Contenido: 9.4.1 Obtención de una expresión general cuadrática

Escuela Secundaria General no. 1 “José María Rosas Zumaya”
Profra. Eréndira Sánchez Blanco
Plan de clase (1/2)
Curso: Matemáticas 9
Eje temático: SN y PA
Contenido: 9.4.1 Obtención de una expresión general cuadrática para definir el enésimo término de una sucesión.
Intenciones didácticas: Que los alumnos encuentren una expresión general cuadrática de la forma y = x2 que
represente el enésimo término de una sucesión figurativa usando procedimientos personales.
Consigna: Organizados en equipos, analicen la siguiente sucesión de figuras y respondan lo que se cuestiona. Si lo
desean pueden utilizar su calculadora.
Fig. 1
Fig. 2
Fig. 3
Fig. 4
a) Si la sucesión continúa en la misma forma, ¿cuántos cubos se necesitan para formar la figura 5? ¿Y para la figura
10? ¿Y para la figura 100?
b) ¿Cuál es la expresión algebraica que permite conocer el número de cubos de cualquier figura que esté en la
sucesión?
c) Se sabe que una de las figuras que forman la sucesión tiene 2 704 cubos, ¿qué número corresponde a esa figura en
la sucesión?
d) Una figura con 2 346 cubos, ¿pertenece a la sucesión? ¿Por qué?
Plan de clase (2/2)
Curso: Matemáticas 9
Eje temático: SN y PA
Contenido: 9.4.1 Obtención de una expresión general cuadrática para definir el enésimo término de una sucesión.
Intenciones didácticas: Que los alumnos encuentren una expresión general cuadrática de la forma y = ax2 que
represente el enésimo término de una sucesión figurativa usando procedimientos personales.
Consigna: En equipos, con base en la siguiente sucesión de figuras, contesten las preguntas que se plantean.
Fig 1
Fig 2
Fig 3
Fig 4
a) ¿Cuántos cuadritos tendrá la figura 7, 10 y 13, respectivamente?
b) ¿Cuántos cuadritos tendrá la figura 100?
c) Encuentren una expresión algebraica que permita determinar la cantidad de cuadritos de cualquier figura que
corresponda a la sucesión anterior.
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Profra. Eréndira Sánchez Blanco
Plan de clase (1/3)
Curso: Matemáticas 9
Eje temático: F. E. y M.
Contenido: 9.4.2 Análisis de las características de los cuerpos que se generan al girar sobre un eje, un triángulo
rectángulo, un semicírculo y un rectángulo. Construcción de desarrollos planos de conos y cilindros rectos.
Intenciones didácticas: Que los alumnos anticipen las características de algunos cuerpos de revolución.
Consigna 1: Organizados en equipos utilicen tres popotes como eje y peguen a cada uno de éstos un triángulo
rectángulo, un rectángulo y un semicírculo.
1. Anticipen qué cuerpo geométrico se describe al girar cada figura.
2. Escriban las características de cada cuerpo generado.
Consigna 2: Comenten con sus compañeros de equipo: ¿qué cuerpo geométrico se genera al trasladar un círculo de un
plano a otro paralelo?
Plan de clase (2/3)
Curso: Matemáticas 9
Eje temático: F. E. y M.
Contenido: 9.4.2 Análisis de las características de los cuerpos que se generan al girar sobre un eje, un triángulo
rectángulo, un semicírculo y un rectángulo. Construcción de desarrollos planos de conos y cilindros rectos.
Intenciones didácticas: Que los alumnos establezcan la relación entre las medidas de un cilindro y su desarrollo plano.
Consigna: Organizados en equipos, realicen las siguientes actividades:
 Usen un tubo de cartón, de los que trae el papel sanitario, para trazar los círculos que puedan servir de tapa
superior e inferior del tubo y recórtenlos.
 Corten longitudinalmente el tubo y, completamente aplanado, péguenlo en un pliego de cartoncillo.
 Peguen donde corresponda las dos tapas para formar el desarrollo plano del cilindro.
 Anoten sobre las líneas que corresponda las siguientes medidas:
a) Altura del cilindro
b) Radio del cilindro
c) Perímetro de la base del cilindro.
 A partir del modelo pegado en el cartoncillo, construyan el desarrollo plano de un cilindro cuyas
medidas sean 4 cm de radio y 10 cm de altura. Recórtenlo y armen el cilindro.
Curso: Matemáticas 9
Plan de clase (3/3)
Eje temático: F. E. y M.
