Introducción a la probabilidad Introducción a la probabilidad

Introducción a la probabilidad
Introducción a la probabilidad
Introducción
Objetivos del tema:
Fenómenos y experimentos aleatorios
Al final del tema el alumno será capaz de:
Concepto de probabilidad y propiedades
™ Comprender y describir los sucesos de un experimento mediante
gráficos, tablas, etc.
Estimación de la probabilidad en la práctica
™ Calcular probabilidades de sucesos simples y compuestos
Equiprobabilidad
Métodos combinatorios
™ Interpretar y calcular probabilidades condicionadas
Probabilidad condicionada
Concepto y propiedades
Independencia de sucesos
Teorema de Bayes
™ Determinar la independencia de sucesos y utilizarla para calcular
probabilidades
™ Utilizar el Teorema de Bayes para el cálculo de probabilidades
condicionadas
1
Estadística: Profesora María Durbán
2
Estadística: Profesora María Durbán
Introducción a la probabilidad
Introducción
Introducción
Un investigador puede tener el objetivo de:
Fenómenos y experimentos aleatorios
™ Describir los resultados de un experimento concreto
Concepto de probabilidad y propiedades
Estadística descriptiva
Estimación de la probabilidad en la práctica
™ Extraer conclusiones generales aplicables en situaciones similares
Equiprobabilidad
Métodos combinatorios
Inferencia
Probabilidad condicionada
Concepto y propiedades
Independencia de sucesos
Teorema de Bayes
El cálculo de probabilidades nos proporciona las reglas para el estudio de
experimentos con un componente aleatorio
3
Estadística: Profesora María Durbán
Necesitamos probabilidad
4
Estadística: Profesora María Durbán
Introducción a la probabilidad
Fenómenos y experimentos aleatorios
Introducción
Experimento: Proceso de observar una característica
Fenómenos yy experimentos
experimentos aleatorios
aleatorios
Fenómenos
Ejemplos
Concepto de probabilidad y propiedades
Lanzar una moneda tres veces y observar el número de caras
Estimación de la probabilidad en la práctica
Medir la corriente en un cable de cobre
Equiprobabilidad
Métodos combinatorios
Contar el número de llamas que llegan a una centralita en una hora
Medir la resistencia a la compresión del hormigón
Probabilidad condicionada
Concepto y propiedades
Independencia de sucesos
Teorema de Bayes
5
Estadística: Profesora María Durbán
6
Estadística: Profesora María Durbán
Fenómenos y experimentos aleatorios
Fenómenos y experimentos aleatorios
Ejemplo
Ejemplo
Medir la corriente que atraviesa un cable de cobre
Medir la corriente que atraviesa un cable de cobre
Repetimos el experimento en distintas partes
Repetimos el experimento en distintos momentos
Obtenemos distintos resultados
Errores de medida
Debido a las variables no controladas
Impurezas del cobre
Calibre del cable
Estadística: Profesora María Durbán
7
8
Estadística: Profesora María Durbán
Fenómenos y experimentos aleatorios
Fenómenos y experimentos aleatorios
Diremos que un experimento es aleatorio si ve verifican las siguientes condiciones:
Si esta variabilidad es pequeña no afectará a los resultados del experimento
Si la variabilidad es alta puede encubrir resultados importantes
Nuestro objetivo
1.
Puede repetirse indefinidamente, siempre en las mismas condiciones
2.
Antes de realizarlo no se puede predecir el resultado que se va a obtener
3.
El resultado que se obtenga, pertenece a un conjunto previamente conocido
de posibles resultados
9
Estadística: Profesora María Durbán
10
Estadística: Profesora María Durbán
Fenómenos y experimentos aleatorios
Sucesos
Fenómenos y experimentos aleatorios
Sucesos
E espacio muestral
E espacio muestral
Cuando se realiza un experimento aleatorio diversos
resultados son posibles. El conjunto de todos los
resultados posibles se llama espacio muestral (E).
