2.1 Introducción a los modelos de concentración y tipos principales Tema 2: Modelos de concentración de contaminantes atmosféricos Son protocolos matemáticos que proporcionan estimaciones de concentración de contaminante en función de una serie de parámetros meteorológicos, químicos, topográficos y de cantidad y velocidad de emisión. 2.1 Introducción a los modelos de concentración y tipos principales 2.2 Estabilidad y turbulencia atmosférica: fundamentos 2.3 Modelos de celda fija estacionaria y no estacionaria 2.4 Modelos de dispersión: modelo gaussiano para contaminantes que no reaccionan 2.5 Modelos sofisticados 2.5.1 Refinamientos del modelo gaussiano 2.5.2 Incorporación de cinética de reacción PARÁMETROS DE ENTRADA: 2.5.3. Modelos de celda múltiple • Cantidad de contaminante emitida por unidad de tiempo. Posición y altura de emisión. • Velocidad y dirección de los vientos dominantes. Estabilidad atmosférica. Altura de mezclado. 1 • Comportamiento químico del contaminante: posibles reacciones, vida media. Tipos principales 2 Fundamento básico MODELOS DE CELDA FIJA Todos los modelos de concentración están basados en balances de materia en el interior de un determinado volumen de aire: (vertidos homogéneos) MODELOS GAUSSIANOS DE DISPERSIÓN (vertidos puntuales) z Velocidad de Velocidad de Velocidad = acumulación entrada de Salida MODELOS COMBINADOS (celda múltiple, etc..) x y 3 2.1 Estabilidad y turbulencia atmosférica: fundamentos + Velocidad Velocidad de de creación destrucción Variación (derivada) de concentración de contaminante con respecto al tiempo 4 Gradiente adiabático: ascenso de una masa de aire seco en ausencia de transferencias de calor Gradientes de temperatura con el aire circundante. Esquema simple: • Es un proceso isoentrópico (no hay transferencia de calor, ds = 0) Termodinámica: dH = n CpdT = TdS + Vdp 1. El aire caliente es menos denso y tiende a ascender. 2. Un ascenso de aire caliente produce una expansión del gas, porque la presión disminuye con la altura. 3. La expansión del gas se hace a costa de su energía interna: el aire se enfría: n Cp dT = V dP (proceso adiabático) dP=ρgdz Gradiente adiabático del aire: λ = d T / d z = g M / Cp “entalpía” perdida: d H = n Cp dT Ejercicio. Estimar el gradiente adiabático de aire seco. Datos: M (Masa molecular promedio del aire) = 29 g/mol, Calor específico molar a presión constante Cp (calor específico a presión constante del aire) = 7/2 R 5 6 1 Inversiones térmicas Estabilidad atmosférica Representan la situación de máxima estabilidad, en la que el gradiente real de temperaturas es positivo (la temperatura aumenta con la altura) La existencia o no de corrientes verticales (atmósfera estable o inestable) se deduce de la comparación entre el gradiente adiabático (variación de temperatura de una masa ascendente de aire) y el gradiente real de temperatura (aire circundante) z z z adiabático real adiabático real T • Inversión de subsidencia: zona de altas presiones T T ATMÓSFERA ESTABLE ATMÓSFERA INESTABLE El aire ascendente está a menos temperatura que el circundante: vuelve a bajar TIPOS: El aire ascendente está a más temperatura que el circundante: sigue subiendo • Inversión por irradiación: durante la noche el aire cercano al suelo es más frío. • Inversión marina: cuando llega a la costa aire frío en contacto con el agua • Inversión topográfica: el aire frío “rellena” los valles 7 8 Clases de atmósfera según su estabilidad Inversiones