Contenido: 9.4.2 Análisis de las características de los cuerpos que se generan al girar sobre un eje, un triángulo
rectángulo, un semicírculo y un rectángulo. Construcción de desarrollos planos de conos y cilindros rectos.
Intenciones didácticas: Que los alumnos establezcan la relación entre las medidas de un cono y su desarrollo plano.
Consigna: Organizados en equipos, usen un cono de papel para tomar agua y realicen las siguientes actividades:
Generatriz



Altura

Radio
Tracen el círculo que puede servir de
tapa al vaso.
Identifiquen y midan la altura del
cono; asimismo, determinen el
diámetro de la base.
Corten longitudinalmente el cono,
desde la base hasta el vértice y
extiéndanlo.
Peguen el desarrollo plano del cono
sobre un pliego de cartoncillo.
Escuela Secundaria General no. 1 “José María Rosas Zumaya”
Profra. Eréndira Sánchez Blanco

a)
b)
c)
d)
e)
Anoten sobre las líneas que corresponda las siguientes medidas:
Radio del cono
Altura del cono
Generatriz del cono
Perímetro de la base del cono
Ángulo del sector circular que permite formar el cono.

Construyan el desarrollo plano para hacer un vasito en forma de cono que mida 4 cm de radio y 10 cm
de altura. Armen el vaso y verifiquen que tiene las medidas indicadas.
Plan de clase (1/2)
Curso: Matemáticas 9
Eje temático: FE y M
Contenido: 9.4.3 Análisis de las relaciones entre el valor de la pendiente de una recta, el valor del ángulo que se forma
con la abscisa y el cociente del cateto opuesto sobre el cateto adyacente.
Intención didáctica: Que los estudiantes, a partir de la gráfica de una recta, identifiquen a la pendiente como la razón
de los catetos de los triángulos rectángulos construidos con la recta y el eje de las abscisas.
Consigna: Organizados en binas, y a partir de la gráfica de la recta y = 0.5 x + 1, realicen lo que se pide:
a) Determinen la medida del ángulo “A” que se forma con la recta y el eje x.
b) Construyan tres triángulos rectángulos, considerando la recta y el eje de las abscisas o una paralela a ésta.
c) Identifiquen y midan los catetos opuestos y adyacentes al ángulo “A” en cada triángulo.
d) Obtengan los cocientes de las razones formadas por el cateto opuesto entre el adyacente.
e) Verifiquen que los cocientes obtenidos son iguales y expliquen por qué.
f) Contesten: ¿Qué relación existe entre la pendiente de la recta y los cocientes de los catetos? Argumenten su
respuesta.
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Profra. Eréndira Sánchez Blanco
Plan de clase (2/2)
Curso: Matemáticas 9
Eje temático: FE y M
Contenido. 9.4.3 Análisis de las relaciones entre el valor de la pendiente de una recta, el valor del ángulo que se forma
con la abscisa y el cociente del cateto opuesto sobre el cateto adyacente.
Intención didáctica: Que los estudiantes analicen la relación entre la medida del ángulo y el valor de la pendiente en
diferentes rectas.
Consigna. Organizados en equipos realicen la siguiente actividad:
Consideren las rectas de la siguiente ilustración, las cuales forman con el eje horizontal un ángulo de 30°, uno de 45° y
otro de 60°; para formar tres triángulos rectángulos, uno para cada ángulo, posteriormente completen la tabla y
contesten las preguntas. Pueden utilizar un juego de geometría y una calculadora.
Ángulo
Medida del
cateto opuesto
Medida del
cateto adyacente
Razón
(
.
.
)
Cociente
(decimal)
Pendiente
30º
45º
60º
Comparen los resultados de su tabla con la elaborada por otro equipo, verifiquen que aunque los datos de las tres
primeras columnas fueran diferentes, los de las dos últimas coinciden y expliquen por qué.
¿Sucederá lo mismo con otros ángulos? Compruébenlo y concluyan.
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Profra. Eréndira Sánchez Blanco
Plan de clase 1/2
Curso: Matemáticas 9
Eje temático: FE y M
Contenido: 9.4.4 Análisis de las relaciones entre los ángulos agudos y los cocientes entre los lados de un triángulo
rectángulo.
Intenciones didácticas: Que los alumnos adviertan la constante de dividir el cateto opuesto o adyacente entre la
hipotenusa en triángulos rectángulos semejantes y la relacionen con la medida del ángulo agudo de referencia.
