Dinámica de Fluidos - Universidad de Sonora

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Mecánica y fluidos
Webpage: http://paginas.fisica.uson.mx/qb
©2007 Departamento de Fí
Física
Universidad de Sonora
Dinámica de Fluidos
1
Temario
7. Dinámica de fluidos
Diná
Dinámica de fluidos (2.5 semanas)
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Caracterí
Características de los fluidos ideales y viscosos
Concepto de gasto o flujo volumé
volumétrico y su conservació
conservación
Flujo de masa y ecuació
ecuación de continuidad
Ecuació
Ecuación de Bernoulli para fluidos no viscosos
Presió
Presión en fluidos no viscosos en movimiento a travé
través de tuberí
tuberías
Aplicació
Aplicación de la ecuació
ecuación de Bernoulli
„ Medidor de Venturi
„ Ventura de vací
vacío y sus aplicaciones
„ Velocidad de salida de un lí
líquido por un orificio en un recipiente
con diferentes condiciones geomé
geométricas
„ Elevació
Elevación de aviones y otros ejemplos
7.
La viscosidad de las sustancias y sus caracterí
características
„ Comportamiento de viscosidad con temperatura
Temario
Continuación Dinámica de fluidos
Diná
Dinámica de fluidos (2.5 semanas)
8.
9.
10.
11.
Ley de HagenHagen-Poiseuille para flujo laminar
Perfil de velocidad en ré
régimen laminar
Número de Reynolds y regimenes de flujo
Estudio de objetos movié
moviéndose en un fluido viscoso en reposo
„ Ley de Stokes
„ Velocidad terminal
„ Sedimentació
Sedimentación en centrifugas
2
1. Características de los fluidos ideales y viscosos
„
Fluido ideal
1.
2.
3.
4.
Flujo estacionario:
estacionario: Cada punto del fluido no varia en funció
función
del tiempo.
Incompresible (su densidad no puede cambiar): Los lí
líquidos
generalmente son incompresibles, aunque tambié
también puede
tratarse a los gases como incompresibles, si las diferencias de
presió
presión no son muy grandes
Fluido no viscoso:
viscoso: Es un fluido NO viscoso, cuando la fricció
fricción
interna es nula o despreciable. Un objeto desplazá
desplazándose en un
fluido no viscoso no presenta retardo por fuerzas viscosas.
Irrotacional: Un fluido es irrotacional si no posee velocidad
angular. Imaginemos una pequeñ
pequeña rueda de paletas sumergida
en un lí
líquido que fluye. Si la rueda de paleta se desplaza sin
girar el fluido es irrotacional, en caso contrario es rotacional.
rotacional.
1. Características de los fluidos ideales y viscosos
™
™
Al estudiar la diná
dinámica de fluidos, se supondrá
supondrá que todos los fluidos
en movimiento exhiben un flujo laminar.
El flujo laminar es el movimiento de un fluido en el que toda
partí
partícula del mismo sigue la misma trayectoria (al pasar por un
punto en partí
partículas) que la seguida por las partí
partículas anteriores.
Flujo laminar
Flujo turbulento
3
1. Características de los fluidos ideales y viscosos
™
El flujo turbulento puede visualizarse como un torbellino, en el
cual, la trayectoria que sigue un punto en el fluido no es predecible.
predecible.
Pudiendo formarse en el interior del fluido remolinos. Como el que
que
aparece en la figura.
™
En este curso no nos enfocaremos en este tipo de flujos, debido a su
complejidad fí
física y matemá
matemática, quedando para cursos elevados.
Flujo laminar
Flujo turbulento
Líneas de corriente
™
™
™
™
Representació
Representación de
las lí
líneas de flujo.
™
Los flujos que trataremos
son la zona correspondiente
a la regió
región má
más pró
próxima al
tubo.
La trayectoria que toma una partí
partícula
de un fluido es denominada lí
línea de
flujo.
La velocidad de la partí
partícula siempre es
tangencial a las lí
líneas de flujo.
