Ingenieria Economica Blank Tarquin 4ta edicion unidad IV

4.1 En mayo 1 de 1953, una persona abrió una cuenca de ahorro depositando $50
mensualmente en un banco local. Si la tasa de interés sobre la cuenta era del 0.25%
mensual ¿en que mes y año estaría (a) situada P si se utiliza el factor P/A con i = 0.25% y
(b) situada F si se utilizara i = 0.25 y n = 30 meses?
DATOS
a)
Solucion
a ) P  R ( P / A, i  0.25%, t  30)
P  50( 28.8679)
P?
P / A  28 .8679
P  $1443.40
b) F  R ( F / A, i  0.25%, t  30)
t  30 meses
R  $50
F  50(31.1133)
F  $1,555.70
i  0.25 %
b)
F ?
F / A  31 .1133
t  30 meses
R  $50
i  0.25 %
“P” se encuentra situado el 1 de abril de 1953 ya que es un periodo
antes que la renta y “F” durante treinta meses estará situado el 1 de
noviembre de 1955
4.2 Determine la cantidad de din ero que debe depositar una
años para poder retirar $ 10,000 anualmente durante 10 años
15 años si la tasa de interés es del 11% anual.
persona dentro de 3
empezando dentro de
DATOS
F  $12,000
t  18años
t R  6años
i  18%
Solucion
1  1  i  t 
P10  R 
R
i


1  1  0 .11 ( 9 ) 
P10  10 ,000 
  10 ,000
0 .11


P10  $ 65 ,370 .48
P10  F3
P3  F 3 1  i 
t
P3  65 , 370 . 48 1  0 . 11 
P3  $ 18686 .
 ( 12 )
4.3 ¿Cuánto dinero se tendría que depositar durante 5 meses consecut ivos empezando
dentro de 2 años si se desea poder retirar $ 50,000 dentro de 12 años? Suponga que la tasa
de interés es del 6% nominal anual compuesto mensualmente?
DATOS
F  $50,000
t  12 años
t R  5meses
i  6% anual / mensual
Solucion
P  F 1  i pp 
i pp
P  50 ,000 1  6.2% 
P  $24 ,996 .97
12
P *i
t
1  1  i 
24,996.97 6% 
R
(5)
1  1  6% 
R  $5,934.19
R
t
t
J

 1    1
n

 11 .58 
 0.06 
i pp  1 
 1
12 

i pp  6.2%
4.4 ¿Cuánto dinero anual tendría que depositar un hombre durante 6 años empezand o
dentro de 4 años a partir de ahora si desea tener $12,000 dentro de 18 años? Suponga que la
tasa de interés es del 18% nominal anual compuesta anualmente.
DATOS
F  $12,000
t  18años
t R  6años
i  18%
P  F 1  i
R

t
P  (12 ,000 )1  18 % 
P  $3,192 .46
 12 
R
P *i
1  1  i 
3,192.46 18% 
t
1  1  18% 
R  $1,553.80
( 6)
4.5 Calcule el valor presente de las siguientes series de ingresos y gasto si la tasa de interés
es del 8% anual compuesto anualmente.
Años
0
1-6
7-11
Ingreso $
12,000
800
900
Gasto $
1,000
100
200
Solución
R  I G
R0  12,000  1,000  11,000
R16  800  100  700
R7 11  900  200  700
R111  $700anual
 1  (1  i )  t 
  R
P111  R111 
i


 (10 )
 1  (1  8%)

  700
P111  700
8
%


P111  $5,397.06
P111  F0
P0  F0 (1  i )  t  R0
P0  5,397 .06 (1  8%)  (1)  11,000
P0  15,997 .27
4.6 ¿Qué depósitos mensuales deben realizarse con el fin de acumular $ 4,000 dentro de 5
años, si el primer depósito se realizara en 6 meses a partir de ahora y el interés es un
9% nominal anual compuesto mensualmente?
 Datos:
F = $4,000
J = 9% anual/mensual
n = 12
t = 4.5 años
 Flujo de efectivo:
 Solución:
R
 n   4,000 0.0912  $ 6036 / mes
1  J n nt - 1 1  0.09 n 12*4.5  1
F J
Respuesta: Por lo tanto con el fin de acumular los $ 4,000 dentro de 5 años deberán
depositarse $ 60. 36 cada mes, pariendo en 6 meses a partir de ahora.
4.7 Si un hombre deposita $ 40,000 ahora en una cuenta que ganara intere ses a una tasa del
7% anual compuesto trimestralmente. ¿Cuánto dinero podrá retirar cada 6 meses si
efectúa su primer retito dentro de 15 años y desea hacer un total de 10 retiros?
 Datos:
F = $40,000
J = 7% anual/trimestral
 Flujo de efectivo:
n=4
t = 14.5 años
 Solución:
F14.5  P (1  J ) nt  40,000 (1  0.07 ) 4*14.5  $ 109,409 80
n
4
J anual/semestral = ?




n
4
i efectivo anual  1  J
- 1  1  0.07
- 1  0.072  7.2% anual
n
4

 

