Representación y ordenación de los números enteros

SM 3 – Números enteros y fraccionarios
1
Representación y ordenación de los números enteros
Los números enteros se escriben como los naturales precedidos del signo más (+)
o menos (-).
números enteros negativos
-7
-6
-5
-4
-3
números enteros positivos
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
Cualquier número negativo es menor que cualquier número positivo: -6 < +4
Cualquier número positivo es mayor que cualquier número negativo: +5 > -7
El valor absoluto de un número entero es el número natural que se obtiene al
eliminar el signo. Se expresa así: |-5| = 5; |+5| = 5
Los números +5 y –5 son números opuestos con el mismo valor absoluto.
1 Expresa las siguientes situaciones con números enteros:
a)
b)
c)
d)
Siete grados bajo cero
La altitud de un pico es de 1205 m
El buzo está a 32 metros de profundidad
El avión vuela a 8500 metros de altura
2 Escribe los números enteros comprendidos entre:
a) –4 y +3
b) –5 y +6
3 Representa en esta recta numérica los siguientes números: +2, -3, +5, -4, -7
y +4
A
B
0
C
D
a) ¿Qué número representa cada una de las letras?
A  ____
B  ____
C  ____
D  ____
b) ¿Qué diferencia hay entre los números –4 y +4? ¿Cómo se denominan?
4 Escribe el valor absoluto de estos números:
a) |-2| 
|+2| 
b) |+3| 
|-3| 
c) |+5| 
|-5| 
5 Escribe todos los números enteros cuyos valores absolutos estén comprendidos
entre 4 y 9, ambos inclusive.
SM 3 – Números enteros y fraccionarios
2
6 Escribe en el cuadro > o < según corresponda.
-3  -8
-6  -4
-3  +1
+4  -7
+10  -5
-3  +1
-8 
+1
+5  -25
-40  -100
7 Ordena de mayor a menor
a) –3, 0, -5, +2

