Segundo Examen de Evaluación Continua

Segundo Examen de Evaluación Continua - Estadı́stica
Grado en Ingenierı́a de Sistemas de Comunicación, G.62
25 de marzo de 2011 - Hoja A
Solución
C1. (3.5 puntos) Supongamos que el número de imperfecciones en un alambre fino de cobre sigue
una distribución de Poisson con media 2.3 imperfecciones por milı́metro de longitud. Se pide:
a) (1 punto) ¿Cuál es la probabilidad de que se encuentren dos imperfecciones en 1 mm de
alambre?
b) (1 punto) ¿Cuál es la probabilidad de que se encuentren al menos dos imperfecciones en
3 mm de alambre?
c) (1.5 puntos) Determine la probabilidad de que la distancia entre dos imperfecciones
consecutivas sea superior a 2 mm.
Solución
a) Sea X la variable aleatoria (v.a.) ((Número de imperfecciones por mm de alambre de
cobre)). Sabemos que X sigue un modelo de Poisson con parámetro λX = µX = 2.3
imperfecciones/mm. Nos piden Pr(X = 2). Utilizando que la función de probabilidad de
esta v.a. es:
exp(−λX )λkX
, si k = 0, 1, 2 . . . ,
p(k) = Pr(X = k) =
k!
se tiene que:
exp(−2.3)2.32
Pr(X = 2) =
= 0.2652.
2!
b) Sea Y la v.a. ((Número de imperfecciones en 3 mm de alambre)). Por la reproductividad de
la Poisson se verifica que Y sigue un modelo de Poisson con parámetro λY = 3λX = 6.9.
Nos piden Pr(Y ≥ 2). Utilizando la propiedad del suceso contrario y la función de
probabilidad de la Poisson, se concluye que:
Pr(Y ≥ 2)
=
=
1 − Pr(Y < 2) = 1 − Pr(Y = 0) − Pr(Y = 1)
exp(−6.9)6.91
exp(−6.9)6.90
−
= 0.9920.
1−
0!
1!
c) Asociada a una Poisson siempre existe una v.a. exponencial. En este caso, si denotamos
por D a la v.a. ((distancia en mm que existe entre dos imperfecciones consecutivas en dicho
alambre de cobre)), se verifica que D sigue un modelo exponencial de parámetro λX = 2.3.
Nos piden Pr(D > 2 mm). Utilizando que la distribución de D es FD (x) = 1−exp(−2.3x),
se concluye que:
Pr(D > 2 mm)
= 1 − Pr(D ≤ 2) = 1 − FD (2)
= 1 − (1 − exp(−2.3 × 2)) = exp(−4.6) = 0.0101.
C2. (4 puntos) Sea X una variable aleatoria continua con función de distribución dada por F (x) =
1 − exp(−x)(1 + x), si x > 0.
1
a) (1 punto) Calcule la función de densidad de X.
b) (1.5 puntos) Determine la media y la varianza de X utilizando las propiedades de la
función Gamma,
Z ∞
tz−1 exp(−t)dt, si z > 0.
Γ(z) =
0
c) (1.5 puntos) Determine la densidad de Y = 1 − X 2 .
Solución
a) La densidad se obtiene derivando la función de distribución, de modo que, utilizando la
regla de la cadena y la derivada de un producto, se obtiene que:
fX (x) =
∂(FX (x))
∂x
b) Sabemos que Γ(z) =
R∞
0
=
exp(−x)(1 + x) − exp(−x)
=
exp(−x)(1 + x − 1) = exp(−x)x,
si x > 0.
tz−1 exp(−t)dt.
La media de X se define mediante la expresión E[X] =
E[X]
=
Z
∞
Z
∞
R∞
−∞
xfX (x)dx. De modo que,
x(exp(−x)x)dx
0
=
x2 exp(−x)dx = Γ(3) = 2! = 2.
0
La varianza de X es igual a Var[X] = E[X 2 ]−(E[X])2 . Calculemos E[X 2 ] =
Se tiene que:
Z ∞
x2 (exp(−x)x)dx
E[X 2 ] =
0
Z ∞
x3 exp(−x)dx = Γ(4) = 3! = 3 × 2 = 6.
=
R∞
−∞
x2 fX (x)dx.
