Modelos dinámicos para estimar la asistencia de público estadio

Modelos dinámicos para estimar la asistencia de público
estadio Heliodoro Rodríguez López
INDICE
Introducción
1.- Variables y factores del modelo “Afluencia de Espectadores”
2.- Periodos (t) en los que influye cada factor dentro del modelo
3.- Relación entre factores
4.- Observaciones para construir un modelo
5.- Diagrama
6.- Modelos posibles:
6.1.- Para el primer período de la temporada
6.2.- Para el segundor período
6.3.- Para el tercer período
Conclusiones
Vinay Arjandas Daryanani
Sergio Moreno Rodríguez
Daniel Sánchez-Romo de María
1
Introducción
El siguiente modelo económico tiene por título “Modelo de Afluencia de
Espectadores”. Éste modelo, de creación propia, tiene como objetivo tratar de conocer
la cantidad de espectadores que acuden al estadio Heliodoro Rodríguez López durante
toda la temporada, teniendo en cuenta los diferentes factores que, a nuestro juicio,
pueden afectar a dicha afluencia.
Decidimos crear este modelo dinámico porque nos gustó la idea de hacer algo
nuevo, relacionado con nuestra vida y sobre algo que nos gusta e interesa como es el
fútbol. Además de esto, hemos decidido realizarlo porque nunca antes se había creado
un modelo deportivo referente al número de aficionados que asisten a los partidos de
fútbol de un equipo durante una temporada, y si se ha realizado lo desconocemos. La
elección del estadio viene dada porque es el equipo de nuestra isla, y al sentirnos
identificados con el equipo nos interesó crear un modelo que nos permitiese saber la
cantidad de personas que van a ver al C. D. Tenerife jugar.
Para crear éste modelo hemos realizado varios hipótesis tales como: la
importancia de cada factor a lo largo de una temporada, la relación existente entre los
factores y las variables a las que afectan dichos factores, el tiempo y el momento en el
que pueden influir los factores y la probabilidad que tienen de darse dependiendo de la
jornada de liga en la que nos encontremos.
Dentro de los factores podemos decir que existen sub-factores que se pueden dar
durante una temporada, refiriéndonos con ello a aspectos que afectan a la afluencia de
espectadores en distintos momentos con el transcurso de la temporada.
Los sistemas de ecuaciones y ecuaciones que desarrollemos a lo largo del trabajo
son E.D.F.’s. El por qué de hacer ecuaciones discretas es por el hecho de que los
partidos en casa se juegan una vez cada dos semanas.
Por último, y para finalizar, decir también que decidimos hacer un modelo nuevo
debido a que nos permite jugar con sistemas de ecuaciones, con ecuaciones no lineales,
etc, es decir, nosotros decidimos, dentro de una lógica que se explicará más adelante, las
ecuaciones con las que hemos querido trabajar.
2
1.- Variables y factores del modelo “Afluencia de Espectadores”
Las variables que intervienen en el modelo son:
y: Número de espectadores que van a cada partido jugado en casa
t: Factor tiempo; cada y[t] representa un partido jugado en casa por el equipo,
empezando desde y[0] que sería el primer partido en casa.
Los factores que afectan al modelo económico son:
tv: Este factor nos indica si el partido es televisado o no. Depende de otras
variables para ver su influencia en la variable “y”, e influye en el hecho de que vaya
más o menos gente al estadio.
m: Meteorología. Suponemos que a mejor tiempo (entendemos esto como
tiempo soleado y no caluroso), mayor será la afluencia de gente que vaya al estadio.
h: Día y hora de partido. Cuanto mejor sea el horario del partido, esto es, si se
celebra un día no laborable, mayor será la afluencia de espectadores que asistan al
estadio.
pl: Plantilla. Este factor se ve afectado por 3 condiciones diferentes.
1º La llegada a la plantilla de fichajes de renombre o estelares. Ello afectaría
a la afluencia, puesto que dichos fichajes estrella aumentarían el interés de la afición por
ver jugar a su equipo.
2º El hecho de que en el primer equipo jueguen jugadores pertenecientes a la
cantera, lo que alienta a la afición a ver a sus jugadores.
