EJERCICIOS: Análisis de circuitos en el dominio del tiempo

EJERCICIOS: Análisis de circuitos en el
dominio del tiempo
1. Régimen transitorio y permanente. En cada uno de los siguientes circuitos el interruptor ha
estado abierto largo tiempo. Se cierra en t = 0. Determinar V C (t) o I L (t), dibujar la onda
correspondiente e identificar las componentes forzada y natural.
2. Leyes de Kirchhoff. Plantear una ecuación diferencial para el voltaje v 2 (t).
Vg
R2
R1
+
C1
+
v2(t)
-
C2
3. Principio de superposición. Encontrar el voltaje v(t) en el condensador mediante la aplicación
del principio de superposición, considerando que v(0) = V 0 y que V 1 e I 2 son constantes.
R1
C
+ v(t) V1
I2
+
R2
4. Régimen transitorio y permanente. En el siguiente circuito, el voltaje aplicado cambia de 1 V
a 2 V en t = 0. Hallar las expresiones de V C e I para t ≥ 0. Considerar que la tensión de 1 V lleva
aplicada largo tiempo antes de t = 0.
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Ejercicios de Teoría de Circuitos II
Ingeniería de Telecomunicación
5. Régimen transitorio y permanente. En los circuitos siguientes el interruptor ha estado largo
tiempo abierto y se cierra en t = 0. Obtener la variable V 0 (t) o I 0 (t) cuando V S (t) = 10u(t). Dibujar
la onda correspondiente e identificar las componentes forzada y natural.
6. Respuesta a un pulso de corriente. Encontrar la expresión de v(t) si I g = I[u(t) – u(t–T)].
Datos: I = 10, T = 1, R1 = 3 Ω, R2 = 2 Ω, L = 5 H, i L (0) = 0.
i(t)
L
Ig
+
v(t)
-
R1
R2
7. Condiciones iniciales y respuesta de un circuito de segundo orden. El circuito está en
régimen permanente con el interruptor cerrado, que se abre en t = 0. Datos: I(t) = 20 A, R1 = R2
= 9 Ω, R3 = 6 Ω, C1 = C2 = 1/18 F.
a. Determinar el voltaje en ambos condensadores en t = 0.
b. Determinar la corriente en ambos condensadores en t = 0.
c. Determinar el voltaje v(t) en el condensador C2 para t > 0. Indicar el valor de la respuesta
natural y forzada del voltaje v(t).
t>0
R2
+
I(t)
R1
C1
C2
v(t)
R3
-
8. Condiciones iniciales y respuesta de un circuito de primer orden. En el circuito de la figura,
en t < 0 el conmutador está en A; en t = 0 pasa a B y en t = 5 s cambia a C y permanece en
dicha posición. Considerar que el voltaje aplicado no es sinusoidal (como indica la figura) sino
constante.
a. Calcular la corriente en la bobina i L (0) y el voltaje V(0).
b. Calcular la corriente en la bobina i L (t) y V(t) en 0 ≤ t ≤ 5.
c. Calcular i L (t) y V(t) en t > 5.
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Ingeniería de Telecomunicación
9. Respuesta de un circuito de segundo orden. El circuito está en estado permanente en t = 0–
y el interruptor se abre en t = 0. Datos: V1(t) = 16 V, R1 = 2 Ω, R2 = 6 Ω, L = 5 H, C=1/80 F.
a. Determinar la corriente i L (0) y el voltaje v C (0).
b. Calcular la corriente en la bobina i L (t) y el voltaje en el condensador v C (t) en t > 0.
t>0
R1
V1
R2
+
C
L
i(t)
10. Respesta de un circuito de segundo orden. Hallar la forma analítica de la componente
natural del voltaje en el condensador en los casos siguientes: a) R2 = 6 Ω. b) R2 = 5 Ω. c) R2 =
1 Ω. Datos: R1 = 4 Ω, L = 1 H, C = ¼ F.
R1
R2
+
Vg
C
L
11. Encontrar la ecuación que satisface la intensidad i L2 (t) que circula por la bobina L2 en los
siguientes casos: a)
32 + 6e −2t V . Suponer nula la corriente inicial en
Vg = 16 V . b) V=
g
ambas bobinas. Datos: R1 = 8 Ω, R2 = 4 Ω, L1 = 2 H, L2 = 1 H.