térmicas y altura de mezclado La existencia de una zona de inversión equivale a la existencia de una “barrera” que impide la dispersión de los contaminantes por encima de una determinada altura. Dicha barrera determina la “altura de mezclado” (H) Gradiente en altitud de temperaturas: z D estable inestable z F Isoterma E C Aire caliente Inversión B Aire frío H A contaminante T T 9 Clases de atmósfera según su estabilidad (II) 2.3 Modelos de celda fija estacionaria y no estacionaria La clase de atmósfera viene determinada por la cantidad de insolación (por la noche es cuando más tendencia existe a que aparezcan inversiones). Así mismo un fuerte viento produce estabilidad vertical Se utilizan para obtener estimaciones de concentración de contaminante para emisiones difusas, diseminadas a lo largo de una determinada superficie, como es el caso de una ciudad Tabla 2.1: Clases de atmósfera según su estabilidad (Turner) día Viento de superficie Radiación solar ( a 10 m) / m s-1 Fuerte moderada débil Concentración en el interior de la ciudad Noche, o nublado 0-2 A 2-3 3-5 5-6 C C-D D D D ≥6 C D D D D A-B B A-B B C E F B B-C C D E Concentración de fondo, b - viento: u (concentraciones dadas habitualmente en unidades de masa/volumen) 11 c z nubes ≥ 4/8 nubes < 3/8 - 10 H y Q Ciudad L W x 12 2 Hipótesis esenciales del modelo de celda fija (2): Hipótesis esenciales del modelo de celda fija (1): 1- La ciudad es un rectángulo con dimensiones W y L, con uno de sus lados paralelo a la dirección del viento. Normalmente L se refiere a las dimensiones de la ciudad en la dirección del viento 2- La turbulencia atmosférica produce el mezclado completo y total de los contaminantes hasta la altura de mezclado H y no hay mezclado por encima de esa altura. El resultado es que se puede asumir que existe una concentración homogénea c, que es igual en todo el volumen de aire sobre la ciudad. 4- La concentración de contaminantes que entra en la ciudad (x=0) es constante e igual a b, la llamada concentración de fondo 5- El índice de emisiones por unidad de área es q ( por ejemplo, en g s-1 · m-2) con lo que la emisión total es Q=q A, siendo A=WL el área de la ciudad. El índice de emisiones es constante y no varía con el viento. 6.- Ningún contaminante entra o sale por los lados perpendiculares a la dirección del viento. c z 3- El viento sopla en la dirección x con velocidad u. Esta velocidad es constante e independiente del tiempo, lugar o elevación por encima del suelo. H y viento: u Q Ciudad W x L Celda fija estacionaria Índice de emisiones: masa por unidad de tiempo (g s-1) 13 z 14 Celda fija estacionaria (2) c H Q=qWL El balance de materia se reduce a: y masa por unidad de tiempo y unidad de superficie (g s-1 m-2) Q Ciudad ubWH+qWL–ucWH=0 W entra c=b+qL/uH En el estado estacionario (la concentración no varía con el tiempo): Velocidad de Velocidad de Velocidad = acumulación entrada de Salida 0 + sale x L Velocidad Velocidad de de creación destrucción 0 0 Importante: la concentración es tanto más alta cuanto más larga sea la ciudad en la dirección del viento, y además, ésta es independiente de la anchura. Cantidad que entra = cantidad que sale 15 Uso del modelo de celda para calcular reducción de emisiones Promedio sobre diversas condiciones meteorológicas c = Σi ci × fi 16 Frecuencia en la que se produce cada condición meteorológica Conc. promedio Problema práctico: Si para unas condiciones dadas un determinado nivel