Redes Equivalentes

1
Capítulo 5
REDES EQUIVALENTES
En variadas situaciones no interesa conocer todos los valores de los voltajes y corrientes de
una red, sino sólo un pequeño conjunto de ellos.
Pueden lograrse simplificaciones importantes, en el cálculo de una parte de la solución de la
red, empleando redes equivalentes.
Sean tres redes R1, R2 y R, conectadas de la forma en que se indica en la Figura 5.1.
R1
i
R
R2
i
R
v
v
Figura 5.1. R2 es equivalente a R1 respecto de R.
Denominamos solución de R, a los valores de las corrientes y voltajes de las componentes
dentro de R.
R1 es equivalente a R2 si la solución de R no cambia, si está conectada a R1 o a R2.
R no puede darse cuenta si tiene conectada la red R1 o la red R2.
Si sólo se desea obtener la solución en R cuando está conectada a R1; un método efectivo
consiste en determinar una red R2, equivalente a R1 y tal que los cálculos para determinar la
solución en R sean más simples.
5.1. Característica terminal de una sub-red
Si para una subred se plantean las ecuaciones de interconexión y las de equilibrio, en función
de las variables internas y de las terminales v e i; se puede lograr una relación entre v e i,
eliminando las variables internas.
A esa relación se la denomina característica terminal o de punto motriz. Y es equivalente a
definir la subred por su ecuación de equilibrio.
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Teoría de Redes Eléctricas
i
Subred
R
v
Figura 5.2. Relación terminal.
Se dice que una característica terminal es controlada por voltaje si la corriente terminal
puede describirse por una función del voltaje:
i
(5.1)
f (v)
i
v
Figura 5.3. Característica controlada por voltaje.
Para cada valor de v, existe sólo uno de i.
Se dice que una característica terminal es controlada por corriente si el voltaje terminal
puede describirse por una función de la corriente:
v
(5.2)
f (i)
i
v
Figura 5.4. Característica controlada por corriente.
Una característica no controlada por voltaje ni por corriente queda descrita por una relación
entre v e i:
f (v, i) 0
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(5.3)
Capítulo 5. Redes equivalentes
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i
v
Figura 5.5. Relación entre v e i.
5.2. Valores en terminales
En la Figura 5.6 si sólo se desea calcular v e i en los terminales, pueden determinarse las
características terminales de R1 y R2.
Resultan:
f1 (v, i) 0 para R1
(5.4)
f 2 (v, i) 0 para R 2
i
R1
R2
v
Figura 5.6. Intersección de características.
Resolviendo el sistema de dos ecuaciones (5.4) pueden calcularse los valores en los
terminales: v e i.
La solución anterior puede visualizarse gráficamente:
i
f1
is
f2
v
vs
Figura 5.7. Solución gráfica.
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Teoría de Redes Eléctricas
Donde: vs e is son los valores terminales, o solución del sistema, ya que satisfacen
simultáneamente el sistema descrito en (5.4).
Este método gráfico es muy útil si una de las sub-redes es no lineal y si se conoce su
característica terminal en forma gráfica.
En sistemas reales la solución es única.
Ejemplo 5.1.
Un caso frecuente de subred es un generador real de tensión. Veremos algunas propiedades
de su característica terminal.
Determinar característica terminal de la red RG:
i
R
v
e
RG
Figura 5.8. Recta de generación.
Se tiene, aplicando LVK y las ecuaciones de equilibrio de las componentes internas, que la
relación terminal es:
RG:
La función i
(5.5)
v e Ri
f (v) , en (5.5), se representa en forma gráfica en la Figura 5.9.
i
e/R
v
e
Figura 5.9. Parámetros de la recta.
La gráfica se dibuja en cierto instante. Si e es constante, la gráfica es válida para todo t.
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Capítulo 5. Redes equivalentes
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Si e cambia, con R constante, la recta se desplaza paralelamente.
Si R cambia, con e constante, la recta rota, manteniendo fija la intersección con el eje v.
La recta resultante podría denominarse recta de generación.
Ejemplo 5.2.
Determinar la solución en los terminales.
i
R
RC
v
e
RC
RG
Figura 5.10. Generador y carga.
Para la sub-red RC, a la derecha de los terminales:
RC : v
(5.6)
RC i
Para el generador real, a la izquierda de los terminales:
RG : v
(5.7)
e Ri
La solución gráfica del sistema descrito por (5.6) y (5.7) puede visualizarse en la Figura
5.11.
i
1/RC
e/R
1
is
v
vs
e
Figura 5.11. Recta de carga.
La gráfica de RC es una recta, comúnmente denominada de carga. Es la carga del generador
real; si RC disminuye aumenta la corriente que debe suministrar el generador.
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Teoría de Redes Eléctricas
En la intersección de la recta de generación con la recta de carga, se encuentra la solución
del voltaje y la corriente, en los terminales de la red.
5.3. Tipos de redes equivalentes
5.3.1. Equivalencia por igual característica terminal
En el esquema presentado en la Figura 5.1, si puede encontrarse una red R2 que tenga
estructura interconectada interna diferente a R1, pero con igual característica terminal que R1, se
dice que R1 y R2 son equivalentes por tener igual característica terminal.
5.3.2. Equivalencia por iguales valores terminales
Si la característica de R es controlada por voltaje, la red R1, de la Figura 5.1, puede
substituirse por una fuente de voltaje que tenga igual valor que el voltaje terminal. En este
caso, la red equivalente es una fuente de tensión.
a
i
v(t)
R
v
b
Figura 5.12. Substitución por fuente de voltaje.
La solución en R no cambia, al substituir la sub-red R1 por una fuente de voltaje.
