Módulo de Estudio Tema 3

UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL
“FRANCISCO DE MIRANDA”
ÁREA DE TECNOLOGÍA
DEPARTAMENTO DE GERENCIA
UNIDAD CURRICULAR: INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES
PROFESOR: JUAN LUGO MARÍN
Tema No. 3
Métodos de Resolución de Modelos de Programación
Lineal.
Introducción
En este material se presentan los detalles de los métodos empleados
para resolver Modelo de Programación Lineal. Inicialmente se explica
el Método Gráfico que, aún cuando tiene severas limitaciones para su
aplicación, ya que está basado en una geometría plana, resulta
conveniente para ilustrar muchos de los elementos importante de los
modelos de programación lineal. Aunque la geometría plana se limita
a un caso muy restringido, es fácil de manejar y mucho de los
conceptos generales que se aplican a modelos de dimensiones
superiores pueden ser conectados con los esquemas bidimensionales.
La columna vertebral de este tema es presentar detalladamente el
método simplex, que es un método algebraico que puede resolver
cualquier problema de programación lineal. La información que pueda
obtenerse con el método simplex, va más allá de la determinación de
los valores óptimos de las variables y de la función objetivo. De
hecho, la solución simplex proporciona interpretaciones económicas y
resultados del análisis de sensibilidad, como se verá con mayor
detalle en el Tema 4.
Los economistas de la antigua Unión Soviética fueron los primeros en
aplicar las técnicas de la programación lineal en la organización y
planificación de la producción. Sin embargo, fue durante la Segunda
Guerra Mundial cuando la programación lineal adquirió importancia. La
Fuerza Áerea de los Estados Unidos creó el proyecto SCOOP (Scientific
1
Computation of Optima Programs) dirigido por G. B. Dantzig . El método
más conocido para resolver problemas de programación lineal, el método
simplex, es debido a Dantzig, quien lo introdujo en 1947. Afortunadamente,
el crecimiento de la capacidad de cálculo
de los computadores ha permitido el uso de las técnicas desarrolladas en
problemas de gran dimensión.
Durante las
últimas décadas se ha dedicado mucho trabajo e
investigación a los problemas de programación lineal (PPL). Mientras
que la implementación
del método simplex ha sufrido modificaciones
importantes, los conceptos fundamentales no han variado.
El Método Gráfico
El método gráfico de solución para problemas lineales representa una manera
útil de resolver problemas lineales con dos variables de decisión; para modelos con
tres o más variables de decisión el método gráfico es impráctico o imposible. No
obstante podemos deducir conclusiones generales del método gráfico que servirán
como base para el método simplex que veremos más adelante.
Para la solución gráfica de programas lineales con dos variables, lo que se
tiene que hacer es trazar un eje de coordenadas cartesianas, para graficar las
desigualdades dadas por el problema, después encontrar el Área de Soluciones
Factibles y proceder a graficar la función objetivo para conocer el valor óptimo
(maximizar o minimizar) que será la solución del problema.
Ejemplo: Problema de mezcla de productos.
Un fabricante está tratando de decidir sobre las cantidades de producción para dos
artículos: mesas y sillas. Se cuenta con 96 unidades de material y con 72 horas de
mano de obra. Cada mesa requiere 12 unidades de material y 6 horas de mano de
obra. Por otra parte, las sillas usan 8 unidades de material cada una y requieren 12
horas de mano de obra por silla. El margen de contribución es el mismo para las
mesas que para las sillas: $5.00 por unidad. El fabricante prometió construir por lo
menos dos mesas.
Paso 1: formulación del problema.
El primer paso para resolver el problema es expresarlo en términos matemáticos en el
formato general de PL. ¿Cuál es el objetivo? Es maximizar la contribución a la
2
ganancia. Cada unidad de mesas o sillas producidas contribuirá con $5 en la
ganancia. Así las dos alternativas son la producción de mesas y la producción de
sillas. Ahora puede escribirse la función objetivo:
Maximizar Z = 5x1 + 5x2
en donde:
x1 = número de mesas producidas
x2 = número de sillas producidas
¿Cuáles son las restricciones o limitaciones del problema? Existen tres restricciones.
Primero, el material está limitado a 96 unidades. Cada mesa se lleva 12 unidades de
material y cada silla usa 8 unidades. La primera restricción es, entonces:
12x1 + 8x2 <= 96
La segunda restricción es el total de horas de mano de obra. Una mesa se lleva 6
horas, una silla 12 horas y se dispone de un total de 72 horas. Así:
6x1 + 12x2 <=72
Existe una limitación más. El fabricante prometió producir por lo menos dos mesas.
Esto puede expresarse como:
x1 >= 2
Por último, las restricciones de no negatividad son:
x1 >= 0, x2 >= 0
Poniendo todo junto el modelo se tiene:
Maximizar
Z = 5x1 + 5x2
Restricciones: 12x1 + 8x2 <= 96
6x1 + 12x2 <= 72
x1 >= 2
x1 >= 0, x2 >= 0
3
Paso 2: gráfica de las restricciones.
El siguiente paso en el método gráfico es dibujar todas las restricciones en una gráfica.
Esto puede hacerse en cualquier orden. Por conveniencia se comenzará con las
restricciones de no negatividad. Éstas se muestran en la siguiente figura:
En esta gráfica, una solución se representaría por un punto con coordenadas x1
(mesas) y x2 (sillas). Las coordenadas representarían las cantidades de cada artículo
que se deben producir. El cuadrante superior derecho se llama Región Factible puesto
que es el único cuadrante en que pueden estar las soluciones. Los otros tres
cuadrantes no son factibles, ya que requerirían la producción de cantidades negativas
de mesas o de sillas o de ambas.