de emisión conduce a una concentración fija de equilibrio, ¿cuál ha de ser el nivel de emisión para conseguir una concentración dada? q1 c1 q1 = (c1-b) u H / L ¿q2? c2 q2 = (c2-b) u H / L Suma para todas las condiciones meteorológicas q2 = q1 (c2-b)/(c1-b) 17 18 3 c z Modelo de celda no estacionaria Modelo de celda no estacionaria (2) H y viento: u L/u dc/dt = b + q L / (H u) - c Concentración de fondo, b Q Ciudad W L/u dc/dt = ce - c x L (Ecuación diferencial de 1er orden) En el estado no estacionario la concentración puede variar con el tiempo: Solución: Cantidad que entra - cantidad que sale = cantidad que se acumula por unidad de tiempo ( ce- c(t) ) / ( ce - b) = e-u/L t u b W H + q W L - c u W H = W H L dc/dt entra sale se acumula 19 20 Formación de “penachos” 2.4 Modelos de dispersión: Modelo gaussiano para contaminantes que no reaccionan La combinación de la “fuerza” de emisión, la velocidad del viento y la turbulencia atmosférica da lugar a la formación de una estructura característica, que se denomina “penacho” (“plume” en inglés) Son los que se utilizan para estimar la concentración de contaminante producida por una fuente puntual, por ejemplo, la chimenea de una fábrica, o el escape de un depósito Dirección del viento Momento inicial + flotación Objetivo: ¿cuál es la concentración a cierta distancia de la fuente? 21 Penachos según estabilidad atmosférica 22 Penachos según estabilidad atmosférica (2) Atmósfera neutra Capa superior neutra, capa inferior estable Atmósfera inestable (la turbulencia vertical deforma el flujo de humo) Capa superior estable, capa inferior neutra Atmósfera estable (el flujo de humo no se dispersa) 23 24 4 Sea en un caso u en otro, el modelo gaussiano corresponde a un promedio Nomenclatura del modelo gaussiano: sobre cierto intervalo de tiempo: z Instantáneo (unos segundos) aire contaminado Promedio (1/2 - 1 h) Objetivo del modelo: ∆h y ¿ Cuál es la concentración en un un punto (x,y,z)? H h x dirección del viento Además, estos son útiles para distancias de hasta 20 Km. No sirven para problemas como la lluvia ácida, que implican cientos de Km. 25 26 Deducción del modelo gaussiano: Fundamento del modelo gaussiano: Para separar adecuadamente la influencia de ambos factores (viento y turbulencia), consideraremos una caja de volumen ∆x ∆y ∆z que se mueve con el viento: El modelo considera que el transporte del contaminante se produce por dos causas en principio independientes: C Por el viento ∆z viento: u Por la turbulencia atmosférica ∆y ∆x (de esta forma todos los flujos de SIN VIENTO SIN TURBULENCIA entrada y salida en la caja serán debidos únicamente a la turbulencia) x Balance de materia en la caja: Velocidad de = acumulación de Flujos de Σ Flujos entrada Σ salida Variación de masa de contaminante por unidad de tiempo (gr s-1) 27 28 Efecto de la turbulencia: teoría de la difusión Difusión en una dimensión: 1D El flujo viene dado por la Ley de Fick, o primera ley de la difusión: Flujo = − K Flujo = − K ∂c ∂x = masa Balance de materia: Área × tiempo ∂ c [( flujo )x − ( flujo )x + ∆x ] ∂ 2c = =K 2 ∂t ∆x ∂x “El flujo de materia a través de una pared (cantidad de masa por unidad de superficie y unidad de tiempo) es proporcional al gradiente de concentración, cambiado de signo, a través de la pared” Cte de proporcionalidad ∂c ∂x Masa depositada (t = 0) K : constante de dispersión turbulenta Nota: La ley de Fick fue propuesta originalmente para “difusión molecular”. En la atmósfera la dispersión de los contaminantes se produce por turbulencia, en lugar de por difusión, pero es una buena aproximación suponer que la forma matemática que regula este proceso es la misma. 