DERIVADAS DEFINICION DE LA DERIVADA DE UNA FUNCION La derivada de una función respecto de (x) es la función ´ (se lee “f prima de (x) y está dad por: ´ lim El proceso de calcular la derivada se denomina derivación. Se dice que es derivable en c si existe ´ , es decir, lim existe La derivada se puede interpretar como la pendiente de una recta tangente a una curva en un punto determinado o como una razón de cambio instantánea. Al calcular el límite lim lo que sucede es que el punto Q empieza a acercarse hacia el punto P hasta que llegar muy próximo a él (ver gráfica), en ese momento se está calculando la derivada de f(x) en el punto x=c representada por la pendiente de la recta tangente en el punto (c,f(c)). REGLAS DE DERIVACIÓN 1. Derivada de una constante Sea la función , donde c es una constante o número real. La derivada será ´ 0. Ejemplo 1: 9 ´ 0 Ejemplo 2: 9 ´ 0 Ejemplo 3: 9 ´ 0 2. Derivada de una potencia de x Sea la Función , la derivada será cualquier número real. ´ , donde n es Ejemplo 1: ´ 3 3 " Ejemplo 2: # ´ 5 # 5 % Ejemplo 3: & " &´ 2 " 2 3. Derivada de una constante por una función Sea la Función , la derivada será ` Ejemplo 1: 6 % ´ 64 % 24 Ejemplo 2: 2 ´ 23 6 " Ejemplo 3: + 5 , +´ 56 , 30 Ejemplo 4: . 6 .´ 61 6 6 4. Derivada de una suma o resta de funciones La derivada de una suma y/o diferencia de funciones es la suma y/o diferencia de las derivadas de cada uno de los términos por separado. Entonces: Sea 0 1 2 1 +3 La derivada será ´ 0´ 1 2´ 1 +´3 Ejemplo 1: 2 % 8 " 9 3 ´ 8 16 9 Derivar cada término por separado aplicando las reglas anteriormente vistas. Ejemplo 2: . 5 " 3 12 20 .´ 10 9 12 Derivar cada término por separado aplicando las reglas anteriormente vistas. Ejemplo 3: 3 % 8 " 2 ´ 12 16 2 5 6 Exponentes fraccionarios 6 y términos de la forma √ 8 . 6 Los términos de la forma √ 8 para expresarlos como exponente se aplica la 5 6 propiedad de radicación √ 8 6 . 9 ; < Ejemplo 1: derivar la función 4 : 2 < √ El primer paso es convertir los radicales en exponentes 9 ; < 4 : 2 < √ función inicial 6 < 5 Convertir el término √ en exponente aplicando √ 8 6 9 ; 9 4 : 2 < < 9 # ; 9 ´ 4 ="> : 2 = > < = > < Derivar cada término por separado aplicando las reglas anteriormente vistas. 9 ´ 2 : : : < < Simplificando, resultado final. 9 @ Ejemplo 2: derivar la función ? ; 5 √ 2 4 El primer paso es convertir los radicales en exponentes 9 @ ? ; 5√ 2 4 función inicial 6 5 Convertir los términos con radical en exponente aplicando √ 8 6 9 < ? ; 5 @ 2 4 9 < ?´ =#> ; 5 =%> @ 23 Derivar cada término por separado aplicando las reglas anteriormente vistas. @ ?´ # ; # % 9 @ 6 " Simplificando, resultado final. 5. Derivada de un producto de funciones Sea A 2, la derivada será ´ A 2´ 2 A ´. Es decir, la derivada de un producto de dos funciones es: “la primera, por la derivada de la segunda, más la segunda por la derivada de la primera". 6. Derivada de un cociente de funciones Sea B CB ,la derivada será ´ CBA´BBAC´B 0CB3: Es decir, la derivada de un cociente de dos funciones es: “la segunda, por la derivada de la primera, menos la primera por la derivada de la segunda; dividida entre la segunda al cuadrado”. El producto y cociente de funciones se desarrollará más adelante. 