Si la característica de R es controlada por corriente, la red R1, de la Figura 5.1, puede
ser substituida por una fuente de corriente que tenga igual valor que la corriente terminal. Esto
se ilustra en la Figura 5.13.
a
i
i(t)
R
v
b
Figura 5.13. Substitución por fuente de corriente.
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Capítulo 5. Redes equivalentes
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Casos particulares son la substitución por un cortocircuito, si se conoce que el voltaje
terminal es cero; y la substitución por un circuito abierto si se conoce que la corriente terminal
es cero.
5.4. Conexiones
Veremos algunas equivalencias que dependen de cómo estén conectadas las componentes
entre sí. Existen definiciones para algunas conexiones típicas, que estudiaremos a continuación.
5.4.1. Conexión serie
Dos componentes están en serie si son atravesadas por la misma corriente. Las componentes
tienen un y sólo un terminal común; y en ese terminal común no hay más componentes
conectadas. Se dice que C1 y C2 están en serie. Como se aprecia en la Figura 5.14, en A no hay
otras componentes conectadas.
C1
i
C2
A
i
Figura 5.14. Conexión serie.
5.4.2. Conexión paralelo
Dos componentes están en paralelo si tienen ambos terminales comunes; es decir, tienen
igual voltaje entre terminales. En la Figura 5.15, se dice que C1 y C2 están en paralelo.
v
C1
v
Figura 5.15. Conexión paralelo.
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C2
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5.5. Conmutatividad
5.5.1. Conmutatividad serie
Dos componentes en serie pueden conmutarse, sin cambiar la característica terminal del
conjunto.
Se tiene, para las componentes C1 y C2 de la Figura 5.16:
v(i )
(5.8)
v1 (i ) v2 (i )
v1
v2
A
i
C1
i
v
C2
R
Figura 5.16. Conmutatividad serie a.
La relación (5.8), que es una ecuación LVK, puede escribirse:
v(i )
(5.9)
v2 (i ) v1 (i )
Que puede interpretarse gráficamente como se ilustra en la Figura 5.17.
v2
v1
A
i
C2
v
i
C1
R
Figura 5.17. Conmutatividad serie b.
Las redes de las Figuras 5.16 y 5.17 son equivalentes respecto a la red R, por tener iguales
características terminales.
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Capítulo 5. Redes equivalentes
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5.5.2. Conmutatividad paralelo
Dos componentes en paralelo pueden conmutarse, sin cambiar la característica terminal del
conjunto.
Se tiene para las componentes C1 y C2 de la Figura 5.18, la siguiente relación terminal:
(5.10)
i (v) i1 (v) i2 (v)
i
R
i2
i1
v
C1
v
C2
Figura 5.18. Conmutatividad paralelo a.
La relación (5.10), que es una ecuación LCK, también puede escribirse según:
(5.11)
i (v) i2 (v) i1 (v)
La que puede interpretarse según la Figura 5.19.
i
R
i1
i2
v
C2
v
C1
Figura 5.19. Conmutatividad paralelo b.
Las redes de las Figuras 5.18 y 5.19 son equivalentes respecto a la red R, por tener iguales
características terminales.
5.6. Bilateralidad
Una componente cuya característica terminal sea simétrica respecto del origen puede
conectarse al revés, intercambiando terminales, sin cambiar su característica terminal.
Si para la componente C, en la Figura 5.20, se tiene:
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Teoría de Redes Eléctricas
(5.12)
f (v, i) 0
i
R
v
C
Figura 5.20. Bilateralidad a.
Si la relación (5.12) es simétrica respecto del origen, se tendrá:
f (v, i)
(5.13)
f ( v, i)
Debido a (5.13) puede plantearse la conexión de la componente C, como se indica en la
Figura 5.21.
i
R
v
C
Figura 5.21. Bilateralidad b.
Las redes de las Figuras 5.20 y 5.21 son equivalentes respecto a la red R, por tener iguales
características terminales.
5.7. Redundancia
5.7.1. Redundancia serie
En la Figura 5.22 se muestra una componente C, en serie con una fuente de corriente.
Para la red de la Figura 5.22, se tiene:
i
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j (t )
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(5.14)
Capítulo 5. Redes equivalentes
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i
a
C
j(t)
R
v
b
Figura 5.22. Redundancia serie a.
Para la red de la Figura 5.23, también se cumple la relación (5.14); pero debe notarse que los
valores de la variable v, en las Figuras 5.22 y 5.23 son diferentes.
i
j(t)
a
R
v
b
Figura 5.23. Redundancia serie b.
Se dice que la componente C, como se muestra en la Figura 5.22, es redundante en serie; y
puede sacarse, como se ilustra en la Figura 5.23.
Las redes de las Figuras 5.22 y 5.23 son equivalentes respecto a la red R, por tener iguales
valores de la corriente terminal.
La componente C no puede ser una fuente de corriente diferente a j. Si lo fuera la estructura
no sería red, ya que no se cumpliría LCK.
5.7.2. Redundancia paralelo
Una componente C en paralelo con una fuente de tensión, como se muestra en la Figura 5.24,
es redundante en paralelo, y puede sacarse, como se ilustra en la Figura 5.25, conservando los
valores terminales del voltaje.
Para las redes de las Figuras 5.24 y 5.25, se cumple que el valor terminal del voltaje es:
v e(t )
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(5.15)
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Teoría de Redes Eléctricas
a
i
+
C
e(t)
R
v
b
Figura 5.24. Redundancia paralelo a.
i
a
+
e(t)
R
v
b
Figura 5.25. Redundancia paralelo b.
Es evidente que la energía que suministra la fuente e, es diferente en ambas situaciones;
también la corriente i, es diferente. Lo que no cambia es la solución al interior de la red R.
Las redes de las Figuras 5.24 y 5.25 son equivalentes respecto a la red R, por tener iguales
valores del voltaje terminal.
