UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS Capítulo 3: MEDIDAS DE CENTRALIZACION INTRODUCCIÓN Ante la necesidad en las empresas, negocios, investigaciones, etc. de conocer los instrumentos necesarios para que puedan saber a través de los promedios sobre la economía de su empresa, sobre las investigaciones sobre bacterias, muertes por año, se ha elaborado este capítulo a fin de resolver sus inquietudes 120 UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS 3.1 MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL, MEDIDAS DE CENTRALIZACION O PROMEDIOS Es el típico representativo de un conjunto de datos y como tales datos tienden a concentrarse alrededor de su valor central reciben el nombre de medidas de centralización o medidas de tendencias central. Los principales promedios son: Los promedios pueden aplicarse o datos simples y datos agrupados. Media aritmética (X) Media geométrica (G) Media armónica (H) Media Cuadrática (RMS) Mediana (Md) Moda (Mo) Los Cuartiles (Q1, Q2…) Deciles (D1, D2) Percentiles (Pi, P2) Medias Principales (1,5,6) Medias Secundarias ( 2,3,4,7,8,9 ) 121 UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS 3.1.1 DATOS SIMPLES: Son aquellos que no han sido considerados en un cuadro de distribución de frecuencias. 3.1.2 DATOS AGRUPADOS PONDERADOS O CLASIFICADOS: Son aquellos a los cuales se les aplicado los reglas para construir cuadro de distribución de frecuencia y se encuentran considerados en las clases de una distribución 122 UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS 3.2 MEDIA ARITMÉTICA La media aritmética es la medida de tendencia central más conocida, familiar a todos nosotros y de mayor uso, también es fácil de calcular, ya sea de datos no tabulados (datos simples) como de datos tabulados (datos agrupados). 3.2 MEDIA ARITMÉTICA SIMPLE La media aritmética es el valor obtenido sumando todas las observaciones y dividiendo el total por el número de observaciones que hay en el grupo. La media resume en un valor las características de una variable teniendo en cuenta todos los casos. Solamente puede utilizarse con variables cuantitativas. En la media aritmética simple cada una de los datos como un punto media o marca de clase. Se determina mediante la aplicación de la siguiente fórmula X= Yi N Donde: x = media aritmética Yi = Representa los valores de la variable o valores a promediar = Es la letra griega sigma, y se lee suma o sumatoria N = Es el número total de casos o número de valores a promediarse. 123 UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS Ejemplo: a) En un examen con propósito de promoción se han obtenido las siguientes calificaciones 84, 91, 72, 68, 87, 78. Calcular la media aritmética simple: Xi = 84+91+72+68+87+78 = 480 N=6 X = 84 + 91 + 72 + 68 +87 +78 = 6 480 6 = 80. b) ¿Cuál fue el ingreso medio diario de un comerciante durante la última semana? DIA DE LA SEMANA INGRESO DIARIO (Q) Lunes 75 Martes 225 Miércoles 175 Jueves 300 Viernes 180 Sábado 400 TOTAL 1355 124 UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS Xi = 75+225+175+300+180+400 = 1355 N=6 APLICANDO LA FORMULA: X = Yi N X = 1355 6 X = 225.83 INTERPRETACION: Es como si el comerciante hubiera vendido diariamente, de lunes a sábado Q.225.83. 125 UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS c) ¿Cuál fue la producción media diaria de una fábrica? si en la última semana produjo: DIA DE LA SEMANA INGRESO DIARIO (Q) Lunes 100 Martes 150 Miércoles 125 Jueves 110 Viernes 90 Sábado 115 TOTAL 690 Xi = 100+150+125+110+90+115 = 690 N=6 X = Yi N APLICANDO LA FORMULA X= 690 X= 115 6 INTERPRETACION: Si la fábrica trabajara a igual ritmo todos los días de la semana, produciría 115 unidades diarias. 126 UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS 3.2.2 MEDIA ARITMÉTICA PONDERADA Es cuando se asigna ciertos coeficientes significación, pero importancia, etc. a los datos de una determinada actividad. Ejercicio clásico de ponderación son los llamados coeficientes que se le asigna a ciertos exámenes. Se determina mediante la aplicación de la siguiente fórmula: 5 X = ni yi N Donde: x = media aritmética = Es la letra griega sigma, y se lee suma o sumatoria yi = Representa los valores de la variable o valores a promediar ni = N = Frecuencia Es el número total de casos o número de valores a promediarse. 