7. Regla de la cadena Si 03 , entonces la derivada es ´ 03 A ´ La regla de la cadena se utiliza para derivar funciones algebraicas de los siguientes tipos: < √ 1 Funciones Raíz 2 1# Función con paréntesis elevado a una potencia Es importante aclarar que la regla de la cadena es de amplio uso en las funciones exponenciales, logarítmicas y trigonométricas. Ejemplo 1: derivar 2 " 3, 2 " 3, 03 , en este caso la función 2 " 3 es la función interna y se encuentra elevada a la 6. ´ 62 " 3# A 4 Organizar términos el 4x pasa a la izquierda ´ 242 " 3# Resultado final < Ejemplo 2: derivar & √ " 12. Aplicando la propiedad de radicación se 5 6 transforma el radical en exponente. D8 6 9 < & √ " 12 " 12< 9 & " 12< Aplicar propiedad de radicación 03 , en este caso la función " 12 es la función interna y se encuentra elevada a la . ´ : &´ " 12< A 2 12 : &´ 2 12 " 12< : " &´ 4 " 12< &´ &´ : < = B%> Simplificar : : B : "B< : < = B%> < Pasar (2x-12) a la izquierda DB : "B: Bajar el término " 12< con potencia positiva : Convertir en radical el término " 12< 8. Función exponencial e , aplicación de la regla de la cadena Si E F su derivada es ´E F A E´, la variable E es el exponente de (e) y E´ significa derivada de (u). Ejemplo 1: derivar 2 "B 2 "B Función inicial 2´ "B A 2 Pasar el número 2 a la izquierda 2´ 2 "B Respuesta 9 Ejemplo 2: derivar 2 B : B 2 9 B : B Función inicial 9 9 2´ : 1 B : B " " Ejemplo 3: derivar 2 %B 2 %B < #B 2´ %B < #B 9 El término : 1 pasa a la izquierda < #B Función inicial A 12 " 5 2´ 12 " 5 %B < #B Aplicar fórmula ´E F A E´ El término 12 " 5 pasa a la izquierda 9. Función logaritmo Natural (Ln), aplicación de la regla de la cadena Si E GE su derivada es ´E A E´, la variable (u) es la que F acompaña al logaritmo natural y (u´) es la derivada de (u). Ejemplo 1: derivar + G + G +´ Función inicial B: Organizar la expresión como fracción para simplificar B< +´ B Respuesta Ejemplo 2: derivar G5 % 4 " G5 % 4 Función inicial ´ ´ ´ ´ #B @ %B A 20 8 Aplicar la fórmula ´E A E´ F "B < HB Organizar los términos como fracción para simplificar #B @ %B %BI#B : "J Factorizar por factor común y simplificar B#B < % %I#B : "J Respuesta #B < % Ejemplo 3: derivar G√ " 1 G√ " 1 Función inicial 9 G " 1: Convertir el radical √ " 1 en exponente 9 Para derivar la función " 1: mirar el tema de regla de regla de la cadena para funciones algebraicas visto anteriormente. ´ ´ ´ 9 K "BB : : 9 "B : : 9 K BB : : 9 B : : B 9 9 B : : B : : Organizar los términos como fracción para simplificar Simplificar los términos de bases iguales " 1 Aplicar propiedad de potenciación de bases iguales B ´ B : Respuesta DERIVADAS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS A continuación se presentan las derivadas de las funciones trigonométricas: seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante. 10. Función Seno Si E LE, su derivada es ´E ME A E´, la variable (u) es la que acompaña al Seno y (u´) es la derivada de u. Ejemplo 1: derivar L " 1 L " 1 ´ M " 1 A 2 Pasar el término 2x a la izquierda ´ 2M " 1 Respuesta 11. Función Coseno Si E ME, su derivada es ´E LE A E´, la variable (u) es la que acompaña al Coseno y (u´) es la derivada de u. Ejemplo 2: derivar 2 M√2 4 2 M√2 4 9 2 M2 4: Convertir el radical √2 4 a exponente 9 Para derivar la función 2 4: mirar el tema de regla de regla de la cadena para funciones algebraicas visto anteriormente. 