El intervalo cerrado y la quinta soplada -beta

EL INTERVALO CERRADO Y LA QUINTA SOPLADA
ANÁLISIS Y DOCUMENTOS EDUCATIVOS
PABLO BENSAYA, bensaya@gmail.com, presencias@hotmail.com
INTERNET, presencias.net, R. ARGENTINA, 1989 / OCT -2016
ORIGINAL
Prólogo a la reedición de octubre 2016
A casi tres décadas de su primera versión, presento el resultado de intenso trabajo de
producción. El original verdadero desapareció, tal vez porque puede haberme confundido al
entregar documentación a cierta persona o, lo más probable, por los efectos del agua en una
inundación. Solo había una fotocopiada algo amarillenta pero en buen estado.
El material merodeaba mi mundo como un viejo trofeo absolutamente querible pero
inactivo. Me dolía verlo cada tanto, ahí solitario, sin salida. Testigo de una época que ya no era,
había pasado el tiempo de esas investigaciones, estaban acallados los raídos ecos de unos años de
frenesí buscador.
¿No es tarde para difundirlo, qué sentido tiene el hacerlo? Es la primera pregunta que me
hago cada vez que llego a similares encrucijadas. La respuesta ni siquiera es opinable. El trabajo
tiene peso propio, abre un debate casi nunca iniciado, habla de cosas de rareza rayanas en lo
insólito. La contestación es que resulta necesario publicarlo, de lo contrario seguiría con mis
asuntos actuales mirando al lejano compañero con el debido respeto y dejando que la historia
asuma la decisión. Pero hay otro respeto: a mí mismo. Y es al que francamente pretendo honrar.
Eran días de locura, en los que se combinaban mil asuntos de diversa naturaleza, estaba fresca
aún la pintura de mi trabajo más conocido y me encontraba listo para ingresar en la etapa
informática.
Para reeditar el trabajo se requería, por obviedad, hacer una lectura pormenorizada de sus
contenidos y atreverse a transitar fantasmas que parecían diluidos. Además, los gráficos solo
estaban en la copia y la caja general no es amigable, emplea, entre otras cosas, fórmulas que
requieren programas externos. En fin, sé que se dirá que toda esta anotación es una exageración.
Cada cual sabrá su situación.
Ahora, a punto de subir el trabajo al servidor, siento una alegría especial. Nunca dejé de
reconocer que era injusto que quedara en las sombras más allá de esporádicas presentaciones en
pequeños círculos sociales, y aquí estoy, reparando una equivocación.
Los medios actuales permiten semejante empresa. Tomé fotos de los gráficos, convertí la
mayor parte de las fórmulas a texto llano, diseñé los programas para que tablas y algunos otros
datos fueran seguros; los originales nacieron en un tiempo en que máquina de escribir y
calculadora científica eran las herramientas básicas, un error implicaba sacar nuevas fotocopias,
pegar papelitos, cubrir detalles diminutos con tinta blanca, etc. Hoy se elabora todo con la misma
computadora y se suben los resultados a un sitio web a partir del cual llegamos a miles de
personas.
Mi madre participó como dactilógrafa y correctora para la realización del original, en
tanto que las primeras versiones digitales fueron tipeadas por una de mis hermanas.
Hasta siempre, y espero que sea de utilidad, se ha puesto mucho esfuerzo en él, antes y
ahora.
Pablo Bensaya, Merlo, Buenos Aires, Argentina
Trabajo
Autor
Lugar y fecha
Págs.
Reedición
Contacto
: El intervalo cerrado y la quinta soplada
: Pablo Bensaya
: Buenos Aires - Argentina - 1989
: Desde 1 hasta 32
: Agosto - Octubre de 2016
: web: presencias.net, correo: bensaya@gmail.com
EL INTERVALO CERRADO Y LA QUINTA SOPLADA
Estudiar las relaciones longitudinales y frecuenciales de los tubos acarrean no pocas
dificultades.
Dejando de lado los problemas inherentes a toda investigación científica, surgen dos
escollos muy concretos, 1º: la falta de bibliografía específica; 2º: profesores no preparados en
acústica experimental, hechos que, en buena medida, están íntimamente vinculados. Desde luego
que las excepciones son siempre bienvenidas; en todo caso el futuro musicólogo, con referencia a
un tema de tanta importancia, no puede estar sujeto a lo excepcional.
Nuestro objetivo es poner cierto orden respecto de cómo interactúan las relaciones
longitudinales y frecuenciales de los tubos sonoros. Dentro de este marco se inscribe la quinta
soplada.
En cuanto a los diversos autores citados he optado por aquellos que, directa o
indirectamente, inciden sobre la mayor parte del estudiantado -no solo local-, y sobre los mismos
profesionales.
CITAS CON RESPECTO A LOS TUBOS
1895.- Lavignac. "Cuanto más largo es el caño, tanto más grave es su sonido propio. Duplicando
su longitud, se obtiene la octava inferior, lo que prueba que, aquí como en las cuerdas, el número
de vibraciones es inversamente proporcional al largo del cuerpo vibrante." [6, pág. 21]
1939.- Fernández y Galloni. "Si el tubo es cerrado"..."Luego, para la nota fundamental, la
longitud del tubo corresponde a 1/4 de longitud de onda o sea:
λ = 4L
... "Se observa entonces que, a igualdad de longitud, el tubo cerrado emite un sonido cuya
longitud de onda es doble de la que corresponde al tubo abierto (frecuencia mitad)." [5, pág. 328]
1939.- Cattoi. "El sonido fundamental emitido por un tubo cerrado es el mismo que el sonido
fundamental de un tubo abierto de doble longitud." [2, pág. 13]
1948.- Matras. "Se constata que el parcial nº 1 [fundamental] del oscilador así constituido [tubo
cerrado] se encuentra a la octava grave del parcial nº 1 del tubo abierto. Esta vez tenemos:
n1 = 330/4L
[8, pág. 139]. Aquí n1 es la frecuencia fundamental, y 330 m/s la velocidad del sonido.
1954.- Olazábal. "Correcciones de longitud en los tubos sonoros.- Las relaciones que dimos
anteriormente entre frecuencia y longitud de un tubo, son teóricas; en la práctica la longitud de
tubo necesaria para producir un sonido de frecuencia "n", es siempre algo menor que la teórica,
debido a que los vientres se forman fuera del tubo y no exactamente en los extremos del mismo.
Para un tubo cerrado la forma cilíndrica (excitado por su extremo abierto) la corrección
será:
L’ = L + 2,7 x R
donde "L'" será la longitud vibrante de la columna de aire, "L" la longitud real del tubo y "R" el
radio de su sección circular" ... "Estas correcciones han sido calculadas para tubos cuyo diámetro
(2R) es pequeño con respecto a la longitud de onda de los sonidos que producen." [9, págs. 113114]
1957.- Efron. "La frecuencia de la forma de vibración en estudio (la fundamental) está dada por
f = V / 4L
donde V es la velocidad del sonido en el aire." Refiriéndose a los tubos abiertos dice: "La
frecuencia de la vibración es"..."exactamente el doble que la de un tubo cerrado de la misma
longitud." Luego, en "Resonancia en columnas de aire" dice: "Por ello, la longitud efectiva del
tubo, L, es algo mayor que la longitud existente entre un extremo y otro. Los ensayos demuestran
que para obtener la longitud efectiva se debe hacer una corrección consistente en sumar a la
longitud del tubo un valor aproximadamente igual al 30% del diámetro interno de un tubo
cerrado." [4, págs. 56, 57 y 61]
1959.- Daniélou. Deberíamos citar extensamente el capítulo sobre la teoría musical de los
chinos; para nuestro cometido basta decir que Daniélou, a través de ejemplos y una tabla de
correspondencias longitud-frecuencia, entiende que la longitud es inversamente proporcional a la
frecuencia.