b) +3, +4, -6, -1

c) –5, 0, -3, +3, +5

+2 > ___ > ___ > ___
8 Escribe en cada caso los números enteros que faltan
a) –3 < __________ < +3
b) +15 > __________ > +8
c) +5 > __________ > -1
d) –10 < __________ < +5
9 Contesta a las siguientes preguntas:
a) ¿Qué número entero está a igual distancia de +5 que de -7?
b) ¿Cuáles son los números enteros que hay entre –10 y +2?
SM 3 – Números enteros y fraccionarios
3
Suma de números enteros
(-4) + (-3) + (+6) + (+3) = (-7) + (+9) = +4
Para sumar varios números enteros, primero se suman por separado los positivos y
los negativos; después, se restan los valores absolutos de ambos resultados y se
pone el signo del de mayor valor absoluto.
10 Expresa como suma de números enteros los siguientes procesos
a)
0
b)
0
11 Haz las siguientes sumas de números enteros:
a) (-5) + (+10) + (-3) = -5 + 10 – 3 =
b) 10 + (-3) + (-9) =
c) (-7) + 2 + (-10) =
d) 3 + (-3) + 8 + (-5) =
e) 2 + (-2) + 5 + (-10) =
f) (-9) + (-3) + (-7) =
g) (-7) + (-5) + 6 + (-3) =
12 La suma de dos números es cero. Si uno de los sumandos es 25, ¿cuál es el
otro?
13 En un pueblo, a una hora determinada, la temperatura estaba a –3 ºC, después
aumentó 8 ºC y más tarde vuelve a subir 5 ºC. ¿Cuál es la temperatura actual?
SM 3 – Números enteros y fraccionarios
4
Resta de números enteros
Minuendo
Sustraendo
Diferencia
(-8) - (+4) = (-8) + (-4) = -12
Números opuestos
Para restar dos números enteros se suma al minuendo el opuesto del sustraendo
14 Expresa como diferencia de números enteros los siguientes procesos
a)
0
b)
0
15 Haz las siguientes restas de números enteros:
a) (-5) - (-7) = (-5) + 7 =
b) (-8) - (+3) =
c) (-25) - (+10) =
d) (+15) - (-12) =
e) (+18) - (+12) =
f) (+20) - (-15) =
16 La diferencia de dos números es –5, y el sustraendo es –10. ¿Cuál es el
minuendo?
17 En una población la temperatura descendió 4 ºC y después volvió a descender
5 ºC. ¿Cuánto ha descendido la temperatura?
18 Un día de invierno, el termómetro marcaba –3 ºC en Teruel y 12 ºC en
Castellón. ¿Cuál es la diferencia de temperatura entre las dos ciudades?
SM 3 – Números enteros y fraccionarios
5
Sumas y restas combinadas
19 Expresa como suma o como diferencia de números estas operaciones que se
representan
a)
0
b)
0
20 Haz las siguientes restas de números enteros:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
(-6) + (-5) – (-7) + 4 =
10 + (-6) – (-12) – 11 =
20 + (-15) + (-6) – 12 =
4 + (-3) – 5 – (-8) + 2 =
(-6) + (-4) – (-3) + 7 + 10 =
(-2) – (-3) + 4 – 5 – (-10) =
21 Escribe los números que faltan en las siguientes operaciones:
a) –15 + ___ = 0
b) ___ + (-1) = 5
c) 20 - ___ = 25
d) ___ + 12 = 0
e) 12 + ___ = -3
f) ___ - (-2) = -4
g) –20 - ___ = 10
h) –2 + ___ = 0
i) 10 - ___ = 50
22 A las tres de la tarde el termómetro marcaba 13 ºC. A las doce de la noche
marcaba 6 ºC. ¿Cuánto ha descendido la temperatura?
23 Tales nació en el año 569 antes de Cristo, y murió a los sesenta y nueve
años. ¿En qué año murió?
24 Realiza
resultados.
las
siguientes
operaciones
de
cada
apartado
a) 100 – (10 + 25) =
(100 – 10) + 25 =
Los resultados son:
c) (32 - 18) – 12 =
32 – (18 - 12) =
Los resultados son:
b) (-50 - 80) + 15 =
-50 – (80 + 15) =
Los resultados son:
d) –40 – (30 - 5) =
(-40 - 30) - 5 =
Los resultados son:
y
compara
los
SM 3 – Números enteros y fraccionarios
6
25 Completa esta tabla:
a
-2
+3
-1
-4
-3
b
-10
-5
+1
+10
-2
c
+2
+10
-3
-5
-5
a + b - c
a – b + c
a – b - c
26 Escribe los números que faltan en estos cuadrados mágicos.
-3
-5
-6
-2
1
-1
-3
-8
0
2
-1
-2
27 A las cuatro de la mañana la temperatura fue de –4 ºC; a las nueve había
subido 6 ºC. ¿Qué temperatura marca el termómetro?
