Representación gráfica y estudio de las funciones elementales con

Representación gráfica y estudio de las funciones
elementales con la hoja de cálculo Calc.
José Luis Mellado-Romero
1. Introducción
Las funciones lineales, afines y cuadráticas son las funciones polinómicas más
simples y vienen definidas analíticamente por los coeficientes numéricos de los
monomios correspondientes.
El objetivo del presente documento consiste en explicar cómo la hoja de cálculo
puede ayudar a representar y estudiar las funciones polinómicas elementales. De forma
que con esta potente y archiconocida herramienta digital, la hoja de cálculo, y sólo con
introducir los coeficientes o valores numéricos se puede conseguir la representación
gráfica de la función elegida, obteniendo los elementos y las propiedades principales de
dicha función.
Se ha creado una hoja para cada tipo de función elemental, ya que cada una tiene
unas peculiaridades que la hacen diferente a las demás, por tanto, se necesita una
programación diferente aunque con una base muy similar, permitiendo una clasificación
que puede ser útil a la hora de un eventual uso en el aula.
Las hojas de cálculo construidas son:
1.La función lineal. En esta hoja se estudia y representa gráficamente la función
polinómica con la expresión analítica dada por:
f  x =ax
, donde a es el parámetro
que ha de introducirse por parte del usuario, es decir, la pendiente.
1
2.La función afín . En esta hoja se estudia y representa gráficamente la función
f  x =axb
polinómica con la expresión analítica dada por:
, donde a y b son los
parámetros que han de introducirse por parte del usuario, es decir, el usuario debe
introducir la pendiente y la ordenada en el origen.
3.La función cuadrática. En esta hoja se estudia y representa gráficamente la función
polinómica con la expresión analítica dada por:
f  x =ax 2 bxc
, donde a, b y c
son los parámetros que han de introducirse por parte del usuario.
4.La función cúbica1. En esta hoja se estudia y representa gráficamente la función
polinómica con la expresión analítica dada por:
f  x =ax bx cxd
3
2
, donde a,
b , c y d son los parámetros que han introducirse por parte del usuario.
2. La tabla de valores y las evaluaciones en cada hoja de cálculo
Cada hoja tiene establecidas las órdenes necesarias para calcular las evaluaciones
de la función en estudio. Se han elegido 4.000 valores uniformemente en el intervalo
[-20,20], aunque eventualmente puede modificarse este intervalo de inspección, esta
acción no se recomienda.
En cada hoja se determina la sensibilidad de la tabla de valores y del consiguiente
gráfico obtenido a partir de ella, es decir, el salto que se produce entre dos puntos o
valores consecutivos que toma la variable independiente, de forma que una sensibilidad
muy pequeña indica que los valores que toma la variable independiente están muy
cercanos unos de otros, y por tanto se obtiene una gráfica bastante aproximada a la real.
La sensibilidad del gráfico viene dada por la expresión (1) donde n es el número
de puntos elegidos en el intervalo [a,b].
s=
b−a
n
(1).
Como el número de puntos tomados en el intervalo [a,b] está fijado por
construcción, y es n=4.000 y además el intervalo está prefijado, si bien es modificable, la
sensibilidad será:
s=
b−a 20−−20
40
=
=
=0,01
4.000
4.000
4.000
Los valores que considera la hoja son los definidos por la relación (2) :
1 Aunque la función cúbica no debe ser considerada como función elemental puede igualmente
programarse teniendo en cuenta diversos aspectos del cálculo diferencial a los que se hará referencia para
determinar los elementos necesarios para este tipo de funciones en concreto.
2
x 0=a=−20
k
x k= x 0 
∀ k =1,2 , .... ,4000
100
k
x k =−20
∀ k =1,2 ,.... , 4000
100
(2)
Aunque la fórmula que realmente se ha programado ha sido la dada por (3), en la
que s es la sensibilidad de la gráfica y de la tabla de valores. Las fórmulas
correspondientes están incluidas en las celdas de la columna P.
x 0 =a=−20
x k1 = x k s ∀ k =0,1 ,2 ,... 3.999
(3)
Las evaluaciones que se calculan en cada tabla para poder representar
gráficamente
la
función
f  x k ∀ k =0,1 ,2 , ... 4000
con
suficientes
garantías
son:
, valores que dependerán de la expresión analítica de
la función y de los coeficientes incorporados en cada hoja electrónica por el usuario.
Estos valores están incluidos en la columna Q.
Cada hoja realizará las evaluaciones cada vez que el usuario modifique los
coeficientes que definen a estas funciones elementales.
Para una correcta visualización del gráfico, el intervalo de inspección en el que se
desee analizar la función ha de estar contenido en el intervalo [-20,20], pues los valores
permitidos en el gráfico están fijados, es decir, no se permite que la hoja dimensione el
gráfico, salvo en contadas excepciones. En estos casos el usuario, que debería tener
conocimientos de manejo de la hoja de cálculo 2, debe modificar el gráfico variando la
unidad o la escala del gráfico para que el grafo de la función sea más visible y se puedan
extraer resultados más intuitivamente.
La tabla de valores está implementada en las columnas O,P,Q,de cada una de las
hojas como puede observarse en la imagen 2.1 .
2 Para atreverse a dimensionar un gráfico, se recomienda haber usado previamente la creación de gráficos
en las hojas de cálculo.
3
Imagen 2.1
3. La Función lineal
Las funciones lineales vienen dadas por la expresión f(x)=ax donde a es un número
real cualquiera. El usuario deberá introducir en la celda C2 el valor de la pendiente y
pulsar intro, automáticamente la hoja calculará y presentará una serie de propiedades
similares a las que se presentan en la imagen 3.1, correspondiente a la función lineal con
la expresión analítica
f  x =−0,5 x
, es decir, con la pendiente igual a -0,5.
4
Imagen 3.1
Con esta herramienta, al modificar los valores de la pendiente, el usuario puede
observar y consolidar conocimientos sobre las siguientes propiedades de la función
lineal:
1.La representación gráfica de las funciones lineales corresponde a rectas que pasan por
el origen de coordenadas.
2.Si el valor de la pendiente es positivo la función resulta creciente.
3.Si el valor de la pendiente es negativo la función resulta decreciente.
4.También existe una relación directa entre el valor de la pendiente y el ángulo que forma
con la parte positiva del eje de abcisas, y viene dado por:
=arctan a 
La programación de la hoja lineal corresponde con la inserción de las fórmulas
descritas en la imagen 3.2 y puede comprobarse cómo la fórmula que permite calcular el
ángulo que forma la recta con el eje de abcisas viene calculado en la celda B8 , y tiene la
expresión
180
arctan a 