R1
Vg
L1
i2(t)
+
R2
L2
12. Respuesta de un circuito de 2.º orden con excitación del mismo tipo que su respuesta
natural. Calcular i L (t) y v C (t) en t > 0 si I a (t) = 8e–tu(t) A, v C (0) = 0 V, iL(0) = 2 A. Señalar de
qué caso de amortiguamiento se trata. Datos: R1 = 2 Ω, R2 = 6 Ω, L = 4 H, C = 1/4 F.
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Ia
R1
L
C
i(t)
R2
+
v(t)
–
13. Determinación de condiciones iniciales y finales. Si en t = 0 el circuito de la figura ha
alcanzado el régimen permanente y en t = 0 el interruptor cambia a la posición inferior,
–
+
+
determinar V(0 ), V(0 ), [dV(t)/dt](0 ) y V(∞).
–
14. Calcular i L (t) en t > 0 si el circuito está en estado estacionario cuando t = 0 . Datos: v 1 (t) =
29cos(2t) V, v 2 (t) = 10 V, R1 = 4 Ω, R2 = 6 Ω, L = 1 H, C = 1/4 F.
t>0
v1
t<0
+
v2
R1
R2
+
C
iL(t)
L
15. En el circuito de la figura, tenemos un generador de corriente continua que suministra I
amperios.
a. Se cierra el interruptor en el instante t = 0.
b. El condensador C se encuentra inicialmente (es decir, en t ≤ 0) descargado: ¿cuál es su
voltaje inicial v C (0)?
c. Hacer la transformación de fuente y la agrupación de resistencias adecuadas para
convertir el circuito dato en otro equivalente de tipo RC serie con generador de tensión.
d. Indicar el valor de la constante de tiempo τ que rige el proceso de carga del circuito RC
serie equivalente obtenido.
e. Obtener el voltaje en el condensador, v C (t), en t ≥ 0. Comprobar que el voltaje en t = 0
coincide con el obtenido en el apartado a). ¿Cuál es el valor final (cuando t → ∞) de v C (t)?
f. Obtener la corriente en el condensador, i C (0), en t ≥ 0. ¿Cuál es su valor final? En función
de esto, indicar si el condensador se comporta como un circuito abierto o como un
cortocircuito.
g. Se abre de nuevo el interruptor en el instante t = t 1 segundos, de forma que el
condensador C se descarga a través de las resistencias R2 y R3.
h. ¿Cuál es el voltaje inicial en el condensador en t = t 1 ?
i. Obtener el voltaje v C (t) en t ≥ t 1 . ¿Cuál es su valor final? ¿Cuál es el valor de la constante
de tiempo durante el proceso de descarga?
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C
I
R1
R2
R3
Soluciones
PROBLEMA 1
Para t ≥0:
Circuito 1
vC ( t ) =
V0 R2
[1 − exp(−t / τ )] τ = C ( R1 || R2 )
R1 + R2
vCN (t ) = −
Circuito 2
i L (t ) =
V0 R2
exp(−t / τ )
R1 + R2
V0 R2
R1 + R2
vCF (t ) =
V0
[1 − exp(−t / τ )] τ = L /( R1 || R2 )
R1
V0
V
exp(−t / τ )
iCF (t ) = 0
R1
R1
V0
[R2 + R1 exp(−t / τ )] τ = C ( R1 || R2 )
vC (t ) =
R1 + R2
iCN (t ) = −
Circuito 3
vCN (t ) =
Circuito 4
i L (t ) =
V0 R1
exp(−t / τ )
R1 + R2
V0
R1
iCN (t ) = 0
vCF (t ) =
iCF (t ) =
V0 R 2
R1 + R2
V0
R1
PROBLEMA 2
V g = R2 C 2
dv 2
+ v2
dt
PROBLEMA 3
v(t ) = V1 − R2 I 2 + (V0 − V1 + I 2 R2 ) exp(−t / τ ) τ = C ( R1 + R2 ) t ≥ 0
PROBLEMA 4
[
]
vC (t ) = 2 − exp(−2·10 6 t ) , iC (t ) = exp(−2·10 6 t ) / 3 t ≥ 0
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PROBLEMA 5
Circuito 2
vC (t ) = 8[1 − exp(−t / τ )] τ = 0,1 × (0,6 + 2 || 0,5) = 0,1 ms
V
1 R1
[1 − exp(−t / τ )] τ = L / (R3 + R1 || R2 ) = 0,2 ms
i L (t ) = s
R1 1 R1 + 1 R2 + 1 R3
Circuito 3
R1 = R3 = 6 kΩ, R2 = 12 kΩ
Vs R2
[1 − exp(−t / τ )] τ = [ R1 || ( R2 + R3 )]C = 0,4 ms
vo (t ) =
R1 + R2 + R3
Circuito 4
R1 = 8 kΩ, , R3 = 3 kΩ, R2 = 5 kΩ
V exp(−t / τ )
iL (t ) = s
τ = L / (R1 || R2 + R3 ) = 0,4 ms
R1 + R2 + R3
Circuito 1
R1 = 6 kΩ, R2 = 10 kΩ, R3 = 20 kΩ
PROBLEMA 6
v (t ) =
IR1R2
[1 − exp(− t / τ )][u(t ) − u(t − T )] + IR1R2 [exp(T / τ ) − 1]exp(− t / τ )u(t − T )
R1 + R2
R1 + R2
= 12[1 − exp(− t )][u (t ) − u (t − 1)] + 12[1 − exp(− 1)]u(t − 1)
PROBLEMA 7
R2 + R3
R3
a. v1 (0) IR
=
=
112,5
=
V ; v2 (0) IR
=
45 V
1
1
R1 + R2 + R3
R1 + R2 + R3
v (0) − v2 (0)
v (0)
b. i1 (0) = 1
=7,5 A; i2 (0) =i1 (0) − 2
=0
R1
R3
c.
