Curso de Electrotecnia - Parte 2 - Electromagnetismo

SEGUNDA PARTE
TEORIA ELECTROMAGNETICA
Campo magnético
Un campo magnético es el campo de las fuerzas
producidas por un material magnético (ej.: imán
permanente, la tierra) o por la inducción de una
corriente eléctrica. Una tercera fuente de campos
magnéticos es la variación de un campo eléctrico.
Para efectos de la teoría de circuitos, nos limitaremos
a los campos magnéticos inducidos por una corriente
eléctrica que circula en un conductor.
La parte de la teoría electromagnética que estudia las
variaciones de los campos eléctricos y magnéticos en
el espacio y en los materiales se aplica al estudio de
los fenómenos atmosféricos, transmisión de ondas,
semiconductores, a la física cuántica y otros campos
tecnológicos.
representa un vector unitario en la dirección de r. Se
aplica la regla de la mano derecha para determinar
la dirección del vector resultante.
Ley de Ampère
El campo magnético a lo largo de un lazo de flujo es
proporcional a la corriente que atraviesa la superficie
envuelta por el lazo:
∮ B dl= I
lo cual coincide con los resultados de la ley de BiotSavart.
Ilustración de la Ley de Ampere
Cada lazo de flujo la cumple
Campo magnético inducido por una corriente
eléctrica
Según la ley de Biot-Savart, el campo magnético
dB producido por una corriente I que circula por un
segmento infinitesimal dL de un hilo conductor es
perpendicular al plano formado por el conductor y el
vector lineal entre el segmento conductor y el punto
donde se mide el campo. La magnitud del campo
magnético se mide en tesla (T), 1 Tesla <=> 1
weber / m2 (Wb / m2) , lo que da la idea también de
“densidad de flujo magnético”.
Casos especiales
Para un conductor infinitamente largo (caso de un
hilo conductor), la integral de la ecuación de BiotSavart para el campo magnético es:
B=
Representación de la ley de Biot-Savart
I
xa
2 r
Wb
2 (T)
m
=> líneas de flujo circulares alrededor del conductor.
Para un conductor en forma de anillo circular de
radio R, el campo magnético en el centro es:
B=
Wb
2 o Tesla (T)
m
Wb
Para el vacío: μ 0 =4 π 10−7
A−m
d B=
μ
a
IdL x 2
4π
r
μI
xa
2R
Wb
(T)
m2
µ es la permeabilidad magnética del medio y a
=> líneas de flujo perpendiculares al plano del anillo.
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15
Si el anillo consta de N vueltas de radio R, todas muy
juntas (una bobina simple) y con aproximadamente
el mismo radio:
Donde lm = 2π(R1+R2)/2 es la longitud de la
circunferencia media del toroide.
Toroide con sus lazos de flujo por el centro
B=
μN I
xa
2R
Wb
(T)
m2
=> líneas de flujo por el centro de la bobina simple.
Para un solenoide (bobina alargada) de N vueltas, y
una longitud l mucho mayor que el radio, las líneas
de flujo pasan por su centro:
En un toroide con núcleo feromagnético, no es
necesario que el embobinado cubra todo el núcleo, ya
que por la alta permeabilidad de este, los lazos de
flujo se agruparán en el núcleo, excepto por unos
pocos flujos de dispersión.
Los flujos de dispersión son lazos que no quedan
confinados al núcleo del circuito magnético. Debido
a que el núcleo está rodeado de aire, y el aire tiene
también permeabilidad magnética, una pequeña parte
de los lazos de flujo se dispersan por el aire que
rodea al núcleo. En el análisis algunas veces se
consideran despreciables.
B=
N I
l
Wb
2 (T)
m
Toroide
Si comenzamos a cerrar el solenoide en círculo
llegamos a construir un toroide. Las líneas o lazos de
flujo van buscando la ruta más corta, agrupándose
casi totalmente en el centro del núcleo.
Flujo magnético
Es la integral de las líneas del campo magnético que
fluyen cruzando una superficie S. Entonces podemos
decir que la magnitud del campo magnético equivale
a la densidad del flujo magnético.