Se llama suceso contrario (complementario) de un
suceso A, al formado por los sucesos que no están en A
A
A
Se llama suceso a un subconjunto de resultados
Suceso elemental
Siempre ocurre uno de ellos
Son mutuamente excluyentes
Suceso compuesto
Uniones de sucesos elementales
E espacio muestral
El suceso seguro, E, es aquel que siempre ocurre al realizar
el experimento
El suceso imposible, Ø, es aquel que nunca ocurre como
resultado del experimento
11
Estadística: Profesora María Durbán
E espacio muestral
12
Estadística: Profesora María Durbán
Fenómenos y experimentos aleatorios
Fenómenos y experimentos aleatorios
Operaciones con sucesos
Operaciones con sucesos
E espacio muestral
Se llama suceso intersección de A y B, A∩B o AB, al
formado por los resultados experimentales que están
simultáneamente en A y B
INTERSEC.
A
Se llama suceso unión de A y B, AUB, al suceso formado por los resultados
experimentales que están en A o en B (incluyendo los que están en ambos)
E espacio muestral
B
E espacio muestral
B
Se dice que dos sucesos A y B son incompatibles si no
pueden ocurrir a la vez, A∩B=Ø
E espacio muestral
UNIÓN
A
A
B
Se llama suceso diferencia de A y B, A-B, al formado por todos los sucesos
de A que no están en B, es decir, A∩B
E espacio muestral
A
B
Consecuencia:
13
Estadística: Profesora María Durbán
A
A = E-A
B
14
Estadística: Profesora María Durbán
Fenómenos y experimentos aleatorios
Fenómenos y experimentos aleatorios
Ejemplo
Ejemplo
Se utiliza una balanza digital para pesar las piezas producidas por una
máquina.
Se utiliza una balanza digital para pesar las piezas producidas por una
máquina.
A → Peso ≥ 11gr
B → Peso ≤ 15gr
A → Peso ≥ 11gr
B → Peso ≤ 15gr
C → Peso ≤ 5gr
C → Peso ≤ 5gr
AIC →∅
B − C → 5 < Peso ≤ 15gr
A
C
A
15
Estadística: Profesora María Durbán
A I B → 11gr ≤ Peso ≤ 15gr
B U C → Peso ≤ 15gr
B
Estadística: Profesora María Durbán
B
11
15
16
Fenómenos y experimentos aleatorios
Fenómenos y experimentos aleatorios
Ejemplo
Ejemplo
Se utiliza una balanza digital para pesar las piezas producidas por una
máquina.
Se utiliza una balanza digital para pesar las piezas producidas por una
máquina.
A → Peso ≥ 11gr
B → Peso ≤ 15gr
C → Peso ≤ 5gr
A I B → 11gr ≤ Peso ≤ 15gr
B U C → Peso ≤ 15gr
AIC →∅
B − C → 5 < Peso ≤ 15gr
C
A → Peso ≥ 11gr
B → Peso ≤ 15gr
C → Peso ≤ 5gr
B − C → 5 < Peso ≤ 15gr
A
C
15
B
Estadística: Profesora María Durbán
∅
17
Fenómenos y experimentos aleatorios
Leyes de Morgan
Ejemplo
Hay ciertas propiedades de la unión, intersección y suceso contrario que son
conocidas bajo las leyes de Morgan
Se utiliza una balanza digital para pesar las piezas producidas por una
máquina.
A → Peso ≥ 11gr
B → Peso ≤ 15gr
C → Peso ≤ 5gr
18
Estadística: Profesora María Durbán
Fenómenos y experimentos aleatorios
E espacio muestral
A I B → 11gr ≤ Peso ≤ 15gr
B U C → Peso ≤ 15gr
A U B=A I B
Inte
rse
c
A
B
AIC →∅
B − C → 5 < Peso ≤ 15gr
ció
nd
e
A
E espacio muestral
A I B=A U B
de
ión
Un
A
B
B
C
19
Estadística: Profesora María Durbán
A I B → 11gr ≤ Peso ≤ 15gr
B U C → Peso ≤ 15gr
AIC →∅
5
B
15
20
Estadística: Profesora María Durbán
Introducción a la probabilidad
Concepto de probabilidad y propiedades
Introducción
En un experimento aleatorio, cuando el número de veces que se repite
aumenta, la frecuencia relativa
Fenómenos y experimentos aleatorios
f n (A) =
Concepto de
de probabilidad
probabilidad yy propiedades
propiedades
Concepto
n o de veces que ocurre A
n
converge hacia una cantidad que llamamos probabilidad:
Estimación de la probabilidad en la práctica
Pr(A) = lim f n (A)
n→∞
Equiprobabilidad
Métodos combinatorios
Ejemplo
Frecuencia relativa del número de
caras obtenidos en lanzamientos
sucesivos de una moneda
Probabilidad condicionada
Concepto y propiedades
Independencia de sucesos
Teorema de Bayes
Converge a 1/2
21
Estadística: Profesora María Durbán
22
Estadística: Profesora María Durbán
Concepto de probabilidad y propiedades
Concepto de probabilidad y propiedades
En un experimento aleatorio, cuando el número de veces que se repite
aumenta, la frecuencia relativa
f n (A) =
n o de veces que ocurre A
n
Dado un espacio muestral, E, definimos probabilidad como una función, P, que
asigna a un suceso A un valor numérico P(A), verificando las siguientes reglas
(axiomas)
1.