3º El caso de que no haya escándalos extradeportivos favorece la comunión
entre los espectadores y el equipo, animando también a los espectadores a ver a su club.
p: El precio de las entradas. Cuanto menor sea su precio, mayor será la
afluencia.
b: El número de abonados del equipo. Suponemos que acuden al estadio una
media del 80% del total de abonados al equipo por partido.
r: Es el equipo rival contra el que se juega. Cuanto mas alto esté dicho equipo en
la clasificación, más espectadores irán a ver el partido. Este efecto se produce siempre
contra equipos recién descendidos de la primera división.
pt: Son los puntos conseguidos por el equipo hasta el momento:
• Se mirará el % de puntos obtenidos sobre el total
• Si se consiguen puntos de forma consecutiva, este factor aumenta
su fuerza dentro del modelo, haciendo que vayan más
espectadores; de la misma forma irán menos espectadores si se
pierden puntos de manera consecutiva.
3
z: Este factor indica que el equipo está situado en la zona alta de la clasificación,
lo que provoca que vaya más gente al estadio. Consideramos “zona alta” el
hecho de que el equipo tenga posibilidades de ascenso.
a: Si el equipo se encuentra en la zona baja de la clasificación, esto es, estar con
opciones de descender, este factor afecta de tal forma que:
• Si está en la zona baja, pero con opciones de salir de ella, afecta de
forma positiva a la variable “y”.
• Si tiene pocas o nulas opciones de salvarse, afecta de forma negativa a la
variable principal de nuestro modelo.
f: Con ello nos referimos a la forma de jugar del equipo. Cuanto mejor juegue,
mayor será el número de espectadores que vayan al estadio. Este factor lo
explicamos de tal forma que:
• Cuantos más goles meta el equipo, mejor juega.
• Cuantos más goles le metan, peor juega.
4
2.- Periodos (t) en los que influye cada factor dentro del modelo:
▪ La televisión influye desde y[0] hasta cualquier periodo “y”, es decir, va a afectar
durante todo el período del modelo.
▪ La meteorología influye únicamente al primer período del modelo, esto es, desde y[0]
hasta y[5].
▪ La hora y día del partido influye también al primer período del modelo, esto es, desde
y[0] hasta y[5].
▪ La plantilla afecta solamente a dos periodos de “y”, concretamente a “y[0]” y a “y[8]”
▪ El precio de las entradas afecta a la variable “y” sólo en su primer partido, en “y[0]”.
▪ El número de abonados va a afectar durante toda la temporada, se tomará como un
valor medio fijo de un 80% del total de abonados en y[0].
▪ El equipo rival afecta a partir del segundo tramo de la temporada, esto es, desde y[5]
hasta el final de la temporada.
▪ El porcentaje de puntos afecta a partir del segundo tramo de la temporada, esto es,
desde y[5] hasta el final de la temporada.
▪ El hecho de estar en la zona alta de la clasificación afecta a partir del segundo tramo
de la temporada, esto es, desde y[5] hasta el final de la temporada.
▪ El que el equipo se encuentre en la zona baja de la clasificación afecta a partir del
segundo tramo de la temporada, esto es, desde y[5] hasta el final de la temporada si no
tiene opciones de salvarse; si se tienen opciones, afectaría de forma negativa sólo al
segundo tramo de la temporada, desde y[5], hasta y[17], y de forma positiva en el tercer
y último tramo de la temporada, desde y[18] hasta y[20].
▪ La forma de jugar del equipo afecta a partir del segundo tramo de la temporada, esto
es, desde y[6] hasta el final de la temporada.
5
3.- Relación entre factores:
♦ Cuanta mayor entidad tenga el equipo rival “r”, menor será la influencia del factor
televisivo “tv”, así como se da el caso contrario.
♦ Si el partido lo dan por televisión “tv”, el factor precio “p” aumenta
considerablemente de forma negativa en el modelo.
♦ Cuanto más alto se está en la clasificación “z”, menos influirá el hecho de que el
partido sea televisado “tv”.
♦ Cuanto más abajo se está en la clasificación “a”, más importancia tiene el hecho de
que se retransmita por la televisión “tv” el partido.
♦ Cuantos más puntos “pt” se tengan, más aumenta la variable “z”.
♦ Cuanto menos puntos “pt” se tengan, más aumenta la variable “a”.
♦ Cuanto mejor juegue el equipo “f”, más alto se estará en la clasificación “z”.
♦ Cuanto mejor juegue el equipo “f”, más puntos se tendrán “pt”.
♦ Cuanto mejor sea la plantilla “pl” a principio de temporada, más abonados “b” tendrá
el club.
♦ Dependiendo de la retransmisión del partido por la televisión “tv”, se jugará a un día
y a una hora “h” determinada.