=∫ B dS
Wb
Para un solenoide o un toroide, se puede suponer que
la magnitud del campo magnético o densidad de flujo
es uniforme dentro del núcleo, entonces:
=B S
Wb
donde S es la sección transversal del núcleo.
B=
N I
lm
Wb
2 (T)
m
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2
Para un núcleo redondo: S =π d =π
4
( R2 −R1 )2
4
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Circuito magnético
Fuerza magnetomotriz
Es la ruta cerrada que sigue un flujo magnético. La
ruta puede pasar por materiales de diferente
permeabilidad magnética. Ejemplos: el núcleo de un
toroide; un electromagneto; un transformador.
Se define como el producto de la corriente y el no. de
vueltas que inducen un campo magnético.
Circuito magnético formado por un núcleo ferromagnético
con un entrehierro de aire
Fmm = NI
(A-vueltas o A-v)
=> en la dirección del campo
Intensidad magnética
Se define como la densidad del campo magnético
dividida entre la permeabilidad magnética del medio.
La permeabilidad del vacío es 1,257 x 10-6 Wb/A-m,
mientras la permeabilidad de un acero para
transformadores dentro del rango de utilización es de
unos 8 x 10-3 Wb/A-m. Hay aleaciones con mucho
mayor permeabilidad magnética que se usan en
aplicaciones de alta tecnología.
B
H=μ
Efecto marginal
H=
NI
l
μN I
l
A−v
m
donde B=
A−v
m
donde N I =F mm
En un entrehierro de un circuito magnético, efecto
marginal es el abultamiento de los lazos de flujo al
cruzar el aire entre las dos caras de material
ferromagnético. Su efecto es disminuir la densidad de
flujo en el entrehierro, ya que la sección S al cruzar el
centro del entrehierro aumenta.
En general:
El efecto marginal debe estudiarse en forma
experimental y gráfica, sin embargo para entrehierros
cortos de longitud LE se puede aproximar así:
Para circuitos magnéticos formados por diferentes
materiales en secciones, siendo cada una uniforme:
H=
d F mm
dl
∫ H dl = F mm
n
F mm=N I =∑1 H j l j
Si las dos caras del núcleo cortadas por el entrehierro
son paralelas y rectangulares iguales de aristas A y B:
SE = (A+LE) (B+LE)
Si las secciones son distintas, A y B son las aristas de
la cara menor y:
Fuerza magnetomotriz neta de un segmento del
circuito magnético
Es la fuerza magnetomotriz producida por una
bobina devanada en el segmento j, menos la caída de
fuerza magnetomotriz que produce dicho segmento.
SE = (A+2LE) (B+2LE)
F mmj =N j I j −H j l j
Para secciones transversales circulares iguales:
SE = π (D+LE)2
Para secciones circulares distintas, D es el diámetro
de la cara menor y:
SE = π (D+2lE)2
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Reluctancia
En un circuito magnético, es la relación entre la
fuerza magnetomotriz y el flujo magnético. La
reluctancia es análoga a la resistencia de un circuito
eléctrico, así como la fuerza magnetomotriz es
análoga al voltaje, y el flujo magnético es análogo al
amperaje.
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Combinaciones de reluctancias y de permeancias
F mm N I
NI
l
R=
=
=
=

BS  N I S  S
l
A−v
Wb
En cada segmento del circuito magnético en serie:
B j l j Bj S jl j
H j l j=
=
=R j 
j
jS j
n
∑
1
n
H j l j = ∑1 R j
Los instrumentos o sensores de reluctancia variable
se basan en la variación del entrehierro de un núcleo
ferromagnético por la acción de un agente mecánico
externo, tal como las ondas sonoras.
Permeancia
El inverso de la reluctancia se llama permeancia.
