Respuesta en frecuencia Respuesta en frecuencia

Respuesta en frecuencia
• Función periódica es aquella que
cumple que x(t+T)=x(t) (fo=1/T)
• Cualquier función periódica puede
expresarse como suma de funciones
seno y coseno de frecuencia f=n•fo
Respuesta en frecuencia
• Cualquier función periódica puede
expresarse como suma de funciones
seno y coseno de frecuencia f=n•fo
x(t)=∑n [ansin(nωt)+bncos(nωt)]
1
F(t)=a0sin(wt)+b0cos(wt)+a1sin(2wt)+b1cos(2wt)+
a3sin(3wt)+b3cos(3wt)+a4sin(4wt)+b4cos(4wt)+..
-1,27
0
0
0
-0,424
0
0
0
F(t)=-1,27sin(wt)-0,424sin(3wt)-0,254sin(5wt)0,1819sin(7wt)-0,1414sin(9wt)-0,11sin(11wt) …
2
Transformada de Fourier
an
Frecuencia
Coeficientes bn=0
Función de transferencia
Un circuito lineal estará definido por una
función de transferencia dependiente de la
frecuencia de la señal de entrada H(s=jω)
3
Función de transferencia
PROPIEDAD
vIN
H(jw)
vOUT
Amplitud
Fase
Frecuencia
A
ø
!
|H(!)|
ß(!)
A•|H(w)|
ø+ß
!
Ejemplo: Circuito RC
1
1
C
# = VIN
VOUT = VIN
= V$ø
1
1+ jRC#
1+ R 2C 2# 2 $"arctan( RC# )
R" j
C#
1
vOUT (t) = Vo
cos[#t + ø " arctan( RC# )]
1+ R 2C 2# 2
"j
!
4
Ejemplo: Circuito RC
H( j" ) =
1
1+ jRC"
!
H( j" ) =
VOUT
1
= H #ß =
VIN
1+ R 2C 2" 2 #$arctan ( RC" )
VOUT = Vo H #ø+ ß vOUT (t) = Vo H cos["t + ø + ß ]
vOUT (t) = Vo
1
1+ R 2C 2" 2
cos["t + ø $ arctan( RC" )]
!
Circuito RL
H( j" ) =
VOUT
= R + jL" = H #ß = R 2 + L2" 2 # arctan ( L" / R )
IIN
VOUT = Io H #ø+ ß vOUT (t) = Io H cos["t + ø + ß ]
vOUT (t) = Io R 2 + L2" 2 cos["t + ø + arctan(L" /R)]
!
5
Variación en frecuencia
• En función de la frecuencia de
excitación ω:
– Varían las impedancias capacitativas e
inductivas del circuito (jωL i -j/(Cω) )
– Varia por tanto H(jω)
• Varia el módulo |H| y por tanto la amplitud de
la señal de salida
• Varia la fase β de H y por tanto la fase de la
señal de salida
Representación de H(jω)
• H(jω)=|H|<ß
|H| representa la atenuación/amplificación de la
señal
ß representa el desfase de la salida
Representación completa con frecuencias:
|H(ω)|
ß(ω)
6
Representación logarítmica
de H(jω)
Octava: Multiplicación por dos
Década: Multiplicación por 10
Posibles funciones |H(jω)|
7
Ejemplo de aplicación
Circuito RC
H(s) =
H =
!
VOUT
1
1
1
=
" H(s = j# ) =
#p =
VIN 1+ sRC
1+ j# /# p
RC
1
1+ # 2 # 02
$ = %arctan(# # 0 )
H(s) presenta un polo p=-1/RC. Definiemos la frecuencia de
polo ωp como ωp =-p=1/RC
8
Circuito RC: Módulo
Aproximación de Bode: A partir del polo, la función
decae a razón de una década de |H| (ó 20 dB) por cada
década de frecuencia
Mayor divergencia: En el polo |H| decae a |H(0)|/√2
(baja 3dB)
Circuito RC: Desfase
Aproximación de Bode: Inicialmente el desfase es cero (fase para ω=0),
a partir de una década anterior al polo 0.1ωp el desfase empieza a
decrecer a razón de -45˙ por década. Una vez bajados 90˙ (una década
posterior al polo 10ωp) la función se hace constante
9
Filtro
pasa-bajos
VOUT
K
=
VIN
s+"
K
T(s = j# ) =
" + j#
T(s) =
T =
K /"
2
1+ # "
2
=
T(0)
1+ # 2 " 2
$ = %K & arctan(# " )
!
