1 Leyes Fundamentales de la Mecánica de Fluidos (Primera Parte

Leyes Fundamentales de la
Mecá
Mecánica de Fluidos
Leyes Fundamentales de la
Mecá
Mecánica de Fluidos
(Primera Parte)
-Superficie de Control y superficie material
-Volumen de Control y volumen material
-Caudal másico
-Caudal volumé
volumétrico
-Flujo convectivo de una variable intensiva
-Relació
Relación entre el volú
volúmen material y el volumen
de control
-Tasa de Expansió
Expansión
-Teorema del Transporte de Reynolds
-Ecuació
Ecuación de conservació
conservación de la masa:
masa:
-formulació
formulación integral
-formulació
formulación diferencial
-Flujos incompresibles
Osborne Reynolds (1842-1912)
Superficie de Control y Superficie Material
„
Superficie de control: Es una superficie
fija en el referencial de estudio.
„
„
„
Volumen de Control: La superficie de
„
control si es cerrada delimita un volumen
de control.
Si hay escurrimiento el fluido atraviesa la
superficie de control
Superficie Material: Es una superficie
sobre la cual se apoyan de manera
continua las mismas partí
partículas fluidas.
„
Superficie de Control y Superficie Material
Volumen material: Una superficie
material cerrada permite definir un
volumen material.
„
„
Los puntos de esa superficie viajan con el
fluido y puede ir cambiando la forma con
el tiempo.
Las partí
partículas fluidas no pueden atravesar
la sup. material
Derivada Material
Volumen de Control y Volumen
Material
Dentro de un volumen de
control pueden ingresar y
egresar simultá
simultáneamente
partí
partículas portadoras de
distintos pará
parámetros fí
físicos
(energí
(energía ciné
cinética,
temperatura,…
temperatura,…).
Esto provoca una evolució
evolución
en el tiempo de esta
propiedad dentro del
volumen de control.
A la vez las propiedades de
las partí
partículas fluidas de un
cierto volumen material
pueden ir en sí
sí mismas ir
cambiando a lo largo del
tiempo
El volumen material esta constituido por
las mismas partí
partículas siempre
Formulació
Formulación
Eulereana
f (t0)
y
Calculo la derivada con respecto al
tiempo de una magnitud f asociada
a la partí
partícula considerando los
campos de la magnitud f y sus
cambios en el espacio y tiempo
r r
r
f (x0 + Δx,t0 +Δt) − f (x0,t0 )
df
= limΔt→0
dt t=t0
Δt
y0
x
x0
f (t0+Δt)
(
)
r r
r
f x0 +VΔt, t0 + Δt − f (x0, t0 )
df
= limΔt→0
dt t=t0
Δt
y0+Δy
df
y0
r r
Δx = VΔt
x0
dt
=
t =t0
∂f
∂t
r
r
+ v( x0 ,t0 ) • ∇f
x0 , t 0
x0 , t 0
x0+Δx
1
Teorema del transporte de
Reynolds
Consideremos una
funció
función F definida de
manera integral para un
cierto volumen material
V(t)
V(t) que se desplaza en
un fluido .