P=
1
R
Wb
A−v
n
Rserie =∑1 R i
R paralelo=
1
n
∑1
1
Ri
n
P paralelo=∑1 P i
P serie =
1
∑1 P1
n
i
Analogía entre un circuito eléctrico y uno
magnético
Variable eléctrica magnética
Circuito
eléctrico
Circuito
magnético
Resistencia - Reluctancia
R=V/I
R = Fmm / Ø
V=IR
Fmm= Ø R
E=V/L
H = Fmm / L
Corriente - Flujo
I=JS
Ø=BS
Resistencia - Reluctancia
R = L / sS
R = l / µS
Conductancia - Permeancia
G=1/R
P=1/ R
Fuerza (electro) – (magneto)
motriz
Campo eléctrico – Intensidad
magnética
RESUMEN DE MAGNITUDES DE UN CIRCUITO MAGNETICO DE 3 SEGMENTOS
ELECTROMAGNETO DE FORMA “C-I”
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Materiales ferromagnéticos
Son materiales que presentan un alta permeabilidad
magnética y por esa razón son muy utilizados en los
aparatos electromagnéticos. Su permeabilidad no es
lineal sino que depende del grado de magnetización
alcanzado, siguiendo una curva experimental llamada
curva de magnetización.
Curvas de magnetización para 0 < H < 140 A-v/m (Gourishankar)
permeabilidad que los materiales ferromagnéticos
pero mayor linealidad en su curva de magnetización.
Inducción electromotriz
Según los experimentos de Faraday, al mover un
campo magnético cerca de un conductor, o un
conductor cerca de un campo magnético, se produce
una fuerza electromotriz (voltaje) que es proporcional a la variación del flujo magnético total cortado
por el conductor por unidad de tiempo. La dirección
del voltaje inducido es tal que si se permite que
circule una corriente, el flujo inducido por dicha
corriente se opondrá al flujo existente (Ley de Lenz).
v t =−
d
dt
La variación del flujo magnético puede deberse a:
1. El movimiento del elemento que produce el
campo en la proximidad del conductor:
generadores de corriente alterna.
2. El movimiento del conductor dentro del campo,
cortando las líneas de flujo magnético:
generadores de corriente directa.
3. La variación del campo magnético causada por la
corriente alterna: transformadores y motores de
inducción.
4. La variación del campo magnético inducido por la
variación de la corriente que circula en el mismo
elemento: autoinductancia.
Curvas de magnetización para 0 < H < 2250 A-v/m (Gourishankar)
En los dos primeros casos, el análisis de cada
elemento conductor dentro del campo magnético,
deberá tomar en cuenta la velocidad del movimiento,
de manera que:
v (t )=−
dΦ
dd
=−B L
=−B L u(t )
dt
dt
donde d es la distancia transversal recorrida por el
elemento conductor de largo L en un elemento de
tiempo, la cual equivale a la velocidad u(t).
En el tercer caso la velocidad de la variación del
campo magnético dependerá de la frecuencia de la
corriente alterna.
En la construcción de bobinas, solenoides y toroides
que requieran un núcleo de alta permeabilidad
magnética pero a la vez una respuesta lineal, se
utilizan materiales ferrimagnéticos, como la ferrita y
aleaciones más modernas que tienen menor
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Para la última instancia, estudiaremos los conceptos
de inductancia y autoinductancia.
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Inductancia
En un elemento electromagnético, es la relación entre
la variaciones del flujo magnético y la variación de la
corriente enlazada. La causa de esta relación es la
autoinductancia, el efecto que la variación del
propio flujo magnético tiene sobre la corriente que lo
produce. La corriente que circula por una espira
(vuelta) produce un flujo magnético cuya variación
induce un voltaje en las demás espiras de un
embobinado, el cual se opone a la corriente que
circula por la bobina. Cuando no hay variación de la
corriente tampoco varía el flujo y no hay voltaje
inducido. Cuando hay variación, el efecto es una
función de crecimiento o decrecimiento de la
corriente, el flujo magnético, y el voltaje, con
respecto al tiempo
Una corriente I que circula por un embobinado de
longitud media l de N vueltas produce un flujo total
Φ:
N I S
=B S =
(Wb)
l
Por la inducción electromotriz:
v t =−
d
= voltaje inducido en cada vuelta
dt
El signo negativo indica que el voltaje inducido por
el flujo magnético producido por la misma corriente
se opondrá al voltaje externo aplicado.