Consigna: Organizados en parejas, y a partir de la gráfica de la recta y = 1.5x + 1, realicen lo que se pide:
Tomen los datos necesarios de la gráfica y completen la siguiente tabla. Utilicen su calculadora y consideren hasta
diezmilésimos en los cálculos y resultados. Luego, respondan lo que se cuestiona.
Triángulo
Medida del
ángulo A
Medida del
cateto
opuesto
Medida del
cateto
adyacente
Medida de
la
hipotenusa
Razón Seno
C. opuesto
(
)
hipotenusa
Razón Coseno
(
C. adyacente
)
hipotenusa
ABC
ADE
AFG
AHI
a) ¿Cómo es el resultado de la razón seno en los cuatro triángulos? ___________________ ¿Y el de la razón coseno?
¿A qué creen que se deba esto?____________________________________________
b) Con una calculadora científica, obtengan el seno y el coseno de los cocientes obtenidos. ¿Los resultados coinciden
con la medida del ángulo A?______________ ¿Por qué? ______________________________________________________________________
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Profra. Eréndira Sánchez Blanco
Plan de clase 2/2
Curso: Matemáticas 9
Eje temático: FE y M
Contenido. 9.4.4 Análisis de las relaciones entre los ángulos agudos y los cocientes entre los lados de un triángulo
rectángulo.
Intenciones didácticas: Que los alumnos reflexionen acerca de la relación que existe entre las razones trigonométricas
de un ángulo y las de su complemento.
Consigna: Organizados en equipos, contesten lo que se plantea enseguida.
1. ¿Cuánto suman los ángulos M y N en el triángulo rectángulo que aparece abajo?________
2. ¿Qué nombre reciben esos ángulos?________________
3. Calculen los valores de las razones de los ángulos M y N.
sen M =
cos M =
10
8
tan M =
sen N =
cos N =
6
tan N =
4. ¿Qué relación existe entre el seno de un ángulo y el coseno de sus complemento?_____
5. Si el seno de un ángulo de 30 grados es igual a 0.5, ¿a qué es igual el coseno de un ángulo de 60
grados?____________________________
6. ¿A qué es igual el producto de la tangente de un ángulo de 30 grados por la tangente de un ángulo de 60
grados?__________________
Plan de clase 1/3
Curso: Matemáticas 9
Eje temático: FE y M
Contenido: 9.4.5 Explicitación y uso de las razones trigonométricas, seno, coseno y tangente.
Intenciones didácticas: Que los alumnos utilicen el círculo unitario para identificar la variación de las razones
trigonométricas seno, coseno y tangente, a medida que crece o disminuye el ángulo agudo asociado.
Consigna. En parejas, abran el archivo G9B4C5.ggb. En él aparece un círculo con radio igual a 1 como se muestra
enseguida.
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Profra. Eréndira Sánchez Blanco
1. Den clic en el ícono
, luego, muevan el punto B sobre la circunferencia de manera que el ángulo θ crezca o
disminuya. Analicen con detalle qué es lo que sucede con cada una de las razones trigonométricas.
2. ¿Es verdad que el seno del ángulo θ es igual a y? _______ ¿por qué? ________________
___________________________________________________________________________
3. ¿Es verdad que el coseno del ángulo θ es igual a x? _______ ¿por qué? ______________
___________________________________________________________________________
3. ¿Es verdad que la tangente del ángulo θ es igual a KL ? _______ ¿por qué? __________
___________________________________________________________________________
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Profra. Eréndira Sánchez Blanco
Plan de clase 2/3
Curso: Matemáticas 9
Eje temático: FE y M
Contenido. 9.4.5 Explicitación y uso de las razones trigonométricas, seno, coseno y tangente.
Intenciones didácticas: Que los alumnos usen las razones trigonométricas para resolver problemas.
Consigna. Organizados en parejas resuelvan los siguientes problemas. Para ello, usen su calculadora científica o la
tabla de razones trigonométricas.
1. ¿Cuál es la altura del asta bandera, si a cierta
hora del día el ángulo que forma el extremo de su
sombra con la punta del asta mide 37º?
?
37°
20 m
2. ¿Cuál es la altura de la torre y la longitud
del tirante que la sostiene?
y
x
65°
30 m
3. Un puente de 18 m de largo
atraviesa por una barranca como se
muestra en el siguiente esquema.
¿Cuál es la profundidad de la
barranca?