127 UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS 3.2.2.1 INCONVENIENTES DE SU USO: Este parámetro, aún teniendo múltiples propiedades que aconsejan su uso en situaciones muy diversas, tiene también algunos inconvenientes, como son: Para datos agrupados en intervalos (variables continuas) su valor oscila en función de la cantidad y amplitud de los intervalos que se consideren. Es una medida a cuyo significado afecta sobremanera la dispersión, de modo que cuanto menos homogéneos sean los datos, menos información proporciona. Dicho de otro modo, poblaciones muy distintas en su composición pueden tener la misma media.4 Por ejemplo, un equipo de baloncesto con cinco jugadores de igual estatura, 1,95 m, evidentemente, tendría una estatura media de 1,95 m, valor que representa fielmente a esta población homogénea. Sin embargo, un equipo de jugadores de estaturas más heterogéneas, 2,20 m, 2,15 m, 1,95 m, 1,75 m y 1,70 m, por ejemplo, tendría también, como puede comprobarse, una estatura media de 1,95 m, valor que no representa a casi ninguno de sus componentes. La estatura media como resumen de una población homogénea En el cálculo de la media no todos los valores (abajo) o heterogénea (arriba). contribuyen de la misma manera. Los valores altos tienen más peso que los valores cercanos a cero. Por ejemplo, en el cálculo del salario medio de un empresa, el salario de un alto directivo que gane 1.000.000 de € tiene tanto peso como el de diez empleados "normales" que ganen 1.000 €. En otras palabras, se ve muy afectada por valores extremos. No se puede determinar si en una distribución de frecuencias hay intervalos de clase abiertos. 128 UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS Ejemplo: En una empresa hay 5 trabajadores que ganan Q.200; 4 que ganan Q.250; 8 que ganan Q.175 y 3 que ganan Q.300. ¿Cuál es el promedio de salarios de la empresa? SALARIO Yi NUMERO DE TRABAJADORES ni TOTAL ni Yi 200 5 1000 250 4 1000 175 8 1400 300 3 900 ni Yi = 4300 APLICANDO LA FORMULA: X = ni Yi N X = (5x200)+(4x250)+(8x175)+(3x300) 20 X= 4300 20 X = 215 RESPUESTA: El promedio de salarios de la empresa es de Q.215. 129 UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS 3.2.2.2 MEDIA ARITMETICA DE DISTRIBUCION DE FRECUENCIAS DE VALORES AGRUPADOS EN INTERVALOS DE AMPLITUD CONSTANTE O VARIABLE. Para calcular la media aritmética de valores que están agrupados en intervalos de amplitud constante o variable, es necesario antes calcular la marca de clase o punto medio de cada intervalo y multiplicarla por la frecuencia respectiva. La fórmula a aplicar es la misma que uso en el cálculo anterior, teniendo presente que Xi representa la marca de clase. Ejemplo: Calcular la media aritmética de los siguientes valores agrupados en intervalos de amplitud constante. Intervalos f Marca de clase Xi f.Xi 10-19 4 (10+19)/2 = 14.5 4x14.5 = 58.0 20-29 7 (20+29)/2 = 24.5 7x24.5 = 171.5 30-39 9 (30+39)/2 = 43.5 9x34.5 = 310.5 40-49 10 (40+49)/2 = 44.5 10x44.5 = 445.0 50-59 5 (50+59)/2 = 54.5 N = 35 5x54.5 = 272.5 f.Xi = 1257.5 OBSERVACION: Las dos primeras columnas corresponden a los datos, las otras columnas son calculadas. 130 UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS PROCEDIMIENTO: Primero calculamos las marcas de clase o puntos medios. Para eso sumamos los dos intervalos y al resultado le sacamos mitad. Multiplicamos las frecuencias absolutas por las marcas de clase y obtenemos así, la columna f.Xi. Sumamos la columna de frecuencias por puntos medios. Esta suma da como resultado: 1257.5. Calculamos la media aritmética por medio de la fórmula correspondiente: x = (f.Xi) N SUSTITUYENDO VALORES EN LA FORMULA: x = 1257.5 35 EFECTUANDO LA DIVISION x = 35.928 APROXIMANDO EL RESULTADO A DOS DECIMALES: _ X = 35.93 Media Aritmética 131 UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS EJERCICIOS DE MEDIA ARITMETICA 1.- Determinar el promedio de un alumno de medicina cuyas notas y coeficientes se dan continuación: Notas Yi Coeficiente ni ni.Yi Promedio Anual 14 01 14 Examen Escrito 12 02 24 Examen Oral 08 03 24 N=6 niYi = 62 X = ni Yi N X = ni.Yi = 62 = 10.33 N 6 132 UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS 2.-Calcular la estatura media de 100 alumnos de la universidad, distribuidos en la siguiente tabla de frecuencia. L1 _L2 Yi´-1 _ Yi Yi ni ni.Yi 1.495 - 1.545 1.50 - 1.54 1.52 5 7.6 1.545 - 1.595 1.55 - 1.59 1.57 12 18.84 1.595 - 1.645 1.60 - 1.64 1.62 40 64.8 1.645 - 1.695 1.65 - 1.69 1.67 26 43.42 1.695 - 1.745 1.70 - 1.74 1.72 11 18.92 1.745 - 1.795 1.75 - 1.79 1.77 6 10.62 N = 100 ni.Yi =164.2 X = ni Yi N X = ni.Yi = 164.2 = 1.642 N 100 133 UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS 3.-Calcular la media aritmética del siguiente cuadro de distribución de frecuencias que nos indica los titulares de la libreta de una caja de ahorro con relación a la edad y sus sueldos. L1 _L2 Yi´-1 _ Yi Yi Ni ni.Yi 45 – 55 45.5 – 54.5 50 4 200 55 – 65 55.5 – 64.5 60 12 720 65 – 75 65.5 – 74.5 70 20 1400 75 – 85 75.5 – 84.5 80 10 800 85 – 95 85.5 – 94.5 90 4 360 N = 50 ni.Yi = 3480 X = ni Yi N _ X = ni.Yi = 3480 = 69.6 N 50 134 UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS 4.