1. Construcción de la Integral Integral de Riemann en Rn . Concepto y Propiedades Fundamentales. JJ II J I La integral de Riemann en Rn es una generalización de la integral de funciones de una variable. La definición que vamos a dar reproduce el método de Darboux para funciones acotadas definidas en rectángulos. La generalización a otra familia más amplia de conjuntos se verá más adelante. Llamamos rectángulo en Rn a un producto cartesiano de intervalos A = [a1 , b1 ] × · · · × [an , bn ] y llamamos volumen de A al producto de las longitudes de sus lados v(A) = Πni=1 (bi − ai ) Llamamos partición de A a una familia P formada por una partición de cada uno de los intervalos, P = {P1 , . . . , Pn }, donde Pi = {a = t0 ≤ · · · ≤ tki = bi } es una partición de [ai , bi ] Integral de Riemann en Rn . Concepto y Propiedades Fundamentales. Una partición P de A define una familia finita de rectángulos, que llamaremos RP , que verifica [ X A= R; v(A) = v(R) R∈RP JJ II J I R∈RP Si P = {P1 , . . . , Pn } y Q = {Q1 , . . . , Qn } son dos particiones de A, se dice que Q ≥ P , o que Q es más fina que P , si para cada i entre 1 y n Pi ⊆ Qi . En este caso, Q define en cada rectángulo R de RP una partición QR . Integral de Riemann en Rn . Concepto y Propiedades Fundamentales. JJ II J I Dadas dos particiones P y Q de A, llamaremos P ∪ Q a la partición formada por todos los puntos de cada Pi y Qi Integral de Riemann en Rn . Concepto y Propiedades Fundamentales. JJ II J I Definición (Sumas de Riemann). Sea f : A −→ R una función acotada, y P una partición de A. Para cada rectángulo R ∈ RP se definen: mR (f ) = inf{f (x); x ∈ R} Integral de Riemann en Rn . Concepto y Propiedades Fundamentales. MR (f ) = sup{f (x); x ∈ R} Se definen la Suma Inferior de Riemann y la Suma Superior de Riemann por X mR (f ) v(R) S(f, P ) = R∈RP S(f, P ) = X R∈RP respectivamente. JJ II J I MR (f ) v(R) Si f es una función no negativa, S(f, P ) es la suma de los volúmenes de los rectángulos R × [0, mR (f )], levantados por debajo de la gráfica de f , y S(f, P ) es la suma de los volúmenes de los rectángulos R × [0, MR (f )] construidos por encima de la gráfica de f Caso n=1: Integral de Riemann en Rn . Concepto y Propiedades Fundamentales. JJ II J I Caso n=2 Integral de Riemann en Rn . Concepto y Propiedades Fundamentales. JJ II J I Estas sumas superiores e inferiores verifican las siguientes propiedades: Integral de Riemann en Rn . Concepto y Propiedades Fundamentales. JJ II J I Estas sumas superiores e inferiores verifican las siguientes propiedades: 1.- Para toda partición P de A, S(f, P ) ≤ S(f, P ) Integral de Riemann en Rn . Concepto y Propiedades Fundamentales. JJ II J I 2.- Si P y Q son dos particiones con P ≤ Q, entonces S(f, P ) ≤ S(f, Q) y S(f, P ) ≥ S(f, Q) es decir, cuanto más fina es la partición, la suma inferior es mayor y la superior es menor. Integral de Riemann en Rn . Concepto y Propiedades Fundamentales. t0 t1 t2 t3 t4 t5 s0 s1 s2 s3 s4 s5 s6 s7 s8 s9 s10 P ≤Q P = {t0 , t1 , t2 , t3 , t4 , t5 } JJ II J I S(f, P ) Q = {s0 , s1 , s2 , s3 , s4 , s5 , s6 , s7 , s8 , s9 , s10 } S(f, Q) Integral de Riemann en Rn . Concepto y Propiedades Fundamentales. t0 t1 t2 t3 t4 t5 s0 s1 s2 s3 s4 s5 s6 s7 s8 s9 s10 P ≤Q P = {t0 , t1 , t2 , t3 , t4 , t5 } S(f, P ) Q = {s0 , s1 , s2 , s3 , s4 , s5 , s6 , s7 , s8 , s9 , s10 } S(f, Q) JJ II J I 3.