J anual semestral  n 1  i 1 / n - 1  2 1  0.072 1 / 2 - 1  0.071  7.1% anual/seme stral


109,409 80 0.071 
n
2  $ 13,188 76 /semestre
R

 nt
 2 ( 5)
1 - 1  J 
1 - 1  0.071 
n
2
P J
Respuesta: Depositando los $40,000 ahora, el hombre podrá retira r $13,188 76 cada 6 meses
dentro de 15 años.
4.8 ¿Cuál es el valor presente de la siguiente serie de ingresos y desembolsos si la tasa de
interés es del 8% nominal anual compuesto semestralmente?
Año
0
1.5
6.8
9.14
Ingreso $
0
6,000
6,000
8,000
F  P (1  J ) nt
n
Gasto $
9,000
2,000
3,000
5,000
Presente $
9,000
10,123 78 – 6,000 + 2,000 = 6,123 78
9,280 53 – 6,000 + 3,000 = 6,280 53
7,357 59 – 8,000 +5,000 = 4,357 59
J = 8% anual/semestral
4.9 Se desea realizar una inversión de un solo pago en el sexto cumple años de una niña
para entregarle $ 1,500 en cada cumpleaños desde que ella cumpla 17 hasta los 22
años, inclusive en ambos. Si la tasa de interés es del 8% anual. ¿Cuál es la cantidad
global que debe invertirse?
 Datos:
i = 8% anual
R = $ 1,500/anual
P=?
 Flujo de efectivo:
 Solución:
1 - 1  i  t 
1 - 1  0.08 6 
32
P16  R 
  1,500 
  $ 6,934
i
0
.
08




P6 
6,934 32

 $ 3,21193
t
10
(1  i)
(1  0.08)
F
Respuesta: Para poder entregarle $1,500 en cada cumpleaños desde los 17 hasta los 22,
incluyendo ambos, habría que invertir $ 3,21193 en el sexto cumpleaños de la niña.
4.10 Para el diagrama de flujo de efectivo que aparece enseguida, calcule la cantidad de
dinero en el año 4 que seria equivalente a todo el flujo de efectivo que se muestra si la
tasa de interés es del 10% anual.
 Flujo de efectivo:
 Datos:
i = 10% anual
R 1 = $ 500
R2 = $ 800
 Solución:
VTE 4  F4 ( R  $500)  P4 (R  $800)
 1  i t - 1
1  1  i  t 
1
VTE 4  R1 
  R2 

t
i
i



 (1  i)
 1  0.10 5 - 1
1  1  0.10 10 
1
VTE 4  500 

800
  $ 7,52133



1
0.10
0.10



 (1  0.10)
Respuesta: La cantidad de dinero equivalente a t odo el flujo mostrado con anterioridad
ubicada en el año 4 es igual a $ 7,521 33.
4.11 Para el diagrama de flujo de efectivo que aparece enseguida, calcule la cantidad de
dinero en el cuarto año que sería equivalente a todo el flujo de efectivo que se mues tra si la
tasa de interés es de 1% mensual.
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
$500
$800
12
13
14
15
Años
F5=P6
$4,397.08
P01=$2,420.64
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
$800
P 02 = $1,997.18
0
1
2
$500
3
4
12
13
14
15
Años
Flujo de efectivo equivalente:
0=$4,417.82
0
1
4 =$7,122
2
3
4
4.12 Si un hombre deposita $100 mensualmente durante 5 años en una cuenta de ahorros,
efectuando el primer depósito dentro d e un mes. Cuánto tendrá en su cuenta después de
haber efectuado el último depósito, suponiendo que la tasa de interés es del, 0.5% mensual
durante los tres primeros años y 0.75% mensual, de ese momento en adelante.
F5=$7,325.07
R=$100
0
1
11
1
13
23
2
25
F3=P4
35
=0.5%mensual
3
37
47
4
49
=0.75% mensual
F3 con R= $100 mensuales durante los 3 primeros años con i=0.5% mensual:
F5 para el P 3
En los dos años restantes con i=0.75% mensual.
59
Años
5
F
P
4
5
= $ 4 ,7 0 6 .2 2
= $ 3 ,9 3 3 .6 1
Años
3
4
5
= 0 .7 5 % m e n s u a l
F3 con R= $100 mensuales durante los 2 últimos años con i=0.75% mensual:
F5=$2,618.85
F3=P 4
3
37
47
4
49
=0.75% mensual
Valor futuro total en el año 5
4706.22+2618.85
59
Años
5
4.13 Un individuo obtiene en préstamo$8000 a una tasa de interés de 12% nominal anual
compuesto semestralmente; desea reembolsar el dinero efectuando cinco pagos semestrales
iguales, el primer pago sería hecho tres años después de recibir el dinero. ¿Cuál sería el
monto de los pagos?
P21/2=$10,705.8
P=$8000
0
R=$2,541.52
1/2
1
1/2
2
1/2
=6% semestral
J=12% anual/semestral
T=2 ½ años
n=2
3
1/2
4
1/2
Años
5
4.14 Un estudiante que se acaba de graduar en la universidad ha planeado iniciar un fondo
de pensiones. Es su deseo retirar dinero cada año dentro de 30 años empezando dentro de
25 años. El fondo de pensiones gana un interés del 7% si deposita $1000 anual por los
primeros 24 años. ¿Qué cantidad anual uniforme podrá retirar cuando se pensione dentro de
25 años?
F24=P25=$58,177
R=$4,689
$1000
Años
0
1
2
23
24
0
1
2
28
29
30
El valor futuro para el período de ahorro de $1000 anuales, por 24 años con i=7% anual:
La renta anual, durante 30 años, con el principal del período de 24 años con i=7% anual:
4.15 ¿Cuánto dinero se tendrá que depositar cada mes empezando dentro de cinco me ses si
se desea tener $5000 dentro de tres años, suponiendo que la tasa de interés es del 8%
nominal anual compuesto mensualmente?
F=$5000
R=$140.62
0
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
1
13 14
22 23
2
25 26
24 35
J= 8% anual/mensual
n= 12
t=2 2/3 años
Renta mensual, para un valor futuro de $5000, con i=0.67% mensual.
4.16 ¿Cuánto dinero se debe depositar el 1 de enero de 1999 y cada 6 meses a partir de
entonces hasta julio 1 de del 2004, con el fin de retirar $1000 cada 6 meses durante 5 años
empezando el 1 de enero del 2005? El interés es 12% nominal anual comp uesto
semestralmente.
Años
3
 n*t
 
