Actividades de Algebra y Ecuaciones 1ESO

Expresiones algebraicas (1º ESO)
Lenguaje numérico y lenguaje algebraico.
El lenguaje en el que intervienen números y signos de operaciones se denomina lenguaje

numérico.
EJEMPLOS
Lenguaje usual
Catorce dividido entre siete
Dos elevado al cuadrado
La tercera parte de dieciocho
Lenguaje numérico
14 : 7
22
18
3
El lenguaje que utiliza letras con números y signos de operaciones aritméticas se llama lenguaje

algebraico.
EJEMPLOS
Lenguaje usual
La suma de dos números
Un número menos tres unidades
El cuadrado de un número
La mitad de un número
1.
Lenguaje algebraico
a+b
y–3
b2
x
2
Expresa con lenguaje numérico o lenguaje usual, según proceda.
Lenguaje usual
La suma de once más nueve es veinte
Cien dividido entre veinte
La cuarta parte de veinte es cinco
Dos elevado al cubo es ocho
Lenguaje numérico
32 : 8
3·4
2.
Une cada enunciado con su equivalente en lenguaje algebraico.
a)
b)
c)
d)
La mitad de un número
El triple de un número menos cinco unidades
El anterior a un número entero
El posterior a un número entero
e) El cuadrado de la suma de dos números
f) El doble de la suma de tres números
(m + 2)2
n–1
2·(a + b + c)
x+1
m
2
3·b–5
Expresión algebraica
Una expresión algebraica es un conjunto de números y letras unidos con los signos de las operaciones
matemáticas.
EJEMPLOS
Expresión escrita
La suma de dos números menos dos
El triple de un número más cinco
El cuadrado de un número más la unidad
Expresión algebraica
x+y –2
3·x+5
x2 + 1
1
1.
Escribe estos enunciados como expresión algebraica.
a)
b)
c)
d)
e)
2.
El doble de un número b.
El doble de la suma de dos números (m y n).
El cuadrado de un número x más 4 unidades.
El producto de tres números a, b. c.
El doble de un número p más tres unidades.
Relaciona cada enunciado con su expresión algebraica.
a) El doble de un número más dos unidades
b) Un número disminuido en cinco unidades
c) La tercera parte de un número
d) El cubo de un número
e) El doble de un número
f) Un número aumentado en diez unidades
g) La diferencia de dos números
h) El número siguiente a un número entero
i) El producto de dos números
j) Los dos quintos de la suma de dos números
k) La raíz cuadrada de la suma de dos números
x–5
x
3
2x + 2
x + 10
2x
x3
x+1
x–y
ab
2
ab
2
a  b 
5
l) La mitad de la suma de dos números
3.
Si x es la edad de Juan, expresa en lenguaje algebraico.
Expresión
Los años que tenía el año pasado
Los años que tendrá dentro de dos años
La edad que tenía hace 5 años
La edad que tendrá dentro de 7 años
Los años que faltan para que cumpla 70 años
La mitad de los años que tiene
El cubo de la edad que tendrá dentro de 3 años
4.
Lenguaje algebraico
Inventa un enunciado para estas expresiones algebraicas.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
5.
m·n
n+1→
a+b→
b