- Para toda partición P de A, mA (f )v(A) ≤ S(f, P ) ≤ S(f, P ) ≤ MA (f )v(A) MA (f )v(A) Integral de Riemann en Rn . Concepto y Propiedades Fundamentales. S(f, P ) S(f, P ) t0 t1 t2 t3 t4 t5 mA (f )v(A) P = {t0 , t1 , t2 , t3 , t4 , t5 } JJ II J I 4.- Si P y Q son dos particiones cualesquiera de A, S(f, P ) ≤ S(f, Q) Integral de Riemann en Rn . Concepto y Propiedades Fundamentales. t0 t1 t2 t3 t4 t5 s3 s4 s5 s6 s0 s1 s2 P = {t0 , t1 , t2 , t3 , t4 , t5 } JJ II J I S(f, P ) Q = {s0 , s1 , s2 , s3 , s4 , s5 , s6 } S(f, Q) Definimos ahora las integrales inferior y superior de una función de la siguiente manera: Integral de Riemann en Rn . Concepto y Propiedades Fundamentales. Definición (Integral Superior e Integral Inferior). Sea A un rectángulo en Rn , y f : A −→ R una función acotada. Se llama integral inferior de f en A a Z f = sup{S(f, P ); P partición de A} A Y se llama integral superior de f en A a Z f = inf{S(f, P ); P partición de A} A JJ II J I Las integrales superior e inferior están bien definidas, en el sentido de que como los conjuntos de sumas superiores e inferiores de Riemann de f son acotados, existen el supremo y el ı́nfimo respectivamente. Además, por las propiedades que hemos visto antes, se tiene que Z Z mA (f )v(A) ≤ f≤ f ≤ MA (f )v(A) A A Integral de Riemann en Rn . Concepto y Propiedades Fundamentales. JJ II J I Definición (Función Integrable Riemann). Sea A un rectángulo en Rn , y f : A −→ R. Se dice que f es integrable Riemann en A si es acotada y las integrales superior e inferior de f en A coinciden. En este caso se llama integral de f en A a Z Z Z f f= f= A A A Ejemplo 1. Toda función Z constante en un rectángulo es integrable. Además, si f (x) = a para f = av(A) cada x ∈ A, entonces A Integral de Riemann en Rn . Concepto y Propiedades Fundamentales. En efecto, si P es una partición cualquiera de A, y R es uno de los rectángulos definidos por P , mR (f ) = a = MR (f ), ası́ que X X X S(f, P ) = MR (f )v(R) = av(R) = a v(R) = av(A) R∈RP R∈RP R∈RP y S(f, P ) = X R∈RP mR (f )v(R) = X av(R) = a R∈RP X v(R) = av(A) R∈RP Por tanto Z f = inf{S(f, P ), P partición de A} = av(A) A y JJ II J I Z f = sup{S(f, P ), P partición de A} = av(A) A Z las dos integrales son iguales, f es integrable, y f = av(A) A Ejemplo 2. La función de Dirichlet, f : [0, 1] −→ R definida por 1 si x ∈ Q f (x) = 0 si x 6∈ Q Integral de Riemann en Rn . Concepto y Propiedades Fundamentales. no es integrable Riemann. En efecto, si P es una partición cualquiera de A, y R es uno de los rectángulos definidos por P , en R habrá números racionales y números irracionales, de modo que mR (f ) = 0 y MR (f ) = 1, ası́ que X X S(f, P ) = MR (f )v(R) = v(R) = v([0, 1]) = 1 R∈RP R∈RP y S(f, P ) = X mR (f )v(R) = 0 R∈RP Por tanto Z JJ J f = inf{S(f, P ), P partición de A} = 1 II I A y Z f = sup{S(f, P ), P partición de A} = 0 A Integral de Riemann en Rn . Concepto y Propiedades Fundamentales. Ejemplo 3. Funciones no integrables en R2 Partiendo del ejemplo anterior, es fácil construir funciones que no sean integrables, definidas en conjuntos de R2 , o en general de Rn . Por ejemplo, puede ser 1 si x ∈ Q f (x, y) = 0 si x 6∈ Q definida en A = [0, 1] × [0, 1], o g(x, y) = 1 0 si si (x, y) ∈ Q2 (x, y) 6∈ Q2 JJ II J I 2. Criterio de Riemann El primer