Problema propuesto 4.7
Dibujar el diagrama de Bode de
un circuito LR (módulo y fase)
10
Representación de la función
de transferencia
POLO
|H|
ß
CERO
A partir del Polo !p A partir del cero !z
-1 Década/década
+1 Década/década
Desciende 90˙
Incrementa 90˙
durante dos décadas durante dos décadas
alrededor del polo
alrededor del cero
H(s) = K
( s + " z1 )( s + " z2 )( s + " z3 )...(s + " zn )
(s + " )(s + " )(s + " )...(s + " )
p1
p2
p3
pm
m Polos # " p1, " p 2 , " p 3 ,...," pm
n Ceros # " z1, " z 2 , " z 3 ,...," zn
!
Representación de la función
de transferencia
POLO
|H|
Div.
ß
CERO
A partir del Polo !p A partir del cero !z
-20 dB/década
+20 dB/década
Función cae 3dB
Función sube 3dB
Desciende 90˙
Incrementa 90˙
durante dos décadas durante dos décadas
alrededor del polo
alrededor del cero
H(s) = K
( s + " z1 )( s + " z2 )( s + " z3 )...(s + " zn )
(s + " )(s + " )(s + " )...(s + " )
p1
p2
p3
pm
m Polos # " p1, " p 2 , " p 3 ,...," pm
n Ceros # " z1, " z 2 , " z 3 ,...," zn
!
11
Circuito CR
R
V2 = V1
1
Cs
R
RCs
H (s) =
=
1
1+ RCs
R+
Cs
j"RC
H (s = j" ) =
1+ j"RC
R+
Un cero en ωz=0 y un polo en ωp=1/RC
!
Circuito CR
H(s) =
s
1
s+
RC
"
j#
Un cero en ωz=0 y un polo en ωp=1/RC
1 Para ω=0 tenemos que |H|=0
j# +
RC Para ω=∞ tenemos que |H|=1
!
12
Filtro
pasa-alta
VOUT
s
=K
VIN
s+"
j#
T(s = j# ) = K
" + j#
#
#
T =K
= T($)
2
2
2
" +#
" + #2
T(s) =
% = &K + ' 2 ( arctan(# " )
!
Filtro
pasa-banda
13
Ancho de banda:
BW=wp2-wp1
Factor calidad
Q=f/BW
Filtro
pasa-banda
Si R = RL = RC
V
R
H(s) = OUT =
VIN
L
s
"R
1 % 2
s2 + s$ +
'+
# L RC & LC
!
14
Filtro
pasa-banda
RC = RL = R = 50" C = 20nF L = 0.1H
V
500s
H(s) = OUT = 2
VIN
s + 10 6 s + 10 9
# p1 = 10 3
# p 2 = 10 6
!
Problema
propuesto 4.8
RC = RL = R = 50" C = 20nF L = 0.1H
Dibujar el diagrama de Bode de H * (s)
V + VL
H * (s) = OUT
VIN
!
15
VOUT
=
VIN
500 j"
=
#" 2 + 10 6 j" + 10 9
H( j" ) =
G(0) = (H( j" ) j" ) * j" p = 5 •10#4
lim " $0
" p1 = 10
3
" p 2 = 10 6
!
Corta-banda
# 1
s &
H(s) = K %
+
(
$ s + " p1 s + " p 2 '
) s ,2
/
+ . + 2 s+1
"0
*" H(s) = K" 0 0
(s + " p1)(s + " p 2 )
K=
R2
" p1 = 1 R2C2 " p 2 = 1 R1C1
R1
"0 = 1
R1C1R2C2
!
16