j 
1  1   
n 
P11  R2 *  
j




n


  0.12  10 
 
1  1 
2  


P11  1000 *
0.12




2


P11  $7360.09
P11  F11
 j
F11 *  
n
R2 
n*t
j

1    1
 n
R2 
 0.12 
7360.09 * 

 2 
12
 0.12 
1 
 1
2 

R2  $436.28
Respuesta: Se deben depositar $436.28.
4.17 Una pareja compra una póliza de seguros que tiene planeado utilizar para financiar
parcialmente la educación universitaria de su hija. Si la póliza entrega $35000 dentro de 10
años, ¿Qué depósito global adicional debe efectuar la pareja dentro de 12 años con el fin de
que su hija pueda retirar $20000 anualmente durante 5 años empezando dentro de 18 años?
Suponga que la tasa de interés es 10% anual.
1  1  i  t 
P17  R * 

i


1  1  0.10   t 
P17  20000 * 

0.10


P17  $75815.74
F17  350001  i   x1  i  (*)
7
5
P17  F17 (**)
Igualando (*) con (**) y despejando x tenemos:
x
x
P17  35000(1  i ) 7
1  i 5
75815 .74  35000 (1  0.10) 7
1  0.10 5
x  $4725.61
Respuesta: La pareja debe depositar la suma de $4725.61 en el año 12.
4.18 Un empresario compró un edif icio y aisló el techo con espuma de 6 pulgadas, lo cual
redujo la cuenta de calefacción en $25 mensual y el costo del aire acondicionado en $20
mensual. Suponiendo que el invierno dura los primeros 6 meses del año y que el verano los
siguientes 6 meses, ¿C uál fue la cantidad equivalente de sus ahorros después de los
primeros 3 años a una tasa de interés del 1% mensual?
 1  i 6  1
 1  i 6  1
30
18
6
24
12
0






F36  R1 * 
1

i

1

i

1

i

R
*


 1  i   1  i   1  i 
2
i
i








 1  0.016  1
 1  0.016  1
30
18
6
24
12
0
F36  25 * 
 1  0.01  1  0.01  1  0.01  20 * 
 1  0.01  1  0.01  1  0.01
0
.
01
0
.
01








F36  $972.44
Respuesta: La cantidad equivalente a sus ahorros es $972.4 4
4.19 ¿En qué año tendría una persona que hacer un solo depósito de $10000 si ya venia
depositando $1000 cada año durante los años 1 a 4 y desea tener $17000 dentro de
dieciocho años? Use una tasa de interés del 7% anual compuesto anualmente.
F18  P18 x (1  i ) x
log( F18 )  log( P18 x )
log(1  i )
log(17000)  log(10000)
x
log(1  0.07)
x8
x
t=18-x
t=18-8=10
Respuesta: La persona debe hacer el depósito dentro de 10 años.
4.20 Calcule el valor de x en el flujo de efectivo que se muestra a continuación, de forma
que el valor total equivalente en el mes 4 sea $ 9000 utilizando u na tasa de interés de 1.5%
mensual.
Mes
0
1
2
3
4
5
Flujo de efectivo
200
200
600
200
200
x
Mes
6
7
8
9
10
11
Flujo de efectivo
x
x
x
900
500
500
Llevando todos los flujos hacia su correspondiente valor en el mes 4, sumándolos e
igualándolos a 9000 tenemos:
 1  0.015 5  1
1  1  0.015 4 
900
500
500
2
9000  200 * 


