de la línea)
IG = Corriente de línea en el extremo generador
IR = Corriente de línea en el extremo receptor
En este caso IG = IR
La tensión en el extremo transmisor será:



VG  VR  I R Z
Donde: Z  R  j X L
Luego:




VG  VR  R I R  jX L I R
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VG
jXL IR
VR
R.IR
IR
Problema:
Una línea de 30 kms alimenta a 24.900 V a una carga balanceada de 1200 kW.
Encontrar el voltaje en el extremo emisor cuando el factor de potencia es de a) 0,8 (-)
b) 1,0 . La línea trifásica de 50 Hz de un solo circuito está formado por conductores
ACSR Nº 2/0 AWG, dispuestos en un triángulo equilátero de 1,20 m entre centros.
7.8. LINEAS DE TRANSMISIÓN MEDIAS
En los cálculos de Líneas Medias, por lo general se incluye en el análisis la
capacitancia pura al neutro.
Se tiene una buena aproximación si se representa la línea mediante un circuito
equivalente monofásico en el que la capacitancia al neutro de una fase se considera
concentrada en uno o dos puntos.
Si la capacitancia se supone concentrada en el punto medio del circuito que
representa a la línea se dice que es un circuito T nominal
Si se supone que la capacitancia está dividida en dos partes iguales en los extremos
de la línea se dice que el circuito es π nominal
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CIRCUITO “T” NOMINAL
R/2 + j XL/2 = Z/2
R/2 + j XL/2 = Z/2
IG
IR
-jXC =
1/Y
VG
VR
IC
CIRCUITO “T” NOMINAL
LCK:
IG  I R  IC
pero IC  VCY
;
VC  VR 
Z 
Z

I G  I R  VR  I R Y  I R  VRY  I RY
2 
2

 Z 
I G  VRY  I R 1  Y 
2 

LVK:
VG  VR  I R
Z
Z
 IG
2
2
VG  VR  I R
Z 
 Z  Z
 VRY  I R 1  Y  
2 
2  2

VG  VR  I R
Z
Z
Z
Z 2Y
 VRY  I R  I R
2
2
2
4

Z 2Y
 YZ 

VG  VR 1 
  IR  Z 
2 
4






112
Z
IR
2
ZR
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CIRCUITO “π” NOMINAL
R + j XL = Z
IG
IR
IS
-j2XC = 2/Y
VR
-j2XC = 2/Y
VG
I’C
ZR
I” C
CIRCUITO “π” NOMINAL
LVK:
VG  VR  I S Z
pero
I S  I R  I C"  I R  VR
Y
2
Y

VG  VR   I R  VR Z
2

 YZ 
VG  VR 1 
  IR Z
2 

LCK:
Y
2
Y
Y
Y   YZ 
Y
IG  VG  I R  VR  VR 1 
  I R Z   I R  VR
2
2  
2 
2
2
I G  IC'  I S
pero I C'  VG

Y 2Z 
ZY 
  I R 1 
I G  VR Y 


4 
2 


Donde
IR 
P
3 VR cos  R
7.9. LINEAS DE TRANSMISIÓN LARGAS
Para una mejor representación de una línea de transmisión larga, se debe considerar
la longitud incremental de la línea y tomar en cuenta el efecto exacto de la
capacitancia distribuida y su relación con la impedancia de la línea.
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Para mayor exactitud, se debe tomar teóricamente un número infinito de segmentos
de línea para lo cual se requiere de una solución de ecuaciones diferenciales.
Una representación infinitesimal de una sección de una línea de transmisión es:
r dl
I + dI
j xL dl
I
dI
V
ra/dl
-j xc/dl
dV
r = Resistencia efectiva por unidad de longitud (Ω/km)
xL = Reactancia inductiva por unidad de longitud (Ω/km)
z = r + j xL = Impedancia en serie por unidad de longitud (Ω/km)
ra = Resistencia de aislamiento por unidad de longitud (Ω-km)
xC = Reactancia capacitiva por unidad de longitud (Ω-km)
zC = 1/y = Impedancia en paralelo por unidad de longitud (Ω-km)
y = Admitancia en paralelo por unidad de longitud (S/km)
dl = Longitud del tramo diferencial de línea
z dl = Impedancia en serie del tramo de línea de longitud dl (Ω)
y dl = Admitancia en paralelo del tramo de línea de longitud dl (S)
I+dI
z dl
+
+
dI
V
dV
y dl
I
-
+
V - dV
-
-
114
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Del circuito:
dV
Iz
dl
dI
V y
dl
dV  I z dl
dI  V y dl
Derivando (A) y (B) respecto a l
d 2 V dI