2
2 · (m – n) →
x3 – 1 →
2·x+1→
Contesta con expresiones algebraicas.
a)
Luís tiene hoy t años. ¿Cuántos años tendrá dentro de 5 años?
b)
María pesa m kilos y su hermana Silvia 6 kilos menos. ¿Cuántos kilos pesa Silvia?
c)
Marcos tiene x euros en su hucha y saca 12 euros. Unos días después, su abuela le da de propina
el doble del dinero que le quedaba en la hucha. ¿Qué le ha dado su abuela?
d)
Hace doce años la edad de Miguel era x años. ¿Cuántos años tiene ahora?
e)
La base de un rectángulo mide x cm. Y su altura 3 cm. más que el doble de la base. ¿Cuánto mide
la altura?
2
Monomios
Un monomio es una expresión algebraica formada por productos de números y letras. A los números se les
denomina coeficientes, y a las letras con sus exponentes, parte literal.
EJEMPLOS
1.
Monomio
3x
– 5ab
–7x3
3
x
5
Coeficiente
3
– 5
– 7
3
5
Parte literal
x
ab
x3
x
Completa las tablas.
Monomio
Coeficiente
Parte literal
Monomio
x
1
x
2 2
a b
3
– 3xy
– x3
– 5xy2
–3
Coeficiente
Parte literal
– 2xyz
– 3b2c
6x2y
5
 xyz 2
7
1 2
x y
3
Grado de un monomio
El grado de un monomio es el número que resulta de sumar todos los exponentes de su parte literal.
EJEMPLOS
1.
Monomio
– 3x
4a2y
– 5x2y3
Grado
1
3
5
Explicación
El exponente de x es 1 (x1)
La suma de los exponentes de a2y1 es 2 + 1 = 3
La suma de los exponentes de x2y3 es 2 + 3 = 5
Completa la siguiente tabla.
Monomio
– 3x
– 2a3b
– 2ab
xyz
7ab2c3
6y2z
Coeficiente
–3
Parte literal
x
Grado
1
Monomios semejantes
Dos o más monomios son semejantes cuando tienen la misma parte literal.
EJEMPLOS
5x y 2x son monomios semejantes porque tienen la misma parte literal (x)
3xy2 y – xy2 son monomios semejantes porque tienen la misma parte literal (xy2)
x2y3 y xy2 no son monomios semejantes
1.
Escribe dos monomios semejantes a cada monomio dado.
Monomio
– 5x
– ab
– 2yx3
– 3y2z3
2 2
a b
3
5xy
Monomios semejantes
3
Suma y resta de monomios
La suma y resta de monomios sólo se puede realizar cuando los monomios son semejantes.
Para sumar o restar monomios semejantes se suman o restan los coeficientes y se deja la misma parte literal.
EJEMPLOS 2x + x = (2 + 1) x = 3x
2x + y → La suma se deja indicada porque no son monomios semejantes
1.
Realiza las siguientes operaciones.
a)
b)
c)
2.
2x + ______ + _______ =
_______ – x2 =
_______ + 5p + ______ =
d) 2x3 + _______ =
e) _______ + 2xy + ________ =
f) 5pq – _______ =
Reduce a un solo monomio las siguientes expresiones.
a)
b)
c)
4.
d) 5x – 3x – x =
e) –5x3 – 3x3 =
f) p – 2p + 5p =
Completa los huecos con monomios semejantes y calcula.
a)
b)
c)
3.
b+b+b+b=
2x2 + x2 + x2 =
5mn – mn – 4mn =
7x – 5x – x =
0,3x – 0,2x + 0,5x =
1
1
3m  m  m 
2
2
d) 8a8 + a8 – 10a8=
e) y2 + 7y2 -10y2 + 5y2 =
f) 3 t 2  t 2  5t 2 
4
Reduce las siguientes expresiones, realizando las sumas y restas posibles.
a)
b)
c)
d)
e)
3m + n – 4m + 2n =
4x2 – 3x2 + 7y + 3x2 =
– a + 2a – 8b + a + 9b =
2p2 – p2 + 3p – 2p =
5b3 – 7b3 + 3b – 4b + 2b3 =
f) 5x3 + 3x – 5 + 8 – 2x =
g) 5y2- 5y + 3y2 – y =
h) ab – ab + 7ab + 4ab – 2ab =
i) 3ab3 – 2ab + 5ab3 – ab + 4ab =
j) –10xy – 5xy + 2xy + 4x – 8y + 2y + 2x
Ecuaciones de 1er grado
Identidades y ecuaciones

Una igualdad algebraica está formada por dos expresiones algebraicas separadas por el signo
igual (=).