La componente C no puede ser una fuente de tensión diferente de e, en este caso no es red;
ya que no se cumple LVK.
Debe notarse que si la corriente en C es el elemento de control de una fuente controlada, no
es redundante y no puede sacarse; ya que altera la solución en la sub-red R conectada.
5.8. Contracción de cortocircuitos
Si en una sub-red existe un cortocircuito, éste puede contraerse manteniendo la característica
terminal de la sub-red. Se ilustra un cortocircuito entre los nodos A y B, de la Figura 5.26.
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Capítulo 5. Redes equivalentes
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i
R1
iC
B
A
R
v
vC
Figura 5.26. Contracción de cortocircuito.
En las ecuaciones internas de R1, vc aparece en ecuaciones LVK, en circuitos que contengan
al elemento AB; estas ecuaciones no cambian si se reemplaza vc por cero.
En R1, hay dos ecuaciones LCK, que contienen a ic; las asociadas a los nodos A y B.
Nótese que vA y vB con respecto a una referencia común, son iguales, debido a LVK.
Si se elimina el cortocircuito, por contracción, queda sólo una ecuación LCK, asociada al
nodo fusionado A y B.
Entonces ambos sistemas de ecuaciones permiten derivar igual relación para las variables
terminales v e i.
La sub-red con el cortocircuito contraído, tiene una ecuación LCK menos que la red original;
pero también tiene una variable corriente menos que la red original; y las ecuaciones LVK son
las mismas.
5.9. Duplicación de nodo
Nótese que cualquier nodo puede “partirse” en dos, conectados por un cortocircuito.
El nodo b, de la Figura 5.27 izquierda, se ha duplicado en b y b’, en la Figura 5.27 derecha.
Según se vió en 5.8, el cortocircuito entre b y b’, en la Figura 5.27 a la derecha, puede
contraerse, originando la Figura 5.27 izquierda.
b’
i
R
i
C
v
R
b
C
v
b
Figura 5.27. Duplicación de nodo.
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14
Teoría de Redes Eléctricas
Puede decirse que el nodo b puede partirse en los nodos b y b’ conectados por un
cortocircuito.
Las redes originan iguales ecuaciones LCK y LVK, y de equilibrio. La red de la derecha
aporta una ecuación de equilibrio adicional, y las dos variables asociadas al cortocircuito.
Ambas redes son equivalentes, con respecto a R, por tener iguales características terminales.
Esta equivalencia es muy usada para darle una característica reticular a los diagramas de
redes eléctricas.
5.10. Apertura de elementos
Si en una sub-red se conoce que la corriente es cero en un elemento, éste puede reemplazarse
por un circuito abierto, o sacarse, manteniendo la característica terminal de la sub-red.
i
R1
ia
A
B
R
v
va
Figura 5.28. Substitución por circuito abierto.
En las ecuaciones internas de R1, ia interviene en las LCK en los nodos A y B; y éstas no
cambian al reemplazar ia por cero.
En redes planas, existen dos mallas que contienen al elemento AB. Por lo tanto, existen dos
ecuaciones LVK que contienen el voltaje del elemento.
Al sacar el elemento, la nueva red contiene una ecuación LVK menos. Y esa ecuación es la
que resulta de eliminar el voltaje del elemento en las dos ecuaciones anteriormente
mencionadas. Lo cual muestra que ambos sistemas de ecuaciones permiten derivar igual
relación para las variables terminales v e i.
Un caso particular de los teoremas anteriores, vistos en 5.8 y 5.9, es el que se produce:
Cuando se conoce que el voltaje de un elemento es cero, y puede deducirse por su ecuación de
equilibrio, que la corriente también es cero. Por ejemplo, esto sucede si el elemento es una
resistencia.
Se produce una situación similar, cuando se conoce que la corriente es cero, y por la
ecuación de equilibrio se deduce que el voltaje es cero.
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Capítulo 5. Redes equivalentes
15
En ambos casos se tendrá que el elemento es un oport. Y puede ser considerado circuito
abierto o cortocircuito según convenga. Es decir, el elemento se puede “sacar” o bien
reemplazar por un cortocircuito; el que a su vez puede “contraerse”.
5.11. Movilidad de fuentes de tensión
Consideramos la red que se ilustra en la Figura 5.29.
Entre A y B hay un circuito abierto. Si e1 e2 , se tiene que el voltaje entre A y B es cero, y
puede aplicarse el teorema de substitución
por un cortocircuito.
i
A
1
R
i2
B
e1
e2
Figura 5.29. Movilidad de fuentes de tensión a.
Conectando un cortocircuito, entre A y B, tendremos:
iC 0 , vC 0
Esto puede verse en la Figura 5.30.
A
i1
R
iC
vC
e
i2
B
e
Figura 5.30. Movilidad de fuentes de tensión b.
Contrayendo el cortocircuito y aplicando redundancia paralela, se logra:
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Teoría de Redes Eléctricas
i1
R
A
i2
B
A
e
Figura 5.31. Movilidad de fuentes de tensión c.
Si en un nodo hay conectada una fuente de tensión, como se muestra en la Figura 5.31, ésta
puede “moverse” hacia todas las componentes conectadas al nodo. Se mueve la fuente a través
de A y B, hacia los elementos, originando la Figura 5.29, con e1 e2 .
El generador ideal, de la Figura 5.31, queda como varios generadores reales, en la Figura
5.29; es decir, cada generador de tensión queda con una componente en serie.
5.12. Movilidad de fuentes de corriente
Consideremos la red, de la Figura 5.32.
R
v1
j1
A
j2
B
v2
Figura 5.32. Movilidad de fuentes de corriente a.
Entre A y B hay un cortocircuito.