converge hacia una cantidad que llamamos probabilidad:
0≤P(A) ≤1
2.
P(E)=1
3.
P(AUB)=P(A)+P(B) si A∩B=Ø
El tercer axioma se generaliza a cualquier número de sucesos de disjuntos:
Pr(A) = lim f n (A)
n→∞
También podemos entender la probabilidad como el grado de certeza que
se posee sobre un suceso, basada en experiencias previas
A2
A1
A4
La probabilidad depende del grado de información disponible:
A3
⎛ 5
⎞ 5
Pr ⎜ U A i ⎟ = ∑ Pr ( A i )
⎝ i=1 ⎠ i=1
A4
Los sucesos posibles al realizar el experimento
La evidencia empírica existente respecto a la ocurrencia de los
sucesos
Estadística: Profesora
María Durbán
23
24
Estadística: Profesora María Durbán
Concepto de probabilidad y propiedades
Concepto de probabilidad y propiedades
Dado un espacio muestral, E, definimos probabilidad como una función, P, que
asigna a un suceso A un valor numérico P(A), verificando las siguientes reglas
(axiomas)
1.
0≤P(A) ≤1
2.
P(E)=1
3.
P(AUB)=P(A)+P(B) si A∩B=Ø
El tercer axioma se generaliza a cualquier número de sucesos de disjuntos:
A2
A1
A5
A3
Estos axiomas no asignan probabilidades a sucesos, pero facilitan el cálculo de
probabilidades de unos sucesos a partir de la probabilidad de otros:
1. P(A) = 1 - P(A)
2. P(∅) = 0
E = A ∪ A → 1 = Pr(A) + Pr(A)
3. Si A ⊆ B ⇒ P(A) ≤ P(B)
4. P(B-A) = P(B) - P(A ∩ B)
5. P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)
⎛ 5
⎞ 5
Pr ⎜ U A i ⎟ = ∑ Pr ( A i )
⎝ i=1 ⎠ i=1
A4
25
Estadística: Profesora María Durbán
26
Estadística: Profesora María Durbán
Concepto de probabilidad y propiedades
Concepto de probabilidad y propiedades
Estos axiomas no asignan probabilidades a sucesos, pero facilitan el cálculo de
probabilidades de unos sucesos a partir de la probabilidad de otros:
1. P(A) = 1 - P(A)
2. P(∅) = 0
∅ = E → Pr(∅) = 1 − Pr( E ) = 1 − 1 = 0
3. Si A ⊆ B ⇒ P(A) ≤ P(B)
4. P(B-A) = P(B) - P(A ∩ B)
5. P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)
Estos axiomas no asignan probabilidades a sucesos, pero facilitan el cálculo de
probabilidades de unos sucesos a partir de la probabilidad de otros:
1. P(A) = 1 - P(A)
2. P(∅) = 0
B = A ∪ (B ∩ A) → Pr(B) = Pr(A)+Pr(B ∩ A)
3. Si A ⊆ B ⇒ P(A) ≤ P(B)
4. P(B-A) = P(B) - P(A ∩ B)
5. P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)
27
Estadística: Profesora María Durbán
28
Estadística: Profesora María Durbán
Concepto de probabilidad y propiedades
Concepto de probabilidad y propiedades
Estos axiomas no asignan probabilidades a sucesos, pero facilitan el cálculo de
probabilidades de unos sucesos a partir de la probabilidad de otros:
Estos axiomas no asignan probabilidades a sucesos, pero facilitan el cálculo de
probabilidades de unos sucesos a partir de la probabilidad de otros:
1. P(A) = 1 - P(A)
2. P(∅) = 0
1. P(A) = 1 - P(A)
2. P(∅) = 0
3. Si A ⊆ B ⇒ P(A) ≤ P(B)
4. P(B-A) = P(B) - P(A ∩ B)
5. P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)
3. Si A ⊆ B ⇒ P(A) ≤ P(B)
4. P(B-A) = P(B) - P(A ∩ B)
5. P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)
B = (A ∩ B) ∪ (B ∩ A)
Pr(B) = Pr(A ∩ B) + Pr(B ∩ A)
Pr(B) = Pr(A ∩ B) + Pr(B-A)
A ∪ B=(A-B) ∪ (B-A) ∪ (A ∩ B)
Pr(A ∪ B)=Pr(A)-Pr(A ∩ B)+Pr(B)-Pr(A ∩ B)+Pr(A ∩ B)
29
Estadística: Profesora María Durbán
30
Estadística: Profesora María Durbán
Concepto de probabilidad y propiedades
Concepto de probabilidad y propiedades
Ejemplo: Faros de coche
Un fabricante de faros de coches controla con regularidad la duración y la
intensidad de la luz cuando son sometidos a elevada humedad y temperatura.