Una identidad es una igualdad algebraica que se verifica para cualquier valor de las letras.
EJEMPLO
x + x = 2x es una identidad
Se cumple la igualdad para cualquier valor numérico que tome x:
Para x = 1 → 1 + 1 = 2 · 1 → 2 = 2
Para x = –2 → (–2) + (–2) = 2 · (–2) → – 4 = – 4

Una ecuación es una igualdad algebraica que no se cumple para todos los valores de las letras.
Resolver una ecuación es encontrar el valor, o los valores, de las letras para que se cumpla la
igualdad.
EJEMPLO
x + 4 = 10 es una ecuación. Sólo se cumple cuando x = 6 → 6 + 4 = 10
1.
Indica que igualdades son identidades y cuáles ecuaciones.
a)
b)
x + 8 = 2x – 15
2(x + 2y) = 2x + 4y
d) x2 · x3 = x5
e) 2x + 1 = 11
4
c)
2.
x + x + x = 3x
f)
x
 12
2
Indica el valor de x para que se cumpla la igualdad.
a)
b)
c)
x–1=2
x + 7 = 15
x–3=6
d) –x + 10 = 5
e) x + 4 = 12
f) –x – 6 = –10
Elementos de una ecuación

Los miembros de una ecuación son cada una de las expresiones algebraicas que
figuran a cada lado del signo igual. Una ecuación tiene primer y segundo miembro.

Los términos de una ecuación son cada uno de los sumandos que forman los
miembros.

Los términos numéricos se denominan términos independientes.

Las incógnitas de una ecuación son los valores que desconocemos y representamos
con letras.

El grado de una ecuación es el mayor de los grados de los términos que forman la
ecuación.

Solución de una ecuación es cualquier valor de la incógnita que verifica la igualdad.
EJEMPLO
1.
Ecuación
Primer miembro
Segundo miembro
Términos
Grado
Solución
2x – 3 = x + 1
2x - 3
x+1
2x, –3,x,1
1
x=4
Completa la tabla.
4x – x = x + 8
Ecuación
2
p  12
3

1
t 6t 4
3
Primer miembro
Segundo miembro
Términos
2.
Completa la tabla.
Ecuación
3 + x = 12
19 – y = 15
10 = 5z
2a – 4 = 1 + a
11 = 9 + b
Términos del 1er miembro
Términos del 2º miembro
Incógnita
Grado
Ecuaciones equivalentes
Dos o más ecuaciones son equivalentes cuando tienen las mismas soluciones.
p + 4 = 10 y 2p = 12 son ecuaciones equivalentes, ya que ambas tienen como solución p = 6.
6 + 4 = 10
2 · 6 = 12
Las transformaciones que permiten pasar de una ecuación a otra equivalente son:

Sumar o restar la misma cantidad a los dos miembros de la ecuación.

Multiplicar o dividir por una misma cantidad, distinto de 0, los dos miembros de la ecuación.
5
1.
La ecuación 3x + 4 = 10 tiene como solución x = 2. Averigua cuáles de las siguientes ecuaciones son
equivalentes a la ecuación 3x + 4 = 10.
a)
3x + 10 = 20
b)
3
x  8  5
2
c)
4x + 12 – x = 21
e)
2
x  2x  5  6x
7
f) 2 x  8 
1
x  x9
2
g) 12x – 3x + 10 = 5x + 18
4
h) 1 x  3 x  3 x  4
x  12 x  8  18
9
2
2
Encuentra, tanteando, la solución de las siguientes ecuaciones. Rodea de rojo, aquellas que sean
equivalentes.
d)
2.
a)
b)
c)
d)
x–2=2
4 + z = –2
x – 1 = –5
x
4
2
e) b – 4 = 1
f) –1 + n = –3
g) –2 – y = – 4
x
h)
 6
18
i)
j)
k)
l)
2p – 1 = 3
3m = –15
–2x – 4 = 10
2x
2
5
Resolución de ecuaciones de 1er grado
Resolver una ecuación de primer grado con una incógnita, es encontrar el valor de la letra (incógnita).
Es hallar su solución.

Para resolver una ecuación despejamos la incógnita, es decir, la dejamos sola en uno de los
miembros.

Para despejar la incógnita necesitamos transponer (cambiar de lado) los términos.