teorema que vamos a demostrar, da una condición equivalente para la integrabilidad de una función, aunque no da el valor de su integral. Es una condición parecida a la condición de Cauchy de las sucesiones de números reales, o de vectores de Rn . Integral de Riemann en Rn . Concepto y Propiedades Fundamentales. Teorema (Criterio de Integrabilidad de Riemann). Sea A un rectángulo en Rn, y f : A −→ R una función acotada en A. f es integrable en A si y sólo si para cada > 0 existe una partición P de A tal que S(f, P) − S(f, P) ≤ JJ II J I Demostración: I (Saltar al final de la demostración) Supongamos primero que f es integrable en A, y sea > 0. Por la definición de la integral superior como el ı́nfimo de R las sumas superiores de Riemann, existirá al menos una partición P1 de A tal que S(f, P1 ) < A f + /2. Y por la definición de la integral inferior como R supremo de f − /2. las sumas inferiores, existirá al menos una partición P2 de A tal que S(f, P2 ) > A Consideramos entonces la partición P unión de P1 y P2 , y tenemos Z S(f, P ) ≤ S(f, P1 ) < f + /2 A y Integral de Riemann en Rn . Concepto y Propiedades Fundamentales. Z S(f, P ) ≥ S(f, P2 ) > f − /2 A de donde restando las dos desigualdades se obtiene Z Z S(f, P ) − S(f, P ) < f + /2 − f + /2 = A A Z Z f= ya que por ser f integrable A JJ II J I f. A Recı́procamente, supongamos ahora que para cada > 0 existe alguna partición P de A tal que S(f, P ) − S(f, P ) < Z Z Entonces como f ≤ S(f, P ) y f ≥ S(f, P ), tenemos A Z A Z 0≤ f− A f ≤ S(f, P ) − S(f, P ) < A y esto para todo > 0, luego necesariamente Z Z f= A Integral de Riemann en Rn . Concepto y Propiedades Fundamentales. JJ II J I f A y por tanto f es integrable en A. J(Volver al enunciado) Como consecuencia de este teorema es fácil demostrar que toda función continua en un rectángulo es integrable, o incluso que toda función monótona es integrable (ver problemas) 3. Propiedades Para terminar este primer capı́tulo, vamos a demostrar las propiedades elementales de la integral Integral de Riemann en Rn . Concepto y Propiedades Fundamentales. Teorema (Propiedades de la Integral de Riemann). Sea A un rectángulo en Rn , y sean f : A −→ R y g : A −→ R dos funciones integrables en A. R R R 1. la suma f + g es integrable y A (f + g) = A f + A g R R 2. para todo α ∈ R el producto αf es integrable, y A (αf ) = α A f Z 3. si f ≥ 0, entonces f ≥0 A Z 4. si f ≥ g, entonces Z f≥ A 5. |f | también es integrable, y JJ II J I g A Z Z f ≤ |f | A 6. max{f, g} y min{f, g} son integrables 7. el cuadrado f 2 es integrable 8. el producto f g es integrable A I (Saltar al final de la demostración) Demostración: (1) Como f y g son acotadas, también f + g es acotada. Sea P una partición cualquiera de A, y R ∈ RP un rectángulo cualquiera definido por P . entonces Integral de Riemann en Rn . Concepto y Propiedades Fundamentales. mR (f + g) = inf{f (x) + g(x), x ∈ R} ≥ ≥ inf{f (x), x ∈ R} + inf{g(y), y ∈ R} = mR (f ) + mR (g) y MR (f + g) = sup{f (x) + g(x), x ∈ R} ≤ ≤ sup{f (x), x ∈ R} + sup{g(y), y ∈ R} = MR (f ) + MR (g) En consecuencia, multiplicando por v(R) y sumando Z S(f, P ) + S(g, P ) ≤ S(f + g, P ) ≤ (f + g) JJ II J I A Z ≤ ≤ (f + g) ≤ S(f + g, P ) ≤ S(f, P ) + S(g, P ) A Si tomamos ahora dos particiones cualesquiera de A, P 1 y P 2 , y consideramos la unión P = P 1 ∪ P 2 , tenemos