Para un solenoide de N vueltas:
v (t )=−
Entonces:
L=
v (t )=−L
μN2S
l
NΦ
I
Φ=
(H)
L=
LI
N
ΦN2
F mm
I=
(H)
NΦ
L
Casos especiales (simplificados):
Un solo cable al aire: L=
H
m

8
Dos conductores paralelos:
L=


d
ln Y

a

H
m
a es el radio del conductor y d ≥ 2a es la separación
entre ambos. Y = 0 para corriente sobre la superficie
del conductor (alta frecuencia, efecto de piel), Y =
1/4 para corriente distribuida uniformemente en la
sección del conductor (baja frecuencia). Nótese que a
mayor separación, mayor ln(d/a) y mayor es la
inductancia. Dos conductores muy entrelazados
reducen la autoinductancia al mínimo, como ocurre
en los cables UTP.
Cable coaxial en alta frecuencia:
L=
a1

ln
2  a2
H
m
a1 y a2 son los diámetros exterior e interior del cable.
μ N S di
μ N 2 S di
N dΦ
=−N
=−
dt
l dt
l
dt
llamando inductancia a:
L=
henry (H)
di
dt
Podemos concluir que la inductancia:
• Es proporcional a la permeabilidad magnética del
núcleo
• Es proporcional al cuadrado del no. de vueltas
• Es proporcional a la sección del núcleo
• Es inversamente proporcional a la longitud media
Bobina apretada:
L=
μN2πR
2
H
m
Finalmente, L es una característica que se determina
por medición de cada bobina fabricada dentro de
una tolerancia.
Inductancias comerciales con núcleo de hierro
y con núcleo de ferrita
Y también encontramos:
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20
Aplicaciones de las inductancias
Las inductancias se usan, entre otras cosas, como
reactores (balastros) de lámparas de descarga, filtros
en UPSs, para almacenar energía en fuentes de poder
conmutadas, como circuitos osciladores en conjunto
con condensadores, y muchas otras aplicaciones
electromecánicas (solenoides, motores, generadores).
Esta fuerza debe tomarse en cuenta para el cálculo de
soportes de barras conductoras que puedan conducir
intensidades de corriente muy altas bajo
cortocircuitos.
La fuerza mecánica entre dos conductores paralelos
que lleven la misma corriente pero en sentido
contrario será de repulsión, mientras si la llevan en el
mismo sentido, será de atracción:
Energía almacenada en una inductancia
La energía almacenada en un campo magnético se
puede interpretar como el trabajo necesario para
hacer circular la corriente inductora en el campo
eléctrico del conductor.
dW =v t i t dt =N
dW =N i t d =N it 
d
i t dt
dt
L
di t=L i t di t
N
I
W =L ∫0 i t di t 
1
W = L I2
2
Fuerza magnética sobre cargas en movimiento
Una carga eléctrica en movimiento dentro de un
campo magnético está sujeta a una fuerza (fuerza de
Lorentz) perpendicular a su velocidad y a las líneas
del campo magnético:
f =q v x B
donde:
dl
q v=di dt =di dl
dt
F =I l B=
l I2
(N) en sentido perpendicular
2 d
La fuerza mecánica de un campo magnético sobre un
conductor que lleva corriente es el principio de
funcionamiento de los motores de inducción y de los
altoparlantes.
Fuerzas mecánicas en un circuito magnético
En un circuito magnético con partes móviles se
produce una fuerza mecánica que tiende a acortar la
ruta del campo magnético y a reducir la energía
acumulada en el flujo, produciendo una fuerza de
atracción entre las partes móviles.
Este es el principio de funcionamiento de los
electromagnetos, y de algunos motores eléctricos
como los motores de reluctancia y los motores paso
a paso (step motor).
En el desarrollo supondremos que, para un cambio
muy pequeño (diferencial) de la longitud del
entrehierro, el flujo se mantiene constante.