♦ Cuanto más arriba se encuentre el equipo en la clasificación “z”, menos influirá el
equipo rival “r” en la afluencia de espectadores.
♦ Cuanto más abajo esté el equipo en la clasificación “a”, más influirá el equipo rival
“r” a la hora de que los aficionados asistan al partido.
♦ Cuantos más puntos tenga el equipo “pt”, menos influye el hecho de que sea
televisado el partido “tv”.
6
4.- Observaciones para construir un modelo:
1.- Tal como estudiamos el caso, observamos que según los tres períodos (inicial,
intermedio y final) y dependiendo también de la posición del equipo en la tabla, algunos
de los factores considerados, podrían incluso incorporarse como nuevas variables del
problema, lo que nos daría ecuaciones en derivadas parciales, que se escapa del
cometido de esa primera aproximación, y además desconocemos el uso del Matemática
para estas ecuaciones en derivadas parciales. Como ejemplos, podríamos poner:
- En el período inicial, el precio de los abonos y de las entradas influyen
decisivamente en el modelo
- En el período intermedio, la posición en la tabla clasificatoria se podría
considerar como una variable más
- En el período final, las posibilidades de ascenso y/o descenso, influiría
notablemente en la asistencia de espectadores al estadio.
2.- Para hacer pues, esta primera aproximación al modelo que pretendemos considerar,
todos los factores que hemos definido, los vamos a considerar como parámetros en
nuestro modelo, y determinamos sus valores en cada uno de los casos contemplados.
3.- Como datos reales, sabemos que el aforo del Heliodoro es de 24000. El número de
abonados es 6000.
4.- Por último, y como datos comparativos, exponemos a continuación, los asistentes al
estadio en esta temporada :
7
AFLUENCIA
JORNADA DE ESPECTADORES
1
6700
2
9300
3
10600
4
8200
5
10700
6
9800
7
9300
8
6500
9
5700
10
14700
11
8700
12
6400
13
9300
14
7200
15
9000
16
6600
17
8000
18
7100
19
6000
20
6000
8
5.- Diagrama
PLANTILLA
PRECIO
JUEGO
ZONA DE
ASCENSO
ABONADOS
AFLUENCIA DE
ESPECTADORES
EQUIPO
CONTRARIO
ZONA DE
DESCENSO
HORARIO
METEREOLOGIA
PARTIDO
TELEVISA
DO
9
6.- Modelos posibles:
Vamos a considerar tres planteamientos diferentes para así expresar las distintas
situaciones posibles:
Hemos optado por dividir nuestro modelo en tres periodos diferentes con tres
ecuaciones diferentes. Esto lo hemos hecho para dotar de mayor precisión al modelo, ya
que algunos de los factores sólo afectan en determinados momentos de la temporada.
Un ejemplo de esto sería el factor “plantilla”, ya que ésta puede motivar sólo en dos
partes de la temporada, o bien al principio de la misma, o en el período de fichajes de
invierno. Porque en el resto de la temporada la plantilla consideramos que se mantiene
fija.
Esta división en tres partes también la hemos realizado para dotar de mayor
facilidad el estudio objeto del modelo.
6.1.- Para el primer período de la temporada (desde el primer partido en
casa hasta el quinto):
yt = yt-1 + k (yt-1 – yt-2) (efecto acelerador-multiplicador)
Que operando queda:
y[t+2]= (1+k) y[t+1] – k y[t],
Como vemos, empezamos a dar datos a partir del tercer partido jugado en casa,
para los valores de y[0] e y de y[1] (primer y segundo partido jugado en casa),
tomaremos los datos registrados en el estadio, es decir, nuestro modelo tal como está
desarrollado nos permite estimar la cantidad de aficionados que van a un partido a partir
del tercer partido en casa.
La solución general del modelo, para el primer periodo, resuelto por el Matemática es:
RSolve@8y@t+2D−H1+kLy@t+1D+k∗y@tD 0,y@0D y0,y@1D y1<,y@tD,tDêêFullSimplify
y@tD =
k y0 − y1 + kt H−y0 + y1L
−1 + k
10
Una vez simplificada agrupada, queda:
Collect@y@tD, 81, k^t<D
k y0 − y1 kt H− y0 + y1L
+
−1 + k
−1 + k
Donde:
C1 =
C2 =
k y0 − y1
−1 + k
H− y0 + y1L
−1 + k
Donde y[0] es el número de aficionados que acudieron al primer partido en casa, e y[1]
es el de aficionados que acudieron al segundo partido en casa, es decir, son dos valores
iniciales dados.