En la siguiente tabla se presentan las probabilidades de tener un comportamiento
satisfactorio en cuanto a intensidad y duración:
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)
Duración
P(A)
+
Intensidad
A
Satisfactorio
P(B)
_
P(A ∩ B)
P(A U B)
Estadística: Profesora María Durbán
No Satisfactorio
Satisfactorio
No Satisfactorio
0.9
0.023
0.062
0.015
B
AoB
1.
2.
31
¿Cuál es la probabilidad de que la duración de un faro sea satisfactoria?
¿Cuál es la probabilidad de que un faro tenga intensidad satisfactoria o no tenga
32
duración satisfactoria?
Estadística: Profesora María Durbán
Concepto de probabilidad y propiedades
Concepto de probabilidad y propiedades
Ejemplo: Faros de coche
Ejemplo: Faros de coche
Duración
Intensidad
Satisfactorio
No Satisfactorio
A → Satisfactorio en intensidad
B → Satisfactorio en duracion
Duración
Satisfactorio
No Satisfactorio
0.9
0.023
Satisfactorio
0.062
0.015
No Satisfactorio
Pr(A ∩ B) Pr(A ∩ B)
Intensidad
A → Satisfactorio en intensidad
B → Satisfactorio en duracion
Pr(A ∩ B) Pr(A ∩ B)
1.
Satisfactorio
No Satisfactorio
0.9
0.023
0.062
0.015
Pr(A ∩ B) Pr(A ∩ B)
Pr(A ∩ B) Pr(A ∩ B)
¿Cuál es la probabilidad de que la duración de un faro sea satisfactoria?
¿ Pr(B) ?
B = (A ∩ B) ∪ (A ∩ B)
33
Estadística: Profesora María Durbán
34
Estadística: Profesora María Durbán
Concepto de probabilidad y propiedades
Concepto de probabilidad y propiedades
Ejemplo: Faros de coche
Ejemplo: Faros de coche
Duración
Intensidad
Satisfactorio
No Satisfactorio
A → Satisfactorio en intensidad
B → Satisfactorio en duracion
1.
Duración
Satisfactorio
No Satisfactorio
0.9
0.023
Satisfactorio
0.062
0.015
No Satisfactorio
Pr(A ∩ B) Pr(A ∩ B)
Intensidad
¿Cuál es la probabilidad de que la duración de un faro sea satisfactoria?
¿ Pr(B) ?
B = (A ∩ B) ∪ (A ∩ B)
Pr(B) = Pr(A ∩ B) + Pr(A ∩ B) = 0.9 + 0.062 = 0.962
35
Estadística: Profesora María Durbán
Tercer Axioma P(AUB)=P(A)+P(B) si A∩B=Ø
A → Satisfactorio en intensidad
B → Satisfactorio en duracion
Pr(A ∩ B) Pr(A ∩ B)
2.
Satisfactorio
No Satisfactorio
0.9
0.023
0.062
0.015
Pr(A ∩ B) Pr(A ∩ B)
Pr(A ∩ B) Pr(A ∩ B)
¿Cuál es la probabilidad de que un faro tenga intensidad satisfactoria o no tenga
duración satisfactoria?