Dos lí
líneas de flujo NUNCA se cruzan,
si esto ocurre, una partí
partícula de fluido
podrí
podría seguir por cualquiera de las dos,
y el flujo serí
sería no estacionario
Un conjunto de lí
líneas de flujo forman
un tubo de flujo.
4
2. Concepto de gasto o flujo volumétrico y
su conservación
™
™
™
™
™
™
EL fluido de la parte baja de la imagen
que se encuentra en el tubo, se desplaza
en un Δt, un Δx1=v1 Δt
A1 es el área de la secció
sección transversal en
esta regió
región, entonces la masa que se
desplaza es Δm1= A1v1 Δx1 =ρ1A1v1 Δt
Para la parte superior se tiene de
manera similar, A2, y la masa
Δm2= A2v2 Δx2 =ρ2A2v2 Δt
Por la conservació
conservación de la masa
Δm1= Δm2 o ρ1A1v1 = ρ2A2v2
Se le conoce como ecuació
ecuación de
continuidad
Si la densidad es constante ρ, se tiene
entonces A v = A v = cte.
1 1
2 2
Se denomina a la constante,
Razó
Razón de flujo, gasto o flujo
de volumen
Ejemplo de GASTO
™
Una señ
señora esta regando el jardí
jardín y le tapa
con el dedo a la manguera, dejando una
abertura de aproximadamente 1/3 del área
original. ¿Saldrá
Saldrá más rá
rápido el agua
tapando la boca de la manguera con el
dedo o sin tapar?
Respuesta:
Si en la tele nos dicen que normalmente
de la llave salen 20 litros por minutos, y
la manguera es de aproximadamente de
2cm. de diá
diámetro. La velocidad entonces
puede ser determinada utilizando la ley
del gasto.
A1v1 = A2 v2 = cte. = Q
donde
2
2
π ⎜⎛ d1 2 ⎟⎞ v1 = π ⎜⎛ d 2 2 ⎟⎞ v2 = cte. = Q
⎝
⎠
⎝
⎠
despejando
2
⎛ d 2 ⎞ ⎛ v2 ⎞
⎜ ⎟ =⎜ ⎟
⎝ d1 ⎠ ⎝ v1 ⎠
Sabemos que d1=3d2 y ademá
además que
1lt = 1dm3 =(0.1m)3, así
así se tiene que
20lt =20(0.1m)3 cada 60 seg. Así
Así
v1=(20lt/60seg)/A1
=(20*(0.1m)
π∗(0.01m)
.01m)2)
=(20*(0.1m)3/60seg)/(
60seg)/(π∗(0
Ademá
Además sabemos que
v2=9v1
5
4. Ecuación de Bernoulli para fluidos no
viscosos
Daniel Bernoulli
¾
Físico y matemá
matemático suizo, nació
nació el 8 de
Febrero
de
1700.
Hizo
importantes
aportaciones en hidrodiná
más
hidrodinámica.
mica. Su trabajo má
importante trata sobre el estudio teó
teórico
experimental de fluidos tanto en equilibrio
como en movimiento. Su má
máxima obra, llamado
hoy en dí
día Principio de Bernoulli,
Bernoulli, versa sobre la
descripció
descripción de fluidos desplazá
desplazándose al
interior de un tubo. Su obra esta basada en una
descripció
descripción utilizando el principio de
conservació
conservación de la energí
energía.
4. Ecuación de Bernoulli para fluidos no viscosos
™
™
Cuando un fluido pasa a travé
través de un tubo donde los extremos
está
están a diferente altura y tienen diferente área transversal, la
presió
presión del fluido varia.
Daniel Bernoulli fue el primero en relacionar la presió
presión con la
velocidad del fluido, y elevació
elevación, utilizando la conservació
conservación de la
energí
energía.
Suposiciones de Bernoulli
¾
¾
¾
El fluido es incompresible,
irrotacional, y no viscoso,
ademá
fluye de manera
además
estacionaria.