Resuelta por el método de “GC = GH + PC” tenemos la siguiente solución, que es la
misma, obviamente que nos dio con el RSolve, cabe mencionar, que no hay particular
de la completa (PC):
SolveAr2 − H1 + kL r + k
0, rE
r = 1, r = k
GC = C1 + C2 ∗ kt
La estabilidad de este modelo para cualquier valor de “k” se calcula de tal forma que:
y@t + 2D = y@t + 1D + k ∗ H y@t + 1D − y@tDL
y@t + 1D
z@t + 1D
z@tD ,
z@tD + k ∗ Hz@tD − y@tDL
Con esto tenemos un sistema de ecuaciones,
J
y@t + 1D
N
z@t + 1D
J
0
1
y@tD
N∗ J
N
−k 1 + k
z@tD
donde el Jacobiano del sistema es :
J= J
0
1
N
−k 1 + k
11
Calculamos los autovalores con ayuda del Mathematica:
EigenvaluesAA = J
81, k< ,
0
1
NE
−k 1 + k
donde :
λ1 = 1
λ2 = k
Como λ1= 1 es un caso de duda, estudiaremos el periodo según los diferentes
valores de “k”.
Valores de la “k”:
El valor “k” es un multiplicador que varía entre los valores “-0,9” y “1,9”, que refleja
las distintas condiciones, que describiremos a continuación, que se pueden dar en un
partido de la temporada, y sirve para incrementar o disminuir la afluencia de los
espectadores a un partido en cuestión.
Los factores que influyen en este primer período son:
•
La televisión, si el partido es retransmitido, le daremos el valor “1” a este factor,
si no lo dan el valor es “0”.
•
Meteorología, consideraremos dos opciones, que haga un “buen tiempo”, esto
es, soleado, sin calor excesivo, para lo que este factor tomaría el valor “1”; y una
segunda opción en el que hace “mal tiempo”, lluvioso, frío, etc, que es cuando
tomaría el valor “-1”.
•
Plantilla, si el equipo ilusiona y tiene a priori una buena plantilla, este factor
tendrá un valor de “1”, si no, tomará un valor igual a “0”.
•
La hora y día del partido, si es a buena hora y un día no laboral, tomará el valor
“1”, si es entre semana y a una hora inadecuada, le daremos el valor “-1”
•
Empezar la temporada dentro de la zona alta o de la zona baja de la
clasificación puede motivar o desmotivar a los aficionados, es por eso que
hemos unido los factores “z” y “a” en un único factor “za” que tomará el valor
“1” si se esta en la zona alta y “-1” si se está en la baja. Si está en la zona media,
este factor no influye en éste período.
El precio de las entradas lo consideraremos de dos forma, si son caras, valdrán
“-1”, si son baratas, valdrán “1”, y si son de un precio medio, valdrá “0”.
•
Una vez explicado todos los factores de los que dependen k, tenemos que:
k = 0.1 h + 0.3 m − 0.4 p + 0.9 pl − 0.5 tv + 0.6 za
12
Como estamos dentro del primer período de la temporada, le hemos dado una
importancia a cada factor de forma que no todas tengan el mismo baremo, ya que
como es obvio, influye más en los espectadores el hecho de tener una gran plantilla,
que el de jugarse un partido por la mañana un sábado.
Vamos a desarrollar esta primera parte del modelo para tres supuestos diferentes:
1.
Suponemos que el partido es retransmitido por las televisiones, hace un mal
tiempo, el precio de las entradas es alta, la hora de jugarse el partido es mala,
pero el equipo tiene una buena plantilla, por lo que:
K = 0.1 (-1) + 0.3 (-1) + 0.4 (-1) + 0.9 (1)- 0.5 (1) + 0.6 (0)
K = - 0,4
y@t_D =
k ∗ 6700 − 9300 + kt H−6700 + 9300L
−1 + k
−0.714286 H− 11980. + 2600 H−0.4L L
t
m = Table@8t, y@tD<, 8t, 0, 5<D
880, 6700.<, 81, 9300.<, 82, 8260.<, 83, 8676.<, 84, 8509.6<, 85, 8576.16<<
ListPlot@ m, PlotJoined → True, PlotRange → 86500, 10000<D
10000
9500
9000
8500
8000
7500
7000
1
2
3
4
5
13
Estabilidad
Para k = −0.4 → λ2 = −0.4
Se verifica para este caso que los autovalores están entre “-1” y “1”, por lo tanto
existe estabilidad y convergencia. El autovalor λ2 = -0.4 está entre “-1” y “0”, de
forma que las trayectorias se acercan al atractor de forma amortiguada. Esto se
aprecia claramente en el gráfico superior, donde vemos que la afluencia de
espectadores tiene distintos altibajos cada vez más pequeños hasta que se estabiliza
en 8557 espectadores.