No ponemos en tela de juicio el que los chinos emplearan las relaciones de longitud que
se indican en la obra; decimos que con dichas relaciones no se obtienen las relaciones de
frecuencia que él consigna. [3, págs. 69-90]
1980.- Castiglioni y otros. "La longitud del tubo [cerrado] corresponde al cuarto de la longitud
de onda del sonido emitido:
L = λ/4
que constituye el sonido fundamental" ... "De la observación de las leyes precedentes se deduce
que el tubo cerrado emite un sonido cuya frecuencia resulta ser la mitad de la que corresponde a
un tubo abierto de igual longitud." Más adelante, en "Determinación de la velocidad de
propagación del sonido en el aire por el método de resonancia" dicen: "Tal discrepancia se debe a
que el vientre de vibración no se produce en el borde superior del tubo, sino un poco más afuera.
La diferencia expresada se conoce con el nombre de error de boca (ε ) y debe incluirse en las
fórmulas anteriores. Puesto que
L= λ/4 - ε
[1, págs. 481, 482 y 484] Cuando dicen "fórmulas anteriores" se refieren a las dudas para el
método de la resonancia.
CITAS CON RESPECTO A LA QUINTA SOPLADA
En los primeros años del siglo XX el musicólogo austríaco Erich M. von Hornbostel
(1877-1935) crea la denominación "quinta soplada".
Curt Sachs, colega y amigo de Hornbostel, dice: "Un tubo cuya longitud correspondería al
pie de la antigua China (230 mm) produce el sonido fa#. Von Hornbostel pudo comprobar la
existencia de este fa como sonido principal, sonido inicial y diapasón, en escalas instrumentales
de muchos lugares del mundo, desde África, siguiendo por Asia y el Océano Pacífico, hasta
América del Sur. Los instrumentos aptos para servir de modelo -cuyas partes no habían sufrido
modificaciones por influencia del uso, del descuido o de la temperatura-, sobre todo las flautas de
Pan y los xilófonos, presentaban, además de esta coincidencia absoluta, otra relativa. En su
llamada teoría de las quintas producidas por soplo, von Hornbostel trató de descifrar este hecho
enigmático. A su manera de ver, todas las escalas de flautas de Pan y xilófonos, medibles según
principios metódicos, se originaban en un círculo de quintas que no se basa en la quinta pura de
702 cents, sino en otra considerablemente más pequeña, de 678 cents. Ahora bien, esta misma
demasiado corta aparece como armónico en la flauta de Pan. Varios investigadores han puesto en
duda la legitimidad de esta deducción, y hoy en día la teoría de las quintas de soplo no puede ya
considerarse como totalmente válida". [10, pág. 16] (es efectivamente un Fa#4 más unos 18 cents
medido en el patrón de 435 c/s empleado en aquella época. Nota actual de PB)
En 1934 Carlos Vega dice: "Es conocida la propiedad que los tubos abiertos en un
extremo y sin lengüeta, tienen de producir por aumentos de la presión del soplo los armónicos
superiores impares. El primero es el tercer sonido, la duodécima, esto es, la quinta de la octava
superior del sonido fundamental (do4 - sol5). Para afinar un segundo tubo a la altura de la quinta
que se obtiene del primero, basta con cortar el segundo a 2/3 del largo del primero. Repitiendo la
operación con el segundo se obtiene un tercer tubo a una quinta del segundo, y así se forma una
serie de quintas perfectas o sopladas según cierre la marcha a las 12 ó a las 23
quintas"..."Empezando por fa, por ejemplo: fa-do-sol-re-la-mi-si-fa#-do#, etc., al llegar a la doce
quinta hallamos de nuevo el fa; pero ateniéndonos al número de vibraciones, este último difiere
del primero en 24 cents, una coma pitagórica; ahora prolongando el círculo hasta 23 volvemos a
hallar de nuevo la nota inicial, pero tampoco exacta, sino con seis cents de diferencia.
Teóricamente se establece el promedio de 702 para el de 12, y 678 para el de 23 quintas y
entonces los círculos cierran matemáticamente". [11, pág. 353]
Por último, en 1980 Ana M. Locatelli de Pérgamo, refiriéndose a la teoría musical china,
dice: "La explicación acústica que sustenta este sistema musical es el de la quinta soplada. Si
soplamos con fuerza en un tubo cerrado, correspondiente, por ejemplo, a Fa4, se obtendrá una
quinta justa superior, es decir un Do5"... "Se llama tubo cerrado al que está obturado en el
extremo inferior y que posee la característica de 'quintear' así como el tubo abierto posee la de
'octavear'. En realidad se trata de la quinta de la octava superior, pero, auditivamente, produce el
efecto de una quinta justa" ... "Pero este Do5, también se puede obtener soplando normalmente en
otro tubo que mida dos tercios de la longitud del primero (Fa4)".
"Al cortarse un tercer tubo, que mida dos tercios de Do5, se obtendrá una quinta justa
superior de Do5, es decir, Sol5. Como este sonido está muy alejado de huang-chung (*), se
duplica su longitud y se obtiene Sol4, dado que la relación doble corresponde a la octava. Pero
los teóricos chinos se dieron cuenta de que podían obtener ese mismo Sol4, cortando un tubo que
midiera cuatro tercios de Do5".
"Trabajando así, y siempre sucesivamente con las relaciones dos tercios y cuatro tercios,
llegaron a la escala de los 12 lü, con la cual se alcanza la octava. No la octava justa, por cierto, ya
que la razón 1:2 nunca equivale a la ecuación 122/3 (**). Obtuvieron entonces, una escala
dodecafónica de temperamento desigual". [7, págs. 55-56]
* (N. del A.) El "huang-chung" corresponde, en este caso, a Fa4.
** (N. del A.) Aparte del error de imprenta se desea explicar que: 2 / 1 + (3 / 2)12/ 26, para
formar proporción decimos que 2 / 1 = x12 / 26, luego 1 · x12 = 2 · 26, despejando x nos queda: x
= 12 √ 128 = 1,4983, es decir la quinta del temperamento igual.
Pensamos que, a la luz de ambos grupos de citas, un estudiante, o un musicólogo no
especializado, podría sacar, tal vez, las siguientes conclusiones:
1.1.- Para muchos autores la longitud de un tubo es inversamente proporcionar a su frecuencia;
así un tubo que es la mitad de otro suena a la octava aguda.
1.2.- Algunos autores hablan de una corrección en la longitud de los tubos cuando se refieren al
aire como cuerpo resonante.
1.3.- Un autor dice que para efectuar la corrección en la longitud de los tubos se debe multiplicar
2,7 . R.