El área en los extremos del tubo
son A1 (punto 1) y A2 (punto 2)
respectivamente y se encuentran
a una elevació
elevación respecto al plano
horizontal y1 y y2.
La velocidad de entrada y salida
son v1 (punto 1) y v2 (punto 2)
Punto 2
Punto 1
6
Continuación 1
™
En un Δt, se aplica una fuerza F1 sobre el
fluido en P1, es decir sobre la secció
sección
transversal A1. Esto hace que se efectú
efectúe un
trabajo para poder desplazar el fluido un Δx1.
Dando como resultado
Punto 2
Punto 1
W1 = F1Δx1 = P1 A1 x1 = P1ΔV
donde ΔV es el volumen de la regió
región
sombreada en el punto 1.
™
™
De manera similar para el punto 2, el trabajo realizado sobre el fluido en a
travé
través del punto 1 en un tiempo Δt, es igual al volumen que pasa por el
punto 2.
El trabajo en punto 2 esta dado por
W2 = − P2 A2 x2 = P2 ΔV
Los volú
volúmenes en los puntos 1 y 2 son iguales.
El trabajo es negativo debido a que la fuerza en el segmento va hacia la izquierda
Y se desplaza hacia la derecha.
Continuación 2
™
Así
Así el trabajo neto llevado a cabo sobre el
segmento, por estas dos fuerzas en el
intervalo Δt esta dado por
Punto 2
Punto 1
W1 = ( P1 − P2 ) ΔV
™
™
™
™
parte de este trabajo se transforma en
energí
energía ciné
cinética y parte en energí
energía
potencial gravitacional.
El cambio de energí
energía ciné
cinética en el intervalo de tiempo Δt, se da como un
cambio en la velocidad al pasar de v1 a v2. Esto es debido a que se considera que
la masa permanece constante, porque el volumen permanece constante.
constante.
La forma del cambio de energí
energía ciné
cinética esta dada por:
1 2 1 2
ΔK = mv2 − mv1
2
2
El cambio en la energí
energía potencial gravitacional, se da por cambios en la elevació
elevación
(cambio de y1 a y2) de una porció
porción del fluido en el intervalo de tiempo Δt.
ΔU = mgy2 − mgy1
7
Continuación 3
™
™
™
El trabajo total llevado a cabo por el fluido
sobre la regió
región sombreada es igual a la
energí
energía mecá
mecánica W = ΔK + ΔU
Punto 2
Punto 1
Sustituyendo los té
términos de las energí
energías
da como resultado
1
1
( P1 − P2 )V = ⎛⎜ mv22 − mv12 ⎞⎟ + mg ( y2 − y1 )
2
⎝2
⎠
Si dividimos entre V y definiendo a ρ=m/V, tenemos
1
1
( P1 − P2 ) = ⎛⎜ ρ v22 − ρ v12 ⎞⎟ + ( ρ gy2 − ρ gy1 )
⎝2
™
2
Reagrupando té
términos
⎠
1
1
P1 + ρ v12 + ρ gy1 = P2 + ρ v22 + ρ gy2
2
2
Esta es la ecuació
ecuación de Bernoulli para un
fluido ideal
Continuación 4
™
La expresió
expresión de Bernoulli para un fluido
ideal, es expresada comú
comúnmente como:
Punto 2
Punto 1
1
P + ρ v 2 + ρ gy = cte.
2
™
Esta expresió
expresión indica:
9
Si la velocidad aumenta la presió
presión disminuye
9
Así
Así tambié
también podemos decir que cuando la altura aumenta
la presió
presión disminuye.