  400(1.015)  x 

5
6
7
0.015
0.015



 1.015 1.015 1.015
De donde:
x  $1508.47
Respuesta: El valor de x es $1508.47.
4.21-Encuentre el valor de x en el diagrama a continuación, de manera tal que los flujos de
efectivos positivos sean exactamente equivalente a los flujos de efectivos negativos si la
tasa de interés es del 14% anual compuesto semestralmente.
Haciendo la equivalencia de la tasa de interés.
  j  n  
  14 %  2  


i   1     1 x100 , i  1  
   1 x100  14 .49 %
  n   
  2   
Flujos de efectivos Positivos
P1  800 *
 1  1  i  t 
 1  1  14.49% 2 
 = 1000 
  1,636.33 ;
P2  A



i
14.49%




1,636.33
P2 
 1,248.35 *
1  14.49% 2
 1  1  14.49% 2 
1,963 .6
  1,963.6 ; P3 
P3  1200 
 998 .19 *

14.49%
1  14.49% 5


3x
P4 
 0.78 x *
1  14.49% 10
Principal Positivo = ∑ Pn = P 1 + P2 +P3 + P4 = 3,046.54 + 0.78x
Flujos de Efectivos Negativos
500
P1 
 381.51 *
1  14.49% 2
x
P2 
 0.51x *
1  14.49% 5
2x
P3 
 0.68 x *
1  14.49% 8
Principal Negativo = ∑ Pn = P 1 + P2 +P3 = 381.51 + 0.51x + 0.68x = 381.51 + 1.19x
Principal Positivo = Principal Negativo
3,046.54 + 0.78x = 381.51 + 1.19x donde
X = $6,500.07 es el valor que haría los ingresos y desembolsos iguales
4.22- En el siguiente diagrama encuentre el valor de x que aria el valor presente equivalente
del flujo de efectivo igual a $22,000, si la tasa de interés es del 13%
$5x
P t = 22,000
x
P1 
 0.78 x *
1  13% 2
5x
P2 
 1.30 x *
1  13% 11
 1  1  13% 7 
  4,422.61  P3  4,422 .612  3,463 .552 *
P3  1000 

13%
1  13% 


Principal = ∑ Pn = P 1 + P2 +P3 = -0.78x + 1.3x + 3,463.552
Si P t = 22,000
Entonces
22,000 = -0.78x + 1.3x + 3,463.552
Donde X = $35,647.02 sería el valor que haría el principal equivalente a $22,000
4.23- Calcule la cantidad de dinero en el año 7 que seria equivalente a los siguientes flujos
de efectivos si la tasa de interés es del 16% nominal anual compuesta trimestralmente.
Año
Cantidad $
0
900
1
900
2
900
3
900
4
1,300
5
1,300
6
1,300
7
500
8
900
9
900
Haciendo la Equivalencia
  j  n  
  16 %  4  
i  1      1 x100 , i  1  
   1 x100  16 .99 %
  n   
  4   
Pt=∑Pn
P1  900 *
 1  1  i  t
P2  A
i

 1  1  16.99% 3 

  1988.95 *
 = 900 



16
.
99
%



 1  1  16.99% 3 
  2,872.93  P3  2,872 .93 3  1794 .23 *
P3  1300 

16.99%
1  16.99% 


500
P4 
 166 .7 *
1  16.99% 7
Principal = ∑ Pn = P 1 + P2 +P3 + P4 = 4,849.88
F  P (1  i ) t  4,849.88(1  16.99%) 7  $14,546.96 Es la cantidad de dinero en el año 7.
4.24 Determine los pagos anuales uniformes que serian equivalentes al flujo efectivo que
aparece a continuación. Utilice la tasa de interés del 12 % anual.
 1  1  i  t
P1  A
i

 1  1  12% 4 

 = 1,200 
  3,644.82 *



12
%



 1  1  12% 3 
  4,803.66  P2  4,803.664  3,052.81 *
P2  2,000 

12%
1  12% 


3,000
P3 
 1,211.65 *
1  12% 8
2,000
P4 
 721.22 *
1  12% 9
Principal = ∑ Pn = P 1 + P2 +P3 + P4 = 8,630.5
Pi
8,630.5(12%)

 $1,619.76
t
1  (1  i )
1  (1  12%) 9
Serían los pagos anuales uniformes que serían equivalentes a los flujos mostrados.
A
4-25 Calcule el valor anual (del año 1 hasta el año 10) de la siguiente serie de desembolso
Suponga que i = 10% anual compuesto semestralmente.
Año
0
1
2
3
4
5
Desembolso $
3,500
3,500
3,500
3,500
5,000
5,000
Año
6
7
8
9
10
Desembolso $
5,000
5,000
5,000
5,000
15,000
Haciendo la equivalencia
  j  n  
  10 %  2  


i   1     1 x100 , i  1  
   1 x100  10 .25 %

2

  
  n   

Haciendo un solo principal
P1  3,500 *
 1  1  10.25% 3 
  8,665.82 *
P2  3,500 

10.25%


 1  1  10.25% 6 
  21,617.69  P3  21,617.69 3  16,131.45 *
P3  5,000 

10.25%
1  10.25% 


15,000
P4 
 5,653.34 *
1  10.25% 10
Principal = ∑ Pn = P 1 + P2 +P3 + P4 = 33,950.61
Pi
33,950.61(10.25%)