2.1.- La quinta soplada es aquella que resulta de igualar las frecuencias, despreciando la octava,
entre el tercer armónico de un tubo, con otro que resulta ser 2/3 más corto que el primero; dicha
quinta es algo más grave que la quinta natural y que, según Hornbostel, origina un valor de 678
cents.
En realidad, en vez de conclusiones podríamos decir confusiones.
PARTE II
1º. Un decrecimiento constante en la longitud de los tubos no es inversamente proporcional al
crecimiento de sus frecuencias. Este crecimiento, no basado en una constante, es siempre menor
que el teórico.
2º. El tercer armónico que produce un tubo tiene una frecuencia que se corresponde con su
número de orden; resulta de multiplicar por tres la frecuencia de su fundamental. Dicho de otro
modo: el tercer armónico guarda con su fundamental una relación constante de 1902 cents.
Nuestro trabajo posee abundante material como para demostrarlo experimentalmente.
3º. Reuniendo los puntos 1º y 2º deducimos: Si se resta una octava al tercer armónico se logra
una quinta natural (702 cents) que no concuerda con la quinta que se obtiene derivando la
longitud de un tubo a 2/3 de otro. La primera es más aguda que la segunda.
Para hallar el valor de la disminución frecuencial arriba observada se debe conocer la
longitud absoluta del tubo que se toma como referencia o punto de partida.
A esta disminución la llamaremos "Desviación" (D), y la definimos así: "Es el cociente
entre la frecuencia teórica que debe producir un tubo y la que en realidad produce al ser derivado
longitudinalmente de otro".
Como consecuencia de la desviación, la quinta resultará, obviamente, más grave que la
quinta natural; tendremos entonces: Quinta natural / Desviación = Valor real de la quinta. A este
valor real lo llamaremos "Intervalo cerrado" (Ic) y lo definimos así: "Es el cociente entre la
relación frecuencial teórica que debe producir un intervalo dado y su correspondiente
'Desviación'".
El nombre "Intervalo cerrado" es porque la relación se produce entre dos tubos cerrados y
no por ser más pequeño el intervalo.
Con el concepto de "Intervalo cerrado" se puede abarcar cualquier relación interválica:
segunda cerrada, tercera cerrada, etcétera, que veremos más adelante. Por el momento
insistiremos con la quinta.
Para confeccionar la Tabla Nº 1 partimos de la siguiente pregunta: ¿Qué relación
interválica real ("Intervalo cerrado") se produce entre un tubo de 21 cm de longitud y otro que es
2/3 más corto?
TABLA 1 - EJEMPLO DE LONGITUD-FRECUENCIA
Relación buscada
Longitud real
(Lr)
Longitud acústica (La)
Frecuencia real
(Fr)
Frecuencia teórica (Ft)
TUBO 1 TUBO 2 Cálculos realizados
21 cm
14 cm
21,7 cm
14,7 cm
21 : 3/2 = 14
21 + 0,7 = 21,7 ; 14 + 0,7 = 14,7
391,705 c/s 578,231 c/s 8500 : 14,7 = 578,231
587,558 c/s 391,705 . 3/2 = 587,558
Desviación
(D)
28 cents
587,558 : 578,231 = 1,0161 = 28
Intervalo teórico
(It)
702 cents
3/2 = 702
Intervalo cerrado
(Ic)
674 cents
702 - 28 = 674
Explicación: se ha partido de un tubo de 21 cm de longitud (1º tubo), luego se ha derivado otro a
2/3 (14 cm, 2º tubo). Para hallar sus respectivas frecuencias primero se deben sumar a sus
longitudes el error de boca (0,7 cm), por eso 21,7 cm y 14,7 cm. La frecuencia del primer tubo es
de
391,705 c/s (8500 : 21,7 = 391,705)
la frecuencia del segundo es de
578,231 c/s (8500 : 14,7 = 578,231)
La frecuencia teórica que debería poseer el tubo de 14 cm es de
587,558 c/s (391,705 · 3/2 = 587,558)
Existe pues una diferencia entre la frecuencia teórica y la frecuencia real
578,558 : 578,231 = 1,0161 = 28 cents
que es el valor de la desviación. En consecuencia la quinta natural 3/2 (702 cents) ha quedado
reducida:
1,5 : 1,0161 = 1,4762 = 674 cents
Es claro que
674 + 28 = 702 cents
Diremos entonces que 674 cents es la relación frecuencial que se produce entre dos tubos
de longitudes 21 cm y 14 cm respectivamente, conservando una relación longitudinal de
2/3 · Ic = 674 cents; D = 28 cents
Relación buscada o Intervalo teórico = 702 cents
Fórmulas para hallar el Intervalo cerrado (Ic) y la Desviación (D)
Longitud real
(1) Ic =
Lr + ε
Lr
=
+ε
I
21 + 0, 7
21
=
21, 7
= 1, 4762 = 674 cents
14 , 7
+ 0, 7
1,5
(1a ) Ic = Lr ⋅ I + ε = 14⋅1,5 + 0,7 = 21,7 = 1,4762 = 674 cents
Lr + ε
14 + 0,7
14,7
Longitud acústica
(2) Ic =
La
La − ε
I
=
+ε
21,700
21,700− 0,7
=
+ 0,7
21,700
= 1,4762 = 674 cents
14,700
1,5
0,7 
ε


 ⋅ 1,5
 La − ε +  ⋅ I 14,700 − 0,7 +
21,700
1
,
5
I
 =

(2a ) Ic = 
=
= 1,4762 = 674 cents
La
14,700
14,700
D = I : Ic = 1,5 : 1,4762 = 1,0161 = 28 cents
Se han ejemplificado tomando los datos de la Tabla Nº 1, por eso los resultados de las
cuatro fórmulas son iguales, porque conocemos de antemano las longitudes reales y las acústicas
de ambos tubos; en la práctica resulta evidente que conocemos un solo dato.
La fórmula (1) se aplica cuando se parte de una longitud real y el segundo tubo es más
corto (intervalo ascendente); la (1a) es la inversa: se parte de una longitud real, pero el segundo
tubo es más largo (intervalo descendente). La fórmula (2) se aplica cuando se parte de una
frecuencia que expresamos como longitud acústica por ser lo mismo y más directo
(8500 : 391,705 c/s = 21,700 cm)
su empleo es para intervalos ascendentes; la (2a) es para intervalos descendentes. En el caso de
las fórmulas (1) y (1a) los decimales de la longitud real son los que el investigador mide
directamente, en general uno solo, si lo hay.
En las fórmulas (2) y (2a), en el caso de haberlos, deben existir por lo menos tres
decimales. Por eso hemos dejado el número 21,700 cm para recordar esta situación.
La Tabla Nº 2 presenta valores, siempre en cents, para los intervalos cerrados
comprendidos entre el DO1 y el DO9, es decir que abarcan longitudes de tubo que van
aproximadamente desde 260 cm hasta menos de 1 cm; bastante más de lo que puede soplar un
hombre.