28 Un globo ascendió 185 m, luego bajó 60 m, volvió a subir 75 m y después
descendió 340 m, quedando a la altura del nivel del mar. ¿A qué altura sobre el
nivel del mar inició el ascenso?
SM 3 – Números enteros y fraccionarios
7
Producto de números enteros
Para calcular el producto de dos números enteros se halla el producto de sus
valores absolutos y:
Si los dos factores tienen el mismo
signo, el producto es positivo
(+6)·(+3) = 18
(-6)·(-3) = 18
Si los dos factores tienen distinto
signo, el producto es negativo
(-6)·(+3) = -18
(+6)·(-3) = -18
REGLA DE LOS SIGNOS
+ · + = +
+ · - = -
- · + = - · - = +
29 Calcula estos productos:
a)
b)
c)
d)
e)
(+9)·(+3) =
(-3)·(+8) =
(-5)·(-6) =
(+15)·(-2) =
(-60)·(+2) =
f)
g)
h)
i)
j)
(-10)·(-2)·(-4) =
(-3)·(-6)·(-2) =
(-6)·(-8)·(-1) =
(-1)·(-4)·(+3) =
(-2)·(+10)·(-7) =
30 Escribe los siguientes números enteros como producto de dos números:
a) –12 =
b) +15 =
c) –20 =
d) –18 =
e) –13 =
f) +7 =
g) +29 =
h) –29 =
i) -17 =
31 Contesta
a) ¿Puedes escribir un número entero positivo como producto de tres números
enteros negativos? Explícalo con un ejemplo.
b) ¿Por qué el producto de dos números enteros puede ser 1 siendo uno de los
factores distinto de 1?
32 Calcula las siguientes operaciones aplicando la propiedad distributiva.
a) (+5)[(-3) + (-2)] =
b) (-2)[(+10) + (-4)] =
SM 3 – Números enteros y fraccionarios
8
Cociente exacto de dos números enteros
Para calcular el cociente exacto de dos números enteros se halla el cociente de
sus valores absolutos y:
Si los dos términos tienen el mismo
signo, el cociente es positivo
(+15):(+3) = +5
(-15):(-3) = +5
Si los dos términos tienen distinto
signo, el cociente es negativo
(-15):(+3) = -5
(+15):(-3) = -5
REGLA DE LOS SIGNOS
+ : + = +
+ : - = -
- : + = - : - = +
33 Calcula estos cocientes:
a)
b)
c)
d)
e)
(+27):(+3)
(+16):(-8)
(-16):(-2)
(+20):(+5)
(-20):(-5)
=
=
=
=
=
f)
g)
h)
i)
j)
(+48):(-6)
(-48):(+6)
(-36):(-4)
(-36):(+4)
(+25):(-1)
=
=
=
=
=
34 Escribe los números que faltan:
a)
b)
c)
d)
(–8):___
12:___ =
___:(-8)
___:(-3)
= -2
-3
= -5
= +30
e)
f)
g)
h)
(–24):___ = -1
___:(–3) = +27
___:5 = -30
(-15):___ = +5
35 Busca y escribe todos los divisores de –12.
36 Resuelve estas operaciones:
a) [(-3) + (-5) + (-2)]:(-2) =
b) [(-5) + (-4) + 1]:(-4) =
c) [(-30) + 15 + (-10)]:5 =
d) 10[(-2) + (-1) + (-9)]:(-3) =
SM 3 – Números enteros y fraccionarios
9
Jerarquía de operaciones
Cuando en una expresión intervienen varias operaciones hay que tener en cuenta
que:
1.º Se resuelven las operaciones que están entre paréntesis o entre corchetes.
10·(35 - 18) – 42:7 = 10·17 – 42:7
2.º Se realizan las multiplicaciones y las divisiones
10·17 – 42:7 = 170 – 6
3.º Se realizan las sumas y las restas
170 – 6 = 164
10·(35 - 18) – 42:7 = 10·17 – 42:7 = 170 – 6 = 164
37 Resuelve paso a paso estas operaciones combinadas.
a)
b)
c)
d)
7·(8 - 1) – (4 -1) =
(5 - 3)·[2 -(-5)] =
(-2 - 6)·(-5 + 1) =
[(-15)·4]:6 =
e)
f)
g)
h)
22 – (14 –
(15 - 7):4
(35 - 8):3
(15 -10)·8
5
+
–
–
+ 11·2) =
7 – 3 =
(12 - 5) =
(18 - 2):4 =
Actividades con números enteros
38 Completa esta tabla
a
-10
+20
-60
-30
b
+5
-4
+12
-15
c
-5
+2
-3
-5
(a + b)·c
a + b·c
(a - b):c
a – b:c
39 Resuelve paso a paso las siguientes operaciones:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
(-15):3 + (25 - 15)·2 =
[(-4)·(-4) + 48]:2 =
(-11)·12 + (-10)·(-15) =
(-72:8 + 60:12)·(-10) =
3·(-4) + (-6)·(-3) + (-4)·(-5) =
(-3)·[-4 + (-5)] – [32:(-8)] =
40 Un día del mes de diciembre, la temperatura a las tres de la mañana en Moscú
fue de –17 ºC. Después, a las cuatro de la tarde el termómetro marcaba 2 ºC.
¿Cuál fue la variación de temperatura?
41 El emperador Augusto nació el año 62 antes de Cristo y murió el año 14