- Calcular la media aritmética de los siguientes cuadros de distribución de frecuencia. L1 _L2 Yi´-1 _ Yi Yi Ni ni.Yi 0.0005 – 0.0025 0.0010 – 0.0020 0.0015 30 0.045 0.0025 – 0.0045 0.0030 – 0.0040 0.0035 50 0.175 0.0045 – 0.0065 0.0050 – 0.0060 0.0055 40 0.22 0.0065 – 0.0085 0.0070 – 0.0080 0.0075 20 0.15 0.0085 – 0.0105 0.0090 – 0.0100 0.0095 60 0.57 0.0105 - 0.0125 0.0110 – 0.0120 0.0115 10 0.115 0.0125 – 0.0145 0.0130 – 0.0140 0.0135 50 0.675 N = 260 ni.Yi = 3480 X = ni Yi N X = ni.Yi = 1.95 = N 0.0075 260 135 UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS 5.- Hallar la media aritmética Del siguiente cuadro de distribución de frecuencia L1 _L2 Yi Ni ni.Yi 0 – 10 5 12792 63960 10 – 20 15 11346 170190 20 – 30 25 17941 448525 30 – 40 35 19313 675955 40 – 50 45 18000 810000 50 – 60 55 15181 834955 N = 94573 niYi = 3003585 X = ni Yi N X = ni.Yi = 3003585 N = 31.75943451 94573 136 UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS 6.- La media aritmética de 13 números es 10 y la media aritmética de otros 42 números es 16 hallar la media aritmética de los 55 números tomados conjuntamente. Ni Ni.Yi 10 13 130 16 42 672 Yi ni.Yi=802 N = 55 X = ni Yi N X = ni.Yi = 802 = 14.58181818 N 55 137 UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS 7.- Hallar la media aritmética del siguiente cuadro de distribución de frecuencia. L1 _L2 Yi´-1 _ Yi Yi Ni ni.Yi 68 – 72 68.5 – 71.5 70 4 280 72 – 76 72.5 – 75.5 74 9 666 76 – 80 76.5 – 79.5 78 16 1248 80 – 84 80.5 – 83.5 82 28 2296 84 – 88 84.5 – 91.5 86 45 3870 88 – 92 88.5 – 91.5 90 66 5940 92 – 96 92.5 – 95.5 94 85 7990 96 – 100 96.5 – 99.5 98 72 7056 100 – 104 100.5 – 103.5 102 54 5508 104 – 108 104.5 – 107.5 106 38 4028 108 – 112 108.5 – 111.5 110 27 2970 112 – 116 112.5 – 115.5 114 18 2052 116 – 120 116.5 – 119.5 118 11 1298 120 – 124 120.5 – 123.5 122 5 610 124 –128 124.5 – 127.5 126 2 252 N = 480 ni.Yi = 46064 138 UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS X = ni Yi X = ni.Yi = 46064 = 95.96666 N 480 N 8.- Los sueldos de cuatro empleados son: 500, 600, 650, 3000 nuevos soles. a) Hallar la media aritmética de los sueldos. b) Se podría decir que este promedio es representativo de los sueldos ? SOLUCIÓN X = Yi a) N X = Yi = 500+600+650+3000 = 4750 = 1187.50 N 4 4 b) La media de 1187.50 no es representativa de los sueldos. El dar este promedio sin mayor comentario conduciría a un error. “La gran desventaja de la media aritmética es que es fuertemente afectada por los valores extremos, razón por la cual no debe aplicarse para promedios, sueldos ó salarios. 139 UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS 9.- En una población los precios a que se vende el vino en 5 establecimientos son 8 ,9.5, 10, 11, 11.5 nuevos soles, las cantidades que se venden de los mismos son: 1500, 2000, 1000, 500, 400 litros respectivamente. Determinar la media aritmética simple y ponderada e indique cual es el verdadero promedio. a) Simple X = Yi N _ X = Yi = 8+9.5+10+11+11.5 = 50 = 10 N 5 5 b) Ponderada X = ni Yi N 140 UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS Yi Ni Ni.Yi 8 1500 12000 9.5 2000 19000 10 1000 10000 11 500 5500 11.5 400 4600 N= 54000 ni YI =51100 X = ni.Yi = 51100 = 9.462962963 N 5400 141 UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS 10.- Calcular la frecuencia de la tercera y quinta clase de la siguiente distribución se la media aritmética es = 66.3. L1 _L2 Yi´-1 _ Yi Yi Ni ni.Yi 59.5 – 62.5 60 - 62 61 5 305 62.5 – 65.5 63 – 65 64 7 448 65.5 – 68.5 66 – 68 67 X 67x 68.5 – 71.5 69 – 71 70 6 420 71.5 – 74.5 72 – 74 73 Y 73y N = 30 ni.Yi = 142 UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS X = ni Yi N _ X = 1173 + 67x + 73y 30 30 = 5 + 7 + x + 6 + y 30-18 = x + y 12 = x + y 66.3 * 30 = 1173 + 67x + 73y x = 12 - y 1989-1173 = 67x + 73y x = 12 - 2 816 = 67 ( 12 – y ) + 73y 816 = 804 - 67y + 73y x = 10 816 - 804 = - 67y + 73y 12 = 6y 2=y 143 UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS 3.3 PROPIEDAD PRINCIPAL DE LA MEDIA ARITMETICA La suma algebraica de todos los desvíos de un conjunto de datos con respecto a su media aritmética es igual á cero (0). Ejercicio: 1.