La siguiente restricción es x1 >= 2. La manera más sencilla de dibujar las restricciones
de recursos es en dos pasos: (1) convertir una desigualdad en una ecuación y graficar
la ecuación y (2) sombrear el área apropiada arriba y abajo de la línea que resulta en
el paso 1. Convertir una igualdad en una ecuación aquí significa ignorar la parte de
“mayor que” o “menor que” de la restricción.
Así, en el ejemplo, x1 >= 2 se convierte en x1 = 2. Esta ecuación está trazada en la
siguiente figura:
4
Cualquier punto en la línea x1 = 2 satisface la ecuación. Sin embargo, la restricción es
más amplia, ya que cualquier punto x1 > 2 también la cumplirá. Esto incluye todos los
puntos que están a la derecha de la línea x1 = 2. Entonces, la región factible incluye
todos los valores de x1 que están sobre o a la derecha de la línea x1 = 2.
La limitación sobre las horas de mano de obra es la siguiente restricción. Como antes,
primero se convierte en una ecuación: 6x1 + 12x2 = 72. Puede graficarse esta línea si
se encuentran dos puntos sobre ella. El par de puntos más sencillos de localizar son
las intersecciones con los ejes X1 y X2. Para encontrar la intersección con el eje X2 se
hace x1 = 0. La ecuación se reduce, entonces, a:
12x2 = 72
x2 = 6
La intersección con el eje X1 se encuentra haciendo x2 = 0. Así:
6x1 = 72
x1 = 12
Estos dos puntos y la línea que los une se muestran en la siguiente figura:
5
Cualquier punto que está sobre o abajo de esta línea cumplirá con la restricción.
Cualquier punto arriba de esta línea requerirá más de 72 horas de mano de obra y no
es aceptable. En la siguiente figura se combina esta restricción con la anterior. En la
región factible, ambas restricciones se cumplen.
La última restricción es la de material. Siguiendo el procedimiento anterior, primero se
encuentran las intersecciones para la igualdad. Éstas son x1 = 0, x2 = 12 y x1 = 8, x2
=0. Se localizan los dos puntos en la gráfica; se traza la línea, y como la restricción es
del tipo menor o igual que, se sombrea el área que está abajo de la línea. El resultado
se muestra en la siguiente figura:
6
Cualquier solución que esté en la frontera o dentro del área sombreada cumplirá con
todas las restricciones. Ahora se utilizará la función objetivo para seleccionar la
solución óptima.
Paso 3: obtención de la solución óptima: líneas de indiferencia.
Para encontrar la solución óptima, se grafica la función objetivo en la misma gráfica de
las restricciones. La función objetivo en este problema es Z = 5x1 + 5x2. Como todavía
no se conoce el máximo valor factible de Z, no puede trazarse el óptimo de la función
objetivo. No obstante, es posible suponer algunos valores para Z y graficar las líneas
resultantes. En la siguiente figura se muestran las líneas para Z = 25 yZ = 50:
Las líneas de este tipo se llaman líneas de indiferencia, porque cualquier punto sobre
una línea dada da la misma ganancia total. Nótese que la distancia perpendicular del
origen a la línea aumenta al aumentar el valor de Z. También, todas las líneas de
indiferencia son paralelas entre sí. Estas propiedades gráficas pueden usarse para
resolver el problema.
7
En la siguiente figura, se ilustran todas las restricciones y las dos líneas de indiferencia
supuestas. En la gráfica puede observarse que la línea de indiferencia para Z = 50
está completamente fuera de la región factible. Para Z = 25, parte de la línea cae
dentro de la región factible. Por tanto, existe alguna combinación de x1 y x2 que
satisface todas las restricciones y da una ganancia total de $25. Por inspección, puede
observarse que hay ganancias más altas que son factibles.
Imaginando que la línea de indiferencia Z = 25 se mueve hacia la línea Z = 50, de las
propiedades de la gráfica que se hicieron notar antes, el punto óptimo estará sobre la
línea de indiferencia más lejana al origen pero que todavía toque la región factible.
Esto se muestra en la siguiente figura:
Con el punto óptimo localizado gráficamente, la única tarea que queda es encontrar
las coordenadas del punto. Nótese que el punto óptimo está en la intersección de las
líneas de restricción para materiales y horas de mano de obra. Las coordenadas de
este punto se pueden encontrar resolviendo el sistema de ecuaciones que forman
estas dos restricciones utilizando cualquiera de los métodos de solución (suma y resta,
8
sustitución o igualación). Las coordenadas de este punto resultan ser (6, 3). La
sustitución de este punto en la función objetivo da la ganancia máxima:
Z = 5(6) + 5(3) = $45
Observación: Otra forma de encontrar el óptimo es determinando cada una de las
soluciones asociadas a los vértices de la región factible (Soluciones básicas) y
sustituyendo esos valores en la Ecuación Objetivo a objeto de evaluar y determinar la
solución básica que arroja el mejor valor objetivo (Solución Óptima)
Resumen del método gráfico.
Para resolver gráficamente problemas de programación lineal:
1. Exprésense los datos del problema como una función objetivo y restricciones.
2. Grafíquese cada restricción.
3. Localícese la solución óptima.
Uso del método gráfico para minimización.
Consideremos un Problema de PL en el cual el objetivo es minimizar costos.
La solución del problema de minimización sigue el mismo procedimiento que la de
problemas de maximización. La única diferencia es que ahora se quiere el menor valor
posible para la función objetivo. Supóngase que se tiene el siguiente problema:
Ejemplo: Problema de dieta.