después de Cristo. ¿Cuántos años vivió?
SM 3 – Números enteros y fraccionarios
10
Divisibilidad con números naturales
Múltiplos y divisores
30 : 5 = 6
5 · 6 = 30
30 es múltiplo de 5 porque
al dividir 30 entre 5 la
división es exacta.
5 es divisor de 30 porque 5
divide exactamente a 30.
42 Escribe los múltiplos menores que 100 de los números 5, 6, 8 y 10.
a)
b)
c)
d)
Múltiplos
Múltiplos
Múltiplos
Múltiplos
de
de
de
de
5 menores de 100:
6 menores de 100:
8 menores de 100:
10 menores de 100:
43 Del siguiente cuadro tacha los números que sean múltiplos de 4
continuación, rodea con un círculo los números que sean múltiplos de 6.
1
27
54
86
103
2
28
55
87
104
3
29
56
88
105
4
30
57
89
106
5
31
58
90
107
6
32
59
91
108
7
33
60
92
109
8
34
61
93
110
9
35
62
94
111
10
36
63
95
112
y,
a
11
37
64
96
113
44 Marca en esta recta los múltiplos de 5 en verde y los múltiplos de 10 en
amarillo
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33
¿Qué observas?
45 Escribe los divisores de los siguientes números:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
Divisores
Divisores
Divisores
Divisores
Divisores
Divisores
Divisores
Divisores
Divisores
Divisores
de
de
de
de
de
de
de
de
de
de
1:
2:
3:
4:
5:
6:
7:
8:
9:
10:
k)
l)
m)
n)
ñ)
o)
p)
q)
r)
s)
Divisores
Divisores
Divisores
Divisores
Divisores
Divisores
Divisores
Divisores
Divisores
Divisores
de
de
de
de
de
de
de
de
de
de
11:
12:
13:
14:
15:
16:
17:
18:
19:
20:
46 Escribe los números que sean a la vez divisores de:
a) 2 y 6:
b) 5 y 15:
c) 3 y 6:
d) 4 y 6:
e) 4 y 12:
f) 12 y 18:
g) 10 y 15:
SM 3 – Números enteros y fraccionarios
11
47 Calcula los divisores de 20 y de 30:
a) divisores de 20:
b) divisores de 30:
c) ¿Cuál es el número que es el mayor divisor común de 20 y de 30?
48 Resuelve estos problemas:
a) María tiene más de diez y menos de treinta canicas. Si las reparte entre
cinco, el resto es tres; si las reparte entre tres, el resto es dos. ¿Cuántas
canicas tiene?
b) Busca el número comprendido entre veinte y treinta que si se divide entre
dos, entre tres, entre cuatro, entre seis y entre ocho el resto es siempre cero.
SM 3 – Números enteros y fraccionarios
12
Criterios de divisibilidad
Un número es múltiplo de 2 cuando 
termina en cero o en cifra par.
34 es múltiplo de 2:
34 : 2 = 17
5
cuando 
35 es múltiplo de 5:
35 : 5 = 7
10
cuando 
40 es múltiplo de 10:
40 : 10 = 4
Un número es múltiplo de
termina en cero o en cinco.
Un número es múltiplo
termina en cero.
de
Un número es múltiplo de 3 cuando la 
suma de sus cifras es múltiplo de 3.
24 es múltiplo de 3:
24 : 3 = 8
Un número es múltiplo de 9 cuando la 
suma de sus cifras es 9 o múltiplo de
9.
1368 es múltiplo de 9:
1 + 3 + 6 + 9 = 18 = 9 · 2
Un número es múltiplo de 11 cuando la 
diferencia entre la suma de las cifras
impares y la de las cifras pares es
cero, once o múltiplo de once.
1 452 es múltiplo de 11 porque:
1 + 5 = 6
6 – 6 = 0
4 + 2 = 6
Un número cualquiera es múltiplo de 
otro cuando al dividir el primer
número por el segundo la división es
exacta.
658 es múltiplo de 7 porque:
658 : 7 = 94
49 Rodea con un círculo los números múltiplos de 3 y tacha con una cruz los
números múltiplos de 5.
1
11
21
31
41
51
61
71
81
91
2
12
22
32
42
52
62
72
82
92
3
13
23
33
43
53
63
73
83
93
4
14
24
34
44
54
64
74
84
94
5
15
25
35
45
55
65
75
85
95
6
16
26
36
46
56
66
76
86
96
7
17
27
37
47
57
67
77
87
97
8
18
28
38
48
58
68
78
88
98
9
19
29
39
49
59
69
79
89
99
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
50 Escribe la cifra de las unidades de los siguientes números de tres cifras
para que sean:
a)
b)
c)
d)
Múltiplos
Múltiplos
Múltiplos