z
dl
dl 2
d 2 I dV

y
dl
dl 2
( A)
(B )
(C )
(D )
Sustituyendo (B) en (C) y (A) en (D)
d 2V
dl 2
d 2I
dl 2
Vzy
(E )
Ec. Diferenciales lineales homogéneas
Iz y
(F )
De la ecuación (E) se nota que la derivada segunda de la función V es igual a la
misma función multiplicada por una constante (zy), y la función que tiene esa
propiedad es la exponencial
V  k e ml donde k y m son constantes
Entonces
dV
 k m e ml  m V
dl
d 2V
 k m 2 e ml  m 2 V
2
dl
Sustituyendo en (E)
m2 V  V z y
de donde
m   zy
Entonces
G
)
 zy l
(
zy l
V  k1 e
 k2 e
Según las relaciones de Euler
e x  ex
 cosh x
2
e x  ex
 senh x
2
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Sumando
e x  cosh x  senh x
Restando
e  x  cosh x  senh x
Sustituyendo en la ecuación (G)

 
V  k1 cosh zy l  senh zy l  k 2 cosh zy l  senh zy l

Ordenando y factorizando
V  ( k1  k 2 ) cosh zy l  ( k1  k 2 ) senh zy l
(H )
Derivando respecto a l
dV
 ( k1  k 2 ) zy senh zy l  ( k1  k 2 ) zy cosh zy l
dl
Pero de (A)
dV
 Iz
dl
I
por tanto
I
1 dV
z dl
1
k1  k 2  zy senh zy l  k1  k 2  zy cosh zy l
z




y
y
I  k1  k2 
senh zy l  k1  k2 
cosh zy l 
z
z


(J )
Las constantes k1 y k2 se pueden obtener con las siguientes condiciones:
Si l = 0 entonces I = IR y
V = VR
senh(0) = 0
cosh(0) = 1
Sustituyendo en (H) y (J)
VR  k1  k 2
I R  (k1  k 2 )
y
z
es decir ( k1  k 2 )  I R
Sustituyendo a su vez en las ecuaciones (H) y (J)
116
z
y
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V  VR cosh zy l  I R
I  VR
z
senh zy l
y
(M)
y
senh zy l  I R cosh zy l
z
Estas ecuaciones nos permiten obtener el voltaje y la corriente en un punto
cualquiera de la línea a una distancia l del extremo receptor.
Si l = L = Longitud total de la línea
V = VG
I = IG
Además Z = z L = Impedancia total de la línea en serie
Y = y L = Admitancia total de la línea en paralelo
z.y L  z.y .L2  z.L.y .L  Z.Y
z

y
z.L
Z

y .L
Y
El término ZY  
se llama Constante de Propagación (es adimensional y en
general un número complejo)
    j
α = Constante de atenuación
β = Constante de fase
α afecta únicamente a la magnitud del voltaje y de la corriente
β produce una variación del ángulo de fase
Z
Por otro lado el término
 ZC se llama Impedancia Característica o Natural
Y
de la línea. La Impedancia característica es la relación entre el voltaje y corriente en
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todos los puntos de una línea de longitud infinita, relación que tiene un valor
constante a lo largo de la transmisión. Cuando una línea trabaja sobre su impedancia
característica, la relación entre el voltaje y la corriente es constante e igual a Z C en
todos los puntos de aquella. En una línea aérea la impedancia característica toma
valores alrededor de 400 Ω, y en una línea subterránea es una décima parte.
Si se desprecia la resistencia en serie de la línea (lo que es cierto para líneas de alto
voltaje) y se considera infinita la resistencia de aislamiento
ZC 
Z

Y
jX L
1
  j 2 X L X C  2 .f .L.
 jX C
1
2 .f .C
L
C
ZC 
Se llama Potencia Característica o natural de una línea PC, a la potencia que
corresponde a la impedancia característica
U2
PC 
(MW )
ZC
donde U es la tensión de servicio en el extremo receptor y medido en kV. Una línea
que transmita su potencia natural, supone las condiciones óptimas de trabajo en el
transporte; la línea trabajará con factor de potencia constante en todos sus puntos.
Las potencias características aproximadas para distintos voltajes serían (tomando Z C
= 400 Ω)
VOLTAJE DE
SERVICIO
(kV)
POTENCIA
CARACTERÍSTICA
PC (MW)
6,9
10
24,9
34,5
44
69
115
230
380
400
500
0,12
0,25
1,55
2,97
4,84
11,90
33,06
132,25
361,00 *
400,00 *
625,00 *
* Tensiones que no existen en Bolivia
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Las ecuaciones (M) pueden entonces escribirse
Z
VG  VR cosh ZY  I R
senh ZY
Y
I G  VR
(N)
Y
senh ZY  I R cosh ZY
Z
Si se utiliza las relaciones de series de funciones hiperbólicas (fórmula de MacLaurin).
x2 x4 x6
cosh( x )  1 


