Tema 1.2: Topología del plano complejo. La esfera de Riemann

Tema 1.2: Topología del plano complejo. La
esfera de Riemann
Facultad de Ciencias Experimentales, Curso 2008-09
E. de Amo
Pretendemos dotar al plano complejo C de una estructura topológica. Si
de lo que se trata es de buscar entre los candidatos, la topología asociada a la
distancia dada por el valor absoluto habrá de ser la primera a considerar:
d(z; w) := jz
wj ; 8z; w 2 C:
Acostumbraremos a escribir, como es usual,
zn ! z :, 8" > 0; 9n0 2 N : n
n0 =) d (zn ; z) < ":
En estas circunstancias, se van a veri…car las siguientes propiedades que
resumimos sin demostración:
Proposición. Sean (zn ) y (wn ) dos sucesiones en C; convergentes a z y w,
respectivamente. Entonces:
i. zn + wn ! z + w
ii. zn wn ! zw
iii. Si w =
6 0 (y, por tanto, wn 6= 0; 8n
n0 ), entonces
P
Proposición. Para que la P
serie de números complejos n
gente, es su…ciente que n 0 jzn j también lo sea.
zn
wn
!
0 zn
z
w
sea conver-
P
Test de mayoración de Weierstrass. Sean ; 6= A
C y
n 1 fn una
serie de funciones de A en C. Supongamos que existe una sucesión de
reales positivos (Mn )n 1 , tal que
a. jfn (a)j Mn ; 8a 2 A; 8n 2 N, y
P
b.
n 1 Mn converge.
P
Entonces la serie n 1 fn converge absoluta y uniformemente en A:
De hecho, el par (C; d) es un espacio métrico completo (no estamos hablando
de otra cosa, hasta ahora, que el plano euclídeo). Además, C es un cuerpo
topológico: es lo que nos dice la primera de las proposiciones arriba enunciadas
sobre la compatibilidad de las operaciones suma y producto y la distancia d.
Será útil, por tanto, el
1
Teorema de Hausdor¤.
i.
ii.
iii.
En todo espacio métrico E, son equivalentes:
E es compacto.
Toda sucesión en E admite parcial convergente en E:
Todo subconjunto in…nito en E tiene acumulación en E:
Observemos que C es un espacio métrico localmente compacto, pues los
discos cerrados (de centro z 2 C y radio r > 0)
D(z; r) := fw 2 C : jz
wj < rg
son compactos. Podemos aplicar, por tanto, es aplicable el
Teorema de Alexandro¤. Sea X un espacio topológico localmente compacto y de Hausdor¤. Sea 1 un objeto matemático tal que 1 2
= X.
Consideremos el par (X1 ; ), donde X1 := X [ f1g y es la familia
dada por
fabiertos de Xg [ fA
X1 : XnA compactog :
Entonces
i.
ii.
(X1 ; ) es un espacio topológico compacto y de Hausdor¤.
La topología inducida en X por X1 es la de partida de X:
Si aplicamos este teorema al plano complejo C obtendremos lo que llamamos
el plano ampliado C1 ; que acostumbraremos a escribir como C: Es evidente que
los entornos de cada punto z 2 C admiten discos abiertos contenidos en ellos,
de la forma
D(z; r) := fw 2 C : jz wj < rg :
(El caso paradigmático será cuando z = 0; r = 1: D := D(0; 1), el disco unidad.)
Para el punto 1, que llamaremos (punto del) in…nito, una base de entornos
es la dada por
fU : > 0g ;
donde
U := fz 2 C : jzj > g [ f1g
C:
En efecto: si G 2 , con 1 2 G, se tiene que CnG es compacto, luego acotado:
existe
> 0 tal que si z 2 CnG entonces jzj
; así, U
G. Y como
consecuencia de ser fU : > 0g base de entornos:
Proposición.