Múltiplos
de
de
de
de
3: 56_ , 80_ , 53_ , 46_
5: 37_ , 42_ , 81_ , 44_
10: 52_ , 73_ , 48_ , 27_
11 : 52_ , 73_ , 48_ , 27_
SM 3 – Números enteros y fraccionarios
13
51 El número 83 520:
a) ¿es múltiplo de 3? ¿Por qué?
b) ¿es múltiplo de 9? ¿Por qué?
c) ¿es múltiplo de 11? ¿Por qué?
52 ¿Por qué cifra hay que sustituir la letra B para que el número 59 2B8 sea
múltiplo de 11?
53 ¿Qué cifra debe sustituir a la letra C para que el número 51 C07 se pueda
dividir exactamente entre 9?
54 Señala en esta recta los múltiplos de 3 en rojo y los múltiplos de 9 en
verde.
40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72
¿Qué observas?
55 En este cuadro rodea con un círculo los números que sean múltiplos de 4 y
tacha con una cruz los números múltiplos de 6.
1
35
87
2
36
88
3
37
89
4
38
90
5
39
91
6
40
92
7
41
93
8
42
94
9
43
95
10
44
96
11
45
97
12
46
98
13
47
99
14
48
100
15
49
101
16
50
102
SM 3 – Números enteros y fraccionarios
14
Números primos
Los números que sólo tienen dos divisores, el uno y el propio número, se llaman
números primos.
Los números coloreados en esta tabla son números primos:
1
11
21
31
41
51
61
71
81
91
2
12
22
32
42
52
62
72
82
92
3
13
23
33
43
53
63
73
83
93
4
14
24
34
44
54
64
74
84
94
5
15
25
35
45
55
65
75
85
95
6
16
26
36
46
56
66
76
86
96
7
17
27
37
47
57
67
77
87
97
8
18
28
38
48
58
68
78
88
98
9
19
29
39
49
59
69
79
89
99
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
56 Consulta la tabla y contesta:
a) ¿Cuáles son los diez primeros números primos?
b) ¿Cuáles son los números primos mayores que 30 y menores que 50?
57 En cada fila tacha los números que sean primos:
2
31
81
100
120
3
32
82
101
121
4
33
83
102
122
5
34
84
103
123
6
35
85
104
124
7
36
86
105
125
8
37
87
106
126
9
38
88
107
127
10
39
89
108
128
11
40
90
109
129
12
41
91
110
130
13
42
92
14
43
93
15
58 Contesta:
a) ¿Por qué no hay ningún número primo terminado en cero?
b) ¿Termina algún número primo en 6? ¿y en 8? ¿Por qué?
59 Comprueba que todo número primo tiene que ser un múltiplo de 6 más uno o un
múltiplo de 6 menos 1.
SM 3 – Números enteros y fraccionarios
15
Números compuestos
Los números que tienen más de dos divisores se denominan números compuestos.
Los números compuestos se pueden descomponer en producto de factores primos:
60 = 2 · 2 · 2 · 3 · 5 = 23 · 3 · 5
60 Consulta la tabla y contesta:
a) ¿Cuáles son los diez primeros números compuestos?
b) ¿Cuáles son los números compuestos mayores que 10 y menores que 30?
61 Descompón estos números en producto de factores primos:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
4 =
6 =
8 =
9 =
10 =
12 =
g)
h)
i)
j)
k)
l)
14
15
16
18
20
21
=
=
=
=
=
=
62 Para cada descomposición
correspondientes:
a) 3 · 2 =
d) 5 · 3 · 2 =
g) 32 · 5 =
m)
n)
ñ)
o)
p)
q)
22
24
25
26
27
28
=
=
=
=
=
=
factorial,
b) 22 · 5 =
e) 23 · 3 =
h) 22 · 32 =
r)
s)
t)
u)
v)
w)
escribe
30
32
34
36
40
42
los
c) 52 · 22 =
f) 2 · 5 · 32 =
i) 2 · 7 · 11 =
=
=
=
=
=
=
números
compuestos
SM 3 – Números enteros y fraccionarios
16
Mínimo común múltiplo
El mínimo común múltiplo (m. c. m.) de dos o más números es el múltiplo menor de
sus múltiplos comunes, exceptuando el cero.
Múltiplos de 24 = 0, 24, 48, 72, 96, 120, 144,...
m.c.m.(24, 60) = 120
Múltiplos de 60 = 0, 60, 120, 180,...
El mínimo común múltiplo de dos o más números es igual al producto de los
factores primos comunes y no comunes, elevados al mayor exponente.
24 = 23 · 3
m.c.m.(24, 60) = 23 · 3 · 5 = 120
60 =
22
· 3 · 5
63 Calcula el m. c. m. de:
a) 12 y 18
12 = 22 · 3
m.c.m.(12, 18) =
18 = 2 · 32
b) 15 y 20
15 =
m.c.m.(15, 20) =
20 =
c) 40 y 60
40 =
m.c.m.(40, 60) =
60 =
d) 30,45 y 90
30 =
45 =
90 =