Electroimán o electromagneto
usado típicamente en contactores
La fuerza total para un conductor de largo l será:
F=I l x B
Dentro de un conductor esta fuerza sobre los
electrones será perpendicular a la longitud del
mismo, y por el equilibrio de las fuerzas subatómicas de la estructura del metal, no podrán
separarse del conductor (excepto que tenderán a
acumularse a un lado, lo que se conoce como efecto
Hall), con el resultado de que la fuerza será ejercida
sobre todo el conductor.
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La energía almacenada en un circuito magnético es:
1
1 N 2Φ 2 1
1 2
2
W= LI =
I = N I Φ= Φ R
2
2 NI
2
2
21
Suponiendo un flujo constante Φ, la fuerza f ejercida
sobre la armadura (parte móvil) del electroimán para
moverla una distancia diferencial dLE será:
f=
dW 1 2 d R
= Φ
d LE 2
d LE
La reluctancia varía sólo en función de LE:
d R=
d LE
μ0 S E
dR
1
=
d L E μ0 S E
Entonces:
2
1 ΦE
f=
2 μ0 S E
En cada entrehierro, la fuerza ejercida será:
f i=
2
i
Si B
2μ 0
Análisis de circuitos con inductancias
Combinación de inductancias
Se puede demostrar que las combinaciones de
inductancias en un circuito eléctrico se comportan en
forma similar a las combinaciones de resistencias, de
manera que:
Dos inductancias en serie:
di
di
v1 (t )=−L1
y v2 (t)=−L2
dt
dt
v (t )=v1 (t )+v 2 (t )=−( L1 +L2 )
n
F=∑1 f i
Cuando LE=0, no hay entrehierro (o es mínimo), B es
máximo, y se produce la fuerza máxima. Se llega a
un tope práctico para una estructura cuando se satura
magnéticamente el acero, cuando H se aproxima a
500 A-v/m. Se considera que para B=1,6 T se llega al
límite teórico con una presión de 106 N/m2.
di
dt
Y como:
v (t)=−L S
Entonces:
L S =L 1+L 2
La fueza mecánica total será la suma de las fuerzas
ejercidas en todos los entrehierros:
di
dt
Para inductancias en paralelo la demostración es más
complicada porque hay que utilizar la ley de las
corrientes de Kirchoff.
En resumen:
En serie:
n
L S =∑1 Li
En paralelo:
n 1
1
= ∑1
LP
Li
2 inductancias en paralelo:
L L
LP= 1 2
L1 +L2
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Circuito de carga R-L
Circuito de descarga R-L
Curva de corriente en el tiempo para un circuito de carga R-L
para t=T1 :
v (0)=V ;
i (0)=0
Curva de corriente en el tiempo para un circuito de descarga R-L
para
t=T1:
v (0)=V ;
i(0)=
V
R
En la inductancia:
v=R i (t ) en la resistencia
v (t )=V −R i (t )
N
v (t )=V −R Φ (t )
L
v=−L
Derivando:
L
dv(t )
N d Φ(t )
N v (t )
=−R
=−R
dt
L dt
L N
di
=−R i(t )
dt
di
R
=− dt
i (t )
L
dv (t )
R
=− dt
v (t)
L
Integrando:
di
en la inductancia
dt
Integrando:
R
R
− t
L
v (t)=v (0) e
=V e
R
− t
L
R
− t
V −v (t ) V
i (t )=
= (1−e L )
R
R
Cuando t → oo, v(t) =0, i(t)=V/R, y la inductancia
actúa como conductor (cortocircuito), mateniendo
energía almacenada como flujo magnético.
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i (t)=
V −L t
e
R
v (t)=V e
R
− t
L
Cuando t → oo, v(t)=0, i(t)=0, la energía almacenada
en la inductancia se ha disipado en la resistencia.
23
Oscilaciones – Circuitos R-L-C
Descarga de un circuito R-L-C en serie
Los circuitos que incluyen inductancias y capacitores
tienden a oscilar al conectarlos y al desconectarlos,
produciendo diferentes tipos de respuesta.
Como ejemplo, observaremos un circuito serie
R-L-C al ponerse en cortocircuito después de haberse
cargado.