Un comprador está tratando de seleccionar la combinación más barata de dos
alimentos, que debe cumplir con ciertas necesidades diarias de vitaminas. Los
requerimientos vitamínicos son por lo menos 40 unidades de vitamina W, 50 unidades
de vitamina X y 49 unidades de vitamina Y. Cada onza del alimento A proporciona 4
unidades de vitamina W, 10 unidades de vitamina X y 7 unidades de vitamina Y; cada
onza del alimento B proporciona 10 unidades de W, 5 unidades de X y 7 unidades de
Y. El alimento A cuesta 5 pesos/kilogramo y el alimento B cuesta 8 pesos/kilogramo.
Paso 1: formulación del problema.
La meta en este problema es encontrar la manera menos costosa para satisfacer las
necesidades vitamínicas. Las dos alternativas disponibles son los alimentos A y B.
Matemáticamente la función objetivo es:
Minimizar Z = 5A + 8B
9
Las restricciones son los requerimientos mínimos de las tres vitaminas. Éstas se
muestran enseguida:
Restricciones: 4A + 10B >= 40 vitamina W
10A + 5B >= 50 vitamina X
7A + 7B >= 49 vitamina Y
A >= 0, B >= 0 no negatividad
Paso 2: gráfica de las restricciones.
El procedimiento para graficar es el mismo que se usó antes: (1) graficar cada
ecuación de restricción; (2) graficar el área apropiada. Para la primera restricción la
ecuación es 4A + 10B = 40. Las dos intersecciones con los ejes son (0,4) y (10,0).
Esta línea se muestra en la siguiente figura:
La restricción pide 40 unidades o más de la vitamina W. Cualquier punto que esté
arriba de la línea de restricción será factible y todos los puntos que quedan abajo de
esa línea serán aceptables. En la siguiente figura se muestra la región factible:
10
Después se grafica la restricción para la vitamina X. La ecuación 10A + 5B = 50 tiene
intersecciones con los ejes en (0,10) y (5,0). En la siguiente figura se ilustran las
restricciones para las vitaminas W y X. Nótese que las soluciones que quedan en las
áreas a o b no son factibles, ya que quedarían abajo de las líneas de restricción.
Al agregar la tercera restricción, este segundo paso queda terminado, como se
muestra en la siguiente figura:
11
Paso 3: localización de la solución óptima.
En la siguiente figura se muestra la frontera extrema más dos líneas de indiferencia,
las de Z = 40 pesos y Z = 60 pesos. La frontera extrema está formada por los puntos
a, b, c y d, puesto que éstos son los puntos de intersección factibles más cercanos al
origen.
Gráficamente, el objetivo de minimizar el valor de Z significa ajustar una línea de
indiferencia tan cerca del origen como sea posible. En la figura anterior puede
observarse que existen muchas soluciones posibles para Z = 60, pero ninguna para Z
= 40. Imaginando mover la línea Z = 60 hacia el origen, el último punto de contacto con
12
la frontera extrema será el punto b. Entonces, el punto b es la solución óptima. En la
figura anterior se observa que el punto b es la intersección de dos líneas:
(1) 4A + 10B = 40
(2) 7A + 7B = 49
Resolviendo el sistema de ecuaciones:
Multiplíquese la ecuación (1) por 7:
(3)
Multiplíquese la ecuación (2) por – 4:
28A + 70B = 280
(4) –28A – 28B = –196
42B = 84
B= 2
Sustitúyase en la ecuación (1):
4A + 10(2) = 40
A= 5
La solución menos costosa es 5 kilogramos de alimento A y 2 kilogramos de alimento
B. El costo total de esta combinación es:
Z = 5A + 8B = 5(5) + 8(2) = 25 + 16 = 41 pesos
Si se usa el método de prueba y error para localizar la solución óptima, se deben
encontrar las coordenadas de los puntos a, b, c, y d. Se debe calcular después el valor
de la función objetivo para cada punto. A continuación se muestran los resultados de
este procedimiento:
Resultados de prueba y error
Punto
Coordenadas
Z = 5A + 8B
A
A = 10, B = 0
50
B
A = 5, B = 2
41 menor
C
A =3, B = 4
47
D
A = 0, B = 10
80
13
CASOS POSIBLES DE SOLUCIÓN EN LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE
PROGRAMACIÓN LINEAL.
Soluciones Factibles
Si existe el conjunto de soluciones o valores que satisfacen las
restricciones. A su vez, pueden ser:
Con solución única
En una urbanización se van a construir casas de dos tipos: A y B. La
empresa constructora dispone para ello de un máximo de 1800 millones de
pesetas, siendo el coste de cada tipo de casa de 30 y 20 millones,
respectivamente. El Ayuntamiento exige que el número total de casas no
sea
superior
a
80.
Sabiendo que el beneficio obtenido por la venta de una casa de tipo A es 4
millones y de 3 millones por una de tipo B, ¿cuántas casas deben
construirse de cada tipo para obtener el máximo beneficio?
•
Variables: x = nº de casas tipo A ; y = nº de casas tipo B
•
Función objetivo: Maximizar Z = f(x,y) = 4x + 3y
•
Conjunto de restricciones: El coste total 30x + 20y
Ayuntamiento impone x + y
Tiene
por
región
80 . De no negatividad: x
factible
la
región
1800 . El
0,y
0.
coloreada.
Si hallamos los valores de la función objetivo en cada uno de los vértices :
f(O) = f(0,0) = 0 ; f(C)=f(60,0) = 240 ;f(D) = f(20,60) = 260 ; f(E) = f(0,80) =
240
La solución es única, y corresponde al vértice para el que la función
objetivo toma el valor máximo. En este caso es el vértice D(20,60). Por
tanto se deben construir 20 casas de tipo A y 60 de tipo B con un coste de
260 millones de pesetas.
Con
solución
Si existe más de una solución óptima.
múltiple:
Maximizar la función Z = f(x,y) = 4x + 2y sujeta a las restricciones 2x + y
4,x-y
1,x
0,y
0.