„
Objetivos
„
V(t)
Г(x,t)
r
F (t ) = ∫∫∫ Γ( x , t )dV
V (t )
Nos interesa analizar
como se efectú
efectúa el
calculo de la derivada de
F con el tiempo
„
„
r
dF (t ) d
= ∫∫∫ Γ( x , t ) dV
dt
dt V ( t )
Caudal Másico
„
„
v
n
r r
r r
dVol
= ρ v dS = ρ v n dS
dt
r r
m& = ∫ dm& = ∫ ρ v n dS
S
S
m& = ∫∫ dm& = ∫∫
S
r r
ρ v n dS
S
[m& ] = kg / s
El flujo convectivo
de una variable
intensiva p a
travé
través de una
superficie es aquel
asociado al
transporte de
masa debido al
movimiento de
fluido
Puede existir Flujo
no convectivo
r
dm&
n ds =
ρ
r
n ds
n
dSn
r
r v
dS n = dS n ⋅ r
v
Q& =
r
dl = v dt
∫∫ ∫∫
dq& =
r r
v n ds
S
S
rr
r r
dVol = dS n dl = v .n dS dt = v .dS dt
dpconv = p
Pconv =
∫∫
dpconv =
∫∫
dpconv =
s
Pconv =
[Q& ] = m
3
/s
Teorema fundamental de la
cinemá
cinemática
r r
r r
dVol
= p v • n dS = p v dS
dt
S
„
r
r
dVol
Si consideramos el
= v ds = v
dq& =
dt
volumen que
atraviesa la superficie
r
Q& = dq& = v
Obtenemos el caudal
&
volumé
volumétrico Q
S
S
∫ ∫
dS v
Flujo Convectivo de una variable
intensiva
„
Explicitar la forma en que se puede
expresar el principio de conservació
conservación de la
masa para un volumen material.
Caudal Volumétrico (Gasto)
Consideramos una
superficie orientada dS
fija en el espacio
dm& = ρ
Presentar la forma de calcular la derivada
con respecto al tiempo de una integral
sobre un volumen material.
∫∫
r r
p v dS
∫∫
r r
p v dS
Desplazamiento
S
S
r r r
r r
rr r rr r
V ( x + dx , t ) = V ( x , t ) + E dx + Ω dx
Rotació
Rotación
Deformació
Deformación angular
Dilatació
Dilatación o
contracció
contracción
2
Tensor Velocidad deformació
deformación y de spin
r
v = (v1 ; v2 ; v3 )
Tensor Velocidad de
Deformació
Deformación.
rr
r r
r r
rr rr
1 r r
1 r r
A = ⎛⎜ A + At ⎞⎟ + ⎛⎜ A − At ⎞⎟ = E + Ω
⎠ 2⎝
⎠
2⎝
(Tensor Simé
Simétrico)
Tensor de Spin.
Spin.
(Tensor Antisimé
Antisimétrico)
trico)
dx1
1 ⎛ ∂v ∂v j ⎞⎟
eij = ⎜ i +
2 ⎜⎝ ∂x j ∂xi ⎟⎠
Ω ij =
1 ⎛⎜ ∂vi ∂v j ⎞⎟
−
2 ⎜⎝ ∂x j ∂xi ⎟⎠
rr r rr r
r r
r r
r r
r r
r
V (x + d x , t ) = V (x , t ) + d V (x , t ) = V (x , t ) + E d x + Ω d x
eii =
1 D(dxi )
dxi Dt
r
1 D(dVol )
div v( x1 ; x2 ; x3 ;t ) =
dVol Dt
Video
Aná
Análisis de desplazamientos
relativos
r
ζ (Q )
r
dξ
( ) ( )
r
Relació
Relación entre el volumen material
y el volumen de control
dVl
( )
r (
r (
r r
R ξ , t = f1 ξ , t e x + f 2 ξ , t e y
P
dx2
dx1
dx3
r
(
)
(
(
( )
r
dξ j + Θ dξ 2
)
rr r
(
(
dξ j ei = hij dξ j ei = H dξ (0 )
r
r ∂f
dξ (t ) = dP = i
∂ξ j
rr
H
ξ0
Tensor Gradiente de
desplazamiento relativo
Teorema del transporte de
Reynolds
„
dξ2
dξ1
ξ0
Consideremos una
funció
función F definida de
manera integral para un
cierto volumen material
V(t)
V(t) que se desplaza en
un fluido .