Si j1
j2 , se tiene, por LCK, que la corriente en el cortocircuito es cero.
Si el oport entre A y B es reemplazado por un circuito abierto, y se aplica redundancia serie
de fuentes de corriente, se logra, la Figura 5.33.
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Capítulo 5. Redes equivalentes
17
C
R
v1
B
j
v2
A
Figura 5.33. Movilidad de fuentes de corriente b.
En la Figura 5.33, la fuente que mueve corriente de A hacia C, puede ser reemplazada por
una fuente que lleva corriente de A hacia B y otra que lleva de B hacia C, como se ilustra en la
Figura 5.32.
Nótese que el cortocircuito entre A y B del primer diagrama puede contraerse.
Esta equivalencia permite transformar un generador ideal de corriente en generadores reales;
es decir, cada generador de corriente con una componente en paralelo, tal como se ilustra en la
Figura 5.32.
5.12. Redes equivalentes de componentes de igual tipo
5.12.1. Dos resistencias en serie
Para la conexión serie de dos resistencias, que se muestra en la Figura 5.34, puede obtenerse
una resistencia equivalente, aplicando las ecuaciones a la sub-red izquierda, y luego eliminando
las variables internas de ésta.
i
Red
v1
R1
v
v2
R2
Figura 5.34. Resistencias en serie.
Aplicando LVK:
v
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v1 v2
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(5.16)
18
Teoría de Redes Eléctricas
Empleando las ecuaciones de equilibrio de las resistencias en (5.16), se eliminan v1 y v2, se
obtiene:
v
R1i1 R2i2
(5.17)
Aplicando LCK, se tiene:
i
i1
(5.18)
i2
Eliminando las corrientes internas, se obtiene:
v
( R1
R2 )i
(5.19)
Para la red de la Figura 5.35, se tiene la siguiente relación entre variables terminales:
v
(5.20)
Ri
i
Red
R
v
Figura 5.35. Resistencia serie equivalente.
Comparando las relaciones (5.19) y (5.29) se tiene que las redes de las Figuras 5.34 y 5.35
son equivalentes, por tener igual característica terminal, si se cumple que:
R
R1
R2
(5.21)
La combinación serie de dos resistencias es equivalente a una resistencia R, con el valor
dado por la relación (5.21).
5.12.2. Dos resistencias en paralelo
Para la conexión en paralelo de dos resistencias, que se muestra en la Figura 5.36, puede
obtenerse una resistencia equivalente, aplicando las ecuaciones a la sub-red, y luego eliminando
las variables internas de ésta.
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Capítulo 5. Redes equivalentes
19
i
Red
i1
i2
R1
R2
v
Figura 5.36. Resistencias en paralelo.
Se tienen por LVK y las ecuaciones de equilibrio:
(5.22)
v
R1i1
v
R2i2
i
i1 i2
Aplicando LCK:
(5.23)
Reemplazando, las corrientes en (5.23) mediante las ecuaciones de equilibrio de (5.22), se
obtiene:
v
R1
i
(5.24)
v
R2
Resulta, factorizando:
i
v
1
R1
(5.25)
1
R2
Para la red de la Figura 5.37, se obtiene la relación (5.20).
i
Red
R
v
Figura 5.37. Resistencia paralelo equivalente.
Comparando (5.20) con (5.25) se tiene que las redes de las Figuras 5.36 y 5.37 son
equivalentes por tener la misma característica terminal, si se cumple que:
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20
Teoría de Redes Eléctricas
1
R
1
R1
(5.26)
1
R2
Despejando R, de la relación (5.26), se obtiene:
(5.27)
R1 ·R2
R1 R2
R
Para recordar la fórmula en (5.27), nótese que el producto de las resistencias debe ir en el
numerador; para mantener la dimensión física de la resistencia equivalente. La relación (5.27)
suele anotarse: R R1  R2 .
Interpretación gráfica: Si se colocan, como ordenadas, los valores de R1 y R2 separados en
cierta cantidad en el eje de abcisas; y se unen los extremos, se forman dos triángulos, según
muestra la Figura 5.38.
R1
R2
x
a
b
Figura 5.38. Resistencia en paralelo.
Por semejanza de triángulos, o bien calculando las tangentes de
tg
x
a
R2
;
a b
x
b
tg
R1
a b
y
se logra:
(5.28)
A partir de estas expresiones, puede obtenerse:
x
R2
a
a b
x
R1
;
b
(5.29)
a b
Sumando las relaciones en (5.29) se obtiene:
x
R2
Leopoldo Silva Bijit
x
R1
1
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(5.30)
Capítulo 5. Redes equivalentes
21
Despejando x, en (5.30), se obtiene:
x
R1 R2
R1 R2
(5.31)
Volviendo a la Figura 5.38, se tiene que el valor de la resistencia equivalente está
representado por x.
Se observa que la resistencia de la combinación paralela es menor que R1 y R2.
5.12.3. Cálculos aproximados
Para el caso serie, si R1 10R2 se tendrá R R1.
Para el caso paralelo, si R1 10R2 se tendrá R R2.
Se define el error relativo como:
e
(valor exacto) - (valor aprox.)
100%
(valor exacto)
(5.32)
En el caso serie, el error relativo en porcentaje es:
e
( R1 R1 /10) R1
100% 9, 09% 10%
1,1R1
(5.33)
En el caso paralelo, el error relativo es:
e
(10 /11) R2 R2
100% 10%
(10 /11) R2
(5.34)
Entonces, si se emplean componentes cuya tolerancia de fabricación es del 10%, la forma de
aproximar mostrada mantiene los cálculos dentro de la tolerancia.
5.12.4. Componentes dinámicas en paralelo o serie
Puede comprobarse que las inductancias en serie y en paralelo tienen expresiones similares a
las obtenidas para las resistencias.