Para cada sucesión (zn ) de números complejos de tiene que
zn ! 1 , jzn j ! +1:
2
Es sencillo verlo:
zn ! 1 , f8 > 0; 9m; n
m =) jzn j > g , jzn j ! +1:
Es importante observar que, pese a todo, en C ya no se podrá operar como
en C: el objeto 1 sólo se ha incorporado con …nes topológicos, no operacionales;
C no es un cuerpo. De hecho, hay más:
No hay ninguna distancia en C que genere la topología .
Proposición.
En efecto; si fuese lo contrario, para tal d : C C ! [0; +1[ se tendría, en
particular, que
n ! 1 , d(n; 1) ! 0:
Pero:
d(n; 0) = n
d(0; 1) + d(1; n)
d(0; 1) + M; n
n0 ;
de modo que N estaría acotado; y sabemos que esto no es bueno...
Pese a no poder obtener la topología de C a partir de la distancia euclídea,
es decir, pese a no poder extender la distancia euclídea a C, lo que sí que se
puede es de…nir otra distancia en el plano C que sí se pueda extender a C. Nos
familiarizaremos con la Esfera de Riemann y la Proyección Estereográ…ca.
Consideremos la esfera unidad del espacio euclídeo R3 :
S 2 := (a; b; c) 2 R3 : a2 + b2 + c2 = 1
y establezcamos
: S2 ! C
dada por
(a; b; c) :=
La inversa de
a+ib
1 c :::;
1:::;
(a; b; c) 6= (0; 0; 1)
(a; b; c) = (0; 0; 1)
es fácilmente calculable:
8
<
z+z
; z z ; jzj 1
1
1+jzj2 i(1+jzj2 ) 1+jzj2
(z) =
:
(0; 0; 1) :::;
:::;
z2C
z=1
1
(Comprueba la fórmula para
.)
Observamos que es homeomor…smo entre los espacios de Hausdor¤ compactos S 2 y C. (Por esta razón se le suele llamar Esfera de Riemann al plano
ampliado.) La compacidad en C aporta algo esencial que lo diferencia de C:
todas las sucesiones de complejos se acumulan en C.
Se de…ne la distancia o métrica cordal en C como la aplicación
(z; w)
:
=
1
=
(z)
8
< p 2jz2 pwj
: p
1
(w) =
1+jzj
1+jwj2
1
:::;
1+jzj2
3
:::;
z; w 2 C
z 2 C; w = 1
1
1
(observa que
(z) y
(w) están sobre la esfera S 2 , de ahí el nombre
de"cordal").
(Comprueba que la fórmula anterior que nos da la distancia cordal en términos de z y w.)
Resumimos lo anterior:
Ventaja:
la métrica cordal
Desventaja:
C;
jC
se tiene en todo C
no es un métrico completo
Y podemos completar las propiedades de convergencia de sucesiones de C a
C del siguiente modo:
Proposición.
ii.
i.
Si zn ! 1 y wn ! w 2 Cnf0g, entonces zn wn ! 1
Para fzn ; n 2 Ng
Cnf0g, entonces zn ! 1 ,
1
zn
!0
A continuación introducimos los contenidos topológicos mínimos que nos
serán imprescindibles para lo que sigue. Si bien el contexto será generalizable a
situaciones abstractas, nos limitaremos a presentar las de…niciones y los resultados en el ambiente del plano complejo C.
Recordemos que la acumulación de un conjunto A de números complejos se
de…ne como
A0 := fz 2 C : 9 (an ) Anfag; an ! ag ;
que el cierre o adherencia A de un conjunto A de números complejos viene dado
por
A := A [ A0
y que para todo conjunto A C in…nito y acotado, se tiene que A0 6= ;:
Esta propiedad equivale, tal y como ocurre en todo euclídeo que se precie, a que toda sucesión in…nita en un acotado admita una parcial convergente
(propiedad de Weierstrass). Del mismo modo, para ; =
6 A C; son equivalentes
(teorema de Heine-Borel):
i.
ii.
A es cerrado y acotado
A es compacto (todo cubrimiento por abiertos de A admite un recubrimiento …nito).