Pr(A ∪ B) = Pr(A) + Pr(B) − Pr(A ∩ B)
Pr(A ∪ B) = 0.923 + 0.038 − 0.023 = 0.938
Pr(A) = Pr(A ∩ B) + Pr(A ∩ B) = 0.9 + 0.023 = 0.923
Estadística: Profesora María Durbán
Pr(B) = 1 − Pr(B) = 1 − 0.962 = 0.038
36
Introducción a la probabilidad
Estimación de la probabilidad en la práctica
Introducción
Equiprobabilidad
Fenómenos y experimentos aleatorios
Si un experimento cualquiera puede dar lugar a un número finito de resultados
posibles, y no hay razón que privilegie a un resultado frente a otro. Calcularemos
la probabilidad de un suceso de la forma siguiente:
Concepto de probabilidad y propiedades
Estimación de la probabilidad en la práctica
Dado un suceso compuesto A que contiene f sucesos elementales, su
probabilidad será:
Equiprobabilidad
Métodos combinatorios
Pr( A) =
Probabilidad condicionada
Concepto y propiedades
Independencia de sucesos
Teorema de Bayes
1 Probabilidad de cada
n suceso elemental
casos favorables ( f )
casos posibles (n)
Regla de Laplace
37
Estadística: Profesora María Durbán
38
Estadística: Profesora María Durbán
Estimación de la probabilidad en la práctica
Estimación de la probabilidad en la práctica
Equiprobabilidad
Ejemplos
Lanzamiento de una moneda E = {C , X } → Pr(C ) = 1/ 2
En ocasiones no es fácil determinar los sucesos elementales contenidos en un
suceso A:
Lanzamiento de un dado E = {1, 2,3, 4,5, 6} → Pr(3) = 1/ 6
Ejemplo: Lote de ordenadores
En un lote de 9 ordenadores hay 3 que son defectuosos, el comprador del lote lo
rechazará si al inspeccionar dos de ellos elegidos al azar resultan ser defectuosos:
Extracción de cartas de la baraja E = {As de copas, dos de copas....}
A → Rechazar el lote = Encontrar dos defectuosos
Pr(Sacar una carta de oros) = 10 / 40
39
Estadística: Profesora María Durbán
¿Cuál es la probabilidad de que el comprador rechace el lote?
casos favorables
Pr( A) =
casos posibles
Estadística: Profesora María Durbán
De cuántas maneras puedo
seleccionar 2 defectuosos
De cuántas maneras puedo
seleccionar dos ordenadores
Estimación de la probabilidad en la práctica
Estimación de la probabilidad en la práctica
Ejemplo: Lote de ordenadores
Ejemplo: Lote de ordenadores
En un lote de 9 ordenadores hay 3 que son defectuosos, el comprador del lote lo
rechazará si al inspeccionar dos de ellos elegidos al azar resultan ser defectuosos:
¿Cuál es la probabilidad de que el comprador rechace el lote?
En un lote de 9 ordenadores hay 3 que son defectuosos, el comprador del lote lo
rechazará si al inspeccionar dos de ellos elegidos al azar resultan ser defectuosos:
¿Cuál es la probabilidad de que el comprador rechace el lote?
¿De cuántas maneras puedo seleccionar 2 defectuosos?
¿De cuántas maneras puedo seleccionar 2 defectuosos?
41
Estadística: Profesora María Durbán
42
Estadística: Profesora María Durbán
Estimación de la probabilidad en la práctica
Estimación de la probabilidad en la práctica
Ejemplo: Lote de ordenadores
Ejemplo: Lote de ordenadores
En un lote de 9 ordenadores hay 3 que son defectuosos, el comprador del lote lo
rechazará si al inspeccionar dos de ellos elegidos al azar resultan ser defectuosos:
¿Cuál es la probabilidad de que el comprador rechace el lote?
En un lote de 9 ordenadores hay 3 que son defectuosos, el comprador del lote lo
rechazará si al inspeccionar dos de ellos elegidos al azar resultan ser defectuosos:
¿Cuál es la probabilidad de que el comprador rechace el lote?
¿De cuántas maneras puedo seleccionar 2 defectuosos?
¿De cuántas maneras puedo seleccionar 2 ordenadores de entre los 9?