 $5,584.78
t
1  (1  i )
1  (1  10.25%) 10
Sería el valor anual de la serie de desembolso
A
4.26 Una compañía petrolera está planeando vender unos pozos de petróleo existentes. Se
espera que los pozos produzcan 100 ,000 barriles de petróleo anualmente durante 14 años
más. Si el precio de venta por barril de petróleo es actualmente $35. ¿Cuánto se están
dispuesto a pagar por los pozos si se espera que el precio del petróleo disminuya en $2 por
barril cada 3 años, si la primera disminución ocurre inmediatamente después de la
iniciación, del año 2? Suponga que la tasa de interés es 12% anual y que las ventas de
petróleo se realizan al final de cada año .
t  14años
PB  100000* 35
i  12% Anual
F14  (3500000 )(1  0.12)13  F14  15,272,226
 (1  0.12 ) 3  1 
F4  (3300000 ) 
  F4  11,135,520
0.12


 (1  0.12 ) 3  1 
F10  ( 2900000 ) 
  F10  9,785,760
0.12


 (1  0.12 ) 3  1 
F7  (3300000 ) 
  F7  10,460 ,640
0.12


 (1  0.12 ) 3  1 
F13  ( 2700000 ) 
  F13  9,110,880
0.12


F14  2,500,000
F14  15 , 272 , 226  11,135 ,520 (1  0 .12 )10  10 , 460 ,640 (1  0 .12 ) 7  9 ,785 ,760 (1  0 .12 ) 3  9 ,110 ,880 (1  0 .12 )  2 ,500 ,000
F14  99,435,077.02
P0 
F
(1  i ) t
P0 
99,435,077.02
(1  0.12)14
P0  20,346,386.83
4.27 Una gran compañía manufacturera compró una máquina semiautomática por $18,000
su costo de mantenimiento y operación anual fue $2700. Después de 4 años de su compra
inicial, la compañía decidió adquirir para la máquina una unidad adicional que le haría
completamente automática. La unidad adicional t uvo un costo adicional de $9100. El costo
de operar la maquina en condición completamente automática fue $1200 por año. Si la
compañía utilizó la máquina durante un total de 13 años, tiempo después del cual esta
quedó sin valor.¿ cual fue el valor anual un iforme equivalente de la máquina a una tasa de
interés del 9% anual compuesto semestralmente?
1  (1  0.092 ) 4 
P1  2700 
  P1  $8708 .98
0.092


P2  9100(1  0.092) 4  P2  $6399.57
1  (1  0.092 ) 9 
P3  1200 
  P3  $7136 .17
0.092


P4  7136.17  (1  0.092) P1  $5018.51
PT  18000  P1  P2  P3  P4  38127 .06
R
Pi
381257.06 * 0.092

t
1  (1  i )
1  (1  0.092)
R=$5147
4.29 El departamento de de productos derivados de una planta empacadora de carne tiene
un horno cuyo flujo de costo aparece a continuación . Si la tasa de interés es del 15% anual,
determine el valor presente de los costos.
Año Costo,$ Año Costo,$
0
5000
6
8000
1
5000
7
9000
2
5000
8
9100
3
5000
9
9200
4
6000
10
9300
5
7000
11
9400
1  (1  0.15) 3  1000 1  (1  0.15) 4

1  (1  0.15) 4 
 100 1  (1  0.15) 4

4
4
3
P  500  500 

 600 


 * (1  0.15)  
4
4
0
.
15
0
.
15
0
.
15
(
1

0
.
15
)
0
.
15
0
.
15
0
.
15
(
1

0
.
15
)

 





9100 1  (1  0.15) 4 
7


 * (1  0.15)
0.15 
0.15

P  500  1141 .61  (3786 .44  17129 .87 )(1.15) 3  (378.64  25980 .30) *1.15
P  $25,303 .73
4.30 Una persona obtiene en préstamo $10000 a una tasa de interés del 8% compuesto
anualmente y desea rembolsar el préstamo durante un periodo de 4 años con pago anuales
tales que el segundo pago supere en $500 el primer pago; el tercero supere en $ I000 el
segundo y el cuarto supere en $200 0 al tercero. Determine el monto del primer pago .
J ( Anual )( Anual )  i ( Anual )  8%
F1  10000 (1  0.08)1  $10800
P1  10800  X
F2  (10800  X )(1  0.08)1  11664  1.08 X
P2  (11664  1.08 X )  ( X  500)  11664  2.08 X
F3  (11164  2.08 X )(1  0.08)1  12057.12  2.2464X
P3  12057 .12  2.2464 X  ( X  1500)  10557 .12  3.2464 X
F4  0
(10557 .12  3.2464 X )(1  0.08)1  ( X  3500 )  0
7901.6896  4.506112X  0
X  $1753 .55  SegundoPag o
4.31 Para el flujo de efectivo que se muestra a continuación calcule el valor anual uniforme
equivalente en los periodos de 1 hasta 12, si la tasa de interé s es del 8% nominal anual
compuesto semestralmente.
Periodo
Valor $
semestral
100
0
100
1
100
2
100
3
100
4
150
5
200
6
250
7
300
8
350
9
400
10
450
11
500
12
i = 8% anual/ semestral
Solución:
Calculo de i efectiva:
n
j