La frontera de A; que la denotaremos por @A, se de…ne como
@A = A \ CnA:
Un conjunto A se va a decir conexo si no se puede expresar como la unión
disjunta de dos abiertos relativos. En particular, ello conlleva que si el conexo
A es un conjunto abierto y cerrado, entonces A = ; o bien A = C. Para cada
a 2 A; llamaremos componente conexa de a, que se notará por CA [a], al mayor
conexo en A tal que a 2 CA [a]:
4
Si no hay confusión, evitaremos el subíndice, de modo que se escribirá, simplemente, C[a]. Claramente, A es conexo si, y sólo si, C[a] = C[b] para cualesquiera a; b 2 A y cada conjunto se puede expresar como unión disjunta de sus
componentes conexas. Además fag = C[a], si, y sólo si, a es un punto aislado
de A.
Un concepto central en este curso:
DEFINICIÓN DE DOMINIO.
Se dice dominio del plano complejo a cualquier abierto y conexo. Es decir,
cualquier punto del mismo admite como entorno a algún disco:
8a 2 9r > 0 : D (a; r)
:
Las componentes conexas de un abierto son, igualmente, abiertos (de hecho,
dominios).
Damos el paso a considerar propiedades funciones complejas de variable compleja.
Proposición. Sean ; 6= A C; f : A ! C; l 2 C y a 2 A0 . Cada una de las
siguientes a…rmaciones implica la otra:
i.
ii.
Para toda sucesión (an ) de elementos en Anfag convergente a a, se
tiene que f (an ) ! l.
Para cada real positivo ", existe otro
A, entonces jf (x) lj < ".
tal que si 0 < jx
aj < ; x 2
Se dirá, caso de veri…carse estas a…rmaciones, que f tiene límite l en el punto
a; y escribiremos
l = lim f (x):
x!a
Proposición. Sean ; 6= A
C; f : A ! C y a 2 A \ A0 . Cada una de las
siguientes a…rmaciones implica la otra:
i.
ii.
Para toda sucesión (an ) de elementos en A convergente a a, se tiene
que f (an ) ! f (a).
Para cada real positivo ", existe otro
entonces jf (x) f (a)j < ".
tal que si jx
aj < ; x 2 A,
Se dirá, caso de veri…carse estas a…rmaciones, que f es continua en el punto a:
Es de observar que:
a.
En caso de que a 2 A \ A0 ; ambos conceptos coinciden si, y sólo si,
lim f (x) = f (a):
x!a
5
b.
Si a es punto aislado de A; dominio de f; siempre habrá continuidad (por
el carácter local de la misma) y no tendrá sentido plantear la existencia o
no de límite. De modo análogo, si a 2 A0 nA; entonces no tendrá sentido
plantear la continuidad o no de f en a:
Se trata de propiedades locales; en particular, se tiene cierta la siguiente
Propiedad del carácter local de la continuidad. Sea f : A
una función y sea a 2 A. Sea > 0 y llamemos B := fx 2 A : jx
Entonces, equivalen:
i.
ii.
C ! C
aj < g.
f es continua en a:
fjB es continua en a:
Los ejemplos conocidos ya por nosotros, en este corto periodo de vida que
llevamos con la variable compleja, son todos de funciones continuas con límite
en todo su dominio:
a.
el módulo o valor absoluto,
b.
la conjugación de números complejos,
c.
la suma y producto de números complejos...
d.
salvo, el nada trivial ejemplo de la función argumento (principal, o cualquiera
de sus ramas); lo cual se demostrará en breve.
Las propiedades fundamentales de las funciones continuas sobre conjuntos
destacados que nos interesan las recogemos en la siguiente
Proposición.
i.
ii.
Sea f : A
C ! C una función continua. Entonces:
Si A es un conjunto conexo, entonces f (A) es conexo.
Si A es un cojunto compacto, entonces f (A) es compacto.
Vamos ya con propiedades nada triviales. Concretamente, comenzamos
probando que el argumento principal es continuo en todo el plano salvo un rayo
que parte del origen. Además, completaremos esta información probando que
no es posible mejorar esta situación: ésto le va a pasar a cualquier determinación
que tomemos para el argumento.
Proposición.
