Criterios de divisibilidad, (2, 3, 5, 7 y 11)

Matemáticas - 1o ESO
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Criterios de divisibilidad, (2, 3, 5, 7 y 11)
Existen unos procedimientos, algunos muy sencillos, para determinar si un número es divisor de
otros o no.
Estudiamos aquı́ los criterios de divisibilidad para algunos de los primeros números.
• Divisibilidad por 2
Todo número par, (terminado en 0, 2, 4, 6 u 8), es divisible por 2.
Ejemplos: 18 y 542 son divisibles por 2, (terminan en 8 y 2, pares). 13 y 27 no son divisibles
por 2, (terminan en cifras impares).
• Divisibilidad por 3
Un número es divisible por 3 si la suma de sus dı́gitos es divisible por 3.
Ejemplos: 1275 es divisible por 3, ya que 1+2+7+5=15, divisible por 3. 1327 no es divisible
por 3, ya que 1+3+2+7=19, que no es divisible por 3.
• Divisibilidad por 5
Un número es divisible por 5 si termina en 0 o en 5.
Ejemplos: 1275 es divisible por 5, ya que termina en 5. 1327 no es divisible por 5, ya que no
termina ni en 0 ni en 5.
• Divisibilidad por 7
Un número es divisible por 7 si la diferencia entre dicho número sin las unidades y el doble
de las unidades es 0 o múltiplo de 7.
Ejemplos:
– 119 es divisible por 7, ya que la diferencia entre el número sin las unidades, (11), y el
doble de las unidades, (9 · 2 = 18), es 18-11=7, múltiplo de 7.
– 126 es divisible por 7, ya que la diferencia entre el número sin las unidades, (12), y el
doble de las unidades, (6 · 2 = 12), es 0, (12-12=0).
– 76 no es divisible por 7, ya que la diferencia entre el número sin las unidades, (7), y el
doble de las unidades, (6 · 2 = 12), es 12-6=6, que no es ni 0 ni múltiplo de 7.
Si el número es grande, puede aplicarse varias veces el método.
Ejemplo: 2625 será divisible entre 7 si 262 − 5 · 2 = 262 − 10 = 252 es divisible entre 7. 252
es divisible entre 7, ya que 25 − 2 · 2 = 25 − 4 = 21 es divisible entre 7. Por tanto, 2625 es
divisible entre 7.
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• Divisibilidad por 11
Un número es divisible por 11 si la diferencia entre la suma de sus dı́gitos pares y la suma de
sus dı́gitos impares es cero o múltiplo de 11. Al igual que en el criterio para el 7, es posible
que el método deba aplicarse varias veces.
Ejemplos:
– 12914 es divisible por 11, ya que la diferencia entre la suma de sus dı́gitos impares,
(1+9+4=14) menos la suma de sus dı́gitos pares, (2+1=3), es (14-3=11) múltiplo de 11.
– 37697 es divisible por 11, ya que la diferencia entre la suma de sus dı́gitos impares,
(3+6+7=16) menos la suma de sus dı́gitos pares, (7+9=16), es cero, (16-16=0).
– 126 no es divisible por 11,, ya que la diferencia entre la suma de sus dı́gitos impares,
(1+6=7) menos la suma de sus dı́gitos pares, (2), es 1, (7-2=5), que no es ni 0 ni múltiplo
de 11.
Criterios de divisibilidad, (4, 6, 8, 9 y 10)
Los criterios de divisibilidad que hemos visto anteriormente corresponden a los primeros
números primos, (concepto que ampliaremos en siguientes apartados), y son básicos en matemáticas.
Pero también es útil conocer los criterios para otros números.
Expondremos a continuación los criterios para los números que nos faltan hasta el 10.
• Divisibilidad por 4
Un número es divisible por 4 si sus 2 últimas cifras son 00, o múltiplo de 4. Además,
para ser divisible por 4 tiene que ser divisible por 2, con los que todos los impares
quedan descartados.
Ejemplos:
– 48300 es divisible por 4, ya que termina en 00.
– 6792 es divisible por 4, ya que 92 = 23 · 4 es divisible por 4.
– 1263 no es divisible por 4, ya que es impar.
• Divisibilidad por 6
Un número es divisible por 6 si es divisible por 2 y por 3.
Ejemplos:
– 6792 es divisible por 6, ya que es par, (divisible por 2) y sus dı́gitos suman
6+7+9+2=24, múltiplo de 3.
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– 1262 no es divisible por 6, ya que aunque es par, la suma de sus dı́gitos, (1+2+6+2=11),
no es múltiplo de 3.
• Divisibilidad por 8
Un número es divisible por 8 si sus tres últimos dı́gitos son 000, o múltiplos de 8.
Además tiene que ser múltiplo de 2, con lo que los impares quedan descartados.
Ejemplos:
– 882000 es divisible entre 8, ya que termina en 000.
– 9872 es divisible por 8, ya que 872 = 109 · 8.
– 126122 no es divisible por 8, ya que 122:8=15, con resto 2.
• Divisibilidad por 9
Un número es divisible por 9 si la suma de sus dı́gitos es divisible entre 9.
Ejemplos:
– 156312 es divisible por 9, ya que 1 + 5 + 6 + 3 + 1 + 2 = 18, divisible entre 9.
– 12612 no es divisible por 9, ya que 1+2+6+1+2=12, que no es divisible entre 9.
• Divisibilidad por 10
Un número es divisible por 10 si acaba en 0.
Ejemplo: 56310 es divisible por 10, ya que acaba en 0.
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