Tabla Nº 2
Descripción: se ha construido sobre la frecuencia convencional de 440 c/s (LA4); en
consecuencia el DO1, temperamento igual, tiene 32,703 c/s. A partir de este DO1 se han hallado
los distintos valores conforme al ciclo de quintas (progresión geométrica, en el original decía:
naturales) hasta la nº 12 (SI#) al ascender, y la nº 8 al descender (FAb). Luego se ha repetido la
misma operación para el DO2 (32 · 2) y así sucesivamente hasta alcanzar el DO8. (el si# posee
1224 cents por ser convencional, el cálculo preciso da 1223,46)
Encima del nombre de cada sonido encontramos la relación teórica que se produce entre
ese sonido y otro de 0 cents que corresponde a los diversos DO. Sobre estos valores se
encuentran números que representan el alejamiento en quintas (siempre con respecto a DO), las
ascendentes son números positivos (ej.: FA# tiene el 6), y las descendentes son números
negativos (ej.: SOLb tiene el -6). Por razones de comodidad los subíndices de la izquierda se
encuentran a la izquierda del 0. Antes de pasar a los ejemplos digamos que todos los valores de la
Tabla fueron hallados, como no podría ser de otra manera, con las fórmulas ya mencionadas.
Exposición con ejemplos
Nº 1
¿Cuál es el Ic entre un tubo DO4 y otro SOL4?
En la línea del DO4 se ve que el SOL (que es SOL4) tiene anotado el valor de 683 cents y
cuyo valor teórico es de 702 cents. La desviación es de 19 cents porque
702 - 683 = 19 cents
Para comparar mejor el intervalo cerrado y el teórico, este último figura entre paréntesis en todos
los ejemplos.
Nº 2
¿Cuál es el Ic entre un tubo MI5 y otro SI5?
En la línea del DO5 se ve el MI5 con 388 cents y el SI5 con 1044 cents. El intervalo
cerrado es de 656 cents porque
1044 - 388 = 656 cents
El intervalo teórico es de 702 cents porque
1110 - 408 = 702 cents
(obsérvese sobre el SI: 1110 y sobre el MI: 408). La desviación es de 46 cents porque
702 - 656 = 46 cents
Nº 3
¿Cuál es el Ic entre un tubo DO#3 y otro SOL#3?
En la línea del DO3 se ve el DO#3 con 112 cents y el SOL#3 con 804 cents. El intervalo
cerrado es de 692 cents porque
804 - 112 = 692 cents
El intervalo teórico es de 702 cents porque
816 - 114 = 702 cents
La desviación es de 10 cents porque
702 - 692 = 10 cents
Los ejemplos nºs. 1, 2 y 3 muestran el verdadero valor para una quinta natural (702 cents)
dentro de alguna octava de DO. Veamos otros casos.
Nº 4
¿Cuál es el Ic entre un tubo RE4 y otro LA5?
En la línea de DO4 se ve el RE4 con 199 cents y en la línea del DO5 se ve el LA5 con 855
cents; pero como la extensión interválica supera la octava hay que considerar el valor de la
octava DO4 DO5 es decir 1163 cents. Luego el intervalo cerrado es de 1819 cents porque
1163 - 199 + 855 = 1819 cents
El intervalo teórico es de 1902 cents porque
1200 - 204 + 906 = 1902 cents
La desviación será de 83 cents porque
1902 - 1819 = 83 cents
Para una mejor captación del intervalo cerrado es bueno quitarle, es este caso, una octava:
1819 - 1200 = 619 cents
le podemos restar una octava natural porque 1819 cents representa una relación real, la auditiva.
Realizamos la misma quita al intervalo teórico:
1902 - 1200 = 702 cents
La desviación es, desde luego, la misma, nada cambia:
702 - 619 = 83 cents
Notamos con claridad que la desviación es casi un semitono temperado.
El ejemplo nº 4 muestra en realidad la verdadera relación frecuencial cuando un tubo
mide la tercera parte de otro: el LA5 mide 1/3 de RE4, su relación o intervalo cerrado, como
dijimos, es de 1819 cents que al quitarle una octava (1200 cents) arroja un valor de 619 cents:
prácticamente queda una quinta disminuida.
Nº 5
Pero veamos cuál es el intervalo cerrado entre el RE4 y el LA4 ya que tal vez podríamos suponer
que su valor es de 619 cents.
En la línea del DO4 se ve el RE4 con 199 cents y el LA4 con 880 cents. El intervalo
cerrado es de 681 cents porque
880 - 199 = 681 cents
El intervalo teórico es de 702 cents porque
906 - 204 = 702 cents
La desviación es de 21 cents porque
702 - 681 = 21 cents
Esta diferencia se produce porque la octava no coincide con la mitad del tubo; en el
primer caso el LA5 es 1/3 de RE4; en el segundo caso LA4 es 2/3 de RE4, lo cual lleva a pensar
en esta posibilidad: si se verifica un valor de 619 cents entre un RE4 y un LA4 (valor que debe
dar 681 cents) se puede deber a que, una vez cortado un tubo a la tercera parte de otro, se haya
trasladado de oído ese LA5 a la octava inferior, con lo cual la relación longitudinal RE4 LA4 deja
de ser 2/3 para convertirse en una relación bastante más compleja, (723 / 500 aprox.), pero
que ha partido de un procedimiento sencillo. Cuando hablamos de un traslado auditivo de octava
nos estamos refiriendo a la relación de 1200 cents.
Hasta aquí hemos visto relaciones de quinta y de quinta compuesta. Analicemos
relaciones con mayores alejamientos en quintas.
Nº 6a
¿Cuál es el Ic entre un tubo DO4 y otro LA4?
En la línea del DO4 se ve el LA4 con 880 cents, la relación teórica indica 906 cents. El
intervalo cerrado es de 880 cents porque
880 - 0 = 880 cents
La desviación es de 26 cents porque
906 - 880 = 26 cents
El alejamiento entre DO4 y LA4 es de tres quintas (DO - SOL - RE - LA) vale decir que
el LA4 se obtuvo luego de tres disminuciones consecutivas de longitud en base a la constante 2/3
dentro de los límites de la octava, lo cual involucra a la relación 4/3 (2/3 · 2).
Nº 6b
¿Cuál es el Ic entre un tubo DO4 y otro LA5?
En la línea del DO4 se ve el DO4 con 0 cent, y en la línea del DO5 se ve el LA5 con 855
cents. Debemos considerar los 1163 cents de la octava DO4 DO5. El intervalo cerrado es, en
consecuencia, de 2018 cents porque
1163 - 0 + 855 = 2018 cents
El intervalo teórico es de 2106 cents porque
1200 - 0 + 906 = 2106 cents
La desviación es de 88 cents porque
2106 - 2018 = 88 cents
Para un mejor análisis restamos octavas:
2018 - 1200 = 818 cents
el intervalo teórico es de 906 cents porque
2106 - 1200 = 906 cents
Nº 7
Como dijimos en el ejemplo nº 5, un traslado auditivo de octava implicaba partir de un
procedimiento sencillo para arribar a una relación frecuencialmente semejante pero
longitudinalmente compleja.
Nos detendremos muy especialmente en este punto.
TRASLADOS AUDITIVOS DE OCTAVA
Derivación frecuencial a la octava inferior:
(3) Lr · 2 + ε
Si tenemos un tubo de longitud real de 12 cm -por ejemplo- entonces su octava grave
corresponderá a un tubo de 24,7 cm (12 · 2 + 0,7).