2. Es un parido retransmitido por la televisión, hace un buen tiempo, la plantilla
es buena, se juega a buena hora, se está en la zona media y el precio de las
entradas es normal, por lo que:
K = 0.1 (1) + 0.3 (1) + 0.4 (0) + 0.9 (1) - 0.5 (1) + 0.6 (0)
K = 0.8
y@t_D =
k ∗ 6700 − 9300 + kt H−6700 + 9300L
−1 + k
−5. H− 3940. + 2600 0.8 L
t
n = Table@8t, y@tD<, 8t, 0, 5<D
880, 6700.<, 81, 9300.<, 82, 11380.<, 83, 13044.<, 84, 14375.2<, 85, 15440.2<<
ListPlot@n, PlotJoined → True, PlotRange → 86500, 16000<D
16000
14000
12000
10000
1
2
3
4
5
14
Estabilidad
Para k = 0.8 → λ2 = 0.8
Al igual que en el caso anterior, el autovalor está comprendido entre “-1” y “1”,
indicando así que existe estabilidad y convergencia. Al ser un número real inferior a “1”
todas las trayectorias se van acercando asintóticamente al atractor, que se sitúa en el
punto 19700 espectadores. Hay que señalar que este punto no se ve reflejado en el
gráfico, pero se intuye y lo hemos hallado con el Mathematica.
3. Es un partido no retransmitido por la televisión, donde la hora es buena, no
así la meteorología, el equipo está arriba en la clasificación, la plantilla
ilusiona a la afición, y el precio de las entradas es bajo
K = 0.1 (1) + 0.3 (-1) + 0.4 (1) + 0.9 (1) - 0.5 (0) + 0.6 (1)
K = 1.7
k ∗ 6700 − 9300 + kt H−6700 + 9300L
y@t_D =
−1 + k
1.42857 H2090. + 2600 1.7tL
ñ = Table@8t, y@tD<, 8t, 0, 5<D
880,6700.<, 81,9300.<, 82,13720.<, 83,21234.<, 84,34007.8<, 85, 55723.3<<
ListPlot@ñ, PlotJoined → True, PlotRange → 86500, 24000<D
22500
20000
17500
15000
12500
10000
1
2
3
4
5
15
Estabilidad
En este caso tenemos que el autovalor es mayor que “1” (λ2 = 1.7), por lo que
existe divergencia, esto es, que las trayectorias no convergen en ningún punto. Este
fenómeno se puede apreciar claramente en el gráfico, aunque obviamente no llegaría
hasta el infinito, puesto que la capacidad del estadio es limitada.
6.2.- Para el segundor período(desde la 6ª jornada en casa hasta la 17ª) :
Aunque podría servir el modelo anterior, con pequeñas modificaciones para los
valores del parámetro, exponemos otra simulación, para señalar que se encuentra en la
zona intermedia de la tabla y no crea demasiadas expectativas en los aficionados, el
equipo:
yt+1 = k yt + 0.8 número de abonados
los valores de k son los anteriores, si bien tienen distintos significados como es
obvio. Si se encuentra próximo a la zona de descenso, el término complementario será
el 50 % de los abonados.
Nuestro objetivo es también, poner una ecuación de primer orden completa para ver su
comportamiento con el Matemática.
Valores de la “k”:
Obviamente, para este segundo periodo el valor del multiplicador “k” depende de otros
factores, ya que hay algunos que han dejado de influir, otros que toman mayor o menor
peso, y nuevos factores que influyen en el valor de “k”, aunque hay que mencionar que
seguirá oscilando entre “-0,9” y “1,9”
Factores que no influyen ahora en este periodo:
•
Meteorología: Los aficionados, llegados este momento de la temporada, van a
ver a su equipo o no, sin importarles en una gran medida el tiempo que haga, ya
que considerarán otros factores a tener más en cuenta.