4. Se desea construir un puente sobre
un río que mide 10 m de ancho, de
manera que quede a una altura de 2 m
sobre el agua y que las rampas de
acceso tengan una inclinación de 20°
a) ¿Cuál debe ser la longitud del
barandal?
b) ¿A qué distancia del cauce se situará
el comienzo de la rampa?
Escuela Secundaria General no. 1 “José María Rosas Zumaya”
Profra. Eréndira Sánchez Blanco
5. Se desea calcular la altura de
la torre, para ello se miden los
ángulos de elevación desde los
puntos A y B. Con los datos de la
figura, ¿cuál es la altura de la
torre?
Anexo 1.
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Profra. Eréndira Sánchez Blanco
Plan de clase 3/3
Curso: Matemáticas 9
Eje temático: FE y M
Contenido. 9.4.5 Explicitación y uso de las razones trigonométricas, seno, coseno y tangente.
Intenciones didácticas. Que los alumnos utilicen las razones trigonométricas y el teorema de Pitágoras para calcular
valores de ángulos y lados de triángulos rectángulos.
Consigna: Individualmente, calculen los valores que se piden en cada caso. Usen su calculadora científica o la tabla de
razones trigonométricas.
b = __________
c = __________
 B = __________
c = __________
 A = __________
 B = __________
a = __________
c = __________
 B = __________
a = __________
 A = __________
 B = __________
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Profra. Eréndira Sánchez Blanco
Plan de Clase (1/3)
Curso: Matemáticas 9
Eje temático: MI
Contenido: 9.4.6 Cálculo y análisis de la razón de cambio de un proceso o fenómeno que se modela con una función
lineal. Identificación de la relación entre dicha razón y la inclinación o pendiente de la recta que la representa.
Intenciones didácticas: A partir de cierta información, que los alumnos construyan tablas y gráficas y que a partir de
éstas, relacionen cantidades y obtengan nueva información.
Consigna: Organizados en binas, resuelvan el siguiente problema.
1.- Los tres hermanos Pérez asistieron al cine. El boleto de entrada cuesta $40.00:
a) ¿Cuánto pagaron por las tres entradas? ________________
b) Si cada uno llevó un invitado, ¿cuánto se pagó en total para que todos entraran? _________
c) Si además asistieron los padres de los hermanos Pérez, ¿cuánto se pagó por todos? ______
A partir de la información anterior, completen la siguiente tabla:
Personas
3
Con los Costo ($)
160
datos
obtenidos en la tabla anterior, tracen la gráfica correspondiente.
6
8
Costo de entrada al cine
$
Observen la gráfica y contesten:
a) ¿Cuánto se pagará por cinco
personas? _____________
b) ¿Cuánto se pagará por nueve
personas? _____________
200
160
120
80
40
0
0 1
2 3 4
5 6 7
8 9 10
12
Número de personas
480
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Profra. Eréndira Sánchez Blanco
Plan de Clase (2/3)
Curso: Matemáticas 9
Eje temático: MI
Contenido: 9.4.6 Cálculo y análisis de la razón de cambio de un proceso o fenómeno que se modela con una función
lineal. Identificación de la relación entre dicha razón y la inclinación o pendiente de la recta que la representa.
Intenciones didácticas: Que los alumnos obtengan, a partir de la gráfica de una función lineal, las razones de cambio
del fenómeno que representa.
Consigna: Organizados en binas, analicen la siguiente gráfica que muestra los cambios en el precio de un artículo
durante los primeros meses del año, posteriormente den respuesta a las preguntas.
Variación del precio de un artículo
$
2200
1800
1400
1000
600
200
0 1
2 3 4
5
6 7
8 9 10 11 12
meses
a) ¿Cuánto varió el precio del primero al tercer mes? __________________________
b) ¿Cuánto varió el precio del primero al cuarto mes? _________________________
c) Suponiendo que el incremento fue el mismo cada mes, ¿cuánto varió el precio del tercero al sexto mes?
_____________________________
d) ¿Cuál es el incremento mensual del precio del artículo? _________________________
e) Si el primer mes corresponde a enero, ¿cuál es el precio del artículo en marzo? __________
f) Si el incremento fue el mismo cada mes, ¿cuál será el precio del artículo en diciembre? ________________________
g) Respecto al inciso a, encuentren el cociente del incremento en el precio entre el número de meses, es decir la
“razón de cambio”. Encuentren la razón de cambio en los incisos b y c y compárenla con la del inciso a. ¿Cómo son?