r rr r
(
dP = H dξ = hij dξ j ei
dξ3
t=0
P’
r r
R ξ(P ) , t
) ( )
r
r
r
∂f
f i ξ 0 + dξ , t = f i ξ 0 , t + i
∂ξ j
r
dP
∂f1
∂ξ1
∂f
dV = dx1 dx2 dx3 = 1
∂ξ 2
∂f1
∂ξ 3
Nos interesa analizar
como se efectú
efectúa el
calculo de la derivada de
F con el tiempo
∂f 3
∂ξ1
∂f 3
dξ1 dξ 2 dξ 3
∂ξ 2
∂f 3
∂ξ 3
dV (t ) = JdV0
Teorema del transporte de Reynolds
dF (t ) D
=
dt
Dt
∫∫∫
r
D
Γ ( x , t ) dV =
Dt
V (t )
Г(x,t)
∫∫∫
r
Γ ( x , t ) J dV0 =
V0
∫∫∫
r
F (t ) = ∫∫∫ Γ( x , t )dV
dF (t ) d
=
dt
dt
∫∫∫
r
Γ( x , t )dV =
V (t )
r
dF (t ) d
= ∫∫∫ Γ( x , t ) dV
dt
dt V ( t )
r
DΓ ( x , t )
J dV0 +
Dt
V0
r
D( J dV0 ) D( J )
D(dV0 )
JdV0 div (v ) =
dV0 + J
=
Dt
Dt
Dt
r
D( J ) Fórmula de
Jdiv(v ) =
Dt Euler
V (t )
„
∂f 2
∂ξ1
∂f 2
∂ξ 2
∂f 2
∂ξ 3
( ) ( )
r (
r r
R ξ , t = f i ξ , t ei
∂ fi
∂ξj
hij =
dV0
∫∫∫
r DJ
Γ( x , t )
dV0
Dt
V0
V0 está
está fijo en el espacio
r
r
1 D ( dV )
D ( dV )
div (v ) =
⇒ dV div (v ) =
dV Dt
Dt
V(t)
r
dP
r
dξ
t=t
ζ (P ) = ζ 0
r
r r
Q’
R ξ ( P ) + dξ , t
Tasa de expansió
expansión
de dVol
„La divergencia del campo de velocidades en un punto
indica la tasa de expansió
expansión del diferencial de volumen
(material) que ocupa esa posició
posición en ese instante
r
∂v ∂v ∂v
I1 = 1 + 2 + 3 = div v
∂x1 ∂x2 ∂x3
Q
⎛ D(dx1) ⎞ ⎛ D(dx2 ) ⎞ ⎛ D(dx3 ) ⎞
⎟
⎟ ⎜
⎜
⎟ ⎜
r
Dt ⎠ ⎝ Dt ⎠ ⎝ Dt ⎠
div v = ⎝
+
+
dx1
dx2
dx3
r
D( dx1 dx2 dx3 )
1 D (dx1 ) 1 D (dx2 ) 1 D (dx3 )
1
+
+
=
div v( x1 ; x2 ; x3 ;t ) =
dx1 Dt
dx2 Dt
dx3 Dt
dx1 dx2 dx3
Dt
rr rr r
rr r
r
d V (t ) = A d x = ⎛⎜ E + Ω ⎞⎟ d x
⎠
⎝
I1 = e11 + e22 +e33
Tasa de
expansió
expansión
dx3
dx2
dVol = dx1 dx2 dx3
V=V(t
V=V(t)) ocupa distintas posiciones
r
DJ
∫∫∫ Γ( x, t ) Dt
r
r
dV0 = ∫∫∫ Γ( x , t ) J div (v ) dV0
V0
∫∫∫
r
DΓ ( x , t )
dV +
Dt
V (t )
V0
∫∫∫
r
r
Γ( x , t )div(v )dV
V (t )
r
r
r
div (a b ) = b ∇a + a div b
dF (t )
d
=
dt t =t1 dt
∫∫∫
V (t )
r
Γ( x , t ) dV
=
t =t1
∫∫∫
V ( t1 )
r
∂Γ( x , t )
dV +
∂t
∫∫∫
r r
div (Γ( x , t )v )dV
V ( t1 )
3
Teorema del Transporte de
Reynolds
dF (t )
d
=
dt t =t1 dt
∫∫∫
r
Γ( x , t )dV
V (t )
dF (t )
d
=
dt t =t1 dt
=
t = t1
∫∫∫
∫∫∫
V ( t1 )
r
Γ( x , t ) dV
V (t )
r
∂Γ( x , t )