8
6. Aplicación de la ecuación de Bernoulli
a) Aplicación a hidrostática
™
Consideremos el caso para la expresió
expresión de
de Bernoulli en el cual se tiene que las
velocidades v1=v2=0
1
1
P1 + ρ v12 + ρ gy1 = P2 + ρ v22 + ρ gy2
2
2
™
Sustituyendo, las velocidades y reagrupando
P1 − P2 = ρ gy2 − ρ gy1
™
Definiendo y=y2-y1
P = ρ gy
Expresió
Expresión para la hidrostá
hidrostática
6. Aplicación de la ecuación de Bernoulli
b) Teorema de Torricelli
™
Consideremos el caso de un lí
líquido de
densidad ρ, encerrado en un tanque. En la
parte inferior y a una altura y1 del fondo tiene
un agujero de área A1, que da al exterior. El
área del agujero es mucho má
más pequeñ
pequeño que
el área A2 del tanque. El aire en el tanque por
encima del lí
líquido se encuentra a una
presió
presión P. ¿Cuá
Cuál será
será la velocidad de salida
del liquido por el agujero, si el nivel del
liquido es h?
Respuesta:
Partiendo de la expresió
expresión de Bernoulli,
1
1
P1 + ρ v12 + ρ gy1 = P2 + ρ v22 + ρ gy2
2
2
9
b) Cont. Teorema de Torricelli
Como A2 >> A1 y utilizando le expresió
expresión para el gasto
A1v1 = A2 v2 = cte. → v2 = 0
Y P1=Presió
=Presión atmosfé
atmosférica, P2=P. Sustituyendo en la
ecuació
ecuación de Bernoulli,
Po +
1 2
ρ v1 + ρ gy1 = P + ρ gy2
2
Reagrupando y haciendo h=y2-y1
⎛ 2 ( P − Po )
⎞
v1 = ⎜
+ 2 gh ⎟
ρ
⎝
⎠
si
P Po → v1 =
2 ( Po )
ρ
b) Cont. Teorema de Torricelli
Si el tanque no esta tapado, se tiene entonces que la
presió
presión P=Po
P=Po,, así
así la expresió
expresión de la velocidad se ve
modificada por la siguiente expresió
expresión
v1 = 2 gh
La velocidad no depende de la densidad del fluido.
10
6. Aplicación de la ecuación de Bernoulli
c) Tubo de Venturi
™
Consiste en un tubo horizontal en donde
estrechamiento en una de las partes de un
tubo es producido. La estrangulació
estrangulación del
tubo se da de manera gradual. De esta
manera se evita la producció
producción de remolinos y
queda asegurado un ré
régimen estacionario.
Respuesta:
Se tiene que y1=y2, en la expresió
expresión de Bernoulli,
P1 +
1 2
1
ρ v1 = P2 + ρ v22
2
2
De la ecuació
ecuación de continuidad
A1v1 = A2 v2 → v1 =
A2
v2
A1
6. Aplicación de la ecuación de Bernoulli
c) Continuación Tubo de Venturi
Sustituyendo en la expresió
expresión de energí
energías, se tiene
2
1 ⎛A ⎞
1
P1 + ρ ⎜ 2 v2 ⎟ = P2 + ρ v22
2 ⎝ A1 ⎠
2
Reagrupando se tiene
2
P1 − P2 + =
1 2 1 ⎛ A2 ⎞ 2
ρ v2 − ρ ⎜ ⎟ v2
2
2 ⎝ A1 ⎠
Despejando v2
v2 = A1
2 ( P1 − P2 )
ρ ( A12 − A22 )
Como A1 >A2, entonces v2>v1
indicando que P1>P2
11
6. Aplicación de la ecuación de Bernoulli
d) Trayectoria de una pelota en rotación
™
Al lanzar una pelota girando y siguiendo
una trayectoria horizontal y recta, esta
arrastra consigo una pequeñ
pequeña capa de aire
que la rodea.
™
Entonces se puede ver como si la pelota
estuviera inmó
inmóvil y el aire se desplazara
con la misma velocidad que lo hace la
pelota (velocidad relativa).
6. Aplicación de la ecuación de Bernoulli
d) Trayectoria de una pelota en rotación
™
™
™
™
Si consideramos que la pelota gira en el
sentido de las manecillas del reloj y se
desplaza hacia la izquierda. Se tiene
entonces:
Las lí
líneas de flujo se distorsionan
La velocidad en la parte superior es
mayor que en la parte inferior de la
pelota.