29 c= M 2 (π t ) 1/ 2 K 1/ 2 e 1 x2 − 4 t K 30 5 ¿Por qué se llama modelo gaussiano? M= Normalmente, el modelo de dispersión se expresa en términos de un coeficiente de dispersión en lugar de en la constante de dispersión turbulenta: σ = (2Kt )1/ 2 c c= M (2 π )1/ 2 σ − e x2 2σ 2 σ (concentración en masa/longitud) X=0 31 x 32 1D El coeficiente de dispersión se mide en metros y mide cuánto se ha dispersado la masa inicial a cada tiempo t 2D 3D X/metros 33 Generalización del modelo gaussiano a tres dimensiones ∆x Aplicaciones del modelo gaussiano al problema de la dispersión de contaminantes en aire ∆z ∆y ∆x ∆z 34 En tres dimensiones: vertidos puntuales e instantáneos Balance de materia aplicado en las tres direcciones del espacio: P. Ej. : escapes, emisiones discontinuas, etc... ∆y Análogamente se obtiene En dos dimensiones: vertidos puntuales y continuados en el tiempo ∆z ∆x ∆z ∆x P. Ej. : chimeneas en industrias, escapes continuados, etc... ∆y ∆y c= M (2 π ) σ xσ yσ z 3/ 2 e x2 − 2 2σ x e y2 − 2σ y2 2 − z 2σ 2 z e En una dimensión: vertidos puntuales y continuados en el tiempo con mezclado total en una dirección P. Ej. : chimeneas en industrias con baja altura de mezclado (concentración en masa/volumen) 35 36 6 Ejemplo: desastre de Bhopal Vertido puntual instantáneo en 3D 3 de Diciembre de 1984 C Vertido: 45 toneladas de Isocianato de metilo en un segundo a una altura de 50 metros Se aplica al problema en el que una determinada masa de contaminante M es vertida súbitamente a tiempo t = 0 H x0 El centro del vertido se mueve en la dirección x con la velocidad del viento u x Condiciones • viento del noroeste de fuerza 1 m/s x0 = ut • noche: Kx=Ky=0.45 m2s-1, Kz=0.20 m2s-1 c= M (2 π ) σ xσ yσ z 3/ 2 e ( x − x0 ) 2 − 2 2σ x e y2 z2 − 2σ 2 − 2σ 2 y z (σ = (2Kt ) ) 1/ 2 e ¿Concentración de isocianato? 37 38 Ejemplo: desastre de Bhopal (2) Vertido continuado en el tiempo: modelo en 2D Concentración de isocianato en la estación (a 1 kilómetro en la dirección noroeste-sureste) en función del tiempo: Se aplica al problema en el que una cierta cantidad de contaminante es vertida de manera constante a lo largo del eje en el que sopla el viento 0.000009 H 0.000008 0.000007 0.000006 0.000005 0.000004 0.000003 0.000002 0.000001 0 -100 -0.000001 200 500 800 1100 1400 1700 Dispersión en altura (eje z) 2000 Dispersión en la dirección perpendicular al viento (eje40y) 39 Modelo gaussiano para penacho Vertido continuado en el tiempo: modelo en 2D (II) ¿Cuánta masa se deposita en eje x por unidad de longitud? (depende la velocidad del viento) M = Q/u Dispersión horizontal (eje y) y vertical (eje z) 2 DIMENSIONES: c= M (2 π )σ yσ z e y2 − 2σ y2 2 − z 2σ 2 z e M=Q/u Q: índice de emisión (masa/tiempo) u : velocidad del viento (longitud/tiempo) (masa depositada por unidad de longitud) zz-H ¿Dónde se deposita la masa? y2 Se deposita a una altura H (altura efectiva de emisión) c= Reemplazo z por z – H en el modelo gaussiano 41 − − Q 2σ 2 e y e 2π u σ y σ z ( z − H )2 2σ z2 42 7 Coeficientes de dispersión para el modelo gaussiano en 2D Necesitamos un coeficiente de dispersión en el eje y y en el eje z σ y = (2 K y t )1/ 2 = (2 K y x / u )1/ 2 = (2 K y u )1/ 2 x1/ 2 σ z = (2 K z t )1/ 2 = (2 K z x / u )1/ 2 = (2 K z u )1/ 2 x1/ 2 Los coeficientes de dispersión dependen de la distancia a la fuente x y de las condiciones atmosféricas (K/u) 43 Determinación de los coeficientes de dispersión en función de la distancia a la fuente (dirección y): Condiciones atmosféricas A 10000 B 44 Determinación de los coeficientes de dispersión en función de la distancia a la fuente (dirección z): C A 5000 D B C E F D 1000 1000 ¡ Gráfica aproximada ! σy / m ¡ Gráfica aproximada ! E Consultar manuales Consultar manuales σz / m 100 100 10 10 F 1 3 0.1 1 10 0.1 100 X / Km 1 10 100 X / Km 45 46 Modificaciones del modelo gausiano Z Determinación de los coeficientes de dispersión en función de la distancia a la fuente Contaminante absorbido por el suelo Ej: SO2, NOx Fórmulas para los coeficientes de dispersión para suelos urbanos Estabilidad σy σz A-B 0.32 x ( 1 + 0.0004 x)-1/2 0.24 x ( 1 + 0.0001 x)-1/2 y2 (z− H )2 x − 2 − Q 2σ c= e y e 2 π u σ y σz C1 Contaminante reflejado por el suelo 2 σ 2z Z C 0.22 x ( 1 + 0.0004 x)-1/2 D 0.16 x ( 1 + 0.0004 x)-1/2 0.11 x ( 1 + 0.0004 x)-1/2 E-F 0.20 x 0.14 x ( 1 + 0.0003 x)-1/2 0.08 x ( 1 + 0.0015 x)-1/2 Ej: CO, COVs Generalmente: c= C2 σy (urbano) > σy (rural) σz (urbano) > σz (rural) y ( z+ H ) − 2 − ( z− H ) − 2 2 Q 2σ e y e 2 σ z + e 2 σ z 2 π u σ y σz 2 x 47 2 2 48 8 Modelo gaussiano en 2D a ras de suelo y en el eje del viento (z = 0, y = 0): Casos particulares del modelo gaussiano en 2D: (Escala logarítmica) Contaminación a ras del suelo (z = 0): 10-3 H2 Este caso interesa por ser donde se encuentra la población H=20 c u /Q m-2 y2 − 2 − 2 Q 2σ c= e y e 2 σz π u σ y σz A ras de suelo y en el eje del viento (z = 0, y = 0): cu 1 = e Q π σ y σz 10-4 H=50 10-5 H=100 10-6 H2 − 2 2 σz Este caso interesa por ser donde se acumula la mayor contaminación H=300 10-7 10-8 0.1 49 1 10 100 50 X / Km Efecto de la altura de mezclado c Altura L a partir de la cual no se produce más dispersión: mezclado total en la dirección z: Sólo se considera la dispersión en la dirección y Z σy (Modelo gaussiano en 1D) L y y=0 x y A partir de cierta distancia x, el contaminante ya no se puede dispersar más en z (mezclado total en z), y la concentración es constante a lo largo del eje z c= M (2 π ) σ y 1/ 2 El contaminante sólo se dispersa en la dirección y e y2 − 2 2σ y Donde M = Q /(u L) (La masa depositada M está distribuida uniformemente entre z=0 y z=L) y2 − 2σ 2 Q c= e y 1/ 2 (2 π ) u L σ y 51 52 (Escala logarítmica) Efecto de la altura de mezclado (2) Concentración conforme al modelo en una dimensión 10-3 La existencia de una altura de mezcla a media altura provoca la acumulación del contaminante y un incremento de la concentración con respecto a la dispersión en dos dimensiones. c u /Q m-2 H=20 Altura de mezclado Ver siguiente diapositiva 10-4 Altura de mezclado H=50 10-5 L=100 L=300 10-6 H=100 L H=300 L=1000 10-7 contaminante 10-8 0.1 53 Líneas obtenidas para y=0 L=2000 1 10 X / Km 100 54 9 Resumen modelos gaussianos Resumen modelos gaussianos ( c siempre ha de salir en unidades de masa / volumen ) ( c siempre ha de salir en unidades de masa / volumen ) 1 DIMENSIÓN: c= M (2 π ) σ y 1/ 2 Dispersión horizontal (eje y) únicamente e y2 − 2σ 2 y Dispersión horizontal (eje y) y vertical (eje z) 2 DIMENSIONES: c= M=Q/uL (masa depositada por unidad de superficie) M (2 π )σ yσ z e y2 z2 − 2 − 2 2σ y 2σ z e M=Q/u (masa depositada por unidad de longitud) zz-H y2 y2 − 2σ 2 Q c= e y 1/ 2 (2 π ) u L σ y − − Q 2σ 2 c= e y e 