Programación Matemática para Economistas 186 5.- Un productor tabaquero posee 85 hectáreas de terreno para cultivar dos variedades de tabaco: Virginia y Procesado. La variedad Virginia deja un beneficio de 5.760 €/ha, necesitándose 3h/ha de uso de maquinaria y 80h/ha de mano de obra. La variedad Procesado deja un beneficio de 4.500 €/ha y se requieren 2h/ha de maquinaria y 60h/ha de mano de obra. La cooperativa local ha asignado 210 horas de maquinaria y 5.900 horas de mano de obra. a) ¿Cuántas hectáreas debe dedicar a cada variedad, si cultiva exactamente las 85 hectáreas de su finca, para maximizar los beneficios? b) El propietario de la finca colindante le propone al tabaquero venderle una hectárea a 3.000 €. ¿Le sería rentable al tabaquero ampliar su finca? Solución: a) Denotemos por x1 al número de hectáreas que el agricultor dedica al cultivo de tabaco Virginia y por x2 al número de hectáreas que dedica a la variedad Procesado. Los beneficios que deja el cultivo de cada una de las variedades es, respectivamente, de: 5.760 €/ha y 4.500 €/ha; por tanto, la función de beneficios a maximizar será: B(x1, x2) = 5.760x1 + 4.500x2 En el problema se plantea también limitaciones de uso de maquinaria y de las horas de mano de obra. En cuanto a la limitación de maquinaria, sabemos cuántas horas se necesitan para cada una de las variedades y el total de horas que ha asignado la cooperativa, por tanto, la restricción a que daría lugar es: 3x1 + 2x2 ≤ 210 La mano de obra utilizada también depende de la variedad que se cultive y de la disponibilidad de ésta, así: 80x1 + 60x2 ≤ 5.900. En el apartado a) se nos pide la combinación de cultivo que maximiza el beneficio supuesto que el agricultor cultiva la totalidad de la finca. Esta imposición nos lleva a una nueva restricción, correspondiente a las hectáreas cultivadas: x1 + x2 = 85 En estas condiciones el problema de programación lineal a resolver será: R. Caballero, T. Gómez, M. González, M. Hernández, F. Miguel, J. Molina, M.M. Muñoz, L. Rey, F. Ruiz Programación Matemática para Economistas 187 Max 5.760 x1 + 4.500 x 2 s.a 3x1 + 2 x 2 ≤ 210 80 x1 + 60 x 2 ≤ 5.900 x1 + x 2 = 85 x1 , x 2 ≥ 0 al ser las dos primeras restricciones de menor o igual introduciríamos dos variables de holgura y en la tercera una artificial. Por tanto, el problema en forma estándar será: Max 5.760 x1 + 4.500 x 2 + 0 x3 + 0 x 4 − Mx5 s.a 3 x1 + 2 x 2 + x3 = 210 80 x1 + 60 x 2 + x 4 = 5.900 x1 + x 2 + x5 = 85 x1 , x 2 , x3 , x 4 , x5 ≥ 0 Tabla inicial: B P3 P4 P5 CB 0 0 -M P0 210 5.900 85 -85M 5.760 P1 3 80 1 5.760 + M 4.500 P2 2 60 1 4.500 + M 0 P3 1 0 0 0 0 P4 0 1 0 0 -M P5 0 0 1 0 Entra P1 y sale min{210/3, 5.900/80, 85} correspondiente a P3. B P1 P4 P5 CB 5.760 0 -M P0 70 300 15 403.200 -15M 5.760 P1 1 0 0 0 4.500 P2 2/3 20/3 1/3 660 +M/3 0 P3 1/3 -80/3 -1/3 -1.920 -M/3 0 P4 0 1 0 0 -M P5 0 0 1 0 Entra P2 y sale min{70/(2/3), 300/(20/3), 15/(1/3)} correspondiente a P5. R. Caballero, T. Gómez, M. González, M. Hernández, F. Miguel, J. Molina, M.M. Muñoz, L. Rey, F. Ruiz Programación Matemática para Economistas B P1 P4 P2 CB 5.760 0 4.500 P0 40 0 45 432.900 188 5.760 P1 1 0 0 0 4.500 P2 0 0 1 0 0 P3 1 -20 -1 -1.260 0 P4 0 1 0 0 -M P5 -2 -20 3 -1.980 -M La solución es (40, 45, 0, 0, 0). Por tanto, el agricultor dedica 40 hectáreas al cultivo de tabaco Virginia y 45 al de Procesado, no sobrándole ni horas de mano de obra ni horas de uso de maquinaria, y obteniendo un beneficio de 432.900 €. b) Para determinar si es rentable ampliar su finca en una hectárea a un coste de 500.000 u. m. nos basamos en la interpretación de las variables duales del problema como precios sombra de los recursos. En nuestro caso lo hacemos para b3, que recoge el número de hectáreas de que dispone el tabaquero. El incremento que se produciría en dicho recurso, si el tabaquero aceptase la oferta, es de una unidad, luego: λ 3 = 1.980 = ∆F ∆b3 ⇒ ∆F = 1.980∆b3 = 1.980 < 3.000 . Por tanto, no le es rentable ampliar su finca en una hectárea. R. Caballero, T. Gómez, M. González, M. Hernández, F. Miguel, J. Molina, M.M. Muñoz, L. Rey, F. Ruiz