m.c.m.(30, 45, 90) =
SM 3 – Números enteros y fraccionarios
17
Máximo común divisor
El máximo común divisor (m. c. d.) de varios números es el divisor mayor de sus
divisores comunes.
divisores de 24 = 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24
m.c.d.(24, 60) = 12
divisores de 60 = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 30, 60
El máximo común divisor de varios números es igual al producto de los factores
primos comunes elevados al menor exponente.
24 = 23 · 3
m.c.d.(24, 60) = 22 · 3 = 12
60 =
22
· 3 · 5
64 Calcula el m. c. d. de.
a) 12 y 20
12 = 22 · 3
m.c.d.(12, 20) =
20 = 22 . 5
b) 15 y 20
15 =
m.c.d.(15, 20) =
20 =
c) 12, 18, 36
12 =
18 =
36 =
m.c.d.(12, 18, 36) =
d) 240, 420 y 540
240 =
420 =
540 =
m.c.d.(240, 420, 540) =
SM 3 – Números enteros y fraccionarios
18
Divisibilidad con números naturales. Actividades
65 Escribe los diez primeros múltiplos de estos números:
a) Múltiplos de 8.
b) Múltiplos de 10:
c) Múltiplos de 12:
d) Múltiplos de 30:
66 ¿Qué valores tienen que tener las letras A y B para que el número 37A 64B
sea múltiplo de once?
67 Calcula los divisores de 45 y 60.
a) Divisores de 45:
b) Divisores de 60.
c) ¿Cuál es el número que es el mayor divisor de 45 y de 60?
68 Contesta a las siguientes preguntas:
a) ¿Qué es un número primo?
b) ¿Cuál es el número primo más pequeño?
c) ¿Qué es un número compuesto?
69 Descompón en factores primos los siguientes números:
a)
b)
c)
d)
60 =
75 =
90 =
180 =
e)
f)
g)
h)
100
120
150
240
=
=
=
=
i)
j)
k)
l)
300
360
480
720
=
=
=
=
70 Completa la siguiente tabla:
NÚMERO
3
5
6
8
10
DIVISORES
¿ES PRIMO?
71 Halla el m. c. m. y el m. c. d. de los siguientes números:
a) 72 y 18
72 = 23 · 32
18 = 2 · 32
m.c.m.(72, 18) =
m.c.d.(72, 18) =
b) 24, 12 y 60
24 =
12 =
60 =
SM 3 – Números enteros y fraccionarios
19
m.c.m.(24, 12, 60) =
m.c.d.(24, 12, 60) =
c) 40,80 y 120
40 =
80 =
120 =
m.c.m.(40, 80, 120) =
m.c.d.(40, 80, 120) =
72 Si contamos los lápices de una caja de 6 en 6, o de 8 en 8, o de 12 en 12
sobran 2; pero si los contamos de 14 en 14 no sobra ninguno. ¿Cuál es el menor
número de lápices que contiene la caja?
73 Con el número de bombones que hay en una caja se pueden hacer bolsas de 6
bombones y de 8 bombones en cada bolsa. Si hay más de 90 y menos de 100
bombones, ¿cuántas bolsas de 6 y de 8 bombones se pueden hacer?
74 Dos barcos salen de un puerto; el primero cada tres días y el segundo cada
cuatro días. Si salieron juntos el día 21 de junio, ¿qué día volverán a salir
juntos?
75 ¿Cuál es el número más próximo a 500 que es múltiplo de 15 y de 16?
SM 3 – Números enteros y fraccionarios
20
Las fracciones
Una fracción se puede entender como:
-Parte de un todo:
2
: Dos tercios
3
-Cociente de dos números enteros:
4
= 4:5 = 0,8
5
-Un operador compuesto:
“Multiplicar por” y “Dividir entre”:
300
3
100
de 100 = 3
=
= 75
4
4
4
numerador
3
4
denominador
76 Escribe la fracción que representa la parte coloreada de cada figura.
a)
b)
c)
d)
e)
77 Representa en cada figura la fracción que se indica:
a)
2
3
b)
1
4
c)
5
6
d)
1
2
78 Calcula:
1
de 100 =
2
4
b)
de 100 =
5
3
c)
de 100 =
4
2
de 90 =
3
7
e)
de 90 =
10
5
f)
de 90 =
6
a)
d)
79 Transforma en un número decimal las siguientes fracciones:
3
=
4
3
b)
=
10
3
c)
=
8
a)
4
=
5
28
e)
=
10
45
f)
=
60
d)
7
=
2
45
h)
=
10
54
i)
=
40
g)
e)
3
8
SM 3 – Números enteros y fraccionarios
21
Fracciones equivalentes. Propiedad fundamental
9
= 0,75
12
3
= 0,75
4
Las fracciones
9
3
y
son equivalentes porque tienen el mismo resultado.
12
4
Si se multiplica o se divide el numerador y el denominador de una fracción por
un mismo número se obtiene otra fracción equivalente a la anterior.
9 3