En el caso de condensadores en serie se aplica la estructura de la fórmula para sumar
resistencias en paralelo; para el caso de condensadores en paralelo, se usa la estructura de la
fórmula para sumar resistencias en serie.
Calcularemos el condensador equivalente de dos conectados en paralelo, que se ilustra la
Figura 5.39.
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22
Teoría de Redes Eléctricas
i
i1
i2
C1
C2
Red
v
Figura 5.39. Condensadores en paralelo.
De las ecuaciones de equilibrio, se tienen:
i1
i1
dv
dt
dv
C2
dt
C1
(5.35)
Aplicando LCK, y reemplazando las ecuaciones de equilibrio, se obtiene:
i i1 i2
(C1 C2 )
dv
dt
(5.36)
Si se compara (5.36) con la ecuación de equilibrio de un condensador, se obtiene el valor del
condensador equivalente a la conexión paralelo:
C
(5.37)
C1 C2
5.12.5. Fuentes de tensión en serie
La Figura 5.40 ilustra la conexión serie de dos fuentes ideales de tensión:
i
R
e2
e1
Figura 5.40. Fuentes de tensión en serie.
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Capítulo 5. Redes equivalentes
23
Aplicando LVK, puede reemplazarse la combinación serie por una fuente de tensión
equivalente con valor:
e
(5.38)
e1 e2
Si las fuentes ideales de tensión están en paralelo, sólo pueden ser iguales; ya que debe
cumplirse LVK.
5.12.6. Fuentes de corriente en paralelo
La Figura 5.41 ilustra la conexión paralelo de dos fuentes ideales de corriente:
j
j1
j2
v
Figura 5.41. Fuentes de corriente en paralelo.
Aplicando LCK, pueden reemplazarse la combinación paralelo por una fuente de corriente
independiente ideal de valor:
j
j1
(5.39)
j2
Si las fuentes están en serie, sólo pueden ser iguales; ya que debe cumplirse LCK.
5.12.7. Dos fuentes reales en paralelo
La Figura 5.42 muestra dos fuentes independientes de tensión, cada una con una resistencia
en serie. Se desea encontrar una red equivalente con un solo generador, como se ilustra en la
Figura 5.43.
i1
R1
i
i2
R
R2
e1
e2
v
Figura 5.42. Dos fuentes en paralelo.
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24
Teoría de Redes Eléctricas
Para la Figura 5.42 se tienen las siguientes ecuaciones LVK, en las cuales se han
reemplazado las ecuaciones de equilibrio:
v e1 R1i1
v e2
(5.40)
R2i2
Además se tiene, por LCK, que:
i
(5.41)
i1 i2
Eliminando mediante (5.40) las corrientes internas i1 e i2, se obtiene:
e1 v
R1
i
(5.42)
e2 v
R2
Despejando v, en (5.42) se obtiene:
v
R2e1 R1e2
R1 R2
(5.43)
R1 R2
i
R1 R2
Para la red de la Figura 5.43, se tiene la siguiente característica terminal.
(5.44)
v e Ri
R
i
v
e
R
Figura 5.43. Fuente equivalente.
Comparando los coeficientes de (5.43) y (5.44), las redes de las Figuras 5.42 y 5.43 son
equivalentes por tener iguales características terminales, si se cumple que:
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e
R2 e1 R1e2
R1 R2
R
R1 R2
R1 R2
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(5.45)
Capítulo 5. Redes equivalentes
25
Resultado que se conoce como Teorema de Millman.
El teorema se puede extender a más de dos generadores reales conectados en paralelo. Por
ejemplo, para tres generadores en paralelo, se tiene:
e3
R3
1
R3
e
e1
R1
1
R1
e2
R2
1
R2
R
R1  R2  R3
(5.46)
5.12.8. Resistores en serie
La Figura 5.42 muestra dos resistores en serie. Se asumen conocidas las características
gráficas de cada componente.
i
v1
R1
R
R2
v2
Figura 5.44. Resistores en serie.
Los resistores de la Figura 5.44 son equivalentes al resistor R de la Figura 5.45.
i
R
v
R
Figura 5.45. Resistor equivalente.
Interesa determinar la característica gráfica del resistor R.
El procedimiento gráfico para componer las características no lineales de los resistores,
consiste en disponer las gráficas como se ilustra en la Figura 5.46. La característica de R se
logra punto a punto.
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26
Teoría de Redes Eléctricas
i
i
i
v1
v
v2
Figura 5.46. Procedimiento gráfico. Suma serie.
Para igual corriente, se suman las abscisas individuales, aplicando LVK.
Ejemplo:
i
R
v1
R1
v2
Figura 5.47. Diodo y resistencia serie.
Nótese que para valores negativos de i, el diodo es un circuito abierto.
i
i
i
v1
v2
v
Figura 5.48. Suma LVK gráfica.
5.12.9. Resistores en paralelo
Para componer, en forma gráfica, características de componentes en paralelo, se procede
según:
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Capítulo 5. Redes equivalentes
27
i
i1
Red
i2
v
Figura 5.49. Resistores en paralelo.
i1
a
v
i2
b
v
i
a+b
v
Figura 5.50. Procedimiento gráfico. Suma paralelo.
Para igual voltaje, se suman las ordenadas, según LCK.
Ejemplo:
i
i1
i2
R
D
Red
v
Figura 5.51. Diodo y resistencia paralela.
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28
Teoría de Redes Eléctricas
i1
v
i2
v
i
v
Figura 5.52. Suma LCK gráfica.
Nótese que para voltajes mayores que cero, el diodo puede reemplazarse por un
cortocircuito. Y al sumar en paralelo una resistencia cero con otra de valor cualquiera, queda el
cortocircuito.