0
De modo que: Var[X] = 6 − 22 = 2.
c) Nos piden la densidad de una transformación de X, dada por la transformación: y =
h(x) = 1 − x2 . Dado que h es una función continua y monótona decreciente en el rango
de X, es decir en (0, ∞), se verifica que:
dx fY (y) = fX (x) , si y ∈ (−∞, 1).
dy
Teniendo en cuenta que:
x=
p
1 − y,
dx
1
< 0, ∀y ∈ (−∞, 1),
=− √
dy
2 1−y
se concluye que:
p
1
fY (y) = fX ( 1 − y) √
2 1−y
p
p
1
= 0.5 exp(− 1 − y) 1 − y √
1−y
p
= 0.5 exp(− 1 − y), y ∈ (−∞, 1).
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C3. (2.5 puntos) Un alumno se examina de un examen tipo test que consta de 100 preguntas
del tipo V/F. Dado que las preguntas se eligen al azar de entre todo el temario, se sabe que
un alumno que sepa el β % de la asignatura tiene una probabilidad de 0.5(1 + β) de acertar
cada pregunta. Suponiento que el alumno responde a todas las preguntas del test y que para
aprobar debe responder correctamente a 80 preguntas como mı́nimo, se pide:
a) (1.5 puntos) La probabilidad de que un alumno apruebe si sabe sólo el 65 % de la asignatura. Calcule esta probabilidad aproximando la distribución correspondiente mediante
una distribución normal.
b) (1 punto) Complete el siguiente código en MATLAB/Octave para aproximar por simulación la probabilidad pedida en el apartado anterior.
N = 10000;
p = 0.825;
u = rand(__________,100);
x = 1.*(__________) + 0.*(__________);
y = sum(x,2);
pb = sum(y>=80)/N
Solución
a) Sea A el suceso ((el alumno aprueba)) y sea Y la v.a. que cuenta el número de preguntas
de un total de 100 que el alumno acierta. Según el enunciado, se sabe que A = {Y ≥ 80},
siendo Y ∼ B(n, p) con n = 100 y p = 0.5(1 + β) = 0.5(1 + 0.65) = 0.825.
Nos piden Pr(A) = Pr({Y ≥ 80}). Dado que n = 100 > 30 y Var[Y ] = n × p × (1 − p) =
14.4375 > 5, por el Teorema Central del Lı́mite Y se puede aproximar por una normal con
media µY = n×p = 100×0.825 = 82.5 y varianza Var[Y ] = 14.4375. Entonces, utilizando
el factor de corrección por continuidad, estandarizando para pasar a una Normal(0,1) y
teniendo en cuenta la simetrı́a de la Normal(0,1), se tiene que:
Pr(Y ≥ 80)
=
=
=
√
Pr(Y ≥ 79.5) = Pr(N (82.5, 14.4375) ≥ 79.5)
79.5 − 82.5
= Pr(N (0, 1) ≥ −0.79)
Pr N (0, 1) ≥ √
14.4375
Pr(N (0, 1) ≤ 0.79) ≈ 0.7852.
b) El código completo serı́a:
N = 10000;
p = 0.825;
u = rand(N,100);
x = 1.*(u<p) + 0.*(u>=p);
y = sum(x,2);
pb = sum(y>=80)/N
Generamos una matriz u de dimensiones N × 100 formada por números aleatorios, uniformemente distribuidos en el intervalo (0, 1). Esta matriz la transformamos en otra
matriz x del mismo tamaño y que estará formada por valores de una variable Bernoulli
de parámetro p = 0.825. Los ceros indicarán que el alumno no acierta una pregunta
en concreto y los unos indicarán lo contrario. Los unos se generan con probabilidad
p = 0.825, pues Pr(U (0, 1) < p) = p = 0.825 y los ceros se generan con probabilidad
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q = 1 − p = 0.175, pues Pr(U (0, 1) >= p) = 1 − p = 1 − 0.825 = 0.175. Finalmente,
sumamos los 100 valores de Bernoulli de cada fila de x para obtener el vector y de dimensión N, formado por N valores de la v.a. Binomial(100,0.825). La última linea de código
nos da la frecuencia relativa de observar el suceso A, definido en el apartado a).
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