De 3 maneras
43
Estadística: Profesora María Durbán
44
Estadística: Profesora María Durbán
Estimación de la probabilidad en la práctica
Estimación de la probabilidad en la práctica
Combinatoria
Ejemplo: Lote de ordenadores
Nos ayuda a calcular el número de reordenaciones de n objetos tomados
de k en k
SIN
CON
REEMPLAZAMIENTO REEMPLAZAMIENTO
(o sin repetición)
(o con repetición)
n
!
k
IMPORTA EL ORDEN
Vn =
VRnk = n k
(n − k )!
VARIACIONES
En un lote de 9 ordenadores hay 3 que son defectuosos, el comprador del lote lo
rechazará si al inspeccionar dos de ellos elegidos al azar resultan ser defectuosos:
¿Cuál es la probabilidad de que el comprador rechace el lote?
Los ordenadores se eligen simultáneamente
El orden dentro del grupo no importa
sin reemplazamiento
Combinaciones
Si n = k → Permutaciones
NO IMPORTA EL
ORDEN
COMBINACIONES
⎛n⎞
Cnk = ⎜ ⎟
⎝k ⎠
⎛ n + k − 1⎞
CRnk = ⎜
⎟
⎝ k ⎠
Pr( A) =
casos favorables
casos posibles
45
Estadística: Profesora María Durbán
Hay 3 ordenadores defectuosos
46
Ejemplo: Lote de ordenadores
En un lote de 9 ordenadores hay 3 que son defectuosos, el comprador del lote lo
rechazará si al inspeccionar dos de ellos elegidos al azar resultan ser defectuosos:
¿Cuál es la probabilidad de que el comprador rechace el lote?
Los ordenadores se eligen simultáneamente
En un lote de 9 ordenadores hay 3 que son defectuosos, el comprador del lote lo
rechazará si al inspeccionar dos de ellos elegidos al azar resultan ser defectuosos:
¿Cuál es la probabilidad de que el comprador rechace el lote?
sin reemplazamiento
Combinaciones
Los ordenadores se eligen simultáneamente
El orden dentro del grupo no importa
Pr( A) =
De cuántas maneras puedo
seleccionar 2 ordenadores
C92 =
Hay 9 ordenadores en el lote
Estadística: Profesora María Durbán
3!
=3
2!1!
Estimación de la probabilidad en la práctica
Ejemplo: Lote de ordenadores
casos favorables
Pr( A) =
casos posibles
C32 =
Estadística: Profesora María Durbán
Estimación de la probabilidad en la práctica
El orden dentro del grupo no importa
De cuántas maneras puedo
seleccionar 2 defectuosos
9!
= 36
2!7!
47
sin reemplazamiento
Combinaciones
3
36
48
Estadística: Profesora María Durbán
Introducción a la probabilidad
Probabilidad condicionada
Concepto y propiedades
Introducción
E espacio muestral
Fenómenos y experimentos aleatorios
Centra el foco de atención en el hecho
que se sabe que ha ocurrido el evento B
Concepto de probabilidad y propiedades
Estimación de la probabilidad en la práctica
B
Estamos indicando que el espacio
muestral de interés se ha “reducido” sólo a
aquellos resultados que definen la
ocurrencia del evento B
Equiprobabilidad
Métodos combinatorios
.
A
A|B
2 casos favorables
Probabilidad condicionada
Probabilidad condicionada
Concepto y propiedades
Independencia de sucesos
Teorema de Bayes
Entonces, P(A | B) “mide” la probabilidad
relativa de A con respecto al espacio
reducido B
Pr( A | B) =
49
Estadística: Profesora María Durbán
5 casos posibles
2 2 / 9 Pr( A ∩ B )
=
=
5 5/9
Pr( B)
50
Estadística: Profesora María Durbán
Probabilidad condicionada
A
Probabilidad condicionada
A
A
B
A
B
B
B
P(A) = 0,25
P(B) = 0,10
P(A∩B) = 0,10
B ⊂ A ⇒ Pr( A | B) = 1
Pr(A|B)=1
Estadística: Profesora María Durbán
P(A) = 0,25
P(B) = 0,10
P(A∩B) = 0,08
Pr( A | B) =
Pr( A ∩ B)
Pr( B)
Pr(A|B)=0,8>Pr(A)
P(A) = 0,25
P(B) = 0,10
P(A∩B) = 0,005
Pr(A|B)=0,05<Pr(A)
Estadística: Profesora María Durbán
P(A) = 0,25
P(B) = 0,10
P(A∩B) = 0
A ∩ B = ∅ ⇒ Pr( A | B) = 0
P(A|B)=0
52
Probabilidad condicionada
Probabilidad condicionada
También se ha encontrado que el
5% de la piezas que no tienen
Pr( A | B ) = 0.05
fallos superficiales son
funcionalmente defectuosas
Concepto y propiedades
B ⊂ A ⇒ Pr( A | B) = 1
A ∩ B = ∅ ⇒ Pr( A | B) = 0
Pr( A ∩ B)
Pr( A | B) =
Pr( B)
⇓
Pr( A | B ) = 0.25
Importante:
Pr( B) > 0
Por lo tanto el 90%
no tienen fallos
visibles en la
superficie.