5.13. Redes equivalentes estrella y triángulo
Para la conexión estrella, que se muestra en la Figura 5.53, pueden encontrarse las
resistencias de una conexión equivalente triángulo, que se muestra en la Figura 5.54, tal que se
mantengan las características terminales de ambas configuraciones.
También pueden determinarse los valores de las resistencias de la conexión estrella que sea
equivalente, por tener iguales características terminales, a la conexión triángulo.
El cálculo de las equivalencias demanda gran trabajo algebraico. Está basado en plantear las
ecuaciones de la red en término de las variables terminales, para ambas redes, y luego se
determinan las equivalencias comparando los coeficientes.
Es decir, deben lograrse las relaciones terminales (5.47) para las redes de las Figuras 5.53 y
5.54.
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Capítulo 5. Redes equivalentes
29
i1
f1 (va , vb )
i2
f 2 (va , vb )
i3
f 3 (va , vb )
(5.47)
i1
R1
v1
va
v3
v2
i2
vb
R3
R2
i3
Figura 5.53. Conexión estrella.
i1
I1
V1
va
1
V3
r1
r3
r2
i2
I3
1
I2
1
vb
V2
i3
Figura 5.54. Conexión triángulo.
Las resistencias del triángulo en función de las resistencias de la estrella, resultan:
r1
R1R2
R2 R3
R3
R3 R1
, r2
R1R2
R2 R3
R1
R3 R1
, r3
R1R2
R2 R3
R2
R3 R1
Las resistencias de la estrella en función de las resistencias del triángulo, resultan:
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(5.48)
30
Teoría de Redes Eléctricas
R1
r1r3
, R2
r1 r2 r3
r1r2
, R3
r1 r2 r3
r2 r3
r1 r2 r3
(5.49)
Si las tres resistencias de la estrella son iguales a R, la relación (5.48) se simplifica a:
rY
3R
(5.50)
Si las tres resistencias del triángulo son iguales a r, la relación (5.49) se simplifica a:
R
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rY
3
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(5.51)
Capítulo 5. Redes equivalentes
31
Problemas resueltos
Problema 5.1
Para la red de la Figura P5.1, determinar la red equivalente más simple, respecto de la red R.
Se tienen R1 = 1, R2 = 2, R3 = 3, k = 4, m = 1/2
i2 R1
R3
R
ia
+
kia
mv1
i
R2
v1
v
Figura P5.1.
Solución.
Definiendo la corriente i2, se plantean las ecuaciones:
v
R3 i
v1 , i2
k ia
ia
i
0 , m v1
R1 i2
v1 , v1
R2 ia
No es necesaria plantear la ecuación LVK en la malla central, ésta está implícita si se define
v1 como el voltaje en la fuente dependiente de corriente.
Eliminando: i2, ia, v1 resulta:
v
i ( R3 R2
m R2 R3 R1 R2 R1 k R3
m R2 R1 k R1 R2
Evaluando con los datos dados, se obtiene: v
R1 R3 )
2i
La red más simple es una resistencia de valor 2, se muestra en la Figura P5.2.
i
R
2
v
Figura P5.2.
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32
Teoría de Redes Eléctricas
Problema 5.2.
Para la red de la Figura P5.3, determinar la red equivalente más simple, respecto de la red R.
i
A
R1
R2
v
R
R3
C
B
R4
R5
D
Figura P5.3.
Solución.
Si se cumple la condición de puente equilibrado:
R1 R5
R2 R4
a) La corriente que circula en la resistencia R3 es cero; si se reemplaza por un circuito abierto
la resistencia equivalente será:
R
( R1 R4 ) || ( R2
R5 )
b) La corriente que circula en la resistencia R3 es cero; por lo tanto el voltaje en la resistencia
será cero; si se reemplaza por un corto circuito la resistencia equivalente será:
R
( R1 || R2 ) ( R4 || R5 )
Si no se cumple la condición de equilibrio del puente existen diversas alternativas para
reducir el puente:
c) El triángulo ABC se reemplaza por una estrella.
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Capítulo 5. Redes equivalentes
33
i
A
r2
v
R
r3
r1
C
B
R4
R5
D
Figura P5.4.
La resistencia equivalente puede calcularse en la Figura P5.4 según:
R
r2
(r1
R4 ) || (r3
R5 )
Donde:
r1
R1 R3
R1 R2 R3
r2
R1 R2
R1 R2 R3
r3
R2 R3
R1 R2 R3
d) La estrella cuyo nodo central es B, puede reemplazarse por un triángulo, como se muestra
en la Figura P5.5; esto elimina el nodo B.
i
A
R2
R
v
r1
r2
C
r3
R5
D
Figura P5.5.
La resistencia equivalente puede calcularse en la Figura P5.5 según:
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34
Teoría de Redes Eléctricas
R
r2 || ((r1 || R2 ) (r3 || R5 ))
Donde:
r1
R1 R3
R3 R4
R4
R4 R1
R1 R3
R3 R4
R3
R4 R1
R1 R3
R3 R4
R1
R4 R1
r2
r3
Problema 5.3.
Para la red de la Figura P5.6, determinar la red equivalente más simple, respecto de la red R.
R1
i
i1
e
+
v
+
mv
ki1
R
R2
Figura P5.6.
Solución.
Definiendo variables en las componentes, según se muestra en la Figura P5.7.
R1
i5
+
e
i1
v5
i
i3
+
v1
v3
i4
i2
ki1
v
v4
R2
mv
v2
Figura P5.7.