v=
54e − t − 9e −6t V
v2=
2 (t )
N (t )

v2 F (t ) = 0
PROBLEMA 8
a. =
iL (0)
0,=
V (0) 0
Vg
iL (t ) = 1 − exp ( −t / τ )  =5 1 − exp ( −4t )  τ =L / R3 =0, 25 s
R3
b.
V (t=
) V=
40 V
g
iL (t ) = iLF (t ) + iLN (t ) = iL (∞) + [iL (5) − iL (∞) ] exp ( −t ′ / τ )
iL (∞)=
c.
τ=
R3−1
= 9 A; iL (5)= 5 [1 − exp(−20) ]  5 A
R1 R1−1 + R2−1 + R3−1
Vg
L
= 0,1 s; t ′ = t − 5
R1 || R2 + R3
V (t ) =
R2iL (t ) + L
diL (t )
=
72 + 48exp ( −t ′ / τ )
dt
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PROBLEMA 9
a.
b.
iL (0)
=
V1
= 8 A; vC (0)
= 0V
R1
iL (t ) =
2 − 2e −8t + 8e −2t A
=
vC (t ) 80e −8t − 80e −2t V
PROBLEMA 10
=
vna
(t ) k1e −2t + k2 e −5t V
vnb (=
t)
=
vnc (t )
( k1 + k2t ) e−3t V
[ k1 cos(2t ) + k2 sen(2t )] e−t
V
PROBLEMA 11
i2 a (t ) = 2 + k1e −2 t + k 2 e −8t Amp.

i2 b (t ) = ( k1 + 2t )e −2 t + k 2 e −8t + 4 A
k1 = -8/3 k 2 = 2 / 3
k1 = -17/3 k 2 = 5 / 3.
PROBLEMA 12
d 2 i L (t ) R1 + R2 di L (t )
R dI (t )
1
1
i L (t ) = 2 a +
+
+
I a (t )
2
L
dt
LC
L dt
LC
dt
d 2 i L (t )
di (t )
+ 2 L + i L (t ) = −4 exp(−t ), t > 0
2
dt
dt
La raíz del polinomio o ecuación característica del primer miembro es λ = –1 (doble). La respuesta
natural será:
i LN (t ) = (bt + c) exp(−t )
Sin embargo, λ = –1que coincide con el exponente de la excitación. ¿Qué ocurre al ensayar, para la
respuesta forzada, i LF (t ) = a exp(−t ) ? Son necesarios más parámetros.
i L (t ) = i LN (t ) + i LF (t ) = (at 2 + bt + c) exp(−t ) t > 0 . Resulta:
i L (t ) = i LN (t ) + i LF (t ) = (−2t 2 + 10t + 2) exp(−t ) t > 0
El voltaje en el condensador:
vC (t ) = − R1iL (t ) − L
diL (t )
+ R2 [I a (t ) − iL (t ] = (8t 2 − 24t ) exp(−t ) t > 0
dt
PROBLEMA 13
V(0–) = 0, V(0+) = 0, [dV/dt](0+) = 1, V(∞) = 0.
PROBLEMA 14
iL (=
t)
−3
4
exp(−2t ) + exp(−5t ) + 43 cos(2t ) + 74 sen(2t )
=
−3
4
exp(−2t ) + exp(−5t ) + 1,90cos(2t − 1,17)
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