dV +
∂t
=
∫∫∫
r r
div (Γ( x , t )v )dV
V ( t1 )
∫∫∫
r
∂Γ( x , t )
dV +
∂t
Г(x,t)
∫∫
Variació
Variación
Convectiva
Ecuació
Ecuación de Conservació
Conservación de la masa o de
continuidad: Forma Integral
„
Consideramos una superficie
material cerrada que define un
volumen material
La masa de ese volumen
material permanece constante
r
d
Γ( x , t )dV
dt V∫∫∫
(t )
t =t1
r
F (t ) = ∫∫∫ Γ( x , t )dV
r
r rr
dF (t )
∂Γ( x , t )
= ∫∫∫
dV + ∫∫ Γ( x , t )v ndS
dt t =t1 V (t1 ) ∂t
S ( t1 )
V (t )
r
dF (t ) d
= ∫∫∫ Γ( x , t )dV
dt
dt V ( t )
Ecuació
Ecuación de conservació
conservación de la masa
dM
dt
=
t =t 0
r
r rr
∂ρ ( x , t )
dV + ∫∫ ρ ( x , t )v n dS = 0
∂t
V ( t0 )
S ( t0 )
∫∫∫
V(t)
r
r rr
∂Γ( x , t )
= ∫∫∫
dV + ∫∫ Γ( x , t )v n dS
∂t
V ( t1 )
S ( t1 )
Pedimos que la integral de la
variable intensiva densidad
no varia en el tiempo para el
volumen material
V(x,t1)
r rr
Γ( x , t )v n dS
S ( t1 )
Impermanencia
„
El Volumen
material se
desplaza y
pueden
cambiar a lo
largo del
tiempo los
valores de las
magnitudes
físicas de las
particulas que
lo
comprenden
V(t)
V ( t1 )
t = t1
Teorema del transporte de Reynolds
dM
dt
t =t1
⎞
DM
D ⎛⎜
=
ρ dV ⎟ = 0
⎟
Dt
Dt ⎜⎝ V∫∫∫
(t )
⎠
dM
dt
=
t =t0
r
r rr
∂ρ ( x , t )
dV + ∫∫ ρ ( x , t )v ndS = 0
∂
t
V ( t0 )
S ( t0 )
∫∫∫
dM
dt
r
r rr
∂ρ ( x , t )
= ∫∫∫
dV + ∫∫ ρ ( x , t )v n dS = 0
∂t
V ( t1 )
S ( t1 )
t =t 0
r
rr
= ρ ( x , t ) ∫∫ v n dS =
S (t0 )
V1 S1 = V2 S 2
Ecuació
Ecuación de conservació
conservación de la masa
V =
1
S
rr
∫∫ v ndS = 0
S (t0 )
rr
∫∫ v ndS
S
Precauciones
1
„
Los volumenes considerados son elegidos
en funció
función de la informació
información a obtener
1
dM
dt
t =t 0
r
rr
= ρ ( x , t ) ∫∫ v n dS =
V1 S1 = V2 S 2
S (t 0 )
rr
∫∫ v ndS = 0
S ( t0 )
V =
1
S
rr
∫∫ v ndS
S
dM
dt
=
t =t 0
r
r rr
∂ρ ( x , t )
dV = − ∫∫ ρ ( x , t )v n dS = − ρ 2V2 S 2 + ρ1V1S1
∂
t
V ( t0 )
S (t0 )
∫∫∫
2
r
r rr
∂ρ ( x , t )
dV + ∫∫ ρ ( x , t )v n dS = 0
∂t
V (t0 )
S ( t0 )
∫∫∫
dM
dt
=
t =t0
r
r
rr
rr
∂ρ ( x , t )
dV + ρ ( x , t ) ∫∫ v n dS = ∫∫ v n dS = 0
∂t
V ( t0 )
S (t0 )
S ( t0 )
∫∫∫
V1 S1 = V2 S 2
V =
1
S
rr
∫∫ v ndS
S
4
Ec.