i  1    1
 n
2
 0.08 
i  1 
  1  0.0816 * 100  8.16%
2 

Cálculo del principal en 0 debido a la renta de $100 de 1 a 3.
1  1  i  t 
P0  R * 

i


1  1  0.0816 3 
P0  100 * 
  100  356.97
0.0816


Cálculo del principal en 0 debido al gradiente aritmético de 4 a 12.
PG 
G 1  (1  i )  t
t 
*


i 
i
(1  i ) t 
1  (1  0.0816) 9

50
9
PG 
*

 1080.20
9 
0.0816 
0.0816
(1  0.0816) 
1  (1  i )  t 
PPB  PB * 

i


1  (1  0.0816) 9 
PPB  100 * 
  620.55
0.0816


P  PG  PPB
P  1080.20  620.55  1700.75
P0 
F
(1  i ) t
P0 
10075
1344 .13
(1  0.0816 ) 3
Cálculo del principal total.
PT 0  1344.13  356.97  1701.10
Cálculo de la renta.
R
P *i
1  (1  i ) t
R
1701 .10 * 0.0816
 227.60
1  (1  0.0816 ) 12
El valor anual uniforme equivalente es de $227.60
4.32 Para el flujo de efectivo que se muestra a continuación, encuentre el valor de x que
hará que el valor anual equivalente en los años 1 hasta 9 sea igual a $2000 a una tasa de
interés del 12% anual compuesto trimestralmente.
Año
Flujo
Efectivo $
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
200
300
400
500
x
600
700
800
900
1000
Solución:
Calculo de i efectiva:

i  1 

n
j
 1
n
4
 0.12 
i  1 
  1  0.1255 * 100  12.55%
4 

Calculo del principal en 0 debido a las cuotas de 0 a 3.
P0  PG  PPB
PG 
G 1  (1  i )  t
t 
*


i 
i
(1  i ) t 
PG 
1  (1  0.1255) 3

100
3
*

 219.22
3
0.1255 
0.1255
(1  0.1255) 
1  (1  i )  t 
PPB  PB * 

i


1  (1  0.1255) 3 
PPB  300 * 
  713.79
0.1255


P0  219.22  713.79  200  1133.01
Calculo del principal en 0 debido a las cuotas de 4 a 9.
P4  PG  PPB
PG 
G 1  (1  i )  t
t 
*


i 
i
(1  i ) t 
PG 
1  (1  0.1255) 5

100
5
*

 627.66
5
0.1255 
0.1255
(1  0.1255) 
1  (1  i )  t 
PPB  PB * 

i


PPB
1  (1  0.1255) 5 
 600 * 
  2133.72
0.1255


P4  627.66  2133.72  2761.38
P0 
F
(1  i ) t
P0 
2761 .38
 1720 .85
(1  0.1255) 4
PT 0  P0  P4
PT 0  1133.01  1720.85  2853.86
Calculo del principal en 0 debido a x
P0 
x
 0.6232 x
(1  0.1255 ) 4
Calculo de x.
R
P *i
1  (1  i ) t
2000 
( 2853 .86  0.6232 x ) * 0.1255
1  (1  0.1255 ) 9
2000 * (1  (1  0.1255) 9 )
 2853.86
0.1255
x
0.6232
x  12168.62
El valor de x para que el valor anual uniforme equivalente sea igual de $2000 es, 12168.62
4.33 Una persona obtiene en préstamo $8000 a una tas a de interés nominal del 7% anual
compuesto semestralmente. Se desea que el préstamo sea rembolsado en 12 pagos
semestrales, efectuando el primer pago dentro de año. Si los pagos deben aumentar en $50
cada vez, determine el monto del primer pago.
Solución:
Calculo de i efectiva:

i  1 

n
j
 1
n
2
 0.07 
i  1 
  1  0.0712 * 100  7.12%
2 

Calculo del valor futuro en 1.
F  P * (1  i ) t
F  8000 * (1  i 0.0712)1  8596.6
Cálculo del principal debido al gradiente
G 1  (1  i )  t
t 
PG  * 


i 
i
(1  i ) t 
1  (1  0.0712) 12

50
12
PG 
*

 1850.55
12 
0.0712 
0.0712
(1  0.0712) 
Calculo del principal debido al pago base.
PPB  P  PG
PPB  8569.6  1850.55  6719.41
Calculo del monto del primer pago.
PB 
PPB
1  (1  i ) t
i
PB 
6719.41
 851.41
1  (1  0.0712) 12
0.0712
El primer monto será de $851.41
4.34 En el siguiente diagrama, encuentre el valor de G que haría el flujo de ingresos
equivalente al flujo de desembolsos, utilizando una tasa de interés del 12% anual.
A=$600
Solución:
 (1  i ) t  1
F  R*