________________________________________
h) ¿Qué relación tienen las razones de cambio que encontraron en el inciso g y la respuesta del inciso d?
____________________________________________________________________
Escuela Secundaria General no. 1 “José María Rosas Zumaya”
Profra. Eréndira Sánchez Blanco
Plan de Clase (3/3)
Curso: Matemáticas 9
Eje temático: MI
Contenido: 9.4.6 Cálculo y análisis de la razón de cambio de un proceso o fenómeno que se modela con una función
lineal. Identificación de la relación entre dicha razón y la inclinación o pendiente de la recta que la representa.
Intenciones didácticas: Que los alumnos relacionen diferentes razones de cambio con la inclinación o pendiente de las
rectas que las representan.
Consigna: La siguiente gráfica muestra el costo del servicio telefónico de dos compañías, con base en la información
que proporciona, respondan lo que se pide.
Costo del servicio telefónico
Compañía B
Costo ($)
Compañía A
300
150
0
0
100
Número de llamadas
a) ¿Cuál es la razón de cambio (incremento en el costo por llamada) en cada compañía?
_______________________________________________________________________
b) ¿Cuál es la relación entre las razones de cambio y la pendiente o inclinación de las
rectas?______________________________________________________________________________________________________________________
__________________
c) ¿Por qué el costo de las 100 primeras llamadas telefónicas es el mismo en las dos
compañías?_________________________________________________________________________________________________________________
___________________
d) ¿Cuál es el incremento en el costo de 50 a 100 llamadas en la Compañía A? ____________________________¿Y en la
B?__________________________________
e) En la Compañía A, ¿el incremento en el costo de 1 a 50 llamadas es el mismo que de 51 a 100 llamadas?
___________________¿Y en la B?____________________________
Plan de clase (1/2)
Curso: Matemáticas 9
Eje temático: MI.
Contenido: 9.4.7 Medición de la dispersión de un conjunto de datos mediante el promedio de las distancias de cada
dato a la media (desviación media). Análisis de las diferencias de la “desviación media” con el “rango” como medidas
de la dispersión.
Intenciones didácticas. Que los alumnos reconozcan el “rango” y la “desviación media” como medidas que cuantifican
la separación o dispersión de los datos de un conjunto, tomando como referencia la media aritmética o promedio.
Consigna. Organizados en equipos resuelvan el siguiente problema.
Escuela Secundaria General no. 1 “José María Rosas Zumaya”
Profra. Eréndira Sánchez Blanco
Una organización civil realizó una encuesta sobre 10 temas específicos. Cada tema tiene 10 preguntas. A continuación
se muestra el número de aciertos en cada tema de tres personas.
Tema
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Carlos
2
9
10
2
3
1
9
9
1
4
Pedro
7
2
2
6
6
3
6
7
6
5
Juan
5
6
5
5
5
5
4
5
6
4
a) ¿Cuál es el promedio de aciertos de cada uno de los encuestados? ____________
__________________________________________________ ¿Quién obtuvo el mejor promedio? ______________________________
b) Describan cómo es la separación o dispersión de los números de aciertos respecto al promedio en cada
encuestado.
Carlos: ______________________________________________________________
____________________________________________________________________
Pedro: ______________________________________________________________
____________________________________________________________________
Juan: _______________________________________________________________
____________________________________________________________________
c) ¿Cómo medirían la dispersión o separación de los datos de cada lista, tomando como referencia la media?
____________________________________________
____________________________________________________________________
Plan de clase (2/2)
Curso: Matemáticas 9
Eje temático: MI.
Contenido: 9.4.7 Medición de la dispersión de un conjunto de datos mediante el promedio de las distancias de cada
dato a la media (desviación media). Análisis de las diferencias de la “desviación media” con el “rango” como medidas
de la dispersión.
Intenciones didácticas. Que los alumnos relacionen la forma de la gráfica de una lista de datos y la magnitud de la
desviación media.
Consigna. Organizados en equipos resuelvan el siguiente problema.
Observen y analicen las tres listas de datos y sus respectivas gráficas, posteriormente contesten lo que se pide.
Escuela Secundaria General no. 1 “José María Rosas Zumaya”
Profra. Eréndira Sánchez Blanco
F R E C U E N C I
A
A
B
C
¿Cómo se relaciona en términos generales la magnitud de la desviación media (DM) con la forma de las gráficas de
frecuencia? Consideren forma de “V invertida” (gráfica A), forma de “V” (gráfica B) y forma uniforme (gráfica C).