12 4
3 6

4 8
Para comprobar si dos fracciones son equivalentes se efectúa el producto cruzado
de sus términos; así:
3 9

4 12
3 · 12 = 36
4 · 9 = 36
80 Comprueba si son equivalentes los siguientes pares de fracciones:
a)
3
6
y
4
8
3 · 8 = 24
4 · 6 = 24
b)
3
12
y
5
20

3 · 20 =
5 · 12 =
c)
3
9
y
4
15
3 · 15 =
4 · 9 =
81 Completa.
a)
1
=
2
b)
3
=
5
c)
12
=
16
82 Halla tres fracciones equivalentes a cada una de las dadas.
a)
3 6 9
= =
4 8 12
d)
2
=
5
b)
7
=
10
e)
15
=
12
c)
5
=
6
f)
7
=
3
SM 3 – Números enteros y fraccionarios
22
Reducción de fracciones a común denominador
Reducir varias fracciones a común denominador consiste en sustituirlas por otras
equivalentes con denominadores iguales.
3
5
7
Por ejemplo, para reducir
,
y
a mínimo común denominador, se procede
4
12
6
así:
1.º Se calcula el mínimo común múltiplo (m.c.m.) de los denominadores:
4 = 22 ; 12 = 22·3 ; 6 = 2·3
m.c.m.(4, 12, 6) = 22 · 3 = 12
2.º Se divide el m. c. m. por cada denominador:
12 : 4 = 3 ; 12 : 12 = 1 ; 12 : 6 = 2
3.º Se multiplican los términos de cada fracción por el cociente obtenido:
5 1 5
3 3 9
;


12 1 12
4 3 12
;
7 2 14

6  2 12
83 Reduce a común denominador las siguientes fracciones fijándote en el ejemplo
resuelto.
a)
17
13
y
30
15
b)
1
4
5
,
y
2
6
9
c)
5
2
3
,
y
8
5
4
d)
5
9
3
,
y
7
14
2
SM 3 – Números enteros y fraccionarios
23
Ordenación de fracciones
Para ordenar varias fracciones se reducen a común denominador, y después se
comparan los numeradores.
3
2
5
Por ejemplo, para ordenar de mayor a menor las fracciones
,
y
se
4
3
6
procede así:
1.º Se reducen a común denominador:
m.c.m.(4, 6, 3) = 12
12 : 4 = 3 ; 12 : 6 = 2 ; 12 : 3 = 4
3 3 3 9
5 5  2 10
;




4 4 3 12
6 6  2 12
;
2 2 4 8


3 34 12
2.º Se ordenan las fracciones en función de los numeradores:
10 9
8
5 3 2


  
12 12 12 6 4 3
84 Escribe el signo > o < según corresponda entre cada una de las siguientes
fracciones:
a)
1
2
1
4
b)
5
6
2
3
c)
3
5
85 Ordena de forma creciente estas fracciones:
a)
2
5
7
,
y
6
3
9
b)
5
3
9
,
y
4
2
8
c)
7
24
17
,
y
10
30
15
d)
6
7
1
,
y
40
30
20
7
10
d)
3
4
8
4
SM 3 – Números enteros y fraccionarios
24
Suma y resta de fracciones
Para sumar o restar fracciones con distinto denominador, primero se reducen a
común denominador, y después se suman o se restan los numeradores y se pone el
denominador común.
Por ejemplo:
2 3 5
 
3 4 6
m.c.m.(3, 4, 6) = 12
12 : 3 = 4; 12 : 4 = 3 ; 12 : 6 = 2
2 2 4 8
3 3 3 9
5 5  2 10
;
;






3 34 12
4 4 3 12
6 6  2 12
2 3 5 8 9 10 27
  



3 4 6 12 12 12 12
86 Haz las siguientes sumas y restas de fracciones:
a)
1 1
 =
4 6
b)
5 3
 =
6 4
c)
17 3 11
=
 