puesto que la hoja electrónica devuelve en radianes los
5
valores de la función arcotangente y el cociente
180

es el factor de conversión de
radianes a grados.
Imagen 3.2
En la imagen 3.2 puede verse cómo se ha programado para que la hoja informe de la
monotonía de la función lineal que depende del signo de la pendiente. Esta fórmula está
incluida en la celda B13.
4. La función afín
Las funciones afines son aquellas que vienen dadas por la expresión f(x)=ax+b con
a y b números reales, y b distinto de cero.
Imagen 4.1
6
Se puede observar con esta herramienta que:
1.Las representaciones gráficas de las funciones afines corresponden a rectas que no
pasan por el origen de coordenadas, pasan por el punto (0,b) que será el punto de corte
con el eje de ordenadas.
2.Si el valor de la pendiente es positivo la función resulta creciente.
3.Si el valor de la pendiente es negativo la función resulta decreciente.
4.También existe una relación directa entre el valor de la pendiente y el ángulo que forma
con la parte positiva del eje de abcisas, y viene dado por:
=arctan a
1.Un elemento importante a calcular de la función afín es el punto de corte con el eje de
abcisas. El valor en la abcisa de este punto es x=-b/a, siempre que a sea no nulo. En
caso contrario,la gráfica de la función corresponde con una recta horizontal y no corta al
eje de abcisas, salvo eventualmente en el caso de que b sea también nulo.
f  x =axb ; f  x=0 axb=0  x=
−b
; a≠0
a
Las órdenes para poder obtener una representación gráfica adecuada de la función afín
vienen dadas en la imagen 4.2. La primera orden define el intervalo en el que se
considera la tabla de valores y la representación gráfica de la función afín.
Imagen 4.2
Esta hoja es muy similar a la hoja en la que representa y explica la función lineal,
de hecho la única diferencia es la existencia de puntos de cortes con los ejes:
7
1.- Con el eje de Abcisas, que lo incorpora en la celda B16 con la expresión =C3/C2.
2.- Con el eje de Ordenadas que corresponde con el valor de la ordenada en el
origen.
Se puede observar en la imagen 4.3 la gráfica y la información
electrónica para la función afín con la expresión:
que ofrece la hoja
f  x =−3x6
Imagen 4.3
5. La Función cuadrática.
Las funciones cuadráticas vienen definidas por un polinomio de grado dos:
f  x =ax 2 bxc
. La tabla de entrada de datos es similar a la de la función afín,
con la única diferencia de que hay que introducir el valor de un coeficiente más, al
tratarse de un trinomio.
La función cuadrática tiene una serie de propiedades muy diferentes a las funciones
vistas anteriormente, la más determinante es que el grafo de dicha función no
corresponde con una recta, sino con una curva.
8
En la imagen 5.1 se ha incorporado la gráfica y el análisis de la función que tiene
como expresión analítica
f  x =x² 4x4 .
Imagen 5.1
Se puede observar con esta herramienta que:
1.Las representaciones gráficas de las funciones cuadráticas corresponden a curvas, en
ningún intervalo o tramo la gráfica corresponde con una recta o segmento.
2.Si el valor del coeficiente del monomio 3.Si el valor del coeficiente del monomio
de grado dos es positivo, la función resulta
de grado dos es negativo, la función
convexa, es decir, tendrá una forma
resulta cóncava, es decir, tendrá una
similar a la imagen 5.2.
forma similar a la imagen 5.3.
Imagen 5.2
Imagen 5.3
4.También es diferente a las funciones anteriores la parte correspondiente a los puntos