i


 (1  0.12) 8  1
F  600 * 
  7379.82
0.12


P  PG  PPB
1  (1  i ) t 
G 1  (1  i) t
t 

7379.82 = * 
 + G*

i 
i
i
(1  i) t 


G
7379 .82
1  (1.12)   1  1  (1.12)  4
4
* 



0.12
(1.12) 4
 0.12   0.12 
4



 148.99
El valor de G que haría el flujo de ingresos equivalente al flujo de desembolsos es 148.99
4.35 Para el diagrama mostrado encuentre el primer año y el valor de la ultimo entrada en el
flujo de ingresos que haría que las entradas fueran al menos del mismo valor de las
inversiones de $500 en los años 0, 1 y 2. Utilice una tasa de interés del 13% anual.
Solución:
Calculo del valor futuro en 2.
 (1  i ) t  1
F  R*

i


 (1  0.13) 3  1
F  500 * 
  1703.45
0.13


Calculo del valor de la última entrada
2  n'  n
n  n'2
20  30(0) 20  30(1)
20  30( n '1)

 ... 
1
2
1.13
1.13
1.13 n '
n'
 20  30( n'1) 
1703 .45   

1.13 n '

n '1 
n'  31      n  33
20  30 (30 )  920
1  1  i  t 
P0  R * 
  500
i


1  1  0.132 
P0  500 * 
  500  1334 .05
0
.
013


4.36
Calcule el valor de x para la serie de flujos de efectivo que se muestra a
continuación. De manera que el valor anual equivalente desde el mes 1 hasta el mes 14 sea
$5000. Utilizando una taza de interés de 12% nominal anual compuesto mensualmente.
MES
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
Flujo de efectivo. $
100
100 + x
100 + 2x
100 + 3x
100 + 4x
100 + 5x
100 + 6x
100 + 7x
100 + 8x
100 + 9x
100 + 10x
100 + 11x
100 + 12x
100 + 13x
100 + 14x
Solución:
=1,609.69
El valor de x para la serie de flujos es 41.32
4.37 suponiendo que el flujo de efectivo en el problema 4.36 representa depósitos.
Encuentre el valor de x que hará los depósitos iguales a $9000 en el mes 9 si la tasa de
enteres es del 12% anual compuesto trimestralmente. Suponga que no hay interés en tre
periodos.
Solución:
El valor de x que hará que los depósitos sean igual a 9,000 en el mes 9 con una tasa de
interés del 12% anual compuesto trimestralmente es de 455.27.
4.38 Resuelva para el valor de G. de manera que el diagrama de flujo de efectivo de la
izquierda sea equivalente al de la derecha. Utilice una taza de interés del 13% anual.
2500
2000
1500
3G
1000
2G
500
G
Año
0
1
2
3
4
5
0
1
2
3
G
Solución:
4
5
6
El valor de G es de 1,396.7 de manare que ambos diagra mas son equivalentes.
4.39 Para el diagrama siguiente, resuelva para el valor de X. Utilizando una taza de interés
del 12% anual.
0 1 2 3 4
5
Año
0
1
2
3
4
5 6
=
$1.300
X +100
X+150
X+200
X+250
X+300
Solución:
Año
El valor de x es 1,671.89
4.40 El señor Alum Nye esta planeando hacer una contribución a la universidad de la cual
egreso. El desearía hoy una cantidad de dinero de modo que la universidad pueda apoyar
estudiantes. Específicamente, desearía proporcionar apoyo financiero para las matriculas de
cinco estudiantes por año durante 20 años en total es decir, (21 becas), efectuando la
primera beca de matricula de inmediato y continuando en intervalos de 1 año. El costo de la
matricula en la universidad es de $3800 anuales y se espera que se mantenga en esa
cantidad durante 4 años mas. Después de ese momento, sin embargo, el costo de la
matricula aumentara en 105 por año. Si la universidad puede depositar la donación y
obtener un interés a una taza nominal del 8% anual compuesto semestralmente. ¿Cuánto
debe donar el señor Alum Nye?
Solución:
=8.16%
4.41- Calcule el valor presente (en el tiempo 0) de un arrendamiento que exige un pago
ahora de $ 20,000 y cantidades que aumentan en 6% anualmente. Suponga que el arriendo
dura un total de 10 años. Utilice una tasa de interés de 14%
- Valor presente:
 1  i n  1 
  A
PA

 i 1  i n 
 1  0.14 10  1 
  104 ,322 .313
  20 ,000 
 PA
  PA
 0.141  0.14 10 
- Valor presente para t =0
 1 


1 
1 

 
PT  PA
 F

...