Al sumar, restar, multiplicar o dividir por el mismo número en los dos miembros de la ecuación,
obtenemos otra ecuación equivalente (con la misma solución).
PRIMER CASO
x+7=9→x+7–7=9–7
x=9–7
Lo que está sumando pasa al otro
miembro restando.
y–5=8→y–5+5=8+5
y=8+5
Lo que está restando pasa al otra
miembro restando.
SEGUNDO CASO
TERCER CASO
3· p  9 
3· p 9

3
3
p
Lo que está multiplicando pasa al otro
9
3
miembro dividiendo.
CUARTO CASO
z
z
 6  ·4  6·4
4
4
z=6·4
1.
Resuelve las siguientes ecuaciones.
a) x + 5 = 7
b)
x + 10 = 3
Lo que está dividiendo pasa al otro
miembro multiplicando.
j) 2m + 4 = 16
k) x  1  3
s) x   1
l) 2 – t = 4
m) 3 x  3
2
n) x  1
4
3
t) 2 – 3x = –1
u) 5x + 18 = 3
2
c)
d)
x–4=2
7y = 28
e)
–2r = 5
r) 2 x  1
3
5
10
v) –3p – 7 = 8
6
1
3
x
2
4
w)
3x = 15
o) 6z + 4 = 13
x) 3 + y = 0
h)
q + 6 = 14
p) 1  x  5
2
2
y) 4b + 12 = 8
i)
–10 = –n + 3
q) 1  x 
–x + 3 = 2x + 12
5x + 2 = 3x – 2
–2x – x = 10 + 5
m + 3m – 5 = 3
2x – 4 = 5 – 2x
3x – x = 3x + 21
–3x + 5 = 2x – 10
h) 4y – 8 = y + 16
i) 3x + 2x – 1 = 2x – 1 + 3
j) –2x + 1 = 3x + 2 - x
k) 3 + m = 5m – 1 + 6
l) q + 3 = 5q + 11
m) 5 + 6x = x + 7
n) 8 – 5t = 8 + 2t
g)
2.
x
 1
6
ñ) 3x – 5 = 1
f)
3
5
z) –2a – 6 = 3
Resuelve.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
ñ) 1 – 2n = 6 – 4n
o) 6 + 5y + 2 = 4y – 2 + y
p) 12x + 3 – 7x = x – 3 – 2x
q) x + 6 – 9x = 4x – 2 – 2x + 8
r) 13 – 3z – 9 = 8z + 4 – 11z
s) 6x – 4 – 4x = 1 + 2x - 5
t) –10 – r + 3r = 2r + 4r + 2
Método general de resolución de ecuaciones
Resuelve la ecuación 2(z – 4) – (6 + z) = 3z – 4
Para resolver una ecuación es conveniente seguir estos pasos:
1.º Eliminar paréntesis.
2.º Reducir términos semejantes.
3.º Transponer términos.
Restamos z en ambos miembros (segundo caso)
Sumamos 4 en ambos miembros (primer caso)
4.º Despejar la incógnita.
Dividimos ambos miembros entre 2 (tercer caso)
1.
2z – 8 – 6 – z = 3z – 4
z – 14 = 3z – 4
z – z – 14 = 3z – z - 4
– 14 = 2z – 4
– 14 + 4 = 2z – 4 + 4
– 10 = 2z
10
2z

 5  z
2
2
Resuelve estas ecuaciones.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
3x + 8 – 5(x + 1) = 2(x + 6) – 7x
5(y – 1) – 6y = 3y – 9
3(3x + 1) – (x – 1) = 6 (x + 10)
2(a – 5) = 3(a + 1) – 3
4(b – 2) + 1 = 5(b + 1) – 3b
3(x – 3) = 5(x – 1) – 6x
3(q + 2) + 4(2q + 1) = 11q – 2(q + 6)
5(x – 4) + 30 = 4(x + 6)
5(2 – x) + 3(x + 6) = 10 – 4(6 + 2x)
j) 5(m – 3) + 8m = 6m – 5 + m
k) 2 – (3z – 5) = 4 – 2z + 3 - z
l) 3(p + 4) – 6p = 8 – 3(p – 5)
m) 3 + 2(2x – 3) = 4x – (x + 3)
n) 5(3x – 1) – 2(4x – 3) = 15
ñ) 15 – 6(2x – 4) = 8 + 2(5x-1)
o) 5d – (1 – d) = 3(d – 1) + 2
p) 2(1 – x) – 3 = 3(2x + 1) + 2
q) 6 – 8(n + 1) – 5n = 2(3 + 2n) – 5(3 + n)
7