- Determinar la suma algebraica de los desvios de los números 3, 6, 9, 10, 12 con respecto a su media aritmética. Yi d 3 3 – 8 = -5 6 6 – 8 = -2 –7 9 9–8= 1 10 10 – 8 = 2 12 12 – 8 = 4 +7 Yi = 40 = Yi –X (Yi-X) = -7 + 7 = 0 X = Yi = 3+6+9+10+12 = 40 = 8 N 5 5 144 UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS 3.4 MEDIAS SECUNDARIAS La media aritmética, la mediana y la moda son consideradas como Las medidas de posición más importantes debido a su utilidad, sencillez y aplicabilidad. Sin embargo, hay circunstancias en que se pueden ser útiles otras de Las medidas de tendencia central como la media geométrica, la media armónica, la media cuadratica y los cuartiles (cuartiles, diciles y percentiles) 145 UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS 3.5 LA MEDIA GEOMETRICA ( G ) Se define la media geométrica como la raíz enésima del producto de "n" términos y se usa generalmente para: a) Promediar razones. b) Tazas de cambio. c) Progresiones geométricas equilibrándolas. d) Promediar promedios de ventas e) Tasa de crecimiento de las poblaciones (esperanza de vida de los pobladores y sus proyecciones) f) Cultivo de bacterias ( número de colonias ) Se determina mediante la aplicación de las siguientes formulas: 1 .- DATOS SIMPLES (FÓRMULA GENERAL): G= n Yi 1 * Yi 2 * … * Yi N 2.- POR LOGARITMOS: G = Antilog Log Yi N 146 UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS 3.- DATOS AGRUPADOS (FÓRMULA GENERAL) G = n Yi 1 ni * Yi 2 ni * … * Yi N ni 4.- POR LOGARITMOS : G = Antilog ni LogYi N 147 UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS Ejercicios: 1.- Calcular la media geométrica y aritmética de los números 2, 4 y 8 y establecer la relación entre los promedios. X = Yi = 2 + 4 + 8 = 14 = 4.667 N 3 3 3 G= N Yi1* Yi2 * Yi3 = 3 2*4*8 = G = Antilog ni log Yi = 1.80617998 N 64 = 4 = Antilog 0.302059993 = 4 3 Log 2 = 0301029995 Log 4 = 0.302059991 Log 8 = 0.903089987 X >G 4.667 > 4 148 UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS 2.- Calcular la media geométrica de -2 y +8 N G= Yi1* Yi2 * Yi3 = -2 * 8 = -16 = 4 i 3.- Calcular la media geométrica de los números 7, 8, 9, 10 y 0 5 5 G = 7 * 8 * 9 * 10 * 0 = 0 = 0 CONCLUSIONES : 1. Para cualquier seriede terminos que no sean iguales, la media geométrica es siempre menor que la media aritmética por ser esta ultima fuertemente afectada por los valores extremos. 2. Cuando uno de los valores es negativo la media geométrica es imposible de calcular. 3. Cuando uno de los valores es igual a "0" la media geométrica tambien es igual a "0" y por lo tanto inadecuada. Ejercicio: 1.- Calcular la media geométrica de los números 11 ,13 ,17 ,19 ,23 ,26 ,29 ,332.- 8 G = 8 11 * 13 * 17 * 19 * 23 * 26 * 29 * 33 G = = 2.6433318 * 1010 20.08024282 149 UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS 2.- Calcular la media geométrica del siguiente cuadro de distribución de frecuencia que nos indica el número de pacientes del servicio de obstetricia mediante la aplicación de la aplicación de la formula general y logaritmo. L1 _L2 Yi´-1 _ Yi Yi ni ni Yi Log Yi Ni log Yi 45 –55 45.5 – 54.5 50 4 200 1.698970004 6.795880017 55 – 65 55.5 – 64.5 60 12 720 1.77815125 21.337815 65 – 75 65.5 – 74.5 70 20 1400 1.84509804 36.9019608 75 – 85 75.5 – 84.5 80 10 800 1.903089987 19.03089987 85 – 95 85.5 – 94.5 90 4 360 1.954242509 7.816970038 ni.Yi = 3480 ni logYi =91.88352573 N = 50 150 UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS 3. Calcular G por la fórmula general y por logarítmica de la siguiente distribución de frecuencias _ _ X = ni Yi = 3480 N = 69.6 X>G 50 a) Fórmula General N G = Siempre b) ni Yi 1 ni * ni Por logaritmos G = Antilog ni log Yi Yi2 * Yi3 N G = Antilog 91.88352573 50 50 G = 50 4 * 60 12 * 70 20 * 80 10 * 904 G = 68.81300359 G = G Antilog 1.837670515 = 68.81300359 151 UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS 4. Calcular la media geométrica de los siguientes cuadros de frecuencias: Y´ I - 1 - Y´ Í YÍ Ní Log Y Í NiLogY I 200 - 224 212 26 2.326335861 60.48473238 225 - 249 237 21 2.374748346 49.86971527 250 - 274 262 39 2.418301291 94.31375036 275 - 299 287 52 2.457881897 127.8098586 300 - 324 312 30 2.494154594 74.82463782 325 - 349 337 24 2.527629901 60.66311762 350 - 374 362 14 2.558708571 35.82191999 N = niLogYi = 206 503.787732 G = Antilog niLogYi N = Antilog 503.787732 206 G = Antilog (2.445571514) = 278.979 152 UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS 5. Calcular G del siguiente cuadro de distribución de frecuencia haciendo uso de: Fórmula general: G= G= L1 - L2 Yi1 - Yi Yi ni Log Yi 1,495 - 1,545 1,50 - 1,54 1,52 5 0,181843587 154,5 - 1,595 1,55 - 1,59 1,57 12 1,145899652 1,595 - 1,645 1,60 - 1,64 1,62 40 0,209515014 1,645 - 1,695 1,65 - 1,69 1,67 26 0,222716471 1,695 - 1,745 1,70 - 1,74 1,72 11 0,235528446 1,745 - 1,795 1,75 - 1,79 1,77 6 0,247973266 N=100 LogYi=1,24347644 6 152 . x157 . x1.62 x1.67 x1.72 x1.77 6 19.65515348 G = 1.642779999 153 UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS 6. Calcular la media geométrica de las estaturas de 100 alumno de la Universidad distribuidos de acuerdo a la siguiente tabla mediante : a. La fórmula