Los valores de la fucnión objetivo en cada uno de los vértices son:
f(O)=f(0,0) = 0 , f(A) = f(1,0) = 4 ; f(B)=f(5/3,2/3) = 8 , f(C) = f(0,4) = 8
La función objetivo alcanza el valor máximo en los vértices B y C, por tanto,
14
en
todos
los
puntos
del
segmento
BC.
Hay infinitas soluciones, solución múltiple, que corresponden a los puntos
del
segmento
situado
entre
dos
vértices
de
la
región
factible.
En estos casos, como ya vimos en el capítulo anterior, la función objetivo
es paralela a una de las restricciones.
Con
solución
Cuando no existe límite para la función objetivo
no
acotada
Maximizar la función Z = f(x,y) = x + y sujeta a las restricciones y
2x , y
x/2 .
Tiene por región factible la zona coloreada que aparece en la figura, que es
una
región
no
acotada.
La función crece indefinidamente para valores crecientes de x e y.
En este caso no existe un valor extremo para la función objetivo, por lo que
puede
decirse
que
el
problema
carece
de
solución.
Para que
suceda esta situación la región factible debe estar no acotada.
No factibles
Cuando no existe el conjunto de soluciones que cumplen las restricciones,
es decir, las restricciones son inconsistentes.
Maximizar la función Z = f(x,y) = 3x + 8y sujeta a las restricciones x + y
,x+y
2,x
0,y
6
0.
No existe la región factible, ya que las zonas coloreadas que aparecen en
la figura son únicamente soluciones de alguna de las inecuaciones .
Por tanto, el conjunto de soluciones del sistema de desigualdades no
determina
ninguna
región
factible.
Este tipo de problemas carece de solución.
15
El Método Simplex
El método gráfico presentado anteriormente demuestra que la solución óptima de un
modelo de PL está siempre asociada a un punto extremo o esquina del espacio de
soluciones.
Esta idea conduce precisamente a la creación del método simplex.
Básicamente lo que hace el método simplex es trasladar la definición geométrica del
punto extremo a una definición algebraica.
El método simplex constituye un procedimiento iterativo que permite ir mejorando la
solución a cada paso. El proceso concluye cuando no es posible seguir mejorando
más dicha solución. Mas detalladamente tenemos que partiendo del valor de la función
objetivo en un vértice cualquiera, el método simplex consiste en buscar sucesivamente
otro vértice que mejore al anterior. La búsqueda se hace siempre a través de los lados
del polígono (o de las aristas del poliedro, si el número de variables es mayor). Cómo
el número de vértices (y de aristas) es finito, siempre se podrá encontrar la solución.
El método del simplex se basa en la siguiente propiedad: si la función objetivo, f, no
toma su valor máximo en el vértice A, entonces hay una arista que parte de A, a lo
largo de la cual f aumenta.
El método del simplex fue creado en 1947 por el matemático George Dantzig. El
método del simplex se utiliza, sobre todo, para resolver problemas de programación
lineal en los que intervienen más de dos variables. El álgebra matricial y el proceso de
eliminación de Gauss-Jordan para resolver un sistema de ecuaciones lineales
constituyen la base del método simplex.
Pasos para la aplicación del método simplex:
Paso 0: Formule el Modelo de Programación Lineal respectivo.
Paso 1: Convierta todas las restricciones en igualdades de acuerdo a los
criterios de la tabla 1.
Paso 2: Iguale la función objetivo a cero (tenga en cuenta la tabla 1 para
completar los coeficientes objetivos).
Paso 3: Construya la Tabla Simplex Inicial.
Paso 4: Seleccione una variable entrante las variables actuales no básicas,
usando la condición de optimizad.
Condición de Optimidad: La variable entrante en el problema de maximización
(minimización) es la variable no básica, con el coeficiente más negativo (más
positivo) en la ecuación de Z. Un empate puede romperse arbitrariamente. La
16
solución óptima se alcanza cuando todos los coeficientes no básicos en la
ecuación Z son positivos (negativos).
Paso 5: Seleccione la variable saliente entre las variables actuales básicas,
usando la condición de factibilidad.
Condición de Factibilidad: Tanto en los problemas de maximización como de
minimización, la variable saliente es la variable básica actual, con la menor
razón (con denominador positivo distinto de cero) que resulta al dividir los
valores del lado derecho entre el valor respectivo de la columna de entrada.
Paso 6: Determine la nueva solución básica, haciendo a la variable
entrante básica y a la variable saliente no básica. Vuelva al paso 4. Esto se
logra a través de la aplicación del Método de Gauss Jordan cuyo objetivo
es transformar las ecuaciones, de manera que nos permitan obtener una
nueva solución básica mediante la asignación de valores cero a las
variables actuales no básicas. Con el método de Gauss Jordan se efectúa
un cambio de base empleando dos operaciones de cálculo:
Ecuación Pivote:
Nueva Ecuación Pivote = (Vieja Ecuación Pivote / Elemento Pivote.
Resto de ecuaciones incluyendo Z:
Nueva Ecuación = Ecuación Anterior – (Coeficiente columna entrante)*(Nueva
ecuación Pivote.
Tabla 1
Tipo de Restricción
Problema de Maximizar
Problema de Minimizar
Restricción Menor o igual Variable de holgura toma Variable de holgura toma
(<=):
variable
Requiere
de
una coeficiente
cero
en
holgura ecuación objetivo.
la coeficiente
cero
en
la
ecuación objetivo.
positiva.
Restricción Mayor o Igual Variable de holgura toma Variable de holgura toma
(>=):
variable
Requiere
de
una coeficiente
cero
en
holgura ecuación objetivo.
la coeficiente
cero
en
la
ecuación objetivo.
negativa y la suma de una La Variable artificial tomo La Variable artificial tomo
variable artificial.
coeficiente
+M
en
ecuación objetivo.
la coeficiente
-M
en
la
ecuación objetivo.