2π u σ y σ z ( z − H )2 2σ z2 55 56 Resumen modelos gaussianos Ascenso de la columna de humo (ascenso vertical) ( c siempre ha de salir en unidades de masa / volumen ) Dispersión en las 3 direcciones del espacio 3 DIMENSIÓNES M (2 π )3/ 2 σ xσ yσ z • momento inicial (velocidad) • diferencia de temperatura (aire caliente es menos denso) h masa depositada en un instante dado c= El humo asciende debido a: ∆h e x2 − 2 2σ x e y2 − 2σ 2 y 2 − z 2σ 2 z e Fórmula de Holland: ∆h = Vs D / u { 1.5 + 2.68 × 10-3 P D (Ts-Ta)/Ts } (en metros) Vs = velocidad de salida del gas en m/s D = diámetro de la chimenea en m Coeficientes de dispersión que dependen de la distancia a la fuente y la velocidad del viento σ = (2 K x / u = velocidad del viento en m/s P = presión en milibares Ts = temperatura de la chimenea en K u)1/2 57 Cuando la fuente se encuentra sobre un edificio, ésta debe tener una altura suficiente con respecto al tejado del edificio para evitar la dispersión del humo hacia el suelo. 2.5.1 Refinamientos del modelo gaussiano ⇒ Uso del modelo gausiano para efectos a largo plazo Cuando se necesita una estimación a largo plazo, se realiza un promedio sobre todas las condiciones atmosféricas, fuentes y direcciones del viento: ∑ 58 ⇒ Efecto de los edificios en una columna de humo 2.5 Modelos sofisticados c (x , y, z ) = ∑ Ta = temperatura atmosférica en K El criterio recomendado indica que, como mínimo, la altura de la chimenea ha de ser al menos una vez y media la del edificio ∑ Frecuencia i × ci (x , y, z ) viento estabilida d fuentes atmosféric a 59 60 10 2.5.2 Incorporación de cinética de reacción en el modelo gaussiano Cinética de primer order: dC / dt = -k C → C/C0 = e-kt En muchas ocasiones el contaminante emitido no es estable en aire y sufre una reacción química que lo hace transformarse en otra sustancia. Tiempo de vida media: t1/2 = ln 2 / k = 0.693 / k Factor de destrucción/desintegración (f): PROCEDIMIENTO C = Cgaus * f 1. Se calcula la concentración con el modelo gaussiano en una posición dada. 2. Se establece cuánto tiempo tardará la molécula en llegar hasta dicha posición desde la fuente (velocidad del viento) 3. Se multiplica la concentración por un factor de desintegración que tiene en cuenta cómo decae la cantidad de contaminante con el tiempo f = exp(-0.693 t / t1/2) = exp(-0.693 x / u t1/2) 61 62 2.5.3 Modelos de celda múltiple Protocolo de cálculo Dividen el volumen total de aire en pequeñas celdas en las que se almacena, de manera numérica, las concentraciones de varios contaminantes El modelo tiene en cuenta las reacciones químicas sufridas por los contaminantes (vidas medias, constantes de velocidad) así como los flujos de materia que pasan de una celda a sus vecinas 63 x y Insolación (intensidad de luz, nubes) Condiciones atmosféricas, (vientos, humedad) Emisiones Concentraciones iniciales (t=0) t = t + ∆t Son los que se utilizan en la práctica para estimar concentraciones de contaminante en regiones definidas (ciudades, por ejemplo) z 3- Cálculo de la dispersión 4- Cinética química (modelos gaussianos) (constantes de velocidad) 5- Nuevas concentraciones 64 50 0.50 HC + SOx + NOx → PM NO 0.40 40 30 0.30 NO2 O3 20 0.20 0.10 0 24 Obtención de modelos de dispersión Agencia de protección del medio ambiente (EPA) http://www.epa.gov/ttn/scram 10 CO 03 Concentración de CO / ppm Concentración de NO, NO2 y O3 / ppm NO + HC + O2 + h ν → NO2 + O3 06 09 12 15 18 21 0 24 65 66 Hora del día 11