S(f, P 1 ) + S(g, P 2 ) ≤ S(f, P ) + S(g, P ) ≤ S(f + g, P ) Z Z ≤ (f + g) ≤ (f + g) ≤ S(f + g, P ) ≤ Integral de Riemann en Rn . Concepto y Propiedades Fundamentales. A A ≤ S(f, P ) + S(g, P ) ≤ S(f, P 1 ) + S(g, P 2 ) Dejando fija P 2 , y tomando a la izquierda de la cadena supremos en P 1 , como f es integrable queda Z Z Z 2 f + S(g, P ) ≤ (f + g) ≤ (f + g) ≤ S(f, P 1 ) + S(g, P 2 ) A A A y tomando ahora supremos en P 2 Z Z Z Z f+ g≤ (f + g) ≤ A JJ II J I A A (f + g) ≤ S(f, P 1 ) + S(g, P 2 ) A Repitiendo estos argumentos con la parte derecha de la desigualdad, tomando ı́nfimos en vez de supremos, obtenemos Z Z Z Z Z Z f+ g≤ (f + g) ≤ (f + g) ≤ f+ g A A A A A A luego en efecto f + g es integrable, y su integral es la suma de las integrales de f y g (2) Si f es integrable, entonces es acotada y evidentemente entonces también αf es acotada. Supongamos ahora que α ≥ 0. Sea P una partición cualquiera de A, y R uno de los rectángulos de RP . Integral de Riemann en Rn . Concepto y Propiedades Fundamentales. mR (αf ) = inf{αf (x), x ∈ R} = α inf{f (x), x ∈ R} = αmR (f ) y análogamente MR (αf ) = sup{αf (x), x ∈ R} = α sup{f (x), x ∈ R} = αMR (f ) Entonces, multiplicando por el volumen de cada rectángulo de la partición, y sumando X X mR (αf )v(R) = αmR (f )v(R) = αS(f, P ) S(αf, P ) = R∈RP JJ II J I r∈RP y S(αf, P ) = X R∈RP MR (αf )v(R) = X r∈RP αMR (f )v(R) = αS(f, P ) Por tanto Z αf = sup{S(αf, P ), P partición de A} = A Integral de Riemann en Rn . Concepto y Propiedades Fundamentales. = sup{αS(f, P ), P partición de A} = = α sup{S(f, P ), P partición de A} = Z f = α A y análogamente Z αf = inf{S(αf, P ), P partición de A} = A = inf{αS(f, P ), P partición de A} = = α inf{S(f, P ), P partición de A} = Z = α f JJ II J I A R R Ası́ que como f es integrable, αf también lo es, y A αf = α A f Cuando α < 0, hay que tener en cuenta que para sacar α de un supremo o un ı́nfimo, hay que cambiar el sentido de las desigualdades, con lo que se cambian los ı́nfimos por supremos y los supremos por ı́nfimos: mR (αf ) = inf{αf (x), x ∈ R} = α sup{f (x), x ∈ R} = αMR (f ) y análogamente Integral de Riemann en Rn . Concepto y Propiedades Fundamentales. MR (αf ) = sup{αf (x), x ∈ R} = α inf{f (x), x ∈ R} = αmR (f ) de modo que S(αf, P ) = X mR (αf )v(R) = R∈RP X αMR (f )v(R) = αS(f, P ) r∈RP y S(αf, P ) = X MR (αf )v(R) = R∈RP X αmR (f )v(R) = αS(f, P ) r∈RP De aquı́ Z αf = sup{S(αf, P ), P partición de A} = JJ II J I A = sup{αS(f, P ), P partición de A} = = α inf{S(f, P ), P partición de A} = Z = α f A y análogamente Z αf = inf{S(αf, P ), P partición de A} = A Integral de Riemann en Rn . Concepto y Propiedades Fundamentales. = inf{αS(f, P ), P partición de A} = = α sup{S(f, P ), P partición de A} = Z = α f A Ası́ que también αf es integrable y R A αf = α R A f (3) Es trivial, ya que si f (x) ≥ 0 para todo x ∈ A, entonces Z Z f≥ f ≥ mA (f )v(A) ≥ 0 A JJ II J I A R (4) Se deduce de las tres propiedades anteriores: por (2), −g es integrable, y R R R R R A (−g) R = − A g. Por (1), f − g = f + (−g) es integrable, y A (f − g) = A f + A (−g) = A f − A g. Y por (3), como f (x) − g(x) ≥ 0 para todo x ∈ A, Z Z Z f− g = (f − g) ≥ 0 A A A luego Z Z f≥ A Integral de Riemann en Rn . Concepto y Propiedades Fundamentales. g A (5) Como f es integrable, en particular es acotada, y por tanto también |f | es acotada. Sea P una partición cualquiera de A, y R uno de los rectángulos definidos por P , R ∈ RP , y sean x e y dos puntos cualesquiera en R. Se tiene mR (f ) − MR (f ) ≤ f (x) − f (y) ≤ MR (f ) − mR (f ) luego |f (x)| − |f (y)| ≤ | |f (x)| − |f (y)| | ≤ |f (x) − f (y)| ≤ MR (f ) − mR (f ) y tomando supremos en x e ı́nfimos en y, MR (|f |) − mR (|f |) ≤ MR (f ) − mR (f ) Multiplicando cada una de estas desigualdades por el volumen de R, y sumando JJ II J I S(|f |, P ) − S(|f |, P ) = X (MR (|f |) − mR (|f |)) v(R) ≤ R∈RP ≤ X R∈RP (MR (f ) − mR (f )) v(R) ≤ S(f, P ) − S(f, P ) Como f es integrable, aplicando el Criterio de Riemann, dado > 0 existe alguna partición P de A tal que S(f, P ) − S(f, P ) < . Y entonces S(|f |, P ) − S(|f |, P ) ≤ S(f, P ) − S(f, P ) < Integral de Riemann en Rn . Concepto y Propiedades Fundamentales. luego aplicando el mismo criterio a |f |, también es integrable. Además, como para todo x ∈ A −|f (x)| ≤ f (x) ≤ |f (x)| aplicando las propiedades (2) y (4) Z Z Z − |f | ≤ f≤ |f | A JJ II J I de donde Z A A A se deduce que Z f ≤ |f | A (6) Basta observar que para cada cada x ∈ A max{f, g}(x) = max{f (x), g(x)} = f (x) + g(x) + |f (x) − g(x)| 2 y min{f, g}(x) = min{f (x), g(x)} = f (x) + g(x) − |f (x) − g(x)| 2 y aplicar las propiedades anteriores. Integral de Riemann en Rn . Concepto y Propiedades Fundamentales. (7) Como f es integrable, es acotada, y entonces también f 2 es acotada. Además también |f | es integrable, como ya hemos visto. Sea k > 0 tal que |f (x)| ≤ k para todo x ∈ A, y sea > 0. Aplicando el criterio de Riemann a la función |f |, existe una partición P de A tal que S(|f |, P ) − S(|f |, P ) ≤ 2k Si R es uno de los rectángulos definidos por esa partición, tenemos JJ II J I MR (f 2 ) = sup{f 2 (x), x ∈ R} = sup{|f (x)|2 , x ∈ R} = = sup{|f (x)|, x ∈ R}2 = MR (|f |)2 mR (f 2 ) = inf{f 2 (x), x ∈ R} = inf{|f (x)|2 , x ∈ R} = = inf{|f (x)|, x ∈ R}2 = mR (|f |)2 (es decir, el cuadrado se puede sacar fuera del supremo y del ı́nfimo de una familia de números positivos) Entonces Integral de Riemann en Rn . Concepto y Propiedades Fundamentales. MR (f 2 ) − mR (f 2 ) = MR (|f |)2 − mR (|f |)2 = = (MR (|f |) − mR (|f |))(MR (|f |) + mR (|f |)) ≤ 2k(MR (|f |) − mR (|f |)) Multiplicando estas desigualdades por el volumen de cada rectángulo R, y sumando, queda S(f 2 , P ) − S(f 2 , P ) ≤ 2k(S(|f |, P ) − S(|f |, P )) ≤ 2k = 2k Aplicando el criterio de Riemann a la función f 2 , ésta es integrable. (8) Por último, para demostrar que el producto de f y g es integrable basta escribir JJ II J I fg = (f + g)2 − (f − g)2 4 y aplicar las propiedades anteriores. J(Volver al enunciado) Y además Integral de Riemann en Rn . Concepto y Propiedades Fundamentales. Proposición. Sea P una partición cualquiera de A. f es integrable en A si y sólo si para cada rectángulo R ∈ RP la restricción de f a R es integrable. Además en este caso Z X Z f= f A R∈RP R Demostración: Sea P una partición cualquiera de A. Supongamos primero que f es integrable en A, Aplicando el criterio de Riemann a A, dado > 0 existe una partición P de A tal que S(f, P )−S(f, P ) < . Consideramos entonces en A la unión de las dos particiones, Q = P ∪P , que es mayor que P , con lo que S(f, Q) − S(f, Q) ≤ S(f, P ) − S(f, P ) < JJ II J I y también es mayor que P , con lo que define