Clasificaci´on Af´ın Clasificaci´on Proyectiva

Cuádricas del Espacio Afı́n A3
Departamento de Matemáticas
Universidad de Extremadura
Definición. Sea X una cuádrica del espacio
Clasificación proyectiva de las cuádricas: Dos cuádricas del espacio proyectivo real Pn son proyectivamente equivalentes (esto es, existe
proyectivo P
n de ecuación (en coordenadas hoP
mogéneas) n+1
i,j=1 λij xixj = 0. Sean p y q el
número de autovalores positivos y negativos respectivamente de la forma cuadrática anterior. Se
llama rango de X a r = p + q, e ı́ndice de X a
i = min{p, q}.
una proyectividad que transforma una cuádrica en la otra) si y sólo si poseen los mismos rango e ı́ndice, (r, i).
Clasificación afı́n de las cuádricas: Dos cuádricas del espacio afı́n real An = Pn\Pn−1 son afı́nmente equivalentes (esto es, existe una
afinidad que transforma una cuádrica en la otra) si y sólo si son proyectivamente equivalentes y sus respectivos cortes con el hiperplano del infinito
Pn−1 también son proyectivamente equivalentes. Ası́ pues una cuádrica X se clasifica afı́nmente por los invariantes (r, i) y (r0, i0), siendo (r, i) el
rango e ı́ndice de X y (r0, i0) el rango e ı́ndice de X ∩ Pn−1.
Clasificación Proyectiva
(rango,ı́ndice)
(4,2)
(4,1)
Cuádrica reglada
x21 + x22 − x23 − x24 = 0
Elipsoide
x21 + x22 + x23 − x24 = 0
(4,0)
Cuádrica imaginaria
x21 + x22 + x23 + x24 = 0
(3,1)
(3,0)
(2,1)
(2,0)
(1,0)
Cono real
x21 + x22 − x23 = 0
Cono imaginario
x21 + x22 + x23 = 0
Par planos reales
x21 − x22 = 0
Par planos imaginarios
x21 + x22 = 0
Plano Doble
x21 = 0
(2,1)
(2,0)
(1,0)
Clasificación Afı́n
C
O
R
T
E
(4,2)
(4,1)
Hiperboloide reglado
x2 + y 2 − z 2 = 1
Hiperboloide no reglado
x2 − y 2 − z 2 = 1
(4,0)
(3,1)
(3,0)
(3,1)
Cónica real
C
O
N
Cono
z 2 = x2 + y 2
(3,0)
Elipsoide
x2 + y 2 + z 2 = 1
Elipsoide imaginario
x2 + y 2 + z 2 = −1
Cono imaginario
x2 + y 2 + z 2 = 0
Cónica imag.
E
L
(2,1)
P
L
A
N
O
D
E
L
Paraboloide reglado
z = x2 − y 2
Par rectas
Cilindro hiperbólico
x2 − y 2 = 1
Planos no paralelos
x2 − y 2 = 0
(2,0)
Paraboloide no reglado
z = x2 + y 2
Par rectas imag
Cilindro elı́ptico
x2 + y 2 = 1
Planos no paralelos imag.
x2 + y 2 = 0
Cilindro imaginario
x2 + y 2 = −1
(1,0)
I
N
F
I
N
I
T
O
Cilindro parabólico
y = x2
Recta doble
Planos paralelos
z2 = 1
Planos paralelos imag.
z 2 = −1
Plano doble
z2 = 0
(0,0)
Vacı́o
Plano
z=0
Plano
Interpretación geométrica del rango e ı́ndice.
Un punto x0 de una cuádrica X se dice singular si para todo x ∈ X , la
recta que los une, x + x0, yace en X .
Proposición. Sea X ⊂ Pn una cuádrica de rango r e ı́ndice i. El conjunto Sing(X ) de los puntos singulares de X es una subvariedad lineal
de dimensión n − r.
Todas las subvariedades lineales maximales de una cuádrica X contienen el locus singular Sing(X ) y tienen dimensión n − r + i.
dim Sing(X ) = n − r
dim subv.lineal max. = n − r + i
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Ejemplo. Para un cono real del espacio P3, el locus singular se reduce a
un sólo punto, el vértice del cono; y las subvariedades lineales maximales
son rectas, las generatrices del cono. De las fórmulas precedentes se
deducen el valor del rango y el ı́ndice del cono:
1 = dim subv.lineal max. = 3 − r + i
r=3
⇒
0 = dim Sing(X ) = 3 − r
i=1