9 9 2´ L=2 4: > A 03 " 2 4: 3 9 Simplificar y organizar (u´) 9 9 2´ 3 " 2 4: L=2 4: > Pasar a la izquierda 3 " 2 4: 9 9 2´ 3 " 2 4: L=2 4: > Respuesta 12. Función Tangente Si E NE, su derivada es ´E L " E A E´, la variable (u) es la que acompaña a la tangente y (u´) es la derivada de u. Ejemplo 3: derivar tan 2 % " tan 2 % " ´ Sec " 2 % " A 8 2 Pasar el término 8 2 a la izquierda ´ 8 2 Sec "2 % " Respuesta 13. Función Secante Si E E, su derivada es ´E LE A tanE A E´, la variable (u) es la que acompaña a secante y (u´) es la derivada de u. Ejemplo 4: derivar ? Sec √ 2 ? Sec √ 2 9 ? Sec : 2 Convertir el término √ a exponente 9 9 9 ?´ Sec = : 2> A N = : 2> A " : 9 9 Aplicar ´E LE tanE A E´ 9 ?´ " : Sec = : 2> N = : 2> 14. Función Cotangente Si E E, su derivada es ´E " E A E´, la variable (u) es la que acompaña a cotangente y (u´) es la derivada de u. Ejemplo 5: derivar cot 5 " cot 5 " ´ csc " 5 " A 10 1 ´ 10 1 csc " 5 " ´ 1 10 csc " 5 " Aplicar ´E " E A E´ 15. Función Cosecante Si E E, su derivada es ´E cscE A cot E A E´, la variable (u) es la que acompaña a cosecante y (u´) es la derivada de u. < Ejemplo 6: derivar . csc 5√ # 2 < . csc 5√ # 2 ; . csc 5 < 2 < Convertir el término 5√ # en exponente ; ; "# : .´ csc =5 < 2> =5 < 2> A < .´ "# : ; ; < csc =5 < 2> =5 < 2> Aplicar ´E cscE cot E A E´ DERIVADAS DE PRODUCTOS Y COCIENTES Regla del producto. Multiplicación de funciones Sea A 2, la derivada será ´ A 2´ 2 A ´. Regla del cociente. División de funciones B Sea CB ,la derivada será ´ CBA´BBAC´B 0CB3: Como se puede observar es un producto de funciones, para derivar se utiliza: ´ A 2´ 2 A ´ Identificación de los términos en la función √ 3 2 √ 3 3" Calculamos las derivadas ´ 1 1 2´ 3" A 1 2 9 2´ " 3: Simplificando Aplicando la regla del producto para √ 3 ´ A 2´ 2 A ´ 9 9 ´ A =" 3: > 3: A 1 Remplazando en la fórmula 9 B 9 ´ " A 3: 3: 9 B 9 B ´ 3: " 3 ´ 3: " 3 9 ´ 3: " 3 ´ < : Factorizar 3 por facto común Simplificar, romper paréntesis Operar términos semejantes 9 B B Simplificar la expresión Pasar el término 3: al denominador cambia de signo 9 : el exponente por propiedad de potenciación ´ < : B √B Convertir el término del denominador en radical. Respuesta B< Ejemplo 2: derivar "B B CB Como se puede observar es un cociente de funciones, para derivar se utiliza: ´ CBA´BBAC´B 0CB3: B< Identificación de los términos en la función "B 2 2 1 B CB Calculamos las derivadas ´ 3 " 2´ 2 B< Aplicando la regla de cociente para ´ ´ ´ ´ "B CBA´BBAC´B 0CB3: "BAI B : JIB < JA" "B: ,B < B : "B < "B: %B < B : "B: Remplazar en la fórmula Realizar operaciones Reducción de términos semejantes, respuesta Como se puede observar es un producto de funciones, para derivar se utiliza: ´ A 2´ 2 A ´ Identificación de los términos en la función + "B "B : % M7 : % 2 M7 Calculamos las derivadas ´ "B : % A 4 ´ 4 "B : % 2´ L7 A 21 " 2´ 21 " L7 Aplicando la regla del producto para + "B +´ A 2´ 2 A ´ : % M7 Remplazando en la fórmula +´ "B : % A I21 " L7 J M7 A 4 "B +´ 21 " L7 "B : % 4M7 "B : % : % Organizar y simplificar +´ "B : % 21L7 4M7 Factorizar por factor común +´ "B : % 21L7 4M7 Respuesta. Ejemplo 4: derivar X B @ B B B < " CB Como se puede observar es un cociente de funciones, para derivar se utiliza: ´ CBA´BBAC´B 0CB3: Identificación de los términos en la función X B @ B < " B CB G3 % 2 2 Calculamos las derivadas ´ 1 A 12 3 % ´ 12 4 % 3 2´ 3 " Aplicando la regla de cociente para ´ ´ ´ ´ ´ X B @ B < " CBA´BBAC´B 0CB3: @ Y B < "A= >XI B @ JA B : B < ": Z Y %B : B : XI B @ J B < ": Remplazando en la fórmula Realizar operaciones y organizar %B : HB K9 B : XI B @ J B < ": B K9 %B < H B < XI B @ J B < ": Factorizar por factor común, respuesta