30 5 15
d)
11 5
 =
8 6
e)
7 11 13
=


30 60 20
f)
5 13
=

3 20
87 Calcula las siguientes sumas y restas de fracciones:
a)
3 7 1
  =
10 5 6
b)
3 5
 =
2 9
c)
11 7 6

 =
6 12 8
d)
5 3 3
  =
4 8 2
88 ¿Cuánto le falta a 3/4 para valer 5/3?
SM 3 – Números enteros y fraccionarios
25
89 La suma de dos fracciones es 15/18. Una de ellas es 1/6. ¿Cuál es la otra?
90 Un ciclista ha recorrido 3/10 de un trayecto por la mañana y 1/4 por la
tarde. ¿Qué parte del trayecto le falta por recorrer?
91 Completa la siguiente tabla:
a
17
10
3
2
5
3
13
12
b
11
15
2
3
5
6
3
4
c
5
6
3
4
5
9
7
8
a + b - c
a – b + c
SM 3 – Números enteros y fraccionarios
26
Producto de fracciones
El producto de dos o más fracciones es otra fracción cuyo numerador es el
producto de los numeradores y cuyo denominador es el producto de los
denominadores.
2 7 2 7 14
 

3 5 3 5 15
92 Calcula los siguientes productos de fracciones:
a)
2 4
 =
3 5
e)
7 1
 4 =
2 10
b)
3 7
 =
4 5
f)
3
6
5 =
4
10
c)
3 2 1
  =
4 5 2
g)
1 1

7 =
10 100
d)
2 11
  2=
3 5
h)
1 11 11
=
 
100 10 10
93 Expresa en forma de producto.
a) Los siete décimos de un tercio:
b) Los tres cuartos de dos quintos:
94 ¿Cuál es el área de este cuadrado? Recuerda:Área = lado·lado
3
m
10
A =
95 Un reloj se adelanta 9/10 de minuto cada hora. Se pone en hora a las doce de
la noche. ¿Qué hora marcará a las ocho de la tarde?
6 Dando un paseo recorremos, por término medio, cuatro kilómetros y medio en
una hora. ¿Cuantos kilómetros habremos andado en 3/4 de hora?
SM 3 – Números enteros y fraccionarios
27
Cociente de fracciones
El cociente de dos fracciones es otra fracción que se obtiene multiplicando la
fracción dividendo por la inversa de la fracción divisor.
4 3 4 2 4 2 8
:   

5 2 5 3 5 3 15
97 Calcula los siguientes cocientes de fracciones:
a)
5 4
: =
8 3
e)
1 5
: =
3 2
b)
5 2
: =
6 7
f)
5 1
: =
8 6
c)
9 4
: =
5 4
g) 6 :
d)
3 9
=
:
8 10
h)
1
=
10
7
:4 =
10
98 ¿Por qué fracción hay que multiplicar a 3/10 para obtener 21/50?
99 El cociente de dividir 11/10 entre un número es 11/8 ¿Cuál es el número?
100 La longitud de esta rueda es de 2 + 1/2 metros ¿Cuántas vueltas dará para
recorrer 100 metros?
101 Una persona tarda dos horas en hacer los 3/4 de un trayecto. ¿Cuánto
tardará en recorrer los 7/8? ¿Y todo el trayecto?
SM 3 – Números enteros y fraccionarios
28
Actividades con fracciones
102 Halla cuatro fracciones equivalentes a cada una de las siguientes:
a)
2
4
6
=
=
=
3
6
9
b)
5
=
4
=
=
=
=
c)
1
=
8
=
=
=
d)
1
=
6
=
=
=
103 Ordena de mayor a menor estas fracciones, reduciendo a común denominador.
a)
3
5
5
2
,
,
y
4
6
8
3
b)
3
7
11
2
,
,
y
5
10
15
3
104 Resuelve y simplifica las siguientes operaciones:
a)
7 1 3
  =
10 5 2
1 1 4
e)     =
4 8 5
b)
5 1 3
   =
3 8 4
f)
2 5 1
  =
3 6 4
c)
5 1 7 
 
=
4  3 12 
g)
3 1 1

: =
5 10 3
d)
7 5 3 
 
=
12  6 10 
7 3 1
h)    : =
8 4 2
105 Una carrera ciclista comprende tres partes: 1/6 en campo, 3/8 en carretera
y el resto en la pista de un polideportivo. ¿Qué parte de la carrera se realiza
en la pista?
106 El contenido de una botella de un litro y medio se repartió en cinco vasos.
¿Qué fracción de litro se echó en cada vaso?