•
Hora y día del Partido: Otro factor que ya no tiene ninguna importancia, puesto
que los aficionados si quieren ir, irán a ver el partido.
16
•
Precio de las entradas: Este factor tiende a estabilizarse a lo largo de una
temporada completa, por lo que los aficionados ya sabrán si son caras o no, esto
se verá reflejado en el hecho de que el primer partido de este segundo periodo
empieza con datos del periodo anterior, donde sí está reflejado este factor.
Factores que han Ganado/Perdido peso:
•
Plantilla: Obviamente la plantilla ya no es un hecho que ilusione (o desilusione)
a los aficionados con la misma fuerza que al principio, la afición se acostumbra
a sus jugadores, y va a ver a su equipo por otros factores más importantes. No
obstante puede haber fichajes que puedan motivar a la afición. Por lo que este
factor pierde peso dentro del modelo.
•
Televisión: Pierde importancia, ya que si el equipo ilusiona , la gente querrá ir a
verlo con más ganas, aunque lo den por la tele, mientras que si el equipo no
atrae a el público, la televisión no influirá en gran medida para que no vayan al
estadio. Por lo que este factor, también pierde peso dentro del modelo.
•
Posicionamiento del equipo en la clasificación: Ahora influirá de manera más
notable, ya que la afición se puede ilusionar o no dependiendo de éste factor, por
lo que ahora tendrá mayor peso dentro del modelo. Además de influir como ya
hemos visto arriba en el valor fijo de abonados que van al estadio.
Nuevos Factores que influyen en este periodo:
•
Equipo rival contra el que juega nuestro equipo: Si el equipo rival estas en
posiciones de arriba o es un recién descendido de primera división, provocará
que vaya más gente al estadio. Puede tener un valor “1” si jugamos contra un
grande, o un valor de “0”
•
Puntos del equipo: Si se tiene un porcentaje de puntos elevados (>60% del total),
o se viene de conseguir una racha de victorias elevadas, esto influirá de forma
muy positiva en la asistencia de espectadores al estadio, por lo que tendrá un
valor de “1”. Por el contrario, el venir de perder partidos consecutivos, o tener
un bajo porcentaje de puntos (<30% del total), influirá de forma negativa,
17
teniendo un valor de “-1”. Si el equipo está entre el 30 y el 60 por ciento de los
puntos y no viene de ganar ni de perder varios partidos, tomará el valor “0,5”.
•
Forma de jugar el equipo: Si nuestro equipo mete una cantidad considerable de
goles, y recibe pocos, esto es, estar entre los siete máximos goleadores y entre
los siete menos goleados, este factor obtendrá un valor de “1”, si ocurre el caso
contrario, obtendrá un valor de “-1”. Si se es uno de los menos goleados, o se es
únicamente uno de los máximos goleadores, se le dará el valor “0,5”, y si no se
está ni entre los máximos goleadores ni menos goleados y viceversa, tomará el
valor “0”.
Una vez explicado todos los factores de los que dependen k, tenemos que:
K = -0.2 tv + 0.2 pl + 0.8 za + 0.3 r + 0.4 pt + 0.2 f
Vamos a suponer lo siguiente, que el partido lo dan por la televisión, el equipo se
encuentra en la zona media de la clasificación, el rival es de la zona alta de la tabla
clasificatoria, la plantilla es buena para los aficionados, el coeficiente de puntos es
normal (está entre el 30-60% del total), y el equipo ni mete muchos goles, ni le meten
muchos.
Por lo que tendemos el valor del multiplicador
K = 0.5
RSolve@8 y@t + 1D
0.5 y@tD + 0.8 6000, y@5D
8576<, y@tD, tD
88y@tD → 2. If@t ≥ 5, −16384. 0.5t + 4800. 1.t, 0D<<
y@t_D = H y@tD ê. %L@@1DD
2. If@t ≥ 5, −16384. 0.5t + 4800. 1.t, 0D
l = Table@8t, y@tD<, 8t, 5, 17<D
885,8576.<, 86,9088.<, 87,9344.<, 88,9472.<, 89,9536.<, 810,9568.<,
811,9584.<, 812,9592.<, 813,9596.<, 814,9598.<, 815,9599.<, 816,9599.5<, 817,9599.75<<
ListPlot@ l, PlotJoined → True, PlotRange → 8 8200, 11000<D
18
11000
10500
10000
9500
9000
8
10
12
14
16
Estabilidad
Nos encontramos ante una ecuación de primer orden, y aplicando la derivada para
estudiar la estabilidad nos damos cuenta que el autovalor λ = k. En este período el valor
de k = 0.5, situándose entre “-1” y “1”, por lo que tenemos convergencia y estabilidad.
