Hallar por el método de Cross los diagramas de momentos flectores

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Cátedra de Ingeniería Rural
Escuela Universitaria de Ingeniería Técnica Agrícola de Ciudad Real
Hallar por el método de Cross los diagramas de momentos flectores y
esfuerzos cortantes, así como las reacciones de todas las barras del pórtico de
la figura.
La relación entre los momentos de inercia de las barras es:
I1 = 2 ⋅ I2 = 3 ⋅ I3
P=5 T
q1=2 T/m
q2=1 T/m
A
I1
B
I1
C
I2
I3
I2
D
E
F
3
3
5
4
1º . Determinamos los coeficientes elásticos (βi, Ki y ri).
Nudo A
4 ⋅ E ⋅ I2
= 0 .8 ⋅ E ⋅ I 2
5
4 ⋅ E ⋅ I1
K AB =
= 1.33 ⋅ E ⋅ I2
6
1
β AB =
2
1
β AD =
2
K AD =
1
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Escuela Universitaria de Ingeniería Técnica Agrícola de Ciudad Real
K AD
0 .8
=
= 0.38
K AD + K AB 0.8 + 1.33
K AB
1.33
=
=
= 0.62
K AD + K AB 0.8 + 1.33
rAD =
rAB
Nudo B
4 ⋅ E ⋅ I1
= 0.67 ⋅ E ⋅ I1
6
4 ⋅ E ⋅ I1
K BC =
= E ⋅ I1
4
K BE = 0
1
β BA =
2
1
β BC =
2
β BE = 0
K BA
0.67
rBA =
=
= 0.40
K BA + K BC + K BE 0.67 + 1 + 0
K BC
1
rBC =
=
= 0.60
K BA + K BC + K BE 0.67 + 1 + 0
K BA
rBE =
=0
K BA + K BC + K BE
K BA =
Nudo C
4 ⋅ E ⋅ I1
= 2 ⋅ E ⋅ I2
4
4 ⋅ E ⋅ I2
K CF =
= 0 .8 ⋅ E ⋅ I 2
5
1
β CB =
2
1
β CF =
2
K CB
2
rCB =
=
= 0.71
K CB + K CF 2 + 0.8
K CB =
2
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Escuela Universitaria de Ingeniería Técnica Agrícola de Ciudad Real
rCF =
K CF
0 .8
=
= 0.29
K CB + K CF 2 + 0.8
2º . Calculamos los momentos y pares de empotramiento.
q ⋅ l2
1⋅ 5 2
MD = M A = −
=−
= −2.08 T ⋅ m
12
12
1 T/m
A
D
mD = +2.08 T ⋅ m
5
m A = −2.08 T ⋅ m
5T
M A = MB = −
P ⋅l
5⋅6
=−
= −3.75 T ⋅ m
8
8
B
A
m A = +3.75 T ⋅ m
3m
3m
mB = −3.75 T ⋅ m
2 T/m
C
B
MB = MC = −
q ⋅ l2
2 ⋅ 42
=−
= −2.67 T ⋅ m
12
12
4m
mB = +2.67 T ⋅ m
m C = −2.67 T ⋅ m
3
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3º . Cross: Transmisiones.
-0.63
-2.08
-0.32
+2.08
-0.03
+0.09
+0.05 +0.08
+0.16
-0.14
-0.27 -0.03
-0.02
-0.20
-0.10 -0.41
-0.21
+0.32
+0.64 +0.78
+1.55
-1.04
-0.52 +0.96
+0.48
+3.75
-3.75 +2.67
-2.67
0.62
0.40 0.60
0.71
0.38
-0.12
-0.06
-0.02 -0.05
- 0.74
+ 0.36
+0.05
-0.01
+ 4.00
+ 0.71
+0.03
-0.03
+0.04
+0.01
-0.02
+0.07
+0.01
+0.01
+0.32
+ 1.74
+0.02
+0.64
4
- 3.99
0.29
- 2.77
+ 2.77
Momentos flectores en los nudos:
-2,77
-3,99 –4,0
-0,74
-2,77
0,71
-1,74
-0,36
4
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4
Momentos isostáticos
1 T/m
Mmáx i =
D
A
q ⋅ l 2 1⋅ 5 2
=
= 3.13 T ⋅ m
8
8
5
Mmáx =
MD + M A
− 1.74 − 2.77
+ Mmáx i =
+ 3.13 = 0.87 T ⋅ m
2
2
5T
Mmáx i =
P⋅l 5 ⋅ 6
=
= 7 .5 T ⋅ m
4
4
B
A
3m
3m
Mmáx =
2 T/m
B
− 2.77 − 3.99
+ 7.5 = 4.12 T ⋅ m
2
Mmáx i =
q ⋅ l2 2 ⋅ 4 2
=
= 4 T ⋅m
8
8
C
4
Mmáx =
MB + MC
− 4.0 − 0.74
+ Mmáx i =
+ 4 = 1.63 T ⋅ m
2
2
5
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4º . Diagrama de momentos flectores.
-4.0
-2.77
+0.71
-2.77
-0.74
B
A
C
-1.74
+1.63
-0.36
+4.12
D
E
F
5º . Cálculo de reacciones.
2.77
1.74
∑M
1 T/m
D
A
5
A
=0
R D ⋅ 5 − 1.74 + 2.77 − 1⋅ 5 ⋅
5
=0
2
R D = 2.29 T
∑ MD = 0
6
Cátedra de Ingeniería Rural
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R A ⋅ 5 + 1.74 − 2.77 − 1⋅ 5 ⋅
5
=0
2
R A = 2.71 T
5T
2.77
3.99
A
B
C
F
0.71
0.74
2 T/m
B
C
4
C
=0
R F ⋅ 5 + 0.36 + 0.71 = 0
R F = 0.21 T
∑ MF = 0
R C ⋅ 5 − 0.36 0.71 = 0
R C = −0.21 T
∑M
4.0
=0
R A ⋅ 6 − 2.77 − 5 ⋅ 3 + 3.99 = 0
R A = 2.30 T
∑ MA = 0
∑M
0.36
5m
B
R B ⋅ 6 − 3.99 + 2.77 − 5 ⋅ 3 = 0
R B = 2.70 T
3m
3m
∑M
B
=0
R C ⋅ 4 − 0.74 + 4.0 − 2 ⋅ 4 ⋅
4
=0
2
R D = 3.19 T
∑ MC = 0
R B ⋅ 4 + 0.74 − 4.0 − 2 ⋅ 4 ⋅
4
=0
2
R B = 4.81 T
7
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6º . Diagrama de esfuerzo cortante.
4.81
2.30
2.71
3.19
2.70
2.29
0.21
7º . Deformada.
8
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