general b. Mediante Logaritmos Y´ I - 1 - Y´ Í YÍ Ní Log Y Í 1.50 - 1.54 1.52 5 0.181843587 0.909217939 1.55 - 1.59 1.57 12 0.195899652 0.2350795829 1.60 - 1.64 1.62 40 0.209515014 0.8380600582 1.65 - 1.69 1.67 26 0.222716471 0.579062825 1.70 - 1.74 1.72 11 0.235528446 0.2590812916 1.75 - 1.79 1.77 6 0.247973266 0.1487839598 N = 50 G = 100 niLogY I niLogYi = 21.50989511 1.52 5 * 1.57 1 2 * 1.62 4 0 * 1.67 2 6 * 1.72 1 1 * 1.77 6 G = Antilog niLogYi N = 21.50989511 100 G = Antilog (0.2150989511) = 1.640963613 154 UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS 7. Calcular la media geométrica de los siguientes cuadros de frecuencias : Y´ I - 1 - Y´ Í YÍ Ní Log Y Í niLogY I 200 - 224 212 26 2.326335861 60.48473238 225 - 249 237 21 2.374748346 49.86971527 250 - 274 262 39 2.418301291 94.31375036 275 - 299 287 52 2.457881897 127.8098586 300 - 324 312 30 2.494154594 74.82463782 325 - 349 337 24 2.527629901 60.66311762 350 - 374 362 14 2.558708571 35.82191999 niLogYi = N = 216 631.5975907 G = Antilog niLogYi = Antilog 503.787732 N 216 G = Antilog (2.332350611) = 214.9565144 155 UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS 3.5.1 TASAS DE CRECIMIENTO DE LAS POBLACIONES Una de las aplicaciones de la estadística es para determinar la tasa de crecimiento de las poblaciones. Todos los países que desean proyectarse hacia el futuro tienen que trazarse planes de desarrollo y en el caso del Perú, este estudio es elaborado por el Instituto Nacional de Estadística e Informática (INEI) con el auspicio del Fondo de Población de las Naciones Unidas y el Centro Latinoamericano de Demografía. El censo de 1993 nos señalo las siguientes proyecciones de la población del Perú entre 1995 y 2025. 1. Uno de los principales factores que explicó la disminución de la tasa de crecimiento poblacional en el Perú de 2.9% en el quinquenio de 1960 -1965 ha disminuido a 1.7% en el quinquenio de 1990 -1995, se debe al decremento de la tasa de fecundidad. Si entre 1960 y 1965, una mujer peruana tenía un promedio de 6.9 hijos en el quinquenio de 1990-1995 es de 3.4 hijos en promedio, estimándose que para el año 2025 el número promedio de hijos al término de un período reproductivo será de 2.1 por mujer. Según el estudio del número promedio de hijos por mujer genera una reducción de la tasa de natalidad con una clara tendencia decreciente. 156 UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS 2. En el período l960-l965 la tasa era de 46.3 nacimientos por cada mil habitantes, mientras que en el quinquenio de l990 -l995 la proporción era de 27.6 por cada mil. Para el año 2005 se proyecta un crecimiento de l6.2 nacimientos por cada mil pobladores. El INEI informó que en los últimos 10 años se ha reducido de 82 a 56 defunciones por cada mil nacidos vivos proyectándose para el 2025 en 45 las defunciones de menores de un año. 3. La esperanza de vida al nacer también ha variado. La población peruana a aumentado de 44 años en el quinquenio de l940 -l945 a 67 años en el periodo de l990-l995. 4. Se estima que el periodo de vida de los será de 75 años. Esta disminución en las tasas de mortalidad infantil y el aumento de la esperanza de vida se ha manifestado pr incipalmente en el área urbana. 5. En el año 2025 más de la mitad de la población tendrá 32 años en los próximos 30 años la estructura por edades de la población cambiará significativamente. 6. La edad mediana de la población que en 1965 era de 18 años en 1995 alcanza los 21.6 años y en 2025 será de 31.7 años como resultado de los descensos del ritmo de fecundidad y mortalidad. 7. Al analizar la estructura de la población por grandes grupos de edades, se señaló que en el período 1995 -2025 la proporción de la pobl ación menor de 5 años disminuirá del 12% al 8%. 8. La población en edad de trabajar de (15 a 64 años) aumentará de 60% al 68% y el porcentaje de la población mayor de 65 años se incrementará del 4% al 9% de la población total. 9. En términos absolutos, la pobl ación menor de 15 años se mantiene en torno a los 8.4 millones con tendencias a decrecer, también las personas de 65 años ó más se triplicará para pasar de 1 a 3 millones. 157 UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS 10. La población de 15 a 64 años se incremento en 10 millones al pasar de 14 a 24 millones en el período de 1995 -2025. 11. En el 2025 habrá 9.39 millones de alumnos de nivel primaria con un incremento de 11000 alumnos promedio por año entre el período de 2005 a 2025. 12. Al 2015 los requerimientos de maestros para atender los servicios de enseñanza en nivel primaria será 168 mil. 13. La población de adultos mayores de 60 años crece anualmente 2.5%, mientras que la población de 0 a 60 años se incrementó en 1.7%. En América Latina al comenzar el próximo siglo los mayores de 60 años superarán el 10% poblacional. 