Restricción de igualdad: La Variable artificial tomo La Variable artificial tomo
Requiere que se le sume coeficiente
+M
en
la coeficiente
-
M
en
la
17
una variable artifical.
ecuación objetivo.
ecuación objetivo.
Vamos a resolver mediante el método simplex el siguiente problema:
Maximizar Z= f(x,y)= 3x + 2y
sujeto a:
2x + y
18
2x + 3y
3x + y
42
24
X 0,y
0
Se consideran los siguientes pasos:
0. Formule el Modelo de PL
1. Convertir las desigualdades en igualdades
Se introduce una variable de holgura por cada una de las restricciones, para
convertirlas en igualdades, resultando el sistema de ecuaciones lineales:
2x + y + h = 18
2x + 3y + s = 42
3x +y + d = 24
2. Igualar la función objetivo a cero
- 3x - 2y + Z = 0
3. Escribir la tabla inicial simplex
En las columnas aparecerán todas las variables del problema y, en las filas, los
coeficientes de las igualdades obtenidas, una fila para cada restricción y la última fila
con los coeficientes de la función objetivo:
Tabla I . Iteración nº 1
Base Variable de decisión Variable de holgura Valores solución
x
Y
-2
H
s
d
0
0
0
0
Z
-3
h
2
1
1
0
0
18
s
2
3
0
1
0
42
d
3
1
0
0
1
24
4. Encontrar la variable de decisión que entra en la base y la variable que sale de
la solución base
A. Para escoger la variable de decisión que entra en la base, nos fijamos en la
última fila, la de los coeficientes de la función objetivo y escogemos la variable
18
con
el
coeficiente
negativo
mayor
(en
valor
absoluto).
En nuestro caso, la variable x de coeficiente - 3.
Si existiesen dos o más coeficientes iguales que cumplan la condición
anterior, entonces se elige uno cualquiera de ellos.
Si en la última fila no existiese ningún coeficiente negativo, significa que se ha
alcanzado la solución óptima. Por tanto, lo que va a determinar el final del
proceso de aplicación del método del simplex, es que en la última fila no haya
elementos negativos.
La columna de la variable que entra en la base se llama columna pivote (En
sombreado).
B. Para encontrar la variable de holgura que tiene que salir de la base, se divide
cada término de la última columna (valores solución) por el término
correspondiente de la columna pivote, siempre que estos últimos sean mayores
que
cero.
En
nuestro
caso:
18/2 [=9] , 42/2 [=21] y 24/3 [=8]
Si hubiese algún elemento menor o igual que cero no se hace dicho cociente.
En el caso de que todos los elementos fuesen menores o iguales a cero,
entonces tendríamos una solución no acotada y no se puede seguir.
El término de la columna pivote que en la división anterior dé lugar al menor
cociente positivo, el 3, ya 8 es el menor, indica la fila de la variable de holgura
que sale de la base, d. Esta fila se llama fila pivote (En sombreado).
Si al calcular los cocientes, dos o más son iguales, indica que cualquiera de
las
variables
correspondientes
pueden
salir
de
la
base.
C. En la intersección de la fila pivote y columna pivote tenemos el elemento pivote
operacional, 3.
5. Encontrar los coeficientes de la nueva tabla.
Los nuevos coeficientes de x se obtienen dividiendo todos los coeficientes de la fila d
por el pivote operacional, 3, que es el que hay que convertir en 1.
A continuación mediante la reducción gaussiana hacemos ceros los restantes términos
de su columna, con lo que obtenemos los nuevos coeficientes de las otras filas
incluyendo los de la función objetivo Z.
También se puede hacer utilizando el siguiente esquema:
Fila del pivote:
19
Nueva fila del pivote= (Vieja fila del pivote) / (Elemento Pivote)
Resto de las filas:
Nueva fila= (Vieja fila) - (Coeficiente de la vieja fila en la columna de la variable
entrante) X (Nueva fila del pivote)
Veámoslo con un ejemplo una vez calculada la fila del pivote (fila de x en la Tabla II):
Vieja fila de s
Coeficiente
2 3
0 1 0
42
- -
- - -
-
2 2
2 2 2
2
x x
x x X
x
Nueva fila pivote 1 1/3 0 0 1/3
= =
Nueva fila de s
8
= = =
=
0 7/3 0 1 -2/3 26
Tabla II . Iteración nº 2
Base Variable de decisión Variable de holgura Valores solución
x
Y
h
s
d
Z
0
-1
0
0
1
24
h
0
1/3
1
0
-2/3
2
s
0
7/3
0
1
-2/3
26
x
1
1/3
0
0
1/3
8
Como en los elementos de la última fila hay uno negativo, -1, significa que no hemos
llegado todavía a la solución óptima. Hay que repetir el proceso:
A. La variable que entra en la base es y, por ser la variable que corresponde al
coeficiente -1
B. Para calcular la variable que sale, dividimos los términos de la última columna
entre
los
2:1/3
términos
[=6]
correspondientes
,
26:7/3
de
la
nueva
columna
y
8:1/3
[=78/7]
pivote:
[=8]
y como el menor cociente positivo es 6, tenemos que la variable de holgura que
sale es h.
C. El elemento pivote, que ahora hay que hacer 1, es 1/3.
Operando de forma análoga a la anterior obtenemos la tabla:
20
Tabla III . Iteración nº 3
Base Variable de decisión Variable de holgura Valores solución
X
y
h
s
d
Z
0
0
3
0
-1
30
y
0
1
3
0
-2
6
s
0
0
-7
0
4
12
x
1
0
-1
0
1
6
Como en los elementos de la última fila hay uno negativo, -1, significa que no hemos
llegado todavía a la solución óptima. Hay que repetir el proceso:
A. La variable que entra en la base es d, por ser la variable que corresponde al
coeficiente -1
B. Para calcular la variable que sale, dividimos los términos de la última columna
entre
los
6/(-2)
términos
correspondientes
[=-3]
,
de
12/4
la
nueva
[=3],
y
columna
6:1
pivote:
[=6]
y como el menor cociente positivo es 3, tenemos que la variable de holgura que
sale es s.