Utilizando la expresió
expresión de Bernoulli, esto
implica que la presió
presión arriba es menor
que en la parte de abajo.
12
6. Aplicación de la ecuación de Bernoulli
d) Trayectoria de una pelota en rotación
™
Mayor v
Menor P
La pelota se desplaza hacia la parte
superior debido a la diferencia de
presiones que siente.
Menor v
Mayor P
6. Aplicación de la ecuación de Bernoulli
d) Trayectoria de una pelota en rotación
™
Ya con esto podemos lanzar bolas de tipo:
Curvas y “Screwballs”
Screwballs”
13
6. Aplicación de la ecuación de Bernoulli
Ejemplo 1
Por una casa circula agua a travé
través de un sistema de calefacció
calefacción. Si se bombea a una
velocidad de 0.5m/s por una tuberí
tubería de .1m de diá
diámetro situada en el só
sótano con una
presió
presión de 3atm., ¿cuá
cuál será
será la velocidad de circulació
circulación y la presió
presión en una tuberí
tubería
de .06m de diá
diámetro situada en el segundo piso a 5mts má
más arriba?
Respuesta
La tuberí
tubería en el só
sótano:
v1 = 0.5m / s, P1 = 3atm,
y1 = 0, d1 = 0.1m
La tuberí
tubería en el só
sótano:
v2 = ? m / s, P2 = ? atm,
y2 = 5m, d 2 = 0.06m
6. Aplicación de la ecuación de Bernoulli
Continuación Ejemplo 1
Ecuació
Ecuación de continuidad
⎛A ⎞
A1v1 = A2 v2 → v2 = ⎜ 1 ⎟ v1
⎝ A2 ⎠
Sustituyendo en la ecuació
ecuación de Bernoulli
2
1
1 ⎛A ⎞
P1 + ρ v12 + ρ gy1 = P2 + ρ ⎜ 1 v1 ⎟ + ρ gy2
2
2 ⎝ A2 ⎠
Sustituyendo los valores para cada uno de los té
términos nos queda:
P2 = 2.5atm
14
7. La viscosidad de las sustancias y sus características
Bernoulli dice que si una sustancia, digamos agua,
circula por una tuberí
tubería o manguera que se encuentre
de manera horizontal a la misma altura y ademá
además el
diá
diámetro de la tuberí
tubería no varié
varié, entonces la presió
presión del
fluido no varia
1
1
P1 + ρ v12 + ρ gy1 = P2 + ρ v22 + ρ gy2
2
2
P1 = P2 = cte.
En la prá
práctica SI VARIA. La razó
razón la vamos a tratar a continuació
continuación
7. La viscosidad de las sustancias y sus características
La variació
variación en la presió
presión es debido a fuerzas de
frenado o “fricció
fricción” que existen entre las diferentes
capas que componen el fluido. Este rozamiento es
interno al material, y de ninguna manera se esta
considerando la fricció
fricción entre el fluido y la tuberí
tubería
por la que circula.
™ Consideraremos una tuberí
tubería circular, en donde las capas del fluido que
está
están en contacto con el tubo, se encuentran a velocidad cero (en reposo)
reposo) .
™Las capas de fluido forman cí
círculos concé
concéntricos de la forma de la tuberí
tubería.
™La velocidad de la capa central es mayor, respecto a las capas má
más externas
™ La expresió
expresión de Bernoulli nos indica que la presió
presión en las capas má
más
internas es menor que las capas má
más externas. Debido a la diferencia de
velocidad que existe.
ΔP = P1 − P2 = cte.R
™ La resistencia al flujo, R, depende de la
longitud del tubo
15
7. La viscosidad de las sustancias y sus características
¾ La resistencia al flujo, o viscosidad depende de muchos
pará
parámetros fisicoquí
fisicoquímicos.
¾ Primeramente consideremos que la viscosidad del
material no depende de la temperatura, concentració
concentración, etc.