 .......
2! 4! 6!
x3 x5 x7


 .......
3! 5! 7 !
Estas series son rápidamente convergentes, por tanto se pueden tomar solo algunos
términos, que según la longitud de la línea pueden ser:
senh( x )  x 
LONGITUD DE LA
LINEA (km)
Hasta 60
Hasta 150
Hasta 400
TERMINOS DE LA SERIE
Basta con el primero
Basta con los dos primeros
Basta con los tres primeros
Si se toman dos términos, se tendría:
ZY
cosh ZY  1 
2
Z
Z 
senh ZY 
ZY 
Y
Y


ZY
3!
Y
Y 
senh ZY 
ZY 
Z
Z



3

  Z 1  ZY 

6 


ZY
3!
   Y 1  ZY 
3



6 
Sustituyendo en las ecuaciones (N)
 ZY 
 ZY 
VG  VR 1 
  I R Z 1 

2 
6 


 ZY 
 ZY 
I G  VR Y 1 
  I R 1 

6 
2 


(P)
Estas dos ecuaciones son muy parecidas a las que corresponden a los modelos “π” y
“T”, que corresponden a una línea Media, y pueden ser utilizadas para líneas no muy
largas
119
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Si el valor real de   ZY (constante de propagación) es:
Valor Real de
constante de
propagación
Menor a 0,1
Entre 0,1 y 0,5
Términos
a
considerar
1
2
Mayor a 0,5
3
senh ZY
1
ZY

ZY 

ZY 
ZY
6
Tipo
de
línea
Corta
Media
cosh ZY

3
ZY
6
 
3
1
ZY
120

5
1
ZY
2
ZY ZY 

2
24
2
Larga
Un resumen de las expresiones que corresponden a los parámetros de un cuadripolo
en los distintos modelos es:
VG  AVR  BIR
IG  CVR  DIR
LINEA
CORTA
MEDIA
PARAMETRO
LARGA
T
PI
ZY
2
ZY
2
ZY
2
A
1
B
Z
 ZY 
Z 1 

4 

Z
 ZY 
Z 1 

6 

C
0
Y
 ZY 
Y1 

4 

D
1
 ZY 
Y 1 

6 

ZY
1
2
1
1
ZY
2
120
1
1
ZY
2
1
U.T.O. – F.N.I. - LINEAS DE TRANSMISION
Ing. Gustavo Adolfo Nava Bustillo
Ejercicio
Una línea de transmisión de 230 kV de un circuito trifásico de un circuito de 380 km
de longitud y frecuencia de 50 Hz. Si la línea tiene los siguientes parámetros
eléctricos
Resistencia efectiva por fase a 50 ºC ...................... r = 0,0435 Ω/km
Reactancia inductiva por fase ................................. xL = 0,435 Ω/km
Reactancia capacitiva por fase …………………… xC = 0,268 MΩ-km
Determinar la constante de propagación, la impedancia y potencia característica, y
las ecuaciones de la línea.
Solución:
R  r . L  0,0435 .380  16,53
X L  x L . L  0,435.380  165,3
( )
()
xC 0,268  10 6

 705,26
( )
L
380
Z  R  jX L  16,53  j165,3  166,1284,3º ()
1
1
Y  j
 j
  j 0,001418  1418  10 6   90 º
XC
705,26
XC 
(S )
  ZY  166,1284,3º  1418 x10  6   90º  0,2355  174,3º  0,485387,15º
  0,02413  j 0,4847
Z
166,1284,5º

 342,27  2,75º
()
Y
1418  10 6   90º
U2
230 2
P

 154,56
(MW )
Z C 342,27
Consideramos las ecuaciones (P), en las cuales hallamos sus coeficientes
 ZY 
 ZY 
VG  VR 1 
  I R Z 1 

2 
6 


 ZY 
 ZY 
I G  VR Y 1 
  I R 1 

6 
2 


ZC 
7.10. CAIDA DE VOLTAJE Y REGULACIÓN
Si
VG = Voltaje de fase en el extremo transmisor (generador)
VR =Voltaje de fase en el extremo receptor (carga)
VR0 =Voltaje de fase en el extremo receptor en vacío (sin carga)
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U.T.O. – F.N.I. - LINEAS DE TRANSMISION
Ing. Gustavo Adolfo Nava Bustillo
VR
I
VG
V % 
VG  VR
100 (%)
VG
Caída de voltaje
Cabe aclarar que la caída de voltaje se determina por la diferencia de los módulos de
los voltajes de generación y recepción.
VR0
I=0
VG
Re g % 
VRO  VR
100 (%)
VR
Regulación
VRO = Voltaje al final de la línea en vacío
En una línea corta, no existe el efecto capacitivo entonces VRO = VG
Re g % 
VG  VR
100 (%)
VR
122