C. El elemento pivote, que ahora hay que hacer 1, es 4.
Obtenemos la tabla:
Tabla IV . Final del proceso
Base Variable de decisión Variable de holgura Valores solución
X
y
h
s
d
Z
0
0
5/4
0
0
33
y
0
1
-1/2
0
0
12
d
0
0
-7/4
0
1
3
x
1
0
-3/4
0
0
3
Como todos los coeficientes de la fila de la función objetivo son positivos, hemos
llegado a la solución óptima.
Los solución óptima viene dada por el valor de Z en la columna de los valores
solución, en nuestro caso: 33. En la misma columna se puede observar el vértice
donde se alcanza, observando las filas correspondientes a las variables de decisión
que han entrado en la base: D(3,12)
21
Interpretación geométrica del método del simplex
Las sucesivas tablas que hemos construido van proporcionando el valor de la función
objetivo en los distintos vértices, ajustándose, a la vez, los coeficientes de las variables
iniciales y de holgura.
En la primera iteración (Tabla I) han permanecido todos los coeficientes iguales, se ha
calculado el valor de la función objetivo en el vértice A(0,0), siendo este 0.
A continuación se desplaza por la arista AB, calculando el valor de f , hasta llegar a B.
Este
paso
aporta
la
Tabla
II.
En esta segunda iteración se ha calculado el valor que corresponde al vértice B(8,0):
Z=f(8,0) = 24
Sigue por la arista BC, hasta llegar a C, donde se para y
despliega
los
datos
de
la
Tabla
III.
En esta tercera iteración se ha calculado el valor que
corresponde al vértice C(6,6) : Z=f(6,6)=30.
Continua haciendo cálculos a través de la arista CD, hasta
llegar al vértice D. Los datos que se reflejan son los de la Tabla
IV.
Concluye con esta tabla, advirtiendo que ha terminado (antes ha comprobado que la
solución
no
mejora
al
desplazarse
por
la
arista
DE)
El valor máximo de la función objetivo es 33, y corresponde a x = 3 e y = 12 (vértice
D).
Si calculas el valor de la función objetivo en el vértice E(0,14), su valor no supera el
valor 33.
Método de la “M” o de Penalización.
A continuación vamos a presentar los problemas que introducen las otras
formas de restricciones funcionales (>= ó =) las cuales hacen necesario identificar una
solución inicial básica factible que no es necesariamente el origen. Antes, esta
solución inicial se encontraba en forma muy conveniente al hacer que las variables de
holgura fueran las variables básicas iniciales, donde cada una era igual a la constante
no negativa del lado derecho de la ecuación correspondiente. Ahora debe hacerse
algo más. El enfoque estándar que se utiliza es estos casos es la técnica de
variables artificiales. Ésta construye un problema artificial más conveniente
introduciendo una variable ficticia (llamada variable artificial) en cada restricción que lo
requiera. Esta nueva variable se introduce sólo con el fin de que sea la variable básica
inicial para esa ecuación. Las restricciones usuales de no negatividad también se
22
aplican sobre estas variables y la función objetivo se modifica para que imponga una
penalización exorbitante en el caso de que adquieran valores mayores que cero. Las
iteraciones del método símplex automáticamente fuerzan a las variables artificiales a
desaparecer (a volverse cero) una a una, hasta que todas quedan fuera de la
solución; después de esto se resuelve el problema real.
Ejemplo:
Consideremos el siguiente problema:
Maximizar
Z
= 3x1
sujeta a
+ 5x2
x1
<= 4
2x2
3x1
1.
+ 2x2
x1 >=
x2 >=
0,
0
<= 12
=
18
Se aplica la técnica de las variables artificiales introduciendo una variable
artificial no negativa (denotada por R1) en la última ecuación, como si fuera una
variable de holgura:
3x1 + 2x2 + R1 =18
2.
Se asigna una penalización enorme al hecho de tener R1 >= 0, cambiando la
función
objetivo
Z = 3x1 + 5x2 a:
Z = 3x1 + 5x2 - MR1,
donde M simbólicamente representa un número positivo muy grande. Este método
que fuerza a R1 hasta el nivel de R1 = 0 en la solución óptima se llama método de
la M.
Nota: Para el caso de minimización, penalizamos a la variable artificial, haciéndola
aparecer en la función objetivo con un coeficiente de +M (en el lado derecho
el coeficiente es positivo).
Ahora se encuentra la solución óptima para el problema real aplicando el
método símplex al problema artificial.
Como R1 juega el papel de la variable de holgura en la tercera restricción del
problema artificial, esta restricción es equivalente a 3x1 + 2x2 = 18.
En particular, el sistema de ecuaciones después de aumentar el problema
artificial (en otras palabras, pasarlo a su forma de igualdades) es:
Maximizar Z,
sujeta a
23
Z
- 3x1
- 5x2
+ MR1 = 0
x1
+
x3
2x2
3x1
= 4
+ x4
+ 2x2
= 12
+ R1
xj
>= 0
= 18
Para j = 1, 2, …, 5
En este momento estamos preparados para pasar los coeficientes a la tabla
símplex:
Variable
Lado
Básica
Z
x1
x2
x3
x4
R5
derecho Cociente
Z
1
–3
–5
0
0
M
0
x3
0
1
0
1
0
0
4
x4
0
0
2
0
1
0
12
R5
0
3
2
0
0
1
18
¿Es óptima?