La función argumento principal
arg
:
Cnf0g ! R
arg(z)
:
=
Im z
2 arctan jzj+Re
z :::;
:::;
es continua en CnR0 :
6
z2
=R
z2R
Demostración. Como CnR0 es un abierto y argjCnR es continua, por su
0
forma de de…nición, el carácter local de la continuidad nos dice que también
lo va a ser arg : Que la continuidad se rompe en el conjunto R0 , se pone de
mani…esto de la siguiente manera: consideramos x 2 R+ y la sucesión (zn ) dada
por
n
( 1)
! x:
zn := x + i
n
En estas condiciones, la sucesión
( 1)n
n
q
x + x2 +
arg (zn ) = 2 arctan
n
= 2 ( 1) arctan
1
n2
nx +
1
p
1 + n2 x2
no es convergente, por lo que el argumento principal no converge en ningún
punto de R .
Proposición. Si S es una semirrecta cerrada que parte del origen (0 2 S),
entonces podemos encontrar una función continua f de CnS en R tal que
f (z) 2 Arg (z) ; 8z 2 CnS:
Demostración. Sabemos que el argumento principal viene caracterizado
por dos propiedades:
a. z 2 Cnf0g =) arg(z) 2 Arg(z)
b. z 2 Cnf0g =) arg(z) 2 ] ; ] :
Sea ahora 2 R, y de…namos a : Cnf0g ! R dada por:
a’. z 2 Cnf0g =) a (z) 2 Arg(z)
b’. z 2 Cnf0g =) a (z) 2 ] ; ] :
Observamos que si ' := a (z), con z 2 Cnf0g, entonces ' 2 ]
; + ];
luego
<'
:
Sea ahora w := ei . Así,
' 2 Arg (z) () '
luego a (z) = arg
z
w
+
a es continua en z
2 Arg
z
;
w
y, en consecuencia:
()
arg es continua en
()
arg
()
z
()
w
z
6= () a (z) 6=
w
+ 2
= Arg (z) :
+
()
Q.E.D.
Un conjunto A del plano C se dice conexo por poligonales si cualesquiera
dos puntos suyos se pueden unir por un conjunto …nito de segmentos, todos
completamente contenidos en A:
7
El siguiente resultado será clave (entre toda una multitud de cosas) para ver
que en C; la situación
conexo por poligonales
+
conexo por arcos
+
conexo
tiene recíproco cierto cuando se considera sobre dominios; es decir, si el conjunto,
además de conexo, es abierto.
Lema de Conexión. Sean un dominio del plano C y ; =
6 A
amos que A veri…ca la siguiente condición:
a 2 A; D(a; r)
=) D(a; r)
: Supong-
A:
Entonces A = :
Demostración. La hipótesis nos dice de A que es un abierto relativo en .
Por tanto, bastará probar que es, también, cerrado relativo a . Sea z 2 \ A:
Ha de existir r > 0 tal que
D(z; r)
Sea, pues existe, a 2 A tal que jz
jw
zj
y D z;
r
\ A 6= ;:
2
aj < r=2. Así, si w 2 D(a; r=2),
jw
aj + jz
aj < r;
luego w 2 , de donde D(a; r=2)
: Aplicamos ahora la hipótesis de este
lema: D(a; r=2) A.
Pero esto conlleva que z 2 A, luego A es un abierto y cerrado relativo a
no vacío: A = : Q.E.D.
Proposición.
nales.
Todo dominio
Demostración. Sea
A := fz 2
del plano complejo C es conexo por poligo-
2 . Llamemos
: z se puede unir con
por una poligonalg :
Claramente A 6= ;, ¿o no? Sea, pues, a 2 A y sea r > 0 tal que D(a; r)
claro que
z 2 D(a; r) =) z 2 A;
. Es
luego, por el lema de conexión, A = : Q.E.D.
Gracias a que C es localmente conexo (y, por tanto, los abiertos son, localmente, dominios):
Proposición. Las componentes conexas de un abierto A del plano complejo
C son dominios.