sobre cada rectángulo R ∈ RP una partición QR . Los rectángulos definidos por QR en R son los rectángulos S ∈ RQ que están contenidos en R. P P Integral de Riemann en Rn . Concepto y Propiedades Fundamentales. R Q = P ∪ P S R Para un rectángulo R ∈ RP cualquiera, si calculamos para esa partición QR definida en R la diferencia entre la suma superior y la inferior, obtendremos JJ II J I S(f |R , QR ) − S(f |R , QR ) = X [MS (f ) − mS (f )]v(S) ≤ S∈RQ ,S⊆R ≤ X [MS (f ) − mS (f )]v(S) = S∈RQ = S(f, Q) − S(f, Q) < Por tanto la restricción de f a R es integrable. Recı́procamente, supongamos que la restricción de f a cada rectángulo R de RP es integrable. Dado > 0, aplicando en cada rectángulo R el criterio de Riemann, existirá una partición PR de R tal que Integral de Riemann en Rn . Concepto y Propiedades Fundamentales. JJ II J I S(f |R , PR ) − S(f |R , PR ) ≤ k donde k es el número de rectángulos definidos por la partición P . Definimos entonces la partición Q de A unión de la partición original P y todas las particiones PR , que es mayor que P , y define en cada rectángulo R de RP una partición QR mayor que PR , formada por los rectángulos S ∈ RQ que están contenidos en R PR1 R1 Integral de Riemann en Rn . Concepto y Propiedades Fundamentales. PR2 R2 P P QR1 QR2 Q = P ∪ PR1 ∪ PR2 JJ II J I Para calcular la diferencia entre la sumas superior e inferior definidas por Q, aplicamos la propiedad distributiva de la suma, agrupando los rectángulos S ∈ RQ que están en cada rectángulo R ∈ RP S(f, Q) − S(f, Q) = X [MS (f ) − mS (f )]v(S) = S∈RQ Integral de Riemann en Rn . Concepto y Propiedades Fundamentales. = X X R∈RP [MS (f ) − mS (f )]v(S) = S∈RQ ,S⊆R = X X R∈RP = [MS (f ) − mS (f )]v(S) = S∈RQR X S(f |R , QR ) − S(f |R , QR ) ≤ R∈RP ≤ X S(f |R , PR ) − S(f |R , PR ) ≤ R∈RP ≤ JJ II J I X = k R∈R P Por tanto f es integrable en A. Además, si P 0 es ahora una partición cualquiera de A, y consideramos la unión Q = P ∪ P 0 , y como antes la partición QR definida por Q en cada rectángulo R de RP , tenemos S(f, P 0 ) ≤ S(f, Q) = X mS (f )v(S) = S∈RQ Integral de Riemann en Rn . Concepto y Propiedades Fundamentales. = X R∈RP = X X R∈RP mS (f )v(S) = S∈RQ ,S⊆R S(f |R , QR ) ≤ X Z R∈RP f R y tomando supremos cuando P 0 recorre todas las posibles particiones de A se tiene Z X Z f≤ f A R∈RP Análogamente JJ II J I R S(f, P 0 ) ≤ S(f, Q) = X MS (f )v(S) = S∈RQ Integral de Riemann en Rn . Concepto y Propiedades Fundamentales. X = X R∈RP X = R∈RP MS (f )v(S) = S∈RQ ,S⊆R S(f |R , QR ) ≥ X Z R∈RP f R y tomando ı́nfimos cuando P 0 recorre todas las posibles particiones de A, se tiene Z f≥ A JJ II J I X Z R∈RP f R Por tanto Z X Z f= f A R∈RP R Ejemplo 4. Las funciones f + y f − Un caso particular que se deduce de las propiedades anteriores, y que jugará un papel especial en la teorı́a de integración es el de las funciones f + y f − . Dada una función f : A −→ R, se llaman Integral de Riemann en Rn . Concepto y Propiedades Fundamentales. JJ II J I f + (x) = max{f (x), 0} y f − (x) = − min{f (x), 0} = max{−f (x), 0} f Integral de Riemann en Rn . Concepto y Propiedades Fundamentales. f+ f− Contenido Las funciones f + y f − son funciones no negativas, y cumplen f = f+ − f− JJ II J I y |f | = f + + f − de donde se deduce, por ejemplo, que f es integrable si y sólo si f + y f − son integrables.