Se pueden escribir cinco ecuaciones de equilibrio:
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v1
R1i1 , v2
v3
mv, i4
R2i2
ki1 , v5
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e
R
Capítulo 5. Redes equivalentes
35
Tres ecuaciones LCK:
i5
i1 , i3
i1 , i
i2 i4
Tres ecuaciones LVK:
v5
v1 v3 , v
v2 , v
v4
Si en las once ecuaciones anteriores se eliminan las diez variables internas: v1, v2, v3, v4, v5,
i1, i2, i3, i4 e i5, se obtiene:
v
R1R2
i
R1 kmR2
R2 ke
R1 kmR2
Definiendo:
Re
R1 R2
R1 kmR2
Ee
R2 ke
R1 kmR2
La red equivalente puede representarse según la Figura P5.8
i
Re
+
Ee
v
Figura P5.8.
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R
36
Teoría de Redes Eléctricas
Ejercicios propuestos
Ejercicio 5.1.
Para la red de la Figura E5.1, calcular la corriente i:
A
2
B
3
4
5
C
i
2
D
10
Figura E5.1.
a) Mediante transformación estrella-triángulo.
b) Aplicando red equivalente entre B y C, vista por la resistencia de 4 ohms.
c) Aplicando movilidad de fuentes de corriente.
Indicar los teoremas que se aplican, y volver a dibujar la red después de aplicarlos.
Ejercicio 5.2.
Para la red de la Figura E5.2:
F
G
H
i2
7
5
3
4
3
2
A
+
5
D
C
B
i1
4
2
5
E
Figura E5.2.
Aplicar teoremas de equivalencia para:
a) Calcular las corriente i1 e i2.
b) Determinar la red equivalente vista por la resistencia de 5 ohms, entre los vértices C y E.
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Capítulo 5. Redes equivalentes
37
c) Determinar la red equivalente vista por la resistencia de 4 ohms, entre los vértices G y B.
Ejercicio 5.3.
En la red de la Figura E5.3, calcular la corriente de B a C, y el voltaje entre B y D.
A
i
R1
R2
+
C
e
B
R4
R3
D
Figura E5.3.
Ejercicio 5.4.
En la red de la Figura E5.4, calcular la corriente i, y el voltaje entre B y C.
A
i
R1
j
+
e
R2
C
B
R4
R3
D
Figura E5.4.
Ejercicio 5.5.
a) Para la red de la Figura E5.5 determinar la red equivalente más simple vista por la fuente
de tensión e.
b) Para la red de la Figura E5.5 determinar la red equivalente más simple vista por la
resistencia Rc.
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38
Teoría de Redes Eléctricas
A
R1
kvBD
B
+
+
R2
e
C
RC
D
Figura E5.5.
Ejercicio 5.6.
a) Para la red de la Figura E5.6 determinar la red equivalente más simple vista por la fuente
de tensión e.
b) Para la red de la Figura E5.6 determinar la red equivalente más simple vista por la
resistencia Rc.
kiAB
A
R1
R3
B
+
e
C
RC
R2
D
Figura E5.6.
Ejercicio 5.7.
a) Para la red de la Figura E5.7 determinar la red equivalente más simple vista por la fuente
de tensión e.
b) Para la red de la Figura E5.7 determinar la red equivalente más simple vista por la
resistencia Rc.
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Capítulo 5. Redes equivalentes
39
R1
A
kiCB
B
C
R3
R2
+
D
RC
+
e
E
Figura E5.7.
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40
Teoría de Redes Eléctricas
Índice general
CAPÍTULO 5 ........................................................................................................................... 1
REDES EQUIVALENTES ...................................................................................................... 1
5.1. CARACTERÍSTICA TERMINAL DE UNA SUB-RED ............................................................ 1
5.2. VALORES EN TERMINALES ............................................................................................ 3
Ejemplo 5.1....................................................................................................................... 4
Ejemplo 5.2....................................................................................................................... 5
5.3. TIPOS DE REDES EQUIVALENTES ................................................................................... 6
5.3.1. Equivalencia por igual característica terminal...................................................... 6
5.3.2. Equivalencia por iguales valores terminales ......................................................... 6
5.4. CONEXIONES ................................................................................................................. 7
5.4.1. Conexión serie ........................................................................................................ 7
5.4.2. Conexión paralelo ................................................................................................. 7
5.5. CONMUTATIVIDAD ........................................................................................................ 8
5.5.1. Conmutatividad serie ............................................................................................. 8
5.5.2. Conmutatividad paralelo ........................................................................................ 9
5.6. BILATERALIDAD............................................................................................................ 9
5.7. REDUNDANCIA ............................................................................................................ 10
5.7.1. Redundancia serie ................................................................................................ 10
5.7.2. Redundancia paralelo .......................................................................................... 11
5.8. CONTRACCIÓN DE CORTOCIRCUITOS .......................................................................... 12
5.9. DUPLICACIÓN DE NODO .............................................................................................. 13
5.10. APERTURA DE ELEMENTOS ....................................................................................... 14
5.11. MOVILIDAD DE FUENTES DE TENSIÓN....................................................................... 15
5.12. MOVILIDAD DE FUENTES DE CORRIENTE .................................................................. 16
5.12. REDES EQUIVALENTES DE COMPONENTES DE IGUAL TIPO ........................................ 17
5.12.1. Dos resistencias en serie ................................................................................... 17
5.12.2. Dos resistencias en paralelo ............................................................................. 18
5.12.3. Cálculos aproximados ........................................................................................ 21
5.12.4. Componentes dinámicas en paralelo o serie ...................................................... 21
5.12.5. Fuentes de tensión en serie................................................................................. 22
5.12.6. Fuentes de corriente en paralelo........................................................................ 23
5.12.7. Dos fuentes reales en paralelo ........................................................................... 23
5.12.8. Resistores en serie .............................................................................................. 25
5.12.9. Resistores en paralelo ........................................................................................ 26
5.13. REDES EQUIVALENTES ESTRELLA Y TRIÁNGULO ....................................................... 28
PROBLEMAS RESUELTOS ..................................................................................................... 31
Problema 5.1 .................................................................................................................. 31
Problema 5.2. ................................................................................................................. 32
Problema 5.3. ................................................................................................................. 34
EJERCICIOS PROPUESTOS .................................................................................................... 36
Ejercicio 5.1. .................................................................................................................. 36
Ejercicio 5.2. .................................................................................................................. 36
Ejercicio 5.3. .................................................................................................................. 37
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Capítulo 5. Redes equivalentes
41
Ejercicio 5.4. .................................................................................................................. 37
Ejercicio 5.5. .................................................................................................................. 37
Ejercicio 5.6. .................................................................................................................. 38
Ejercicio 5.7. .................................................................................................................. 38
ÍNDICE GENERAL ................................................................................................................ 40
Índice de figuras.