8
Demostración. Sea
una componente conexa de A. Veamos que es
abierta. Sea a 2
y sea r > 0 tal que D(a; r)
A. Por argumentos de
conexión habrá de ser D(a; r)
(¡detalla el argumento!), luego
es un
abierto. Q.E.D.
(Recordemos que en C los abiertos se pueden expresar como unión numerable
de sus componentes conexas.)
Curvas en el plano complejo
Vamos a completar este tema con una introducción al concepto de curva, tal
y como se va a usar en Variable Compleja.
De…nición. Llamamos curva en el plano C a cualquier aplicación continua de
la forma
: [a; b] ! C:
Se acostumbra a escribir:
:=
([a; b]) := f(x(t); y(t)) : t 2 [a; b]g
como la imagen de la curva, donde x; y son funciones continuas de [a; b]
en R.
Observemos que, aunque escribamos
(t) = (x(t); y(t));
debemos no confundir entre la aplicación y su (conjunto) imagen
C:
Con todo, se sobreentenderá, en cada caso, a quién nos estamos re…riendo. A
(x (a) ; y (a)) se le llama origen de c; mientras que a (x (b) ; y (b)) se le llama
extremo de : Si origen y extremo son el mismo punto, a la curva se le llama
cerrada.
Observemos, igualmente, que las curvas pueden tener autocortes; es decir, no
tienen porqué ser aplicaciones inyectivas (pensemos en un lazo, por ejemplo).
Veamos algunos ejemplos que nos familiarizarán con expresiones con las que
habremos de acostumbrarnos.
Ejemplo 1. (Segmentos) Dados z; w 2 C, el segmento de origen z y extremo
x es la curva
[z; w] : [0; 1] ! C
dada por
[z; w] (t) := tw + (1
t) z; 8t 2 [0; 1] :
Observemos cómo en este caso, la imagen [z; w] de [z; w] coincide con lo
que en un exceso (¡recordemos que no hay orden en C!) podría llamarse
"intervalo de extremos" z y w, y que no podría escribirse de otra manera
sino [z; w]. Esta curva recorre el segmento a velocidad constante, desde z
a w.
9
Ejemplo 2. (Circunferencias) La expresión
:= f(a + r cos (t) ; b + r sin (t)) : t 2 [0; 2 ]g
nos muestra la imagen de una curva cerrada que representa un circunferencia de radio r > 0 con centro en el punto (a; b) 2 C, y que es recorrida
a velocidad constante en el sentido positivo (el contrario alas agujas del
reloj). Notemos que, en nuestro lenguaje,
= C((a; b); r):
(Nuestro caso más familiar será el de la circunferencia unidad T, cuando a =
b = 0; r = 1.)
Ejemplo 3. (Yuxtaposición) Si disponemos de dos curvas
1
: [a; b] ! C;
2
: [c; d] ! C
tales que 1 (b) = 2 (c), se puede de…nir lo que se llama curva suma de
ambas, y que se notará por 1 + 2 , como la aplicación
1
+
2
: [0; 1] ! C
dada por
(
1
+
2 ) (t)
(2tb + (1 2t) a) :::;
1
t) c :::;
2 2 t
2 d + 2 (1
1
:=
0
1
2
t
t
1
2
1:
O bien, si se pre…ere una parametrización sencilla sobre el intervalo [a; b + d
se puede hacer:
(
1
+
2 ) (t)
:=
1
2
Ejemplo 4. (Curva opuesta) Si
será la nueva curva dada por
(t) :::;
a
(c b + t) :::; b
: [a; b]
t
t
b
b+d
c:
! C es una curva, su opuesta
: [a; b] ! C
dada por
(t) :=
(b + a
t) ; 8t 2 [a; b] :
Es decir, ( ) =
y sus recorridos son opuestos: los hacen en sentido
contrario el uno respecto del otro. (En particular, el origen de una es el
extremo de la otra, y viceversa.) Por ello se dice que y
son curvas
opuestas o de orientaciones contrarias. Y, en particular, + ( ) es una
curva cerrada: representa un "sendero de ida y vuelta".