Al ser un número real y menor que “1” las trayectorias se aproximan asintóticamente al
atractor, que en este caso se sitúa en 9600 espectadores.
19
6.3.- Para el tercer período (desde la jornada 18ª hasta el final de la
temporada, jornada 21ª) :
Plantearemos dos nuevas variantes en este caso:
a) El equipo tienen posibilidades de ascenso (o bien está en zona de descenso, pero
se puede salvar):
yt+1 = yt + k yt (1-(yt /OB))
con 0 ≤ k ≤ 2,
y OB significa el 95 % del aforo del estadio.
Esta ecuación podría explicarnos también, a lo largo de toda la temporada, si
todos los factores considerados son positivos para el equipo (zona alta, buen
juego, jugadores de la cantera, precios asequibles,….)
El inconveniente de esta ecuación es que se trata de una ecuación no lineal de
primer orden, y por ello hacemos la simulación utilizando la hoja de cálculo y su
representación gráfica, a partir de la jornada 19.
OB =
23000
17
18
19
20
k = 0,7
k = 0,3
k = 1,3
9600
13515
17417
20376
9600
11278
13002
14698
9600
16871
22715
23081
25000
23000
21000
19000
17000
15000
13000
11000
9000
1
2
3
4
20
b) En el siguiente modelo, consideramos que el equipo está en zona intermedia, sin
posibilidades de ascenso ni descenso, su juego no es ilusionante, lo que
equivaldría a reflejar la situación en la que el equipo no satisface las
expectativas de los aficionados.
Para ello, vamos a redefinir nuestras variables, pues pretendemos construir un
sistema de ecuaciones lineales de primer orden, con el objetivo de utilizar
también el Mathematica:
Sea zt el número de espectadores que asisten al partido en la jornada t.
xt el número de abonados que asisten
e
yt el número de espectadores no abonados, que compran la entrada
Luego zt = xt + yt
Ahora bien, hacemos las siguientes hipótesis:
Para la primera ecuación, consideramos que el número de abonados que asisten
disminuyen (0 ≤ α ≤ 1), β nos indica el % de espectadores no abonados que
compran entradas de abonados, pues el club hace una reducción de precios para
los asientos de los abonados que no son ocupados. Luego nuestra primera
ecuación es:
xt+1 = α xt + β yt
y para la segunda ecuación (espectadores que compran las entradas) suponemos
que se mantiene el porcentaje sobre los abonados no asistentes, y un porcentaje
que compra las entradas (0 ≤ γ ≤ 1). Así pues, nuestra segunda ecuación es
yt+1 = β xt + γ yt
En esta variante, podemos considerar dos casos a su vez:
b1) β = 1 - α
con lo que nuestro sistema sería:
xt+1 = α xt + (1 - α) yt
yt+1 = (1 - α) xt + γ yt
La solución general de este sistema, resuelta por el Mathematica, es la siguiente:
21
RSolve@8x@t+1D−αx@tD−H1−αL y@tD 0,y@t+1D−H1−αLx@tD−γ y@tD 0<,8x@tD,y@tD<,tD
::x@tD→
è
1
4+5α2+γ2−2αH4+γL
1+t
1+ty
"
"
i −1−tii
2 −Jα+γ− 4+5α2+γ2−2αH4+γLN +Jα+γ+ 4+5α2+γ2−2αH4+γLN C@1D+
{
k kk
t
t
yy
"
"
2JJα+γ− 4+5α2+γ2−2αH4+γLN −Jα+γ+ 4+5α2+γ2−2αH4+γLN NHγC@1D+H−1+αLC@2DL ,y@tD→
{{
1
+
t
1+ty
1
"
"
i −1−tii
2
−Jα+γ− 4+5α2+γ2−2αH4+γLN +Jα+γ+ 4+5α2+γ2−2αH4+γLN C@2D+
è
{
4+5α2+γ2−2αH4+γL k kk
"
"
yy
{{
2JJα+γ− 4+5α2+γ2−2αH4+γLN −Jα+γ+ 4+5α2+γ2−2αH4+γLN NHH−1+αLC@1D+αC@2DL >>
t
t
Estabilidad
Para este caso tenemos que el Jacobiano viene dado por:
B= J
α
1− α
1− α
α
N
operando con el Mathematica tenemos que:
EigenvaluesAB = J
81, −1 + 2 α<
α
1− α
NE
1− α α
por lo que los autovalores son:
λ1 = 1
λ2 = 2 α − 1
Para estos autovalores descartaremos el λ1 = 1, pues es un caso de duda, y nos
quedaremos con λ2 = 2α-1, teniendo que:
1. Si α ≥ 0.5, tenemos que λ2 está comprendido entre “0” y “1”, por lo que
existiría convergencia y estabilidad asintótica.