14. En América Latina ya existen países en los que hay más del 10% de mayores de 60 años, ejemplo: Chile, Cuba, Argentina, Urug uay. En el Perú de acuerdo a las cifras del último censo la población mayor de 60 años corresponde al 6.4% sobre un total de 23´854,017. La proyección de mayores de 60 años en el Perú para el 2000 es de 6.97%. Lo que se traduce 1´833,000 de una población t otal de 26´275,504 habitantes. 158 UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS FÓRMULA PARA CALCULAR LA TASA DE CRECIMIENTO DE LAS POBLACIONES: n G= A B - 100 % A = POBLACIÓN DEL ÚLTIMO CENSO B = POBLACIÓN DEL CENSO TOMADO COMO BASE N = DIFERENCIA EN AÑOS ENTRE UNO Y OTRO CENSO G = TASA DE CRECIMIENTO 159 UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS Ejercicio: Considerando los resultados de los censo de población y vivienda realizados en Perú determinar: a. La tasa de crecimiento entre censo y censo b. La población del Perú para los años 2000, 2010, 2020, 2030, 2040, 2050. c. En qué año se duplicará la población de 1997 Año de censo Tiempo ti/x Población/yi 1940 0 7023,1 1961 21 10420,4 1972 32 14121,6 1981 41 17762,2 1993 53 22639,4 A G 100 % B n 160 UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS a) N = 1961 - 1940 = 21 A = 10,420.4 B = 7.023.1 21 10420 7.0231 - 100% = 1.018966222 - 100% 101.8966222% - 100% = 1.8966222% G = 1.8966222% b) N = 1972 - 1961 = 11 A = 14.121.6 B = 10.420.4 G= 11 12121.6 - 100% = 1.028016194 - 100% 10420.4 G = 102.8016194% - 100% G = 2.8016194% 161 UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS c) N = 1981 - 1972 = 9 A = 17762.2 B = 14121.6 G= 17762.2 - 100% = 1025812754 - 100% 141216 . G = 102.58812754 - 100% G = 25812754% d. N = 1993 - 1981 = 12 A = 22639.4 B = 17762.2 G= 22639.4 - 100% = 1020424036 - 100 17762.2 G = 1020424036% - 100% G = 20424036% Tomado cinco años base la población del año 2000 Datos: N =2000-1993=7 Elevando ambos miembros a la séptima potencia A2000 = X200 B1993 = 22’639.4 Tasa de crecimiento (g1) = 1.020424036 162 UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS FORMULA PARA DETERMINAR LAS PROYECCIONES DE POBLACION La fórmula para determinar las proyecciones de la población a futuro es la misma de la tasa de crecimiento sin considerar el 100 %. Nota: Dado que en el Perú no hay una política de censos, la tasa de crecimiento a futuro es la que se obtuvo en el último censo. Cuando hay igual amplitud entre uno y otro censo, la tasa de crecimiento a futuro es el promedio. G= N A B Del ejercicio anterior b) N = 2000 – 1993 = 7 A2000 = ? B1993 = 22’639.4 G = 1.020424036 163 UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS Población para el 2000 Población para el 2010 7 1.02042403581 = __A___ 1.02042403581 = __A___ 22’639.4 1.152032565 = __A___ 26’08132.06 1.224071521 = 22’639.4 __A___ 26’081.32606 A = 1.224071521 * 26’081.32606 A = 1.152032565 * 22’639.4 A = 31925.40847 A = 26081.32605 A = 31’925408.47 A = 26’08132.06 Población para el 2030 Población para el 2020 1.02042403581 = 1.02042403581 = __A___ __A___ 10 39078.98332 31’925.40847 1.224071521 = __A___ 1.224071521 = 31’925.40847 __A___ 39078.98332 A = 1.224071521 * 31’925.40847 A = 1.224071521 * 39078.98332 A = 39078.98332 A = 47835.47057 A = 39’078983.32 A = 47’835470.57 164 UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS Población para el 2050 Población para el 2040 10 1.02042403581 = 1.224071521 = A 47835.47057 A 47835.47057 1.02042403581 = 1.224071521 = A 58554.03724 A 58554.03724 A = 1.224071521 * 47835.47057 A = 1.224071521 * 58554.03724 A = 58554.03724 A = 71674.32945 A = 58’554037.24 A = 71’674329.45 C). Cuando de duplicara y triplicara: Se duplicará : N 1.02042403581 = 2 ( 26081.32606 ) 26081.32606 N = 0.301029995 0.008780679 1.02042403581 = N 2 = 2 1/N N = 34.28322364 Aplicando logaritmos : Log 1.02042403581 = 1 Log2 N N= Se duplicará el 2000 + 34.28 =2034 Log 2 Log 1.02042403581 165 UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS Se triplicará : 1.02042403581 = 3 ( 26081.32606 ) N= 26081.32606 0.477121254 0.008780679 1.02042403581 = N 3 = 3 1/N N = 54.33762636 Aplicando logaritmos : Log 1.02042403581 = 1 Log3 N N= Se triplicará el 2000 + 54.34 =2054 Log 3 Log 1.02042403581 166 UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS 3.6 MEDIA ARMONICA (H) Se define la media armónica como la recíproca de la media aritmética de los recíprocos de los números y se caracteriza por la menor afectada por los valores extremos, razón por la cual se le utiliza para: ◊ Promediar tasa de productividad ◊ Promediar velocidad ◊ Promediar valores que no deben su afectos por los valores extremos ◊ En relaciones industriales para pagar en forma justa de acuerdo al rendimiento a los obreros y empleados. Se determina mediante la aplicación de: DATOS SIMPLES DATOS AGRUPADOS H =. N . H = . N . 