Ejemplo 5. (Poligonales) Los ejemplos 1 y 3 nos permiten escribir, con pleno
signi…cado, expresiones de la forma:
[z1 ; zn ] = [z1 ; z2 ] + [z2 ; z3 ] + ::: + [zn
10
1 ; zn ] :
c],
Ejemplo 6. Una curva no ha de ser necesariamente, como ya se dijo más
arriba, inyectiva (veri…ca los cálculos y estudia con detalle lo que representa):
t ! eit ; 8t 2 [ ; 2 ] :
Una curva se dice regular si es derivable en todo punto. Se dice regular a
trozos si se puede expresar como yuxtaposición de curvas regulares. Se dirá
camino si se trata de una curva cerrada regular a trozos.
Cuando una curva es regular, se puede calcular su longitud mediante la
conocida fórmula:
Z
b
long ( ) :=
a
0
j
(t)j dt:
Puedes dar un vistazo de repaso y analizar las propiedades de las curvas
anteriores, en los ejemplos, en relación a estos conceptos recién enunciados, así
como completar los detalles en los ejemplos 7 a 9 que siguen. En particular, se
puede refrescar lo concerniente a curvas recti…cables, que no son otras que las
funciones de variación acotada: en el caso de que sean curvas regulares, su longitud (el supremo, …nito, de las correspondientes sumas poligonales asociadas)
admite la representación integral que aparece arriba.
Ejemplo 7.
[ 1; 1] + [1; 1 + i] + [1 + i; 1
Ejemplo 8.
[1
i; 0] + [0; 1 + i] +
(t) :=
Ejemplo 9.
p
i]
; donde
h
i
2ei(t+ 4 ) ; 8t 2 0; 3 :
2
(t) := eit cos t; 8t 2 [0; 2 ] :
EJERCICIOS PROPUESTOS
1. Estúdiese la existencia de límite en el origen para la función compleja de
variable compleja f de…nida en un entorno perforado del origen, cuando:
a. f (z) =
Re z
jzj ;
b. f (z) =
z Re z
jzj :
2. Sea f una función compleja de variable compleja uniformemente continua
de…nida sobre el disco unidad D. Pruébese que se trata de la restricción,
al disco unidad (abierto), de alguna función g continua en el disco unidad
cerrado D:
3. Sea f una función compleja de variable compleja continua en un dominio
: Supongamos que veri…ca
f 2 (z)
1 < 1;
8z 2 :
Pruébese que o bien Re f (z) < 0 o bien Re f (z) > 0, para todo z 2 .
11
4. Sea un dominio del plano complejo y sea f una función compleja de…nida
sobre él. Supongamos que Re f (z) 6= 0 p
y que f 2 (z) = z enp . Pruébese
que, bajo estas hipótesis, o bien f (z) = z o bien f (z) =
z, para todo
z2 .
5. Sea una sucesión (zn ) de números complejos no nulos convegente a otro
complejo no nulo z, y sea 2 Arg(z). Pruébese la existencia de una
sucesión ( n ) tal que
n
2 Arg (zn ) ; 8n natural y
n
! :
(Indicación: redúzcase el problema al caso z = 1.)
6. Hágase un estudio detallado de la proyección estereográ…ca: cómo se transforma el hemisferio norte, cómo el hemisferio sur, cómo regiones acotadas
de la esfera no tienen porqué serlo en su correspondiente región del plano
complejo ampliado, etc. Por ejemplo, ¿qué acción signi…ca sobre la esfera
S 2 la función compleja de variable compleja z ! f (z) = 1=z?
7. Pruébese que la proyección estereográ…ca de cualquier circunferencia contenida en la esfera de Riemann es una recta o una circunferencia en el
plano complejo, según que la circunferencia de partida pase o no, respectivamente, por el Polo Norte de la esfera.
8. ¿Qué condiciones han de veri…car dos puntos del plano complejo para ser
las proyecciones estereográ…cas de dos puntos diametralmente opuestos de
la esfera de Riemann?
9. Considera la esfera de radio 21 tangencialmente situada sobre el origen del
plano complejo C. Calcula las ecuaciones de la correspondiente proyección
estereográ…ca.
12