2. Si α < 0.5, λ2 está comprendido entre “-1” y “0”, existiendo así
convergencia con amortiguación, ya que las trayectorias se acercan al
atractor de forma oscilatoria, no asintóticamente.
22
b2) β ≤ 1 - α
luego el sistema a estudiar es:
xt+1 = α xt + β yt
yt+1 = β xt + γ yt
RSolve@8x@t+ 1D −α x@tD −β∗ y@tD 0, y@t+1D −β∗x@tD −γ y@tD 0<, 8x@tD, y@tD<, tD
::x@tD→
1+t
1+ty
i −1−tii
"
"
2
−Jα+γ− α2+4β2−2αγ+γ2N +Jα+γ+ α2+4β2−2αγ+γ2N C@1D+
è2 2
kk
{
α +4β −2αγ+γ2 k
1
yy
"
"
2JJα+γ− α2+4β2−2αγ+γ2N −Jα+γ+ α2+4β2−2αγ+γ2N NHγC@1D−βC@2DL ,
t
y@tD→
t
{{
1+ty
i −1−tii
"
"
2
−Jα+γ− α2+4β2−2αγ+γ2N +Jα+γ+ α2+4β2−2αγ+γ2N C@2D+
è2 2
kk
{
α +4β −2αγ+γ2 k
1+t
1
yy
"
"
2J−Jα+γ− α2+4β2−2αγ+γ2N +Jα+γ+ α2+4β2−2αγ+γ2N NHβC@1D−αC@2DL >>
t
t
{{
Estabilidad
A= J
α β
N
β γ
EigenvaluesAA = J
:
α β
NE
β γ
1
1
"
"
Jα + γ − α2 + 4 β2 − 2 α γ + γ2 N,
Jα + γ + α2 + 4 β2 − 2 α γ + γ2 N>
2
2
Aquí tenemos un caso de estabilidad a estudiar que es complicado, ya que depende de
los valores que se le den a los parámetros α, β y γ, que están comprendidos entre “0” y
“1”, y por eso omitimos su desarrollo en este momento.
23
CONCLUSIONES:
Finalmente hemos conseguido nuestro objetivo de crear un modelo dinámico que nos
permitiera saber el número de espectadores que irán a cualquier partido del Tenerife en
el Heliodoro, sabiendo unos datos previos, es decir, hemos logrado ( o eso hemos
intentado) modelizar el flujo de espectadores que van a cada partido del Tenerife.
No obstante, hemos cometido, como es lógico, algunos fallos, unos intencionadamente,
y otros de forma menos consciente. El hecho de que nuestro resultados no coincidan con
los reales, se debe, a nuestro juicio, a un punto fundamental, el que hayamos decidido
que los multiplicadores para cada periodo (“k”), sean constantes a lo largo de los
mismos, con lo cuales suponer mucho. Ya que por ejemplo, cuando decimos que en un
periodo, el partido es televisado, estamos diciendo, que todos los partidos son
televisados para ese mismo periodo, lo que es un disparate. Sin embargo, nuestros
resultados se ajustarían más a la realidad si en cada partido, analizásemos el valor del
multiplicador.
Otro fallo que se le puede achacar a nuestro modelo es el hecho de ser muy objetivo, ya
que tomamos las motivaciones de los aficionados en base a las propias nuestras para ir a
ver un partido, aunque creemos que son las lógicas, cada persona es un mundo y para
perfeccionar este modelo habría que contar con una base estadística muy grande.
Por último, decir que la conclusión final y más importante que hemos sacado es, que
este modelo, lejos de estar terminado, es un primer paso que nos ha permitido
profundizar en el análisis dinámico, pero que puede ser perfeccionado, como todo en
esta vida, ya que no hay nada peor que pensar que algo es perfecto, ya que la perfección
es como una utopía, un sueño inalcanzable por el que se trabaja día a día.
24