¾La manera má
más sencilla de determinar la dependencia y
valor de la resistencia es :
9 Consideremos dos placas planas y paralelas entre las
cuales se coloca la muestra o fluido al que se le quiera
determinar el valor de la viscosidad (resistencia al flujo).
9A la placa superior se le aplica una fuerza constante y
paralela a la placa, mientras que la placa inferior
permanece inmó
inmóvil
9Supondremos que el fluido se desplaza en capas, cada
una con velocidad constante.
7. La viscosidad de las sustancias y sus características
9 Las capa del fluido en contacto con las placas se
desplazan con la misma velocidad que las placas
9Supondremos que el perfil con el que se desplazan entre
si las diferentes capas de fluido posee una forma lineal.
F =η
vA
z
9Las unidades de la viscosidad η son:
MKS
Nm
= Pa.s
m2m / s
CGS
dina
= P( poise)
cm 2 / s
1Pa.s = 10 P
1cP = 0.01P
16
7. Valores de la viscosidad para algunos fluidos
9La viscosidad disminuye a medida que la temperatura aumenta
¿Qué otro tipos de materiales?
Cosmé
Cosméticos
Medicamentos
Alimentos
Medicina
Pinturas y Recubrimientos
17
8. Ley de Hagen-Poiseuille para flujo laminar
Para un fluido incomprensible circulando por una tuberí
tubería
de secció
sección transversal circular, la resistencia al flujo se
expresa como
R=
8η L
π r4
ΔP = P1 − P2 =
8η L
C
π r4
De la expresiones anteriores podemos concluir que:
9Si la viscosidad aumenta, la caí
caída de presió
presión aumenta
9Si aumenta la longitud del tubo, es mayor la caí
caída de presió
presión
9La caí
caída de presió
presión depende fuertemente con el radio del tubo.
9. Perfil de velocidad en régimen laminar
™ En la prá
práctica los perfiles con los que viaja un elemento de volumen a trav
travéés de una
tuberí
tubería varí
varían dependiendo diversos factores como son: viscosidad del fluido,
fluido,
Velocidad del fluido, longitud del fluido, entre otros.
™ Algunos de los perfiles má
más comunes vienen a ser:
™ El perfil plano de velocidad caracterizan a los fluidos en un instante
instante de tiempo
™El perfil parabó
parabólico viene a ser observado una vez que la velocidad y la viscosidad
viscosidad del
Fluido no son muy grandes
™ Este último perfil de velocidades es tomado para representar a un fluido
fluido turbulento.
18
10. Número de Reynolds y regimenes de flujo
¾La experiencia indica que hay una combinació
combinación de cuatro factores que
determinan cuando el ré
régimen de un fluido viscoso a travé
través de un tubo
es laminar o turbulento.
turbulento.
¾Estas combinaciones se denomina número de Reynolds,
Reynolds, NR, y se define
mediante la expresió
expresión
NR =
ρ vD
η
ρ = densidad del fluido
v = velocidad media
η = coeficiente de viscosidad
D = diá
diámetro del tubo
¾ La velocidad real no es la misma
en toda la secció
sección del tubo.
¾La velocidad media se define como
la velocidad uniforme que resultarí
resultaría
para la misma salida de lí
líquido por
unidad de tiempo.
10. Número de Reynolds y regimenes de flujo
¾El nú
número de Reynolds es un nú
número abstracto, es decir, su valor numé
numérico
es el mismo en cualquier sistema de unidades
¾Para un nú
número de Reynolds entre 0 y 2000 es un ré
régimen lamina
¾NR > 3000 ré
régimen turbulento
¾ Ejemplo
¾Cual es el nú
número de Reynolds para el agua a 20C circula por una tuberia
De 1cm de diá
diámetro a una velocidad de 10cm/s.
¾ Sustituyendo
NR =
ρ vD
η
¾NR=1000
19
Número de Reynolds
Flujo laminar
Flujo turbulento
20
Aire caliente que sube
de una lá
lámpara de
alcohol
Humo de un
cigarro
21
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