Derivación frecuencial a la octava superior:
(4) Lr - ε / 2
Si tenemos un tubo de longitud real de 29 cm -por ejemplo- entonces su octava aguda
corresponderá a un tubo de 14,15 cm (29 - 0,7 / 2).
Nº 7a
¿Cuál es la relación longitudinal y frecuencial entre un tubo FA4 y otro LA4 si este último sufrió
un traslado auditivo desde LA5?
El FA4 tiene 348, 835 c/s (DO4 261,626 · /34), su longitud acústica es de 24,367 cm; la
4
5
relación longitudinal y la frecuencia teórica es igual a 2,53125 (3 / 2 ), es decir el intervalo
teórico (I).
1º. Se aplica la fórmula (2) ya que se parte de longitud acústica con intervalo ascendente.
Ic =
24 ,367
24 ,367
=
= 2,4246 = 1533 cents
24 ,367 − 0,7
10
,
05
+ 0 ,7
2,53125
se capta más fácilmente: 1533 - 1200 = 333 cents
2º. Se convierten ambas longitudes en reales:
24,367 - 0,7 = 23,667 cm; 10,05 - 0,7 = 9,35 cm
3º. Se aplica la fórmula (3) al LA5:
9,35 · 2 + 0,7 = 19,4 cm
4º. Se realiza el cociente correspondiente:
23,667
= 1,2199 = relación longitudinal FA4 LA4 con traslado de octava
19,4
5º. Se verifica la relación frecuencial:
23,667 + 0,7 24,367
=
= 1,2123 = 333 cents
19,4 + 0,7
20,1
Resumiendo: Relación longitudinal = 1,2199; Relación frecuencial = 1,2123 = 333 cents.
Nº 7b
¿Cuál es la relación longitudinal y frecuencial entre un tubo FA4 y otro LA3 si este último sufrió
un traslado auditivo desde LA5?
1º. Se traslada el LA4 obtenido a la octava inferior LA3 -fórmula (3)-:
19,4 ⋅ 2 + 0,7 = 39,5 cm
2º. Se realiza el cociente correspondiente:
39,5
= 1,669 relación longitudinal FA4 LA3
23,667
(Es evidente que se inviertan numerador y denominador)
3º. Se verifica la relación frecuencial:
39,5 + 0,7
= 1,6498 = 867 cents (1200 − 333)
23,667 + 0,7
Nº 7c
¿Cuál es la relación longitudinal y frecuencial entre un tubo FA4 y otro LA4 si este último sufrió
un traslado auditivo desde LA3?
1º. Se aplica la fórmula (2a) ya que se parte de longitud acústica con intervalo
descendente:

0,7 
 24,367 − 0,7 +
 ⋅ 1,5802
1,5802 
38,099

Ic =
=
= 1,5635 = 774 cents
24,367
24,367
2º. Se convierten ambas longitudes en reales:
24,367 - 0,7 = 23,667 cm; 38,099 - 0,7 = 37,399 cm
3º. Se aplica la fórmula (4) al LA3:
37,399 - 0,7 / 2 = 18,35 cm
4º. Se realiza el cociente correspondiente:
23,667
= 1,2898 = relación longitudinal FA4 LA4 con traslado de octava
18,35
5º. Se verifica la relación frecuencial:
23,667 + 0,7 24,367
=
= 1,2791 = 426 cents (1200 − 774)
18,35 + 0,7
19,05
Para una segunda derivación se repite lo dicho para el ejemplo Nº 7b, aplicando la
fórmula (4).
Nº 8
Surgen ahora con claridad estas relaciones frecuenciales entre FA4 y LA4:
Es interesante ver en este ejemplo, a modo de resumen, los distintos valores que ha
adquirido el intervalo en estudio.
El Ic es de 394 cents y la D es de 14 cents; por otro lado, con la derivación a la octava
inferior desciende a 333 cents y con la derivación a la octava superior el valor asciende a 426
cents. Es realmente notoria la diferencia entre los valores extremos.
Tengamos en cuenta que se logran aún más valores realizando los traslados con el FA.
No resulta difícil darse cuenta que las derivaciones auditivas de octava, en cuanto a su
relación frecuencial, pueden buscarse directamente en la Tabla Nº 2. Para el ejemplo Nº 9
empleamos solo la Tabla.
Nº 9
Dada una relación se sumarán o se restarán 1200 cents; 2400 cents si las octavas son dos; 3600
cents si son tres, y así sucesivamente.
1º. Para el ejemplo Nº 6b, la relación DO4 LA5 es de 2018 cents; luego
2018 - 1200 = 818 cents
es la relación DO4 LA4 (con derivación de octava de este último por supuesto).
2º. Para el ejemplo Nº 7a, la relación FA4 LA5 es de 1532 cents (en el ejemplo mismo da
1533 cents, diferencia que no cambia nada; lo veremos al final);
1532 - 1200 = 332 cents
que es la relación FA4 LA4.
3º. Para el ejemplo Nº 7b, la relación FA4 LA5 es de 1532 cents y hay que quitarle dos
octavas;
2400 - 1532 = 868 cents
que es la relación FA4 LA3 (en el ejemplo mismo da 867 cents).
4º. Para el ejemplo Nº 7c, la relación FA4 LA3 es de 774; luego
1200 - 774 = 426 cents
es la relación FA4 LA4.
En cuanto a las relaciones longitudinales los cálculos son imprescindibles.
Pasemos ahora a ejemplos que tienen que ver con la quinta nº 12 (para nosotros SI#).
Hemos optado por ubicar los valores de la quinta nº 12 (SI#) de manera que quedara de
manifiesto su relación con la octava teórica (1200 cents) y con la octava como mitad de un tubo,
es decir, las distintas octavas cerradas de los diversos DO.
Así, es SI#1, que no figura directamente en la Tabla, se obtiene muy fácilmente; el SI#2
tiene anotado un valor de 1219 cents; luego SI#2 menos DO2 =1219 - 1195 = 24 cents, valor
para el SI#1.
Nº 10
¿Cuál es el Ic entre en tubo SI#4 y otro MI#3?
El SI#4 aparece con un valor de 1204 cents, y el MI#3 con un valor de 515 cents. El Ic es
de 689 cents porque
1204 - 515 = 689 cents
El intervalo teórico es de 702 cents porque
1224 - 522 = 702 cents
La D es de 13 cents, porque
702 - 689 = 13 cents
Nº 11
¿Cuál es el Ic entre un tubo DO3 y otro SI#4?
El DO3 tiene 0 cent, el SI#4 tiene 1204 cents, entonces el Ic es de 1204 cents, porque
1204 - 0 = 1204
el intervalo teórico es de 1224 cents, porque
1224 - 0 = 1224 cents
La desviación es de 20 cents, porque
1224 - 1204 = 20 cents
Se han colocado en el ejemplo los valores para la octava DO3 DO4 a fin de comparar
mejor la relación entre la octava teórica (1200 cents), la octava cerrada (1181 cents), la octava
cíclica teórica (1224 cents), y la octava cíclica cerrada (1204 cents).
