Ajuste de una recta por mínimos cuadrados • Los datos y su interpretación • Los parámetros que mejor ajustan. • Estimación de la incertidumbre de los parámetros. • Coeficiente de correlación lineal. • Presentación de los resultados. Ejemplo. Técnicas experimentales de Física General 1/7 Los datos y su interpretación Razones teóricas: y = mx + n N pares de medidas ( x1 , y1 );( x2 , y2 );";( xN , yN ) Antes de tomar las medidas: El intervalo elegido para la variable independiente, ¿abarca todo el rango de interés? ¿Están los puntos uniformemente distribuidos en este intervalo? xi 1 2 3 5 6 8 9 10 yi 1.5 2.0 4.0 4.6 4.7 8.5 8.8 9.9 y(unidades) Ordenación y representación gráfica de los datos 12 10 8 6 4 2 0 0 2 4 6 8 10 12 x(unidades) ¿Se comportan los pares de medidas visualmente según una línea recta? ¿Hay algún punto que presente un comportamiento anómalo? Técnicas experimentales de Física General 2/7 Los parámetros que mejor ajustan ¿Cuál es la recta que mejor se ajusta a las N medidas? N χ ( n, m) = ∑ ( yi − mxi − n )2 2 i =1 y 12 10 NS xy − S x S y m= 8 6 NS xx − S x S x (y i -mx i -n) 4 2 n= 0 0 2 4 6 8 10 S xx S y − S x S xy 12 NS xx − S x S x X ( 2 ¿Qué valores de m y n hacen mínimo χ ? N N ∂χ 2 = 0 → 0 = ∑ −2 ( yi − mxi − n )xi = −2∑ ( yi xi − mxi2 − nxi ) ∂m i =1 i =1 N ∂χ 2 = 0 → 0 = ∑ −2 ( yi − mxi − n ) ∂n i =1 Definiendo N Sx = ∑ xi i =1 N Sy = ∑ yi i =1 Técnicas experimentales de Física General N Sxx = ∑x i =1 2 i N Sxy = ∑ xi yi i =1 3/7 Estimación de la incertidumbre de los parámetros ¿Cuál es el mejor estimador de las incertidumbres de m y de n? Suponemos que: • Solo los valores yi tienen error: δyi • Los errores en y son todos iguales: δyi = δy = σy y se estima a partir de la varianza de los datos: 2 χ 2 ( n, m ) 1 N 2 ( yi − mxi − n ) = σy = ∑ N − 2 i =1 N −2 Aplicando propagación de errores: 2 ∂m σ y ; j =1 ∂y j N σ m2 = ∑ ∂n 2 σn = ∑ σ y j =1 ∂y j N 2 y operando se obtiene: S xx χ 2 ( n, m ) σ = NS xx − S x S x N − 2 2 n N χ 2 ( n, m ) σ = NS xx − S x S x N − 2 2 m Técnicas experimentales de Física General 4/7 Coeficiente de correlación lineal ¿Cómo podemos saber cuán bueno es el comportamiento lineal de los N pares de datos medidos? Los errores en las medidas σ y son conocidos: i • ¿La recta pasa por casi todos las barras de error de los puntos? 2 • Test de χ . Los errores en las medidas σ y son desconocidos: i • A partir de la dispersión de los datos. • Coeficiente de correlación lineal: r • Mide el grado de correlación lineal entre x e y. • r ≤1 r= r = 1 Correlación total. r = 0 No hay correlación. NS xy − S x S y NS xx − S x S x NS yy − S y S y Técnicas experimentales de Física General N siendo S yy = ∑ y i2 i =1 5/7 Presentación de los resultados Ejemplo Tabla de datos y cálculos i xi yi 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 5 6 8 9 10 1.5 2.0 4.0 4.6 4.7 8.5 8.8 9.9 N=8 Sx=44 xi2 xi y i 1.5 4.0 12.0 23.0 28.2 68.0 79.2 99.0 Sy=44 Sxy=314.9 1.0 4.0 9.0 25.0 36.0 64.0 81.0 100.0 yi2 (n+mxi -yi)2 2.25 4.00 16.00 21.16 22.09 72.25 77.44 98.01 0.042 0.052 0.699 0.187 1.606 0.440 0.000 0.037 Sxx=320 Syy=313.2 χ2=3.066 PARÁMETROS DEL AJUSTE : m= n= r= NS xy − S x S y NS xx − S x S x S xx S y − S x S xy NS xx − S x S x =0.935 N χ 2 (n, m) = 0.081 ε (m)= NS xx − S x S x N − 2 = 0.36 S xx χ 2 (n, m) = 0.512 NS xx − S x S x N − 2 ε (n)= NS xy − S x S y NS xx − S x S x NS yy − S y S y Técnicas experimentales de Física General = 0.978 6/7 Ajuste de datos a una recta y(unidades) 12,0 10,0 8,0 6,0 4,0 2,0 0,0 0,0 2,0 4,0 6,0 8,0 10,0 12,0 x(unidades) y = ( 0.94 ± 0.08 ) x + ( 0.4 ± 0.5 ) Técnicas experimentales de Física General 7/7