Taller 01-01-13-CalDIf-UN

Universidad Nacional de Colombia
Departamento de Matemáticas
1000004 Cálculo Diferencial - Grupos 10 y 15
Taller n◦ 1
(i) Encuentre el dominio y trace la gráfica de la función:
(a) f (x) =
4 − t2
2−t
(b) g(x) =
|x|
x2
(c) h(x) =
3x + |x|
.
x
(ii) Exprese el área de un triángulo equilátero como función de la longitud de uno de sus lados.
(iii) Debe construirse una caja con su parte superior abierta a partir de un trozo rectangular de cartón que tiene las
dimensiones de 12 pulgadas por 20 pulgadas, recortando cuadrados iguales de lado x en cada una de las esquinas
y, a continuación, doblando las lados hacia arriba. Exprese el volumen de la caja como función de x.
(iv) Encuentre una ecuación para la familia de funciones lineales con pendiente 2.
(v) Hallar una expresión para una función cúbica f si f (1) = 6 y f (−1) = f (0) = f (2) = 0.
(vi) Haga un esbozo a mano de cada una de las siguientes funciones:
(a) f (x) = 1 + 2 cos(x)
(b) g(x) = 4 sen(3x)
1
π
(d) y = tan x −
.
4
4
1
(c) h(x)
x−4
(vii) ¿Cómo se relaciona la gráfica de y = f (|x|) con la gráfica de f ?. Dibuje y = sen(|x|) y y =
p
(viii) Exprese la función H(x) = 8 2 + |x| como la composición de tres funciones.
p
|x|.
(ix) Se infla un balón esférico y el radio del mismo se incrementa a una velocidad de 2cm/seg.
(a) Exprese el radio r del balón como expresión del tiempo t (en segundos).
(b) Si V es el volumen del balón como función del radio, halle V ◦ r e interprete.
(x) Seab f y g funciones lineales con ecuaciones f (x) = m1 x + b1 y g(x) = m2 x + b2 . ¿Es f ◦ g también una función
lineal?. Si es ası́, ¿cuál es la pendiente de su gráfica?
(xi) Suponga que f y g son pares. ¿Qué puede dacir acerca de la paridad de f + g, f g y f ◦ g?. ¿Y si f y g son
impares?
(xii) Suponga que g es una función par y sea h = f ◦ g. ¿Es h siempre una función par?.
(xiii) Trace la gráfica de f , donde a = 2:
(a) f (x) = ax
(b) f (x) = −ax
(c) f (x) = ax + 3
(d) f (x) = ax−3
(e) f (x) = a−x .
(xiv) Trace la forma general de la gráfica de la función exponencial para cada uno de los siguientes casos:
(a) a > 1
(b) a = 1
(c)0 < a < 1.
(xv) (a) ¿Cómo se define el número e?
(b) ¿Cuál es la función exponencial natural? ¿Cuál es su dominio? ¿Cuál es us rango?
1
(xvi) Realice un bosquejo de la gráfica de la función dada y, en cada caso, especifique el dominio y rango.
(a) y = 4x − 3
(b) y = 4x−3
1
(b) y = 1 − e−x
2
(a) y = 1 + 2ex
(c)y = −2−x
(c)y = 2(1 + e−x ).
(xvii) Encuentre el dominio de cad función:
(a) f (x) =
1
1 + ex
(b) g(x) =
1
1 − ex
(c) h(t) =
√
1 − 2t .
(xviii) Se sabe que en condiciones ideales cierta población de bacterias se duplica cada tres horas. Suponga que al
principio hay 100 bacterias.
(a) ¿Cuál es el tamaño de la población después de 15 horas?
(b) ¿Cuál es el tamaño de la población después de t horas?
(c) Estime el tamaño de la población después de 20 horas.
(d) Dibuje la función de población y estime el tiempo que se requiere para que la población llegue a 50000.
(xix) Muestre que la función:
1 − e1/x
1 + e1/x
es impar. Use un sistema computacional para hacer su gráfica.
f (x) =
(xx) Escribe con sus palabras qué significa que una función sea uno a uno o inyectiva.
(xxi) ¿Qué relación existe entre el dominio y rango de f −1 con el dominio y rango de f ?
(xxii) Si le dan la gráfica de f , ¿cómo obtiene la de f −1 ?
(xxiii) Sea f (x) = 3 + x2 + tan(πx/2), donde −1 < x < 1. Encuentre f −1 (3) y f (f −1 (5)).
(xxiv) Encuentre una fórmula para la función inversa de cada una de las funciones dadas. Especifique el dominio y
rango de la inversa.
(a) f (x) =
√
10 − 3x
(b) g(x) =
4x − 1
2x + 3
(c) h(t) = ln(x + 3)
(d) y =
ex
.
1 + 2ex
(xxv) (a) ¿Cómo se define la función logarı́tmica y = loga (x)?
(b) ¿Cuál es el dominio de esta función?
(c) ¿Cúal es su rango?
(d) Trace la forma general de la gráfica de la función y = loga (x) si a > 1.
(xxvi) Haga un trazo aproximado de la gráfica de cada función. No use graficadora.
(a) y = log10 (x + 5)
(b) y = − ln(x)
(c) y = ln(−x)
(d) y = ln |x|.
(xxvii) Resuelva las ecuaciones dadas en los ejercicios 47-50 de las seccción 1.6 del texto guı́a.
(xxviii) Resuelva las desigualdades en los ejercicios 51-52 de las seccción 1.6 del texto guı́a.
√
(xxix) Si f (x) = 3 − e2x , encuentre f −1 , el dominio de f y de f −1 . Haga lo mismo para la función g(x) = ln(2+ln(x)).
2