Esta tabla todavía no está en la forma apropiada porque el coeficiente de x5 es
diferente de cero en la ecuación de Z (es M). Por lo tanto, antes de que el método
símplex pueda aplicar la prueba de optimalidad y encontrar la variable básica entrante,
debe pasarse esta tabla a la forma apropiada para que cumpla la condición símplex.
Esta condición que debe cumplir toda tabla del método símplex para que pueda
reportarnos la siguiente solución básica factible dice que: “Toda variable básica debe
tener un 1 en la intersección de su renglón y columna correspondiente y cero en los
demás renglones incluido el renglón de Z”, en otras palabras, que toda variable que
sea básica solamente debe aparecer en el renglón de la restricción que representa.
Para hacer cero el coeficiente M, utilizamos el renglón de x5 como renglón pivote
multiplicándolo por
M y sumando el resultado al renglón de Z. Realizando el
procedimiento anterior, la tabla símplex queda de la siguiente manera:
Variable
Lado
Básica
Z
x1
x2
x3
x4
x5
derecho Cociente
Z
1
-3M-3
-2M-5
0
0
0
x3
0
1
0
1
0
0
4
(0, 0, 4, 12, 18)
x4
0
0
2
0
1
0
12
Z=
x5
0
3
2
0
0
1
18
18M
¿Es óptima?
Mx5 + Z
18M
Podemos observar que la tabla anterior ya se encuentra en la forma apropiada
y podemos leer la solución básica factible actual, que es (0, 0, 4, 12, 18), la cual
aplicando la prueba de optimalidad vemos que no es óptima ya que todavía tenemos
coeficientes negativos en el renglón de Z (los correspondientes a x1 y x2). Aplicando el
método símplex a la tabla anterior tenemos: el coeficiente negativo con el mayor valor
absoluto corresponde a x1 ( 3M 3), recordemos que M es un número muy grande
24
positivo, por lo tanto, x1 se convierte en la variable básica entrante, realizando los
cocientes correspondientes, vemos que x3 se convierte en la variable básica saliente.
El procedimiento completo para resolver este ejemplo se muestra en el siguiente
conjunto de tablas:
Variable
Básica Z
Lado
x1
x2
x3
x4
x5
derecho
Z 1
-3M-3
-2M-5
0
0
0
18M
x3 0
1
0
1
0
0
4
x4 0
0
2
0
1
0
12
x5 0
3
2
0
0
1
18
Z 1
0
-2M-5
3M+3
0
0
x1 0
1
0
1
0
0
4
x4 0
0
2
0
1
0
12
12/2 = 6
x5 0
0
2
3
0
1
6
6/2 = 3
Z 1
0
0
9/2
0
M+5/2
27
x1 0
1
0
1
0
0
4
4/1 = 4
(4, 3, 0, 6, 0)
x4 0
0
0
3
1
6
6/3 = 2
Z = 27
x2 0
0
1
Z 1
0
0
0
x1 0
1
0
0
x3 0
0
0
1
1/3
x2 0
0
1
0
1/2
3/2
Cociente
¿Es óptima?
4/1 = 4
(0, 0, 4, 12, 18)
Z=
18M
18/3 = 6
6M+12
1
(4, 0, 0, 12, 6)
Z=
6M+12
0
1/2
3
3/2
M+1
36
1/3
2
(2, 6, 2, 0, 0)
2
Z = 36
6
Óptima
1/3
1/3
0
CASOS ESPECIALES EN LA APLICACIÓN DEL MÉTODO SIMPLEX
En este apartado consideramos casos especiales que pueden presentarse en la
aplicación del método simplex, entre los que se cuentan:
Degeneración.
Múltiples soluciones óptimas.
Soluciones no acotadas.
Soluciones infactibles.
CASO 1: DEGENERACIÓN
En el apartado del método simplex indicamos que en la aplicación de la condición de
factibilidad una coincidencia de la razón mínima se debe descomponer en forma
25
arbitraria para los fines de determinar la variable que sale. Sin embargo, cuando
sucede esto con una o más veces las variables básicas, será necesariamente igual a
cero en la siguiente iteración.
degenerada.
En este caso decimos que la nueva solución es
No hay nada alarmante con respecto al manejo de la solución
degenerada, con la excepción de una ligere desventaja teórica, que analizaremos
brevemente. Desde el punto de vista práctico, la condición revela que el modelo tiene
cuando menos una restricción redundante.
Ejemplo:
Maximizar:
Z= 3X1 9X2
Sujeto a:
X1 + 4X2 <= 8
X1 + 2X2
<= 4
X1, X2 >= 0
Iteración
VB
Z
X1
X2
X3
X4
LD
0 (entre X2
Z
1
-3
-9
0
0
0
sale X3)
X3
0
1
1
1
0
8
X4
0
1
1
0
1
4
1 (entre X1
Z
1
-3/4
0
9/4
0
18
sale X4)
X2
0
¼
1
¼
0
2
X4
0
1/2
0
-1/2
1
0
2 0 (óptima)
Z
1
0
0
3/2
3/2
18
X2
0
0
1
½
-1/2
2
X1
0
1
0
-1
2
0
CASO 2: MÚLTIPLES SOLUCIONES ÓPTIMAS
Cuando la función objetivo es paralela a una restricción de enlace ( o sea una
restricción que se satisface en el sentido de la igualdad a través de la solución óptima),
la función objetivo tomará el mismo valor óptimo en más de un punto de la solución.
Por esta razón recibe el nombre de múltiples soluciones óptimas.