F

n
 1  i n 
n
n 
 1  i  
 1  i  







1
1
1
  ...  35 ,816.954
PT  104 ,322.12 
 21 ,200



10
1
10
 1  0.14  
 1  0.14  
 1  0.14 
PT  165 ,126 .727




4.42- Calcule el valor anual de una maquina que tiene un costo inicial $ 29,000, una vida
útil de 10 años y un costo de operación anual de $13,000 durante los primeros 4 años
aumentando en 10% anualmente a partir de entonces. Utilice una tasa de interés del 14%
anual.
- Método del Valor presente:





1
1
1
  ...  23 ,030.293
A  29 ,000  13 ,000 
 13 ,000



1
1
10
 1  0.15  
 1  0.15  
 1  0.15 
 0.151  0.15 10 
*

10
 1  0.15   1 
A  44 ,022.799




4.43- Calcule el valor anual de fin de periodo de la compañía A -1 producto de obtener en
arriendo un computador si el costo anual de $ 15,00 0 para el año 1 y $ 16,500 para el año 2.
y los costos aumentan en 10% cada año desde ese momento. Suponga que los pagos de
arriendo deben hacerse al principio del año y que debe utilizarse un periodo de estudio de 7
años. La tasa mínima atractiva de retor no de la compañía es de 16% anual.
- Valor presente:
 1  i n  1 
  A
PA
n 
 i 1  i  
 1  0.16 7  1 
  60 ,578 .482
  15 ,000 
 PA
 PA
7
 0.161  0.16  
- Método del Valor presente:

1 
  F
PT  PA
 1  i n 


  1  0.10 6 

  1
 
6
 1  0.16  

PT  60 ,578 .482  16 ,500  
0.10  0.16 






Valor Anual
 0.161  0.16 7 
A  135 ,619.522 * 

7
 1  0.16   1 
A  33 ,581.113
PT  135 ,619 .522
4.44- Calcule el valor presente de una maquina que cuesta $ 55,000, una vida útil de 8 años
con un valor de salvamento de $ 10,000. Se espera que el costo de operación de la maquina
sea de $10,000 para el año 1 y $ 11,000 para el año 2 con cantidades que aumentan en 10%
anualmente a partir de entonces. Utilice una tasa de interés del 15% anual.
- Valor presente:
  1  0.10 9 

  1
 
9
  1  0.15  

PE  11 ,000 
0.10  0.15 






PE  72 ,539 .302
- Método del Valor presente:

1 
PT  55 ,000  PE  1000 
n 
 1  i  

1
PT  55 ,000  72 ,539 .302  1000 
9
 1  0.15 
PT  124 ,696 .678




4.45- Calcule el valor anual equivalente de una maquina que cues ta $ 73,000 inicialmente y
tendrá un valor de salvamento de $ 10,000 después de 9 años. El costo de operación de la
maquina sea de $21,000 para el año 1 y $ 22,050 para el año 2 con cantidades que
aumentan en 5% anualmente a partir de entonces. Utilice un a tasa de interés del 19% anual.
- Valor presente:
  1  0.05 8 

  1
 
8
 1  0.19  

PE  22 ,050  
PE  75 ,556 .75
0.05  0.19 






- Método del Valor presente:

1 
PT  73 ,000  PE  1000 
n 
 1  i  


1

PT  73 ,000  72 ,539.302  1000 
8


1

0
.
19


PT  146 ,070 .045
- Valor Anual
 0.191  0.19 8 
A  146 ,070.045 * 

 1  0.19 8  1 
A  36 ,938.932
4.46- Encuentre el valor presente (en el tiempo 0) de los flujos de efectivo que se muestran
en el siguiente diagrama. Suponga que i=12 % anual compuesto semes tralmente.
Solución:
Primero encontramos el principal del gradiente aritmético.
Datos:
Respuesta: El valor presente de los flujos es de $1447.15
4.47- Si una persona empieza una cuenta bancaria depositando $2000 dentro de seis mes es,
¿cuánto tiempo le tomará agotar la cuenta si empieza a retirar dinero dentro de una año de
acuerdo al siguiente plan: retira $500 el primer mes, $450 el segundo mes, $400 el segundo
mes y cantidades que disminuyen en $50 hasta que la cuenta se agota? S uponga que la
cuenta gana un interés del 12% nominal anual compuesto mensualmente.
Solución:
- se calcula el interés nominal .
-
Se calcula el valor futuro en el año 5
-
Se calcula el principal en el año 6
-
Resolviendo la ecuación por prueba error
Respuesta: le tomará un tiempo entre 5 y 6 años agotar la cuenta.
4.48 Calcule el valor anual de los siguientes flujos de efectivo para i=12% anual.
Año
0
1,4
5
Cantidades, $ 5000 1000 950
Solución:
Calculo del principal:
6
800
7
700
8
600
9
500
10
400
Respuesta: El valor anual es de $1743.26.
4.49 Para el diagrama siguiente, calcule la cantidad de dinero en el año 15 que sería
equivalente a las cantidades mostradas, si la tasa de interés es del 1% mensual.
Solución:
-
Se calcula el principal del año 1
-
Se calcula el valor futuro equivalente en el año 15.
Respuesta: la cantidad equivalente del diagrama en el año 15 es de $15,277.85.
4.50 En los siguientes flujos de efectivo, calcule el valor presente y el valor anual uniforme
equivalente para i=10% anual en los siguientes flujos de efectivo.
Solución:
Valor presente (P)
Respuesta: El valor presente del diagrama de flujo es de $3332.18 y la ren ta equivalente es
de $542.30.