de corte con el eje de abcisas, que en la hoja está analizado en las celdas
correspondientes
a
las
celdas
A14:C19.
El
discriminante
de
la
ecuación
9
ax bxc=0
2
tiene la expresión
D=b −4⋅a⋅c
2
y su signo ofrece la
información suficiente para saber el número de puntos de cortes de la función con el eje
de abcisas, en la tabla 5.1 se observa la clasificación del número de puntos de corte con
el eje de abcisas, así como el valor de las abcisas en el que se produce dicho corte.
Signo del
Número de puntos de
discriminante cortes con el eje de abcisas
D0
2
D=0
1
D0
0
Valor de las abcisas en los
puntos de corte
x1 =
−b  D
−b−  D
; x 2=
2a
2a
−b
xo =
2a
No tiene puntos de corte con el
eje de abcisas
Tabla 5.1
El cálculo del discriminante se realiza en la celda B15. Aplicando la fórmula
D=b 2−4⋅a⋅c
siendo
b el valor de la celda C3 ,
a el valor de la celda C2 y
c el valor de la celda C3 y obteniendo la expresión :=C3^2-4*C2*C4.
El número de puntos de cortes con el eje de abcisas se determina en la celda B16.
Las soluciones se determinan en las celdas B18 y B19 y en las celdas C18 y C19 se
comprueba numéricamente que las soluciones calculadas efectivamente cumplen la
ecuación que se ha resuelto.
5.Un elemento de gran importancia a calcular de la función cuadrática es el vértice de la
parábola. Cuya expresión viene dada por las igualdades siguientes.
−b
2a
es el valor de la abcisa en el vértice.
f  x =ax bxc  x v =
2
sustituyendo este valor en la expresión analítica de la función cuadrática se obtiene:
2
2
2
2
ab b
b
b
f  x v =a x v  bx v c= 2 − c= − c=...
4a 2a
4a 2a
2
2
b 4ac−b − D
=
...=c− =
4a
4a
4a
Es el valor de la ordenada en el vértice.
2
10
•El vértice de coordenadas

−b
D
,−
2a
4a

es un mínimo absoluto si la parábola es

es un máximo absoluto si la parábola es
convexa.
•El vértice de coordenadas

−b
D
,−
2a
4a
cóncava.
•Esta
casuística
se
encuentra
programada
en
la
celda
B28
con
la
expresión :=SI(C2>0;"MÍNIMO";"MÁXIMO")
1.También existe una relación entre la abertura de la curva y valor absoluto del
coeficiente del monomio de grado dos. Esta relación es ta,l que si el valor absoluto del
coeficiente
a se aproxima a cero, la curva se hace menos puntiaguda, y cuando el
valor absoluto de este coeficiente toma valores muy elevados, la curva se hace muy
puntiaguda. Para visualizar esta propiedad se ha realizado una serie de representaciones
gráficas para distintos valores del coeficiente
a ,en los casos se ha tomado el
coeficiente positivo, igualmente se podría haber tomado a negativo.
f  x =0,05 x −6
f  x =0,1 x 2 −6
f  x =0,25 x 2 −6
f  x =0,5 x −6
2
2
11
f  x =3x 2−6
f  x = x 2 −6
6.La monotonía de la función cuadrática difiere notablemente de la de las funciones
lineales y afines, aún así para las funciones cuadráticas la monotonía es simple, puesto
que está basada en una propiedad básica: El valor o punto en el que la función cambia
de creciente a decreciente o viceversa es el vértice. Por ello se ha programado la
siguiente casuística en las celdas A30:C32,de forma que si el valor del coeficiente del
monomio de grado dos es positivo, es decir, la curva es convexa: la función pasa de
decreciente a creciente y por tanto los intervalos de la monotonía corresponden con la
segunda columna de la tabla 5.2, sin embargo, si el valor del coeficiente del monomio de
grado dos es negativo, es decir, la curva es cóncava: la función pasa de creciente a
decreciente y por tanto los intervalos de la monotonía corresponden con la tercera
columna de la tabla 5.2:
Intervalo


