MEDIDAS INDIRECTAS En muchas situaciones experimentales la magnitud de interés no es medible en forma directa (sino indirecta). PROPAGACION DE ERRORES O INCERTIDUMBRES Y= f(X) X=<X> ± Δ X Como para poder expresar Y = f(<X>) ± Δ Y (o f) PROPAGACION DE ERRORES O INCERTIDUMBRES Una variable Supongamos que la magnitud z se calcula a partir de la magnitud medida x (medición indirecta): z = z(x) X= xm ± Δ x ¿Cuánto valdrá Δ z? Es decir, ¿cómo se propaga el error que se cometió al medir x en el resultado del cálculo de z? Por ejemplo, veamos qué pasa si z(x) = x2: z ± Δ z = (x ± Δ x)2 = x2 ± 2x Δ x + (Δ x)2 Si Δ x es pequeño con respecto a x, (Δ x)2 lo es aún más Δ z = 2x Δ x PROPAGACION DE ERRORES O INCERTIDUMBRES Determinar el volumen de una esfera: V=(4/3) π (D/2)3 y medimos D (con su error D) ¿Cómo podremos determinar en este caso el mejor valor y la incertidumbre de V? En primera aproximación: V±ΔV=(1/6)π (D± Δ D)3 V± Δ V=(1/6) π[D3±3D2 Δ D+3D (Δ D)2±(Δ D)3] Δ D/D«1 (Δ D es muy pequeño) V± Δ V=(1/6)π (D3±3D2 Δ D) El mejor valor de V estará dado por: (1/6)π (el mejor valor de D)3 y por Δ V=(1/2) π D2 Δ D PROPAGACION DE ERRORES O INCERTIDUMBRES LA MAGNITUD A DETERMINAR DEPENDE DE UNA SOLA VARIABLE • ¿Cómo nos manejaremos en esa situación? Buscaremos alguna expresión general que nos permita determinar el mejor valor y la incertidumbre, independientemente de la complejidad de la función matemática ¿ Como? Si una función f y todas sus derivadas (de cualquier orden) están bien definidas en un punto, xo , podemos expresar el valor de la función en el entorno de dicho punto a partir de una serie (llamada Serie de Taylor) De manera general una buena estimación de z se obtiene a partir del desarrollo en serie de Taylor de z(x): PROPAGACION DE ERRORES O INCERTIDUMBRES Varias variable Supongamos: z= x+y X= xm ± Δ x e y= ym ± Δ y Z± Δz=( xm ± Δ x) +( ym ± Δ y) Posicion mas pesimista: Δ z= Δ x+Δ y Caso general que z=z(x,y) PROPAGACION DE ERRORES O INCERTIDUMBRES Casos simples (distribucion) ΔY = c ⋅ Δ X Y = c⋅ X Y = X1 ± X 2 ΔY = Y = X1 ⋅ X 2 X Y = X Y = X ΔY = Y 1 (ΔX 1 )2 + (ΔX 2 )2 ⎛ ΔX 1 ⎜⎜ ⎝ X1 2 ⎞ ⎛ ΔX 2 ⎟⎟ + ⎜⎜ ⎠ ⎝ X2 ⎞ ⎟⎟ ⎠ 2 n ΔY ΔX = n⋅ Y X •El periodo de un péndulo La expresión del error Δg de la variable dependiente g 7 2 Cada uno de los términos de la expresión anterior nos informa cómo contribuye o se propaga el intervalo de incertidumbre σxn de cada una de las variables (MEDIDAS DIRECTAMENTE), en el intervalo de incertidumbre σu de la magnitud derivada (MEDIDA INDIRECTAMENTE). Estadística µ= valor esperado s=SQRTs2 Error medio, desviacion estandar ERROR DEL VALOR MEDIO PROPAGACION DE ERRORES O INCERTIDUMBRES