1 Yi ni Yi 167 UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS Ejercicios: 1.- Al calcular la media armónica de los números 2, 4, 8 DATOS SIMPLES H =. N . 1 Yi H =. N . = 1 Yi 3 1 + 1 + 1 2 4 8 = 3 4+2+1 8 = 24 = 3.248571429 7 H = 3.248571429 168 UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS 2.- Calcular la media armónica del siguiente cuadro de distribución de frecuencias. L1 _L2 Yi´-1 _ Yi Yi ni ni/Yi 1.495 - 1.545 1.50 - 1.54 1.52 5 3.289473684 1.545 - 1.595 1.55 - 1.59 1.57 12 7.643312102 1.595 - 1.645 1.60 - 1.64 1.62 40 24.69135802 1.645 - 1.695 1.65 - 1.69 1.67 26 15.56886228 1.695 - 1.745 1.70 - 1.74 1.72 11 6.395348837 1.745 - 1.795 1.75 - 1.79 1.77 6 3.389830508 N = 100 H =. N . = 100 ni Yi 60.97818543 = ni/Yi = 60.97818543 1.639930720 169 UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS 3.6.1 TASA DE PRODUCTIVIDAD Una de las aplicaciones de la media armónica es para promediar tasas de productividad de obreros y empleados debido a que no es influenciada por los valores externos como sucede con otros promedios, razón por la cual debe ser utilizada en todo tipo de empresas para pagar en forma justa y de acuerdo a su rendimiento. Ejercicios: 1.- Un laboratorio de productos farmacéuticos ha asignado a que un grupo de 4 trabajadores para completar una orden de 700 artículos de un mismo tipo. Las tasas de productividad de cada uno de los trabajadores están dadas a continuación. Trabajadores Tasa de productividad H 4 mint. por art. I 6 mint. por art. J 10 mint. por art. K 15 mint. por art. 170 UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS Determinar : a) El promedio de minutos por producto para el grupo de trabajadores. b) En qué tiempo estará listo el pedido c) Qué cantidad de productos se entregara a cada trabajador d) Si por cada producto que entrega el trabajador recibe s/.0.50 ¿ Cuanto tendrá que abonarse a cada uno de los trabajadores y cuanto tendrá que abonar la empresa por derecho de mano de obra? Solución : 4 a) = 1+1+1+1 4 b) 4 15 +10 + 16 + 4 6 10 15 48 __ 1 X = 700 * 48 7 __ 700 = 35 48 = 6.857142857 7 60 7 X = 240 Estará listo en 4800 minutos lo que equivale a 80 horas. X = 4 800 171 UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS c) Si demora 4800 minutos, cada uno tendrá 1200 minutos H _ 1200 / 4 300 I _ 1200 / 6 200 J _ 1200 / 10 120 K _ 1200 / 15 80 700 d) H _ 300 * 0.50 150 I _ 200 * 0.50 100 J _ 120 * 0.50 60 K _ 80 * 0.50 40 350 e) 7000 * 6 6/7 700 * 48 = 4800 7 4800 = 1200 = 20 horas 1er _ 8 2do _ 8 3er _ 4 equivale a 2 días y medio 20 172 UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS 3.7 MEDIA CUADRATICA (R.M.S) Se define la media R.M.S como la raíz cuadrada del cuadrado de la media y que se le utiliza para la determinación de: 1. Investigaciones de laboratorio 2. Aplicaciones físicas y químicas 3. Para la determinación de la desviación estándar se determina mediante la aplicación de las siguientes fórmulas: DATOS SIMPLES DATOS AGRUPADOS RMS = Yi2 N RMS = ni.Yi2 N 173 UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS Ejercicios 1.- Calcular la media cuadrática de los números 2, 4, y 8. RMS = 22 + 42 + 82 = 4 + 16 + 64 = 3 84 3 = 5.29150262 3 2.- Calcular la RMS del siguiente cuadro de distribución de frecuencia. L1 _L2 Yi´-1 _ Yi Yi ni Yi2 ni Yi2 45 - 55 45.5 - 54.5 50 4 2500 10000 55 - 65 55.5 - 64.5 60 12 3600 43200 65 - 75 65.5 - 74.5 70 20 4900 98000 75 - 85 75.5 - 84.5 80 10 6400 64000 85 - 95 85.5 - 94.5 90 4 8100 32400 N = 50 ni.Yi2 = 247 600 174 UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS Solucion: RMS = ni.Yi2 N = 247600 = 4952 = 70.37044834 50 RELACIÓN DE PROMEDIOS En un conjunto de números positivos se pueden establecer la siguiente relación entre los promedios: R.M.S > X > G > H 175 UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS Ejercicios: 1.