Unidad 4 Problema 14 explicado

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Unidad 4 Problema 14 explicado
14) Un capacitor está formado por dos placas planas paralelas 25 cm2 cada una, separadas 0,1 mm. El
espacio entre ambas está lleno de un dieléctrico de constante dieléctrica relativa 113. Se lo conecta a una
fuente de 2500 V.
a) Calcular la carga del capacitor y la energía almacenada en su campo eléctrico.
b) Se desconecta la fuente y luego se retira el dieléctrico. Calcular el nuevo valor de la energía
almacenada y, si ese valor fuera distinto al calculado en (a), justificar la diferencia.
a) En primer lugar podemos calcular la capacitancia C   o  r
A
d
F
25  104 m 2
 113
 2,5 nF
m
0,1  10.3 m
Calculamos la carga Q  C V  2,5 nF  2500V  6,25 C y la energía…
1
1
U  C V 2  2,5 nF  (2500 V ) 2  0,078125 J
2
2
C  8,85  1012
b) Si se desconecta la fuente de tensión cada placa del capacitor queda aislada eléctricamente. Esto
significa que en cada una de ellas la carga eléctrica ya no varía. La placa negativa mantendrá sus
6,25C y la placa positiva sus 6,25C. Si se retira el dieléctrico la capacitancia debe disminuir 113
A
veces ya que el capacitor sin dieléctrico tiene una capacitancia C `  o .
d
Como Q  C`V ` vemos que necesariamente la diferencia de potencial entre las placas del capacitor
debe aumentar 113 veces para que la carga sea la misma que en la situación inicial.
Resumiendo: Para el capacitor desconectado de la fuente la carga eléctrica se conserva. Esto quiere
decir que el producto capacitancia por diferencia de potencial se mantiene constante. Como la
capacitancia sin dieléctrico es igual a la capacitancia inicial dividida por la constante dieléctrica relativa
que vale 113, la diferencia de potencial se multiplica por 113.
Entonces V ` 2500V  113 282500V . Pero la capacitancia ha disminuido 113 veces, entonces la
energía cambia o se mantiene constante (es decir, ¿se conserva?):
1
1 2,5 nF
U ` C ` (V `) 2 
 (2500V .113) 2  0,8828125J
2
2 113
¡La energía aumenta! ¿Sólo por retirar el dieléctrico? ¿Cuál es la explicación? Uno pudría creer que
haciendo un impecable desarrollo matemático no nos debe quedar ninguna duda que el resultado es
correcto. Veamos…
Escribamos la energía almacenada en función de la carga que ya sabemos que se mantiene constante.
1 Q2
1 Q2
1 Q2
 113
 113U
Al retirar el dieléctrico U `
2 C
2 C
2 C
113
¿Es satisfactoria esta explicación? Mejor dicho: ¿es una explicación?
U
La energía almacenada aumenta 113 veces al retirar el dieléctrico. En nuestro caso, concretamente la
energía
almacenada
en
el
capacitor
se
ha
incrementado
en
una
cantidad
U  0,8828125J  0,0078125J  0,875 J
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Cuando un sistema aumenta su energía potencial se debe ha que se ha realizado trabajo sobre él. Por
ejemplo para estirar un resorte debemos aplicarle una fuerza y provocarle un desplazamiento (por lo
menos a uno de sus extremos). Esto es hacer trabajo sobre el resorte. La energía potencial del resorte
aumenta.
En el caso del capacitor hubo que realizar trabajo, aplicándole una fuerza a la lámina de dieléctrico y
desplazándolo. Por lo tanto hemos realizado trabajo sobre el sistema (el capacitor) y la energía
almacenada en su campo eléctrico ha aumentado.
Es posible que esta explicación nos conforme más que el simple cálculo matemático, ya que estamos
haciendo referencia a conocimientos anteriores.
Por ejemplo, de Física I sabemos que WF no Consv  E  U  K y en nuestro caso podemos suponer
que la lámina de dieléctrico está inicialmente en reposo y finaliza en reposo, entonces la variación de
energía cinética es nula.
Otra manera de verlo: de termodinámica sabemos que Q  W  U . Como hacemos trabajo sobre el
sistema según la convención más utilizada W  0 y el proceso es adiabático por lo que Q = 0 entonces
resulta U >0.
Para pensar…
1) ¿Qué principio fundamental de la Física hemos aplicado al resolver la parte (b) del problema?
2) Cuando el capacitor estaba conectado su la d.d.p entre sus placas era de 2500 Volt. Se lo
desconecta. ¿Cambia la d.d.p. ? Se retira el dieléctrico. ¡La d.d.p pasa a valer más de 200 mil
Volts! ¿Cómo es esto posible?
3) ¿Por qué la capacitancia del capacitor con dieléctrico es mayor que la capacitancia sin
A
dieléctrico? ¿Es satisfactoria la siguiente explicación? : “Porque la fórmula es C   o  r ”
d
4) Si se retirara el dieléctrico mientras el capacitor está conectado a la fuente de tensión, ¿la energía
aumenta o disminuye?
5) Si una vez que el dieléctrico se ha retirado, con el capacitor desconectado, se separan las placas
aumentado la separación entre ellas, la energía del capacitor, ¿aumenta o disminuye?
6) ¿Se podría construir un capacitor de capacitancia variable? Pensar por lo menos 2 maneras
distintas de hacerlo.