Ejemplo
Maximizar:
Sujeto a:
Z= 2X1 + 4X2
X1 +
2X2 <= 5
X1 +
X2 <= 4
X1, X2 >= 0
26
Iteración
VB
Z
X1
X2
X3
X4
LD
0 (X2 entre
Z
1
-2
-4
0
0
0
X3 sale)
X3
0
1
1
1
0
5
X4
0
1
1
0
1
4
1 (X1 entra
Z
1
0
0
2
0
10
X4 sale)
X2
0
½
1
½
0
5/2
X4
0
½
0
-1/2
1
3/2
2
Z
1
0
0
2
0
10
(alternativa
X2
0
0
1
1
-1
1
óptima)
X1
0
1
0
-1
2
3
CASO 3: SOLUCIÓN NO ACOTADA
En algunos modelos de programación lineal, los valores de las variables se pueden
aumentar en forma indefinida sin violar ninguna de las restricciones, lo que significa
que el espacio de soluciones es no acotado cuando menos en una dirección. Como
resultado el valor de la función objetivo puede crecer (caso de maximización) o
decrecer (caso de minimización) en forma indefinida. En este caso decimos que el
espacio de soluciones y el valor óptimo de la función objetivo son no acotados.
Ejemplo:
Maximizar:
Z = 2X1 + X2
Sujeto a:
X1 - X2 <= 10
2X1
<= 40
X1, X2>= 0
Iteración inicial:
VB
Z
X1
X2
S1
S2
LD
Z
1
-2
-1
0
0
0
S1
0
1
-1
1
0
10
S2
0
2
0
0
1
40
27
CASO 4: SOLUCIÓN INFACTIBLE
Si las restricciones no se pueden satisfacer de manera simultánea se dice que el
modelo no tiene solución factible. Esta situación no puede ocurrir si todas las
restricciones son del tipo <= (suponiendo constantes no negativas en el segundo
miembro) ya que la holgura produce siempre una solución factible.
Sin embrago
cuando empleamos los otros tipos de restricciones, recurrimos al uso de variables
artificiales, que por su diseño no ofrecen una solución factible al modelo original.
Aunque se toman medidas (a través del uso de la penalización) para hacer que las
variables artificiales sean cero en el nivel óptimo, esto solo puede ocurrir si el modelo
tiene un espacio de solución factible.
Si no lo tiene, cuando menos una variable
artificial será positiva (básica) en la iteración “óptima”.
Ejemplo
Maximizar:
Z= 3X1 + 2X2
Sujeto a: 2X1 + X2 <= 2
3X1
+ 4X2 >12
X1, X2>= 0
Tabla inicial
VB
Z
X1
X2
X4
X3
R1
LD
Z
1
-3-3M
-2-4M
M
0
0
-12M
X3
0
2
1
0
1
0
2
R1
0
3
4
-1
0
1
12
Tabla Seudo Óptima
VB
Z
X1
X2
X4
X3
R1
LD
Z
1
1+5M
0
M
2+4M
0
4-4M
X2
0
2
1
0
1
0
2
R1
0
-5
0
-1
-4
1
4
28
OTROS EJEMPLOS A DESARROLLAR EN CLASES
Ejemplo 1:
Minimizar:
Z = 3X1 + 2X2
Sujeto a:
X1 + 2X2 <= 6
2X1 + X2 <= 8
-X1 + X2 <= 1
X2 <= 2
X1, X2 >= 0
VB
Z
X1
X2
S1
S2
S3
S4
LD
Z
1
-3
-2
0
0
0
0
0
S1
0
1
2
1
0
0
0
6
S2
0
2
1
0
1
0
0
8
S3
0
-1
1
0
0
1
0
1
S4
0
0
1
0
0
0
1
2
Z
1
0
-1/2
0
3/2
0
0
12
S1
0
0
3/2
1
-1/2
0
0
2
X1
0
1
½
0
½
0
0
4
S3
0
0
3/2
0
½
1
0
5
S4
0
0
1
0
0
0
1
2
Z
1
0
0
1/3
4/3
0
0
38/3
X2
0
0
1
2/3
-1/3
0
0
4/3
X1
0
1
0
-1/3
2/3
0
0
10/3
S3
0
0
0
-1
1
1
0
3
S4
0
0
0
-2/3
1/3
0
1
2/3
29
Ejemplo No. 2:
Minimizar:
Z = 4X1 + X2
Sujeto a:
3X1 +
X2 = 3
4X1 + 3X2 >= 6
X1
+ 2X2 <= 4
X1, X2 >= 0
VB
Z
X1
X2
S1
R1
R2
S2
LD
Z
1
-4+7M
-1+4M
-M
0
0
0
9M
R1
0
3
1
0
1
0
0
3
R2
0
4
3
-1
0
1
0
6
S2
0
1
2
0
0
0
1
4
Z
1
0
(1+5M)/3
-M
(4-7M)/3
0
0
4+2M
X1
0
1
1/3
0
1/3
0
0
1
R2
0
0
5/3
-1
-4/3
1
0
2
S2
0
0
5/3
0
-1/3
0
1
3
Z
1
0
0
1/5
8/5 – M
-1/5 –M
0
18/5
X1
0
1
0
1/5
3/5
-1/5
0
3/5
X2
0
0
1
-3/5
-4/5
3/5
0
6/5
S2
0
0
0
1
1
-1
1
1
Z
1
0
0
0
7/5 – M
-M
-1/5
17/5
X1
0
1
0
0
2/5
0
-1/5
2/5
X2
0
0
1
0
-1/5
0
3/5
9/5
S1
0
0
0
1
1
-1
1
1
30
Bibliografía
Anderson, D.; Sweeney, D.; Williams, T. (2004). Métodos cuantitativos para los
negocios. México. Editorial Thomson.
Eppen, G.; Gould, F. J.; Moore, J.; Schmidt. C.; Weatherford, L. (1998). Investigación
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Hillier, F.; Liberman, G. (2001). Investigación de Operaciones. México. Editorial Mc.
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Taha, H. (2004). Investigación de Operaciones. México. Perason Prentice Hall.
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31