Por la ley de las mallas de Kirchhoff
para t > T1: V L+V R +V C =0
di
1
L +Ri+ ∫ idt =0
dt
C
2
d i R di
1
+
+
i=0
2
L dt LC
dt
Si i(t )=K eSt (una función exponencial de t)
usando transformadas de Laplace:
R
1
S 2 K e St+S K e St +
K e St =0
L
LC
R
1
K e St (S 2 +S +
)=0
L LC
R
S =
±
2L
√(
2
)
R
1
R
−
=
±D
2L
LC
2L
Resistencia crítica: R CR=2
√
L
C
Si R<RCR entonces D<0
y tendremos una componente imaginaria
correspondiente a una oscilación con una
1
frecuencia natural: ω 0=
√ LC
Si R=0 la onda es sinusoidal pura
Si D<0, R<RCR la onda es subamortiguada
Si D>0, R>RCR la onda es sobreamortiguada
Si D=0, R=RCR la onda es críticamente amortiguada
Forma de la respuesta de la corriente al descargar un circuito R-L-C
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EJERCICIOS RESUELTOS
1. Calcule la magnitud del campo magnético en el
aire alrededor de un conductor recto solitario que
lleva una corriente continua de 50A a 0,1 mm, 1
mm y 10 mm del conductor, y explique la
dirección del campo. Calcule la inductancia del
conductor.
Aunque el campo magnético es menor por la
distancia media entre cada punto del núcleo y el
conductor, debido al mayor radio R, en el centro
se induce campo magnético por una longitud
proporcionalmente mayor de conductor, y por lo
tanto la autoinductancia es mayor.
B = μ I / 2π r = (1,256x10-6 x 50 / (2 x 3.14159)) /
r = 10.0 x 10-6 / r = Wb / m2
Para r=0,1 mm: B= 10 x 10-6 /10-4 = 0,1 Wb/m2
Para r=1 mm: B= 10 x 10-6 /10-3 = 0,01 Wb/m2
Para r=10 mm: B= 10 x 10-6 /10-2 = 0,001 Wb/m2
4. Calcule la inductancia para un solenoide de 10 cm
de longitud con núcleo de aire formado por 100
vueltas y con diámetro de a) 1 cm b) 2,5 cm.
El campo magnético sigue la dirección de las
agujas del reloj viendo al conductor desde el
extremo donde se origina la corriente positiva
(regla de la mano derecha).
L = μ / 8 π = 4 π x 10-7 / 8 π = 0,05 μH / m
2. Calcule la inductancia de dos conductores iguales
de 4 mm de diámetro, paralelos, en baja
frecuencia, separados el doble de su diámetro:
L = (μ / π) ((ln(d/a)+1/4)=(4π x10-7 / π) x((ln(d/a)
+1/4)=4 x10-7 (ln (0,008/0,004) + 0,25)
=0,377 μH / m
3. Calcule la magnitud del campo magnético en el
centro de una bobina apretada con núcleo de aire
de 100 vueltas que lleva una corriente de 0,1A,
con un radio medio de a) 1.25 cm b) 5 cm.
B = μ N I / 2 R = 1,256x10-6 x 100 x 0,1 / 2Rm
= 6,285 x 10-6 / Rm Wb / m2
a) B=6,285x10-6/(1,25x10-2)=0,503x10-3 Wb / m2
b) B=6,285x10-6/(5x10-2) = 0,126 x 10-3 Wb / m2
Calcule la inductancia en cada caso. Explique por
qué la diferencia.
L = μ N2 π R / 2
para una bobina apretada
a) L=1,256x10-6x1002x1,25x10-2x3,1416/2
= 247 μH
b) L=1,256x10-6x1002 x5x10-2 x3,1416/2
= 987 μH
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L = μ N2 S / l = μ N2 π R2 / l
a) L=1,256x10-6x1002x3,1416x((1/2)x10-2)2/0,1
= 9,87 μH
b) L=1,256x10-6x1002x3,1416x((2,5/2)x10-2)2/0,1
= 61,7 μH
5. Calcule la inductancia para un toroide de 5 cm de
radio medio con núcleo de aire formado por 100
vueltas y con radio del núcleo de a) 0,5 cm, b) 1
cm
L = μ N2 π r2 / 2 π R = μ N2 r2 / 2 R
a) L=1,256x10-6x1002x(0,5 x10-2)2 /0,1= 3,14 μH
b) L=1,256x10-6x1002x(1 x10-2)2 /0,1 = 12,6 μH
6. Calcule la inductancia y el campo magnético para
1 mA en el toroide anterior si el núcleo es de
ferrita con una permeabilidad magnética de 8 x
10-4 , como los usados en alta frecuencia.