Figura 5.1. R2 es equivalente a R1 respecto de R. ........................................................................ 1
Figura 5.2. Relación terminal. ...................................................................................................... 2
Figura 5.3. Característica controlada por voltaje.......................................................................... 2
Figura 5.4. Característica controlada por corriente. ..................................................................... 2
Figura 5.5. Relación entre v e i. ................................................................................................... 3
Figura 5.6. Intersección de características. ................................................................................... 3
Figura 5.7. Solución gráfica. ........................................................................................................ 3
Figura 5.8. Recta de generación. .................................................................................................. 4
Figura 5.9. Parámetros de la recta. ............................................................................................... 4
Figura 5.10. Generador y carga. ................................................................................................... 5
Figura 5.11. Recta de carga. ......................................................................................................... 5
Figura 5.12. Substitución por fuente de voltaje. ........................................................................... 6
Figura 5.13. Substitución por fuente de corriente. ....................................................................... 6
Figura 5.14. Conexión serie. ........................................................................................................ 7
Figura 5.15. Conexión paralelo. ................................................................................................... 7
Figura 5.16. Conmutatividad serie a. ........................................................................................... 8
Figura 5.17. Conmutatividad serie b. ........................................................................................... 8
Figura 5.18. Conmutatividad paralelo a. ...................................................................................... 9
Figura 5.19. Conmutatividad paralelo b. ...................................................................................... 9
Figura 5.20. Bilateralidad a. ....................................................................................................... 10
Figura 5.21. Bilateralidad b. ....................................................................................................... 10
Figura 5.22. Redundancia serie a. .............................................................................................. 11
Figura 5.23. Redundancia serie b. .............................................................................................. 11
Figura 5.24. Redundancia paralelo a. ......................................................................................... 12
Figura 5.25. Redundancia paralelo b. ......................................................................................... 12
Figura 5.26. Contracción de cortocircuito. ................................................................................. 13
Figura 5.27. Duplicación de nodo. ............................................................................................. 13
Figura 5.28. Substitución por circuito abierto. ........................................................................... 14
Figura 5.29. Movilidad de fuentes de tensión a.......................................................................... 15
Figura 5.30. Movilidad de fuentes de tensión b. ........................................................................ 15
Figura 5.31. Movilidad de fuentes de tensión c.......................................................................... 16
Figura 5.32. Movilidad de fuentes de corriente a. ...................................................................... 16
Figura 5.33. Movilidad de fuentes de corriente b. ...................................................................... 17
Figura 5.34. Resistencias en serie. ............................................................................................. 17
Figura 5.35. Resistencia serie equivalente. ................................................................................ 18
Figura 5.36. Resistencias en paralelo. ........................................................................................ 19
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42
Teoría de Redes Eléctricas
Figura 5.37. Resistencia paralelo equivalente. ........................................................................... 19
Figura 5.38. Resistencia en paralelo. .......................................................................................... 20
Figura 5.39. Condensadores en paralelo. .................................................................................... 22
Figura 5.40. Fuentes de tensión en serie. .................................................................................... 22
Figura 5.41. Fuentes de corriente en paralelo. ............................................................................ 23
Figura 5.42. Dos fuentes en paralelo. ......................................................................................... 23
Figura 5.43. Fuente equivalente. ................................................................................................ 24
Figura 5.44. Resistores en serie. ................................................................................................. 25
Figura 5.45. Resistor equivalente. .............................................................................................. 25
Figura 5.46. Procedimiento gráfico. Suma serie......................................................................... 26
Figura 5.47. Diodo y resistencia serie. ....................................................................................... 26
Figura 5.48. Suma LVK gráfica. ................................................................................................ 26
Figura 5.49. Resistores en paralelo............................................................................................. 27
Figura 5.50. Procedimiento gráfico. Suma paralelo. ................................................................. 27
Figura 5.51. Diodo y resistencia paralela. .................................................................................. 27
Figura 5.52. Suma LCK gráfica.................................................................................................. 28
Figura 5.53. Conexión estrella.................................................................................................... 29
Figura 5.54. Conexión triángulo. ................................................................................................ 29
Figura P5.1. ................................................................................................................................. 31
Figura P5.2. ................................................................................................................................. 31
Figura P5.3. ................................................................................................................................. 32
Figura P5.4. ................................................................................................................................. 33
Figura P5.5. ................................................................................................................................. 33
Figura P5.6. ................................................................................................................................. 34
Figura P5.7. ................................................................................................................................. 34
Figura P5.8. ................................................................................................................................. 35
Figura E5.1. ................................................................................................................................. 36
Figura E5.2. ................................................................................................................................. 36
Figura E5.3. ................................................................................................................................. 37
Figura E5.4. ................................................................................................................................. 37
Figura E5.5. ................................................................................................................................. 38
Figura E5.6. ................................................................................................................................. 38
Figura E5.7. ................................................................................................................................. 39
Leopoldo Silva Bijit
27-06-2008