Ec. Conservació
Conservación Masa: Forma diferencial
Precauciones
„
dF (t )
d
=
dt t =t0 dt
En la formulació
formulación que presentamos el volumen
de control debe estar siempre constituido por
partí
partículas fluidas.
dM
dt
=
t =t0
d
dt
∫∫∫
r
Γ( x , t )dV
V (t )
∫∫∫ ρ
==
t =t0
r
( x , t )dV
V (t )
∫∫∫
=
t =t0
∫∫∫
r
∂Γ( x , t )
dV +
∂t
V ( t0 )
∫∫∫
r
∂ρ ( x , t )
dV +
∂t
V (t0 )
∫∫∫
r r
div(Γ( x , t )v )dV
V (t0 )
∫∫∫
r r
div( ρ ( x , t )v )dV = 0
V (t0 )
r
r r ⎞
⎛ ∂ρ ( x , t )
+ div( ρ ( x , t )v ) ⎟dV = 0
⎜
⎝ ∂t
⎠
V ( t0 )
„
r
r r
∂ρ ( x , t )
+ div( ρ ( x , t )v ) = 0
∂t
El émbolo no puede ingresar dentro de mi
volumen de control. No puedo hacer
desaparecer una parte del volumen de control
r
r
r
Dρ ( x , t )
+ ρ ( x , t ) div (v ) = 0
Dt
Conclusiones
Flujos Incompresibles
„
Dρ
=0
Dt
r
r
r
Dρ ( x , t )
+ ρ ( x , t ) div (v ) = 0
Dt
r
div(v ) = 0
„
„
Pregunta 1
„ Un flujo es incompresible si .
A) Su tasa de expansió
expansión es nula en al menos un
punto
B) Su tasa de expansió
expansión es nula en todos los
puntos del dominio
C) La divergencia del campo vectorial es nula en al
menos un punto
D) La divergencia del campo vectorial es nula en
todos los puntos del dominio
El teorema del Transporte de Reynolds permite
determinar la derivada con respecto al tiempo de una
magnitud definida por una integral sobre un volumen
material.
Este consta de dos té
términos uno que da cuenta de la
variació
variación local de la magnitud en el tiempo (historia) y
otro que da cuenta de la variació
variación debido al movimiento
del fluido (partí
(partículas vecinas) o movimiento convectivo.
convectivo.
Hemos expresado en forma matemá
matemática que un volumen
material no cambia su masa o ecuació
ecuación de conservació
conservación
de la masa que presenta dos expresiones una bajo
forma integral y otra bajo forma diferencial.
Pregunta 2
El teorema del transporte de Reynolds permite calcular
a) La derivada con respecto al tiempo de una integral sobre un
volumen material a partir de integrales calculadas sobre volú
volúmenes
de control
b) La derivada con respecto al tiempo de una integral sobre un
volumen de control a partir de integrales calculadas sobre
volú
volúmenes materiales
c) La derivada con respecto al tiempo de una integral sobre un
volumen material a partir de integrales calculadas sobre volú
volúmenes
materiales
d) La derivada con respecto al tiempo de una integral sobre un
volumen de control a partir de integrales calculadas sobre
volú
volúmenes de control
„
5
Pregunta 4
Pregunta 3
„
El teorema de Transporte de Reynolds
a) Es vá
válido só
sólo si el flujo es incompresible
b) Es vá
válido só
sólo si el flujo es estacionario
c) Es vá
válido só
sólo si el flujo es perfecto
d) Es siempre vá
válido
„
La ecuació
ecuación de conservació
conservación de la masa
a)
Expresa la conservació
conservación de la masa dentro de un
volumen de control.
b)
En forma diferencial expresa la conservació
conservación de la
masa para un punto en el espacio.
c)
Bajo forma integral presenta un té
término
impermanente que da cuenta del cará
carácter no
estacionario del campo escalar de densidades.
d)
Bajo forma diferencial se presenta como una ecuació
ecuación
vectorial.
6