−∞ ,−


b
2a
−b
,∞
2a
Carácter de la función si a > 0
Carácter de la función si a < 0
La función es decreciente
La función es creciente
La función es creciente
La función es decreciente
Tabla 5.2
En la imagen 5.5 pueden observarse las fórmulas programadas y a las que se han hecho
referencia anteriormente para el cálculo y determinación de la gráfica y propiedades
incluidas en la hoja de la función cuadrática.
12
Imagen 5.4
6. La Función Cúbica.
Esta función no es estrictamente una función elemental, sin embargo por su fácil
implementación y las escasas necesidades de cálculo diferencial, he considerado
oportuno incluirla con objeto de que en un eventual uso en el aula de esta hoja se avance
en el conocimiento de las funciones elementales, así como en fijar conceptos básicos
necesarios para obtener la competencia matemática en análisis de representaciones
gráficas de funciones.
Las funciones cúbicas son aquellas que están definidas
3
por un polinomio de
2
grado tres, a saber: f(x)=ax +bx +cx+d.
En este caso la hoja electrónica determina una tabla de valores, el punto inflexión
que siempre existe para este tipo de funciones, los extremos relativos con su máximo
relativo y su mínimo relativo, que no siempre existen, determina la monotonía y la
curvatura de cada función incorporada. La hoja de introducción de coeficientes y el
13
cálculo de elementos significativos de la misma se puede ver en la imagen 6.1, que
corresponde al análisis y representación de la función cúbica de expresión
f  x =− x 25x
3
:
I
Imagen 6.1
La programación de estos cálculos se puede observar en la imagen 6.2 :
14
Imagen 6.2
Elementos fundamentales de la función cúbica que determina la hoja de cálculo:
1.El punto de inflexión:
El punto de inflexión es aquel punto del dominio en el que la función pasa de tener
una curvatura determinada (Cóncava o convexa) a tener otra (Convexa o cóncava). En
el caso de la función cúbica ésta siempre posee un único punto de inflexión, la
determinación de su fórmula se deduce de la propiedad de que :
f  x =ax 3bx 2cxd  f ' '  x =6⋅ax2⋅b
−b
''
f  x =0 6⋅ax2⋅b=0 x inf =
3⋅a
El cálculo del punto de inflexión se realiza en la celda B15,para la abcisa y C15 para la
ordenada.
15
2.La Curvatura
La función cúbica presenta un único cambio de curvatura, este cambio se produce sólo y
exclusivamente en el punto de inflexión que siempre existe y es único en el caso de
funciones cúbicas. El cálculo de los intervalos de concavidad y convexidad se basa en
que si el coeficiente de grado tres es positivo la función cúbica pasa de cóncava a
convexa, y si este coeficiente es negativo la curvatura de función pasa de convexa a
cóncava. Esta casuística está programada en las celdas A26:C28 y viene explicada en la
tabla 6.1.
Intervalo
Si a > 0
Si a < 0
b
−∞ ,−
3⋅a
La función es cóncava
La función es convexa
−b
,∞
3⋅a
La función es convexa
La función es cóncava