Apreciamos que el alejamiento entre la octava cíclica cerrada y la octava teórica es de 4
cents, porque
1204 - 1200 = 4 cents
lo cual, en términos prácticos, significa lisa y llanamente el unísono.
Nº 12
¿Cuál es el Ic entre un tubo DO4 y otro SI#5?
El DO4 tiene 0 cent, el SI#5 tiene 1186 cents, entonces el Ic es igual a 1186 cents, porque
1186 - 0 = 1186 cents
el intervalo teórico es de 1224 cents; la desviación es de 38 cents, porque
1224 - 1186 = 38 cents
Por otro lado tenemos: octava teórica = 1200 cents; octava cerrada = 1163 cents; ahora el
alejamiento entre la octava cíclica cerrada y la octava teórica es de -14 cents; porque
1186 - 1200 = -14 cents
El empleo de los cents negativos es interesante puesto que nos indican que al intervalo en
cuestión le faltaban tantos cents para alcanzar el intervalo teórico. Así es más simple saber en qué
sentido ocurre el alejamiento.
Vemos que en el ejemplo Nº 11 la quinta nº 12 excede ligeramente a la octava, 4 cents, en
tanto que en el ejemplo Nº 12 la quinta nº 12 está por debajo de la octava en 14 cents.
Nº 13
¿Cuál es el Ic entre un tubo SOL4 y otro FAx5?
Este ejemplo es importante porque, 1º) el FAx5 no figura en el Tabla, y 2º) se aprende a
derivar la quinta nº 12 a partir de cualquier sonido.
1º. Se halla el valor de la octava cerrada SOL4 SOL5:
DO5 - SOL4 + SOL5 = 1163 - 683 + 665 = 1145 cents
2º. Se buscan los máximos y mínimos probables para la relación octava cerrada y octava
cíclica cerrada. El máximo es de 23 cents, porque
SI#5 - DO5 = 1186 - 1163 = 23 cents
El mínimo es de 21 cents, porque
SI#6 - DO6 = 1148 - 1127 = 21 cents
Entonces realizamos una media aritmética:
(23 + 21) / 2 = 22 cents
que, insistimos, no solo será válida para la relación que nos ocupa.
3º. Luego se suma el valor obtenido para la octava SOL4 SOL5 y el promedio para una
octava:
1145 + 22 = 1167 cents
Entonces el Ic SOL4 FAx5 es de 1167 cents. El intervalo teórico entre un sonido y su quinta
cíclica nº 12 es siempre de 1224 cents. La desviación es de 57 cents, porque
1224 - 1167 = 57 cents
el alejamiento con respecto a la octava teórica es de -33 cents, porque
1167 - 1200 = -33 cents
Al FAx5 le corresponde figurar en la Tabla con un valor de 687 cents porque
SOL5 + 22 = 665 + 22 = 687 cents
su intervalo teórico es de 726 cents, porque
1224 + 702 - 1200 = 726 cents
Es así cómo pueden hallarse valores que no figuran explícitamente en la Tabla Nº 2.
Nº 14
¿Cuál es el Ic entre un tubo RE3 y otro DOx4?
Sin más explicación seguimos los mismos pasos del ejemplo Nº 13:
1º. Ic = RE3 RE4 = 1181 - 202 + 199 = 1178 cents
2º. Máximo 23 cents; mínimo 23 cents; obviamente
(23 + 23) / 2 = 23 cents
3º. 1178 + 23 = 1201 cents
Entonces el Ic RE3 DOx4 es de 1201 cents. El intervalo teórico es de 1224 cents. La desviación
es de 23 cents, porque
1224 - 1201 = 23 cents
el alejamiento con respecto a la octava teórica es de 1 cent, porque
1201 - 1200 = 1 cent
Al DOx4 le corresponde figurar en la Tabla con un valor de 222 cents, porque
RE4 + 23 = 199 + 23 = 222 cents
su intervalo teórico es de 228 cents porque
726 (FAx, quinta anterior) + 702 - 1200 = 228 cents
En cuanto a los pequeños números que indican el alejamiento en quintas, al FAx le
corresponde el 13 y al DOx el 14.
Nº 15
En este último ejemplo, que cierra la exposición matemática, deseamos remarcar un aspecto que
puede prestarse fácilmente a confusiones.
¿Cuál es Ic entre un tubo DO4 y otro MI4?
El Ic = 398 cents y la D = 10 cents.
La distancia entre DO y MI es de cuatro quinta (DO SOL RE LA MI). La longitud DO
genera SOL, la longitud SOL genera RE, la longitud RE genera LA, y la longitud LA genera MI.
Esto parece muy claro, pero sin embargo pueden surgir errores si se suman los valores de los
cuatro intervalos:
La suma es igual a 2330 cents; luego entendemos mejor quitando una octava:
2330 - 1200 = 1130 cents, valor por demás disparatado
Una vez obtenida la longitud RE como 2/3 de SOL se la debe duplicar a fin de ubicarla
dentro de los límites de la octava, hecho que vuelve a producirse entre el MI como 2/3 de LA; al
MI hay que duplicarle su longitud. En consecuencia el cálculo resulta:
683 - 484 + 681 - 482 = 398 cents, que es lo correcto
Si el caso se presenta de esta manera:
¿Cuál es el Ic entre un tubo DO4 y otro MI6?
Entonces los valores se sumarán:
683 + 675 + 660 + 641 = 2659 cents de Ic
la D = 149 cents, porque
702 + 702 + 702 + 702 = 2808 cents
luego
2808 - 2659 = 149 cents
Para captar mejor la relación restamos al Ic dos octavas:
2659 - 2400 = 259 cents
En este caso SOL es 2/3 de DO; RE es 2/3 de SOL; LA es 2/3 de RE, y MI es 2/3 de LA.
Notemos, por otro lado, que 259 cents es la respuesta a la siguiente pregunta: ¿Cuál es la relación
frecuencial entre un tubo DO4 y otro MI4 si este último sufrió un traslado auditivo desde MI6?
II PARTE
CONCLUSIONES
Con respecto a los tubos
1º. El error de boca es siempre un valor experimental y se emplea, según los casos, el más
probable, en consecuencia: 'Valor absoluto para un intervalo dado' significa siempre valor
más probable.
2º. "La longitud de un tubo no es inversamente proporcional a su frecuencia" por causa del error
de boca.
3º. Toda relación longitudinal genera siempre valores frecuenciales más graves que los teóricos.
4º. Toda octava cíclica cerrada es siempre mayor que la octava cerrada, y casi siempre menor que
la octava teórica (de mantenerse un mismo ε).
5º. Es impreciso decir que una derivación longitudinal constante (2/3, 4/3), dentro de los límites
de la octava, acumula paulatinamente disminuciones frecuenciales; la quinta nº 1, por
ejemplo, se desvía más que la quinta nº 4. Si la postulación fuese cierta debería ocurrir lo
contrario. El planteo correcto es: si se ordenan los tubos en forma decreciente a su longitud,
las frecuencias se desvían paulatinamente; así la frecuencia del tubo nº 7, por ejemplo, se
desvía más que las de los nºs 6, 5, 4, etcétera.