⇒ Pr( A | B) ≥ Pr( A ∩ B)
Pr( A ∩ B) = Pr( A | B) Pr( B)
= Pr( B | A) Pr( A)
≤ Pr( A)
≤ Pr( B )
Estadística: Profesora María Durbán
Se ha encontrado que el 25%
de las piezas con fallos
superficiales son
funcionalmente defectuosas
100% piezas
Manufacturadas
Se sabe que el 10% de las
piezas manufacturadas
tienen fallos visibles en la
superficie.
Pr( B ) = 0.9
Pr( B) = 0.1
Suceso A = { pieza funcionalmente defectuosa}
B = { pieza tiene una fallo visible en la superficie}
¿Qué porcentaje de piezas tiene fallos y no es funcionalmente defectuosa?
53
54
Pr( A ∩ B ) = Pr( A | B ) Pr( B ) = (1 − Pr( A | B )) Pr( B ) = 0.75 × 0.1 = 0.075 → 7.5%
Estadística: Profesora María Durbán
Probabilidad condicionada
Probabilidad condicionada
Independencia de sucesos
Ejemplo
Diremos que dos sucesos son independientes si el conocimiento de la ocurrencia
de uno no modifica la probabilidad de ocurrencia del otro
Una aplicación del concepto de independencia es el cálculo de la Fiabilidad de
un sistema.
Se denomina Fiabilidad de un sistema a la probabilidad de que el sistema funcione
correctamente.
A y B son independientes si:
Pr( A | B ) = Pr( A)
Pr( B | A) = Pr( B )
Pr( A ∩ B) = Pr( A | B) Pr( B) = Pr( A) Pr( B)
A
55
Estadística: Profesora María Durbán
B
56
Estadística: Profesora María Durbán
Probabilidad condicionada
Probabilidad condicionada
Ejemplo
Ejemplo
Una aplicación del concepto de independencia es el cálculo de la Fiabilidad de
un sistema.
Se denomina Fiabilidad de un sistema a la probabilidad de que el sistema funcione
correctamente.
Aunque la fiabilidad de cada componente sea alta, si hay muchos componentes, la
fiabilidad del sistema puede ser baja.
Para aumentar la fiabilidad podemos poner varios sistemas en paralelo:
1
2
S1
Si la probabilidad de que un interruptor cualquiera esté cerrado es 0.99, ¿cuál es la
probabilidad de que pase corriente de A a B?
= 1 − Pr(no pasar corriente de A a B)
B
A
A
Pr(pasar corriente de A a B) = Pr(S1 ∪ S2 )
1 − Pr(S1 ∩ S2 ) = 1 − ( Pr(S1 ) Pr(S2 ) )
B
S2
3
Pr(pasar corriente de A a B) = 0.99 = 0.9801
4
2
Pr(S1 ) = 1 − Pr(S1 ) = 1 − 0.9801 = 0.0199
Pr(pasar corriente de A a B) = 1 − 0.01992 = 0.9996
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Ha aumentado la fiabilidad en un 2%
Probabilidad condicionada
Probabilidad condicionada
Teorema de Bayes
A1
A2
Teorema de Bayes
Consideramos un experimento que se
realiza en dos etapas: en la primera,
los sucesos posibles
A2
A1
A1, A2, A3, A4…
A4
B = (B∩A1) U (B∩A2 ) U ( B∩A3 ) U ( B∩A4 )
A3
59
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En la segunda etapa, todo suceso B
depende de lo sucedido en la primera
etapa y puede ser descompuesto en
sucesos disjuntos
B
Son tales que la unión de todos ellos
forman el espacio muestral, y sus
intersecciones son disjuntas.