- Calcular la relación de los promedios de los números 2, 4, y 8. _ X = Yi = N G = log N 14 = 4.6 3 = 1.806179974 = Antilog.0.602059624 N RMS = 4 3 Yi2 N H = = = 5.291502622 RMS > X > G > H N = 3 = 3 __ = 3*8 5.29 > 4.67 > 4 > 3.43 1 1+1+1 4+2+1 7 Yi 2 4 8 8 = 24 = 3.428571429 7 RMS > X > G > H 5.29 > 4.67 > 4 > 3.43 176 UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS 3.8 LA MEDIANA (Md) Es el valor que impide a una distribución de modo tal que a cada lado de ella queda un número igual de términos. CÁLCULO DE LOS MD PARA DATOS SIMPLES: La medida de un conjunto de datos ordenados según su magnitud es el valor central en el caso de un número impar de datos o la media aritmética de los dos valores centrales en el caso de un número par de datos. Ejemplos : a) 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 Md = 5 b) 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 10 Md = 1 (5 + 7) 2 Md = 6 177 UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS CALCULO DE LA MD PARA DATOS AGRUPADOS PONDERADOS O CLASIFICADOS Se determina por interpelación mediante la aplicación de los siguientes fórmulas: Md = L1 + N - ( Ni)1 2 niMd i Donde : L1 = Limite real inferior de la clase mediana. N 2 = Mitad del total de frecuencias absolutas. ( Ni)1 = Frecuencia acumulada anterior de la clase mediana. ni Md = Frecuencia de la clase mediana "i" ó "c" = Amplitud de clase. 178 UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS NOTA: La formula de la mediana a diferencia de otros promedios necesita de un proceso previo para determinar en qué clase está contenida la mediana. El proceso consiste en: 1. Construir la columna de frecuencias acumuladas Ni. 2. Determinar el valor N/2 y buscar en cual de las frecuencias acumuladas menores está contenido, esto nos indicará cual es la clase que contiene a la mediana. 3. Determinar los datos y aplicar la formula. Ejercicios: 1.- Determinar la mediana del siguiente cuadro de distribución de frecuencias. L1 - L2 Yi ni Ni 45 - 55 50 4 4 55 - 65 60 12 16 70 20 36 75 - 85 80 10 46 85 - 95 90 4 50 65 Yi'-1 - Yi - 75 Clase Mediana N = 50 179 UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS Proceso : 1.- Determinar los datos. Proceso 1) Ni 2) N/2 = 50 = 25 2 Un número en Ni que sea el menor que contenga a 25, en este caso es el 36 por lo tanto todo esa recta es la clase MD Datos: L1 = 65 N/2 = 25 (ni)1 = 16 un número anterior a la clase mediano Nimd = 20 i ó c = 10 L1 = 65 N = 50 =25 2 2 (Ni)1 = 16 ni Md = 20 "i" 10 = Md = 65 + 25-6 10 20 Md = 65 + 90 20 Md = 65 + Md = 69.5 4.5 180 UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS Ejercicio: Calcular la mediana de los siguientes cuadros de la distribución de frecuencia: L1 - L2 Yi1 - Yi 1,495 - 1,545 Yi ni Ni 1,50 - 1,54 5 5 1,545 - 1,595 1,55 - 1,59 12 17 1,595 - 1,645 1,60 - 1,64 40 57 1,645 - 1,695 1,65 - 1,69 26 83 1,695 - 1,745 1,70 - 1,74 11 94 1,745 - 1,795 1,75 - 1,70 6 100 100 181 UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS DATOS: L1 = 1.595 N/2 = 50 (ni) = 17 Nimd = 40 i = 0.05 N ( n i)1 2 L1 m i / m d Md = 1.595 + (50-17) = 0.05 40 Md = 1.595 + 1.65 40 Md = 1.595 + 0.04125 Md = 1.636625 182 UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS 3.9 LA MOD A En términos psicológicos la moda es aquello de mayor aceptación popular. En estadística la moda conocida también como modo o media modal es el valor que se repite con mayor frecuencia, lo que equivaldría a decir que es el término, número o valor que está de moda. 3.9.1 CALCULO DE LA MODA PARA DATOS SIMPLES Puede o no tener moda o no ser única. a) 2 , 3 , 4, 5 , 6 , 7 , 8 , 10 No existe b) 2 , 3 , 4 , 5 , 5 , 5 , 7 , 8 , 9 Unimodal Mo = 5 c) 2 , 3 , 3 , 3 , 4 , 6 , 6 , 6 , 7 , 8 Bimodal Mo = 3 y 6 d) 2 , 3 , 3 , 3 , 4 , 6 , 6 , 6 , 7 , 9 , 9 , 9 Multimodal Mo = 3 , 6 y 9 183 UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS 3.9.2 C A L C U L O D E L A M O D A P A R A D A T O S A G R U P A D O S : Se determina por interpolación mediante la aplicación de la siguiente fórmula : Mo = L1 + d1 i d1 +d2 DONDE : l1 = lImite real inferior de la clase modal d1 = Diferencia entre la mayor frecuencia de clase y la frecuencia de la clase contigua anterior. d2 = Diferencia entre la mayor frecuencia de clase y la frecuencia de la clase contigua posterior ó superior. "i" = Amplitud de clase NOTA: La clase modal es aquella que tiene la mayor frecuencia de clase. 184 UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS Ejercicios: 1.- Calcular la moda del siguiente cuadro de distribución de frecuencias. L1 - L2 Yi'-1 - Yi Yi Ni 45 - 55 50 4 55 - 65 60 12 70 20 d1 d1 65 - 75 Clase modal d2 75 - 85 80 10 85 - 95 90 4 Datos : L1 = 65 d1 = 20 - 12 = 8 d2 = 20 - 10 = 10 "i" = 10 185 UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS Reemplazando : Mo = 65 + 8 10 8 + 10 Mo = 65 + 80 18 Mo = 65 + 4.44 Mo = 69.44 Ejercicio: Determinar la moda del siguiente cuadro de distribución de frecuencia: L1 - L2 Yi1 - Yi Yi ni 1,495 - 1,545 1,50 - 1,54 1,52 5 1,545 - 1,595 1,55 - 1,59 1,57 12 1,595 - 1,645 1,60 - 1,64 1,62 40 1,645 - 1,695 1,65 - 1,69 1,67 26 1,695 - 1,745 1,70 - 1,74 1,72 11 1,745 - 1,795 1,75 - 1,70 1,77 6 N= 100 186 UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS Datos: L1 = 1.595 d1 = 28 d2 = 14 i ó c = 0.05 Mo = 1.595 + 28 x 0.05/42 Mo = . ( 28) 1595 0.05 28 14 Mo = 1.6283333333 187