Si las frecuencias se desvían cada vez más, quiere decir que la corrección en la longitud de
los tubos debe ser cada vez mayor, por más pequeña que la corrección pudiera resultar a los
efectos prácticos.
Deducimos: si un grupo de los tubos tiene el mismo diámetro, las condiciones de cambio se
remiten solo a su longitud; en consecuencia al tubo más corto debe corresponderle un error de
boca que al tubo más largo. Reiteramos: aunque esta corrección no resultase demasiado
significativa prácticamente. Podemos decir entonces que "el error de boca no es directamente
proporcional al diámetro"; el crecimiento del error de boca es siempre menor.
Por este motivo es mal argumento deducir el error de boca a partir del diámetro o del radio
con empleo de un factor experimental; es el caso ya citado de 2,7 · R (cita nº 5, con respecto a
los tubos). Aquí, de todas maneras, el factor 2,7 es absolutamente equivocado ya que a un
acústico no le puede constar esta barbaridad. Aun sin compartir este modo de operar, dicho
factor no puede ir más allá de 1,3; quede claro: este factor genera igualmente errores.
6º. Las columnas aéreas excitadas por resonancia, siempre muy sensibles a los cambios de
temperatura, se emplean para medir la velocidad del sonido en el aire. Los errores de boca, en
estos casos, son de aproximadamente 1/3 del diámetro del tubo continente. No ocurre lo
mismo cuando las columnas son excitadas por soplo, en este caso el aire no resuena; es el
cuerpo sonoro mismo. Por otro lado, son poco sensibles a los cambios de temperatura debido,
fundamentalmente, a la alta presión generada por el soplo y a que el aliento humano tiende a
conservar la misma temperatura.
En principio no advertimos mala intención en ningún autor; vemos desconocimiento en
unos, y desinterés en otros. El problema longitud - frecuencia ha importado siempre a los
constructores de instrumentos de viento, pero no tanto a los físicos, que parecieran querer sacarse
rápidamente la cuestión de encima.
Con respecto a la quinta soplada
La quinta soplada es una teoría que propone la concurrencia de tres fenómenos: físico,
psicoacústico, e histórico.
- Su parte física tiene que ver con una longitud específica tomada como punto fundamental de un
sistema de afinación. Esta longitud es de 23 cm. Si a partir de allí comienzan a cortarse tubos en
base a la constante 2/3, dentro de los límites de la octava, las quintas obtenidas pueden
confiadamente promediarse en 678 cents (esto siempre y cuando el error, o errores, de boca
empleados surjan de la experimentación, no de la fantasía). En verdad, dado el margen de
fluctuación de la frecuencia producida por un tubo y, por otro lado, que la frecuencia misma es
una magnitud que se toma siempre indirectamente, podríamos obtener muchos promedios
diferentes en más o en menos. Lo cierto es que la desviación ronda un valor muy conocido: la
coma pitagórica (24 cents). Entonces, ¿por qué no dejar ese valor que forma parte de los más
probables?
- Por vía de la psicoacústica es posible explicar la contradicción física que surge entre la quinta
derivada longitudinalmente a 2/3 de un tubo de 23 cm, y la quinta derivada de su tercer
armónico. Apuntamos esta diferencia en el comienzo de la II Parte, punto 3º.
Sin embargo, esta diferencia (en este caso, de 24 cents) objetiva, puede transformarse en igualdad
en el plano netamente práctico.
Como en el campo de la psicoacústica los juicios dependen del sujeto, ¿quién mejor que usted
mismo para responder si se puede lograr la igualdad o no?
Seguidamente pautamos un experimento para tal fin. En todos los casos se trabajará con un
diámetro de 1,2 cm, aproximadamente, y todas las ponderaciones se realizarán solo con el oído.
a) 1. Corte un tubo de 23 cm de longitud.
2. Corte otro tubo a 2/3 del primero - 15,3 cm-.
3. Produzca el tercer armónico del primer tubo.
¿Qué relación encuentra entre la fundamental del segundo tubo y el armónico del primero?
Estimativamente, ¿cuántos cents le pondría?
b) 1. Produzca el armónico del primer tubo.
2. Afine otro tubo para dar la octava inferior del armónico del primer tubo.
3. Produzca las fundamentales de los dos tubos cortos.
¿Le resultó fácil derivar de un armónico un sonido fundamental una octava inferior? ¿Qué
probabilidad le asigna a que se consideren al unísono a ambas quintas?
- El aspecto histórico podríamos pensarlo así:
Existió una medida patrón, empleada por una poderosa cultura, que progresivamente
comenzó a dispersarse, hasta alcanzar lugares muy distantes a su epicentro; el patrón llevaría
implícito su secreto. El patrón sería aquella coincidencia absoluta; su secreto, la relativa. Por
último, se habrían trasladado, las relaciones obtenidas en los tubos, a los demás instrumentos.
Hornbostel no equivoca el blanco en los dos primeros aspectos. Ambos puntos, aunque con
alguna diferencia de orden físico, son plenamente respaldados por la experimentación. A
nosotros no nos interesa saber si sus resultados fueron producto de la experimentación o de la
especulación. Nos han importado, en grado sumo, los niveles de certeza alcanzados. Todo esto lo
decimos quitando toda la connotación histórica, y solo en un marco de probabilidad acústica y
psicoacústica.
Con relación a lo histórico nuestra discrepancia es total, sobre todo si se tiene en cuenta
que el supuesto pie chino de 23 cm, más allá de poder configurar una unidad de medida, es en
promedio lo que mide un pie masculino en cualquier lugar, no es privativo de los chinos en
cuanto a longitud.
Hornbostel no tiene el lugar que merece. ¡Por fin alguien había reparado en cosas tenidas
por menos! Propuso una teoría por escrito y fundamentó. En verdad tuvo una idea genial.
Luego vinieron los que, sacando de contexto a la quinta soplada, sin haber soplado nunca
un tubo, pretendieron rechazar o adherir a la teoría; verdaderos responsables de numerosas
confusiones.
La quinta soplada es una teoría fundada sobre un tubo de 23 cm, no hay una ley de los
tubos sonoros cerrados. Por este motivo, entre otros, hemos propuesto, formalmente, el Intervalo
cerrado y la Desviación por entender que son herramientas específicas para un planteo científico
de la relación longitud - frecuencia.
Nuestro trabajo ha pretendido, en todo momento, alentar la investigación, porque en
materia de tubos sonoros, en especial los de los instrumentos del pasado, queda mucho por
descubrir, aprender, y asombrarse.
NOTA. En todo el presente trabajo se ha colocado el acento en aspectos de importancia
musicológica, y con la mira siempre puesta en lo operativo hemos dejado de lado
cuestiones de orden físico; entre otras: el comportamiento de la onda sonora dentro de
un tubo, o fundamentar por qué el tercer armónico de un tubo guarda la relación que
mencionamos oportunamente. Estos datos se encuentran en cualquier tratado de Física
General o de Acústica.
FICHA TÉCNICA Nº 1
VALORES Y DEFINICIONES
Índice acústico: LA4 = 440 c/s
Velocidad del sonido (c) = 340 m/s (para cálculos de longitudes y frecuencias).