A3
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A4
60
Estadística: Profesora María Durbán
Probabilidad condicionada
Probabilidad condicionada
Teorema de Bayes
A2
A1
B
A3
Teorema de Bayes
Si conocemos la probabilidad de que
ocurra B habiendo ocurrido Ai ,
entonces podemos calcular la
probabilidad de B.
Probabilidad Condicionada
P(A∩B)=P(A|B)P(B)
A3
P(B) = P(B∩A1) + P(B∩A2 ) + P( B∩A3 ) + ( B∩A4 )
=P(B|A1) P(A1) + P(B|A2) P(A2) + P(B|A3) P(A3) + P(B|A4) P(A4)
61
Estadística: Profesora María Durbán
62
Estadística: Profesora María Durbán
Probabilidad condicionada
A2
Probabilidad condicionada
También se ha encontrado que el
5% de la piezas que no tienen
Pr( A | B ) = 0.05
fallos superficiales son
funcionalmente defectuosas
…si ocurre B, podemos calcular la
probabilidad (a posteriori) de
ocurrencia de cada Ai.
B
Pr(A i |B) =
Por lo tanto el 90%
no tienen fallos
visibles en la
superficie.
Pr(B|A i ) Pr(A i )
Pr(B)
100% piezas
Manufacturadas
Se sabe que el 10% de las
piezas manufacturadas
tienen fallos visibles en la
superficie.
Pr( B ) = 0.9
Pr( B) = 0.1
Suceso A = { pieza funcionalmente defectuosa}
A4
B = { pieza tiene una fallo visible en la superficie}
donde P(B) se puede calcular usando el teorema de la probabilidad total:
P(B) =P(B|A1) P(A1) + P(B|A2) P(A2) + P(B|A3) P(A3) + P(B|A4) P(A4)
Se ha encontrado que el 25%
de las piezas con fallos
superficiales son
funcionalmente defectuosas
Pr( A | B ) = 0.25
Pr(A i ∩ B)
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A4
P(B) = P(B∩A1) + P(B∩A2 ) + P( B∩A3 ) + ( B∩A4 )
=P(B|A1) P(A1) + P(B|A2) P(A2) + P(B|A3) P(A3) + P(B|A4) P(A4)
A3
Si conocemos la probabilidad de que
ocurra B habiendo ocurrido Ai ,
entonces podemos calcular la
probabilidad de B.
B
Tercer Axioma
P(AUB)=P(A)+P(B) si A∩B=Ø
A4
A1
A2
A1
63
1.
¿Cuál es la probabilidad de que una pieza sea funcionalmente defectuosa?
2.
Si sabemos que la pieza es funcionalmente defectuosa, ¿cuál es la
tenga fallos superficiales?
probabilidad
que no
Estadística:
Profesora María Durbán
64
Probabilidad condicionada
Probabilidad condicionada
1.
¿Cuál es la probabilidad de que una pieza sea funcionalmente defectuosa?
2.
Si sabemos que la pieza es funcionalmente defectuosa, ¿cuál es la
probabilidad que no tenga fallos superficiales?
Pr(B|A)
0.25
Pr(A)
0.1
B
1.
¿Cuál es la probabilidad de que una pieza sea funcionalmente defectuosa?
Pr(A) = Pr(A|B) Pr(B) + Pr(A|B) Pr(B)
= 0.25 × 0.1+0.05 × 0.9=0.07
A|B
0.25
0.75
A|B
0.1
Pieza
B
A|B
0.75
A|B
Pieza
0.05
0.9
A|B
0.95
A|B
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Probabilidad condicionada
2. Si sabemos que la pieza es funcionalmente defectuosa, ¿cuál es la
probabilidad que no tenga fallos superficiales?
Pr(A|B) Pr(B)
0.05 × 0.9
=
Pr(A)
0.25 × 0.1+0.05 × 0.9
0.045
=
= 0.64
A|B
0.25
0.07
Pr(B|A) =
0.75
A|B
Pieza
0.05
0.9
A|B
B
0.95
Estadística: Profesora María Durbán
0.95
65
Estadística: Profesora María Durbán
B
A|B
B
B
0.1
0.05
0.9
A|B
67
A|B
66