Tabla 6.1
3.Existencia de los máximos y mínimos relativos
f  x=ax bx cxd  f  x =3⋅ax 2⋅bxc
'
2
2
f  x =0 3⋅ax 2⋅bx c=0 D3=b −3⋅a⋅c
−b D3
−b− D 3
y x ext =
Si D 30  x ext =
3⋅a
3⋅a
Si D3≤0 No tiene máximo y tampoco tiene mínimo relativo.
3
2
'
2
El cálculo de la existencia se realiza en la celdas A18:B20, hallando, en primer lugar, el
valor de
D3
que se determina en la celda B19 y se incorpora las condiciones
anteriores en la celda B20 con la expresión =SI(B19>0;2;0), ofreciendo el número de
extremos de la función. Es evidente3 que un función cúbica sólo puede tener dos
extremos relativos (un máximo y un mínimo) o ninguno.
4.Máximos y mínimos relativos
Los extremos relativos se calculan aplicando las formulas deducidas anteriormente
x ext =
1
−b D3
−b− D3
2
y x ext =
3⋅a
3⋅a
la forma de discernir cual es máximo y cual
mínimo, ha sido teniendo en cuenta que en una función cúbica la imagen del máximo
3 Para el lector que desconozca el cálculo diferencial esta evidencia no se pone de manifiesto de forma
clara.
16
relativo es siempre mayor que la imagen del mínimo relativo 4. El cálculo se ha realizado
en las celdas A22:C24.
5.Monotonía
Los extremos relativos de una función cúbica5, máximos o mínimos relativos,
se
alcanzan en aquellos valores de su dominio en los que se produce el cambio de creciente
a decreciente o viceversa, de decreciente a creciente. Se ha considerado los dos casos
que pueden ocurrir con respecto a a los extremos relativos:
1.Que existan:
D 3=b −3⋅a⋅c0
2
en este caso la monotonía depende del signo
del coeficiente del monomio de grado tres, teniendo en cuenta que existen dos cambios
de signo en los puntos extremos.
Intervalos
Si a > 0
−∞ , x1ext 
 x ext , x ext 
1
2
 x 2ext ,∞
Si a < 0
Función creciente Función decreciente
Función
decreciente
Función creciente
Función creciente Función decreciente
Tabla 6.2
2. Que no existan:Esto ocurre si y sólo si
D 3=b 2 −3⋅a⋅c≤0
y en este caso la
función es creciente o decreciente en todo el conjunto numérico de definición o dominio.
Este carácter de la función dependerá sólo y exclusivamente del signo del coeficiente del
monomio de grado tres:
D 3=b −3⋅a⋅c≤0
2
a . Y puede resumirse de la siguiente forma: si se cumple que
entonces sólo se tiene una de las dos situaciones siguientes:
•Si
a0 la función es creciente en todo su dominio.
•Si
a0 la función es decreciente en todo su dominio.
4 Se podía haber usado el criterio de la segunda derivada.
5 Esta propiedad no es exclusiva de las funciones cúbicas, si no de toda función derivable, pero esto es
abundar demasiado en el cálculo direfencial.
17
Varios ejemplos de funciones cúbicas
Ejemplo
1
Considerando
f  x =−4x 35x
3
la
función
cúbica
con
expresión
analítica
, Se puede observar que en la parte izquierda de la hoja se
presenta todos los resultados importantes, salvo los puntos de corte con el eje
de
abcisas, puesto que no se ha implementado la resolución de la ecuación cúbica.
Imagen 6.3
En el ejemplo 1 , que se visualiza en la imagen 6.3, se puede observar una función
cúbica con un mínimo relativo y un máximo relativo,además de tres puntos de cortes con
el eje de abcisa.
18
Ejemplo 2 Considerando la función cúbica con expresión analítica
f  x =10⋅x  x
3
Se puede observar en la parte izquierda de la hoja se presenta todos los resultados,
importantes salvo los puntos de corte con el eje de abcisas, puesto que no se ha
implementado la resolución de la ecuación cúbica.
Imagen 6.4
En la imagen 6.4 se presenta una función cúbica sin extremos relativos, es decir, sin
máximos ni mínimos relativos.
Ejemplo
3
Considerando
f  x = x 3−6x 210
la
función
cúbica
con
expresión
analítica
, en la parte izquierda de la hoja se presenta todos los
resultados importantes, salvo los puntos de corte con el eje de abcisas, puesto que no
se ha implementado la resolución de la ecuación cúbica.
19
Imagen 6.5
7.Conclusiones
La hojas de cálculo diseñadas para las funciones descritas pueden ser utilizadas para el
desarrollo de la competencia matemática que pretende asegurar la interpretación de la
gráfica de funciones, así como para el inicio en el manejo de conceptos elementales en la
representación de funciones: Extremos absolutos y relativos, crecimiento y decrecimiento
, curvatura, puntos de inflexión. La utilización de esta herramienta se considera
adecuada en las enseñanzas de matemáticas en ESO y Bachillerato. Es, por tanto, un
instrumento digital que puede permitir acercar esta rama de las matemáticas a los
alumnos a través de recursos TIC. Evidentemente existe una gran cantidad de software
que puede ser utilizado, pero este tipo de programas ajustados a unos casos concretos
puede permitir la concreción del objetivo, por parte del profesor y también una mayor
probabilidad de que el alumno asuma este objetivo. La hoja de cálculo ya lista para ser
usada
puede
descargarse
picando
en
el
enlace:
http://www.omerique.net/twiki/pub/Main/PepeMellado/f_elementales.ods
20