Unidad de longitud = cm
Error de boca (ε) = 0,7 cm
Unidad de medida interválica = cent
Longitud acústica (La). Es la longitud teórica de un tubo que resulta de dividir por 4 una
longitud de onda. Si deseamos saber cuál es la longitud acústica de un tubo para que produzca
una frecuencia de 680 c/s, por ejemplo, procedemos así: longitud de onda
(λ) = c / f = 340 / 680 = 0,5 m;
luego
0,5 / 4 = 0,125 cm
por último convertimos metros en centímetros:
0,125 m · 100 = 12,5 cm
que es la longitud acústica de un tubo para dar 680 c/s. El cálculo corrido se sintetiza así:
340 : 4 · 100 / 680 = 12,5 cm
y como el numerador permanecerá siempre constante quedará simplificado con el número
8500 (340 : 4 · 100)
Entonces, la longitud acústica se obtiene (en centímetros) dividiendo 8500 por la frecuencia
deseada, en este caso
8500 / 680 = 12,5 cm
Es fácil advertir que, si partimos de una longitud acústica, obtendremos la frecuencia de emisión
del tubo:
8500 / 12,5 = 680 c/s
Error de boca (ε). Si soplamos en un tubo de 12,5 cm de longitud notaremos que su frecuencia
es algo más baja que 680 c/s. Debemos entonces reducir un poco la longitud del tubo. A esta
reducción se llama 'error de boca'. En general, teniendo en cuenta longitudes y diámetros, este
error de boca varía aproximadamente entre un mínimo de 0,4 cm y un máximo de 0,9 cm.
Nosotros tomamos siempre el valor de 0,7 cm (*).
Longitud real (Lr). Es la longitud efectiva del tubo luego de haber restado a su longitud acústica
el error de boca.
Así es que
12,5 cm - 0,7 = 11,8 cm
de longitud real; ahora sí podemos decir que un tubo de 11,8 cm de longitud produce una
frecuencia de 680 c/s. Queda, de esta manera, planteada una fórmula muy sencilla:
Lr = La - ε
(longitud real = longitud acústica - error de boca). Si queremos saber cuál es la frecuencia que
posee un tubo recién medido (longitud real), el procedimiento se invierte:
Lr + ε = La
una vez hallada la longitud acústica bastará efectuar el cociente ya indicado:
8500 : La = f
Entonces, para verlo en números,
11,8 cm + 0,7 cm = 12,5 cm
de longitud acústica; luego
8500 : 12,5 = 680 c/s.
* Experimentalmente hemos comprobado que este valor (0,7 cm) es muy operativo a los efectos
de la investigación musicológica. Proponemos, en consecuencia, que 0,7 cm sea normalizado
como error de boca musicológico, hecho que consideramos necesario ya que hay condiciones
que muchas veces son desconocidas; si se nos dice que en el pasado existió un tubo patrón de 23
cm de longitud y desconocemos su diámetro, por ejemplo, nos vemos obligados, de todas
maneras, a hipotetizar un error de boca para averiguar su frecuencia. A fin de aunar criterios
insistimos en la necesidad de emplear 0,7 cm como error de boca musicológico para un patrón
frecuencial de 440 c/s y una velocidad de 340 m/s.
FICHA TÉCNICA Nº 2
1º. Cent: sistema logarítmico de base 1200 2 (1,00057779).
Deseamos saber cuántos cents le corresponden a los números 1,5 y 1,4382.
Se busca el logaritmo común (base 10) del número deseado, se lo multiplica por 3986,3 (*) y
se redondea el resultado:
log. 1,5 · 3986,3 = 0,17609 · 3986,3 = 702 cents
log. 1,4382 · 3986,3 = 0,15782 · 3986,3 = 629 cents
* El número 3986,3 es el recíproco del logaritmo de la base del sistema. Recomendamos
vivamente el libro Aprenda matemáticas en 15 días. Singer, Francisco L. ed. Neo Técnica.
Buenos Aires, 1988. 7ma. edición. (Colección Christian Gellert).
En virtud de que los cents se expresan, por lo general, como valores enteros, la búsqueda
de un resultado por diferentes caminos suele arrojar diferencias que en la práctica no cambian
nada. Para cálculos de gran extensión interválica la diferencia es de unos ± 4 cents, según opere
con la Tabla Nº 2 ó con las fórmulas (con varios decimales). La Tabla Nº 2 es también efectiva
para realizar cálculos con frecuencias temperadas o de la escala natural; la diferencia con
respecto a las fórmulas es de unos ± 3 cents, siempre que el error de boca sea 0,7 cm y el patrón
frecuencial de 440 c/s. (Resulta evidente que con las fórmulas todos los resultados serán exactos
con cualquier escala, con cualquier patrón frecuencial, y con cualquier error, o errores de boca).
2º. Cuando en la práctica se toma la frecuencia de emisión de un tubo, y se verifica, luego de
medir su longitud, que el error de boca que debería corresponderle supera notoriamente los
valores estadísticos, el comportamiento del tubo no es el del tubo cilíndrico. Nuestro cometido
no es analizar el comportamiento de estos tubos, solo diremos que en la investigación el caso se
presenta frecuentemente. Éste es uno de los motivos principales por el cual carece de valor
científico - en trabajos que pretendan estudiar sistemas de afinación - consignar la frecuencia de
los tubos sin sus correspondientes longitudes. En verdad se debe consignar, siempre, la mayor
cantidad de datos posibles, y no dejar ningún margen de dudas con respecto al índice acústico
empleado, ni a los cálculos matemáticos realizados.
BIBLIOGRAFÍA
1. Castiglioni; Peralta; Rela. "Física 1", ed. Troquel. Buenos Aires, 1981, 4ta. ed., 1985.
2. Cattoi, Blanca. "Apuntes de Acústica y Escalas exóticas", ed. Ricordi Americana.
Buenos Aires, 1939.
3. Daniélou, Alain. "Traite de musicologie comparée", ed. Hermann. París, 1959.
4. Efron, Alexander. "Exploring Sound", Hayden Book Company, New York, 1957.
Trad. Jorge Jauregui, "El Mundo del Sonido", ed. Bell. Buenos Aires. Impreso en 1971.
5. Fernández y Galloni, E. "Física Elemental", ed. Nigar. Buenos Aires, 6ta. ed., 1962.
1ra. edición en 1939.
6. Lavignac, Albert. "La Música y los Músicos", ed. El Ateneo. Buenos Aires, 1948.
Trad. Julia B. de Martín. (1ra. edición en francés 1895).
7. Locatelli de Pérgamo, A. María. "La música tribal, oriental y de las antiguas culturas
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8. Matras, Jean - Jacques. "Le son", Presses Universitaires, París, 1948. Trad. Victor
Boully. "El sonido", ed. Orbis. Buenos Aires. Impreso en 1988.
9. Olazábal, Tirso de. "Acústica musical y organología", ed. Ricordi Americana. Buenos
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10. Sachs, Curt. "Musicología comparada", ed. Eudeba. Buenos Aires, 1967. Trad. E.
Epstein.
11. Vega, Carlos. "Escalas con semitonos en la música de los antiguos peruanos".
Separatas de Las Actas, Tomo I, págs. 349 - 381, del XXV Congreso Internacional de
Americanistas, 1932.