a) L = 8 x 10-4 x 1002 x (0,5 x10-2)2 / 0,1 = 2 mH
B = μNI / 2π R = 8 x 10-4 x 100 x 10-3 / 2 /
3,14159 / (5 x10-2) = 2,55 x 10-4 Wb / m2
b) L = 8 x 10-4 x 1002 x ( 10-2)2 / 0,1 = 8 mH
B = μNI / 2π R = 8 x 10-4 x 100 x 10-3 / 2 /
3,14159 / (5 x10-2)= 2,55 x 10-4 Wb / m2
La densidad de flujo no depende de la sección,
únicamente de la permeabilidad, la fuerza
magnetomotriz y la longitud del solenoide o
toroide.
7. Un
núcleo
cuadrado
de
acero
para
transformadores tiene una sección de 15 x 15 cm,
y cada lado una longitud exterior de 80 cm. Se
desea que una bobina en uno de los brazos
produzca un campo magnético (densidad de flujo)
de 0,5 Wb/m2. Dibuje el núcleo y calcule la fuerza
magnetomotriz necesaria, y el flujo total.
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8. ¿Cuál es el voltaje inducido en la bobina de 9,2 H
si se hace pasar una corriente “de rampa” que
crece o decrece linealmente a razón de 0,5A cada
1/60 seg?
V = L di/dt
V = 9,2 x 0,5 x 60 = 276 V
Repita el cálculo del voltaje inducido si no hay
entrehierro y la bobina tiene 1638 vueltas con
igual crecimiento de la corriente.
Lm = (0,80 - 0,15/2 – 0,15/2) x 4 = 2,60 m
De la curva de magnetización:
para B = 0,5 Wb/m2 , H = 70 A-v/m
Fmm = H Lm = 70 x 2,60 = 182 A-v
Φ = B S = 0,5 x 0,15 x 0,15 = 0,01125 Wb
Repita el cálculo introduciendo un entrehierro de 1
cm de espesor. Supondremos que el efecto marginal
del entrehierro incrementa cada arista del entrehierro
en una longitud igual a su espesor, o sea en 1 cm.
L = N2 Φ / Fmm
L = 1638 x 1638 x 0,01125 / 182 = 166 H
V = L di/dt
V = 166 x 0,5 x 60 = 4.975 V
Esta es la razón de la importancia de que el
entrehierro en un generador o en un motor sea lo
más pequeño que la tecnología mecánica
permita.
Para fabricar inductancias de gran tamaño se
usan también entrehierros que, aunque
disminuyen el valor de la inductancia, mejoran
notablemente la linealidad del inductor afectada
por la histéresis del material ferromagnético.
La=2,60-0,01=2,59 m
Sección del entrehierro de 1 cm de espesor: S e =
(0,15+0,01)2 = 0,0256 m2
B en el entrehierro: Be = Φ / Se = 0,01125 / 0,0256
= 0,439 Wb/ m2
He=Be / μ=0,439/1,256 x 10-6 = 349.600 A-v/m
Fmm=Ha La+ He Le = 70 x 2,59 + 349.600 x 0,01=
3.677 A-v
9. Calcule la frecuencia natural de una inductancia
de 10 mH en paralelo con una capacitancia de
100uF.
ω0 = 1 / √LC = 1 / √10 x 10-3 x 500 x 10-6 = 447
radianes/seg
f = ω0 /2π = 71 Hz
10.Calcule la fuerza en un electroimán tipo E para un
acero con µ = 2000 µ0 (suponiendo µ constante)
si la Fmm es de 250 A-v para a) c=0, b) c=1 mm,
c) c=5 mm. Desprecie el efecto marginal.
Calcule la inductancia y la corriente para
a) N=164
b) N=1638
L = N2 Φ / Fmm
I = Fmm / N
a) L = 164 x 164 x 0,01125 / 3275 = 0,092 H
I = 3275 / 164 = 20 A
b) L = 1638 x 1638 x 0,01125 / 3275 = 9,2 H
I = 3275 / 1638 = 2 A
Electrotecnia – Parte 2 – Prof. Ing. Horacio Fabres – Octubre 2011
Dividimos el flujo magnético en 2 ramas, una por
cada lateral, de manera que la longitud media
efectiva va a ser la de una rama, pero el área será
el doble, consiguiéndose 2 entrehierros.
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Be = Φ / S = Fmm / RS = NI / RS
R=Rn + Re = μ Ln / S + μ0 Le / S
F=SBe2 / 2μ0 =(S / 2μ0) (N I)2 / (Ln / μ + 2c / μ0)2
Ln = 3 -0,5 + 3 - 0,5 – 0,5 + 3 – 0,5 + 0,5 + 0,5
+ 3 – 0,5 – 0,5 = 10 cm = 0,1 m
La sección del núcleo será la de dos ramas o la
del centro: S = 1 x 2 = 2 cm2 = 0,0002 m2
La sección del entrehierro será la misma del
núcleo.
La longitud del entrehierro será Le = 2c, ya que
hay 2 entrehierros, el centro y los laterales en
conjunto.
La permeabilidad del hierro será 2000 x 1,257 x
10-6 = 0,002514
(S / 2μ0) (N I)2 = 2x10-4 x 2502 / 2 / 1,256 / 10-6 =
4,972 x 106
a) F= 2 x 4,972 x 106 / 0,12 x 0,0025142
= 6.284 N ≈ 640 Kg
b) F = 2 x 4,972 x 106 / (0,1/ 0,002514 + .002 /
0,000001257)2 = 3,74 N
c) F = 2 x 4,972 x 106 / (0,1 / 0,002514 + .01 / .
000001257)2 = 0,154 N
11. Circuito magnético con doble excitación
Cálculo de flujos en circuito magnético con 3 brazos: Izquierdo-Central-Derecho, bobinas I y D
y entrehierro en el brazo C.
Intensidades magnéticas iguales:
F mm I− H I L I = H CH L CH  H CE L CE =F mm D− H D L D
Convirtiendo a fuerza magnetomotriz neta:
F mm C = H CH LCH  H CE LCE
H I L I = F mmI − F mmC
Suma de flujos:
y
H D L D= F mm D− F mmC
 C = I  D
F mmC F mm I − F mm C F mm D− F mmC
=

RC
RI
RD
F mmC R I R D= F mm I − F mm C  R C R DF mm D− F mmC  RC R I
F mmC =
F mm I R C R D F mm D RC R I
R I R D R C R I  RC R D
Ya se pueden calcular BC , H I y H D y los flujos
Electrotecnia – Parte 2 – Prof. Ing. Horacio Fabres – Octubre 2011
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12.Dibuje circuitos equivalentes al de la figura para
t=0 y para t  oo. Formule el voltaje y la
corriente en R1, R2, R3, R4, C1, C2, L1 Y L2 en
cada caso, en función de V y R1-R4.
VL1=VL2=VR3
IR2=0
IR3=VR3 / R3
IR4 = 0
IC1=IR3
IC2=IR3
Circuito propuesto
Circuito equivalente cuando t → oo – C1 cargado, R3 y R4 no
conducen corriente y tienen voltaje igual a cero, C2 no tiene
voltaje ni carga
Circuito equivalente cuando t=0 – C1 y C2 son un cortocircuito,
L1 y L2 son un circuito abierto
IR1=IR2=V/(R1+R2)
IC1=0
VR1=IR1 R1
VR2=IR2 R2
VC1=VR2
VC2=0
VL1=0
VL2=0
IR1=V/(R1 + R3)
VR1=IR1 R1
VR2=0
VR4=0 VR3=V-VR1
VC1=0 VC2=0
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