5. Se ha concedido un préstamo por importe de 60.000 euros. La

EJERCICIOS DE MATEMÁTICAS FINANCIERAS
5. Se ha concedido un préstamo por importe de 60.000 euros. La duración es de 10
años. El capital vivo después de haber pagado la segunda anualidad es 50.622, 720
euros. En las tres primeras anualidades se ha pagado por la amortización 14.491,994
euros y el capital que se ha amortizado en la cuarta anualidad es 5.421,5971 euros.
Se pide:
a. Determinar el tipo de interés de dicho préstamo.
b. Calcular los intereses satisfechos en la cuarta anualidad.
c. Suponiendo que el tipo de interés de mercado a principios del cuarto año es el 5
por 100, calcular el usufructo una vez pagada la tercera anualidad.
El préstamo del enunciado es un préstamo FRANCÉS con anualidad y tipo de interés constante,
de los analizados en el epígrafe 3.7 de la Unidad 3.
El esquema temporal de los datos suministrados es el siguiente:
C3 = 50.622,720
C1 = 60.000
0
1
2
3
4
5 ................................................. 10 años
A4 = 5.421,5971
M3 = 14.491,994
1. Determinar el tipo de interés de dicho préstamo
Puesto que en este tipo de préstamos, las cuotas de amortización varían en progresión geométrica de razón (1 + i), conocidas dos cuotas de amortización consecutivas, podemos obtener el valor de i. En este caso, lo más sencillo es:
A4 = A3 x (1 + i)
, ya que A4 es un dato suministrado.
Para calcular A3 partiremos de los datos del problema:
1º. Calcularemos el capital vivo al inicio del año 4 (C4) por diferencia entre el capital iniciamente prestado (C1) y el total amortizado hasta el final del año 3 (M3):
C4 = C1 – M3 = 60.000 – 14.491,994 = 45.508,006 €
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SUPUESTOS RECAPITULATIVOS ● SOLUCIONES
2º. Así, la cuota de amortización del año 3 (A3) la obtendremos por diferencia entre el capital
vivo al inicio del año 3 (C3) y el capital vivo al inicio del año 4 (C4) (es decir, el capital vivo
tras practicar la amortización del año 3):
A3 = C3 – C4 = 50.622,720 – 45.508,006 = 5.114,714 €
Así pues:
A4 = A3 x (1 + i)
5.421,5971 = 5.114,714 x (1 + i)
i = 6% anual
2. Calcular los intereses satisfechos en la cuarta anualidad
Los INTERESES a pagar al final de un período se calculan siempre sobre el CAPITAL VIVO
al inicio de dicho período.
Por lo tanto, los INTERESES A SATISFACER AL FINAL DEL PERÍODO 4 serán:
I4 = C4 x i = 45.508,006 x 0,06 = 2.730,48 €
3. Suponiendo que el tipo de interés de mercado a principios del cuarto año es el 5%, calcular el USUFRUCTO una vez pagada la tercera anualidad
Puesto que nos hablan del concepto de USUFRUCTO, debemos remitirnos a la teoría analizada en el epígrafe 3.12 de la Unidad 3. Según vimos, hay que partir del siguiente sistema de
ecuaciones:
V4 = U4 + N4
i
U4 =
x [C4 – N4]
i’
Siendo: i
V4
U4
N4
C4
Tipo de interés del préstamo i’ tipo de interés del mercado
Valor del préstamo al inicio del período 4
Valor del USUFRUCTO del préstamo al inicio del período 4
Valor de la NUDA PROPIEDAD del préstamo al inicio del período 4
Valor del CAPITAL VIVO del préstamo al inicio del período 4
Seguiremos los siguientes pasos:
1º. En primer lugar, calcularemos el valor de las anualidades, las cuales son idénticas a lo
largo de los 10 años de vida del préstamo, ya que se trata de un préstamo FRANCÉS.
Puesto que en los apartados anteriores ya hemos calculado tanto los INTERESES (I4) como la CUOTA DE AMORTIZACIÓN (A4) del año 4, la anualidad será:
Año 4
a = I4 + A4 = 2.730,48 + 5.421,5971 = 8.152,0771 €
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EJERCICIOS DE MATEMÁTICAS FINANCIERAS
2º. En segundo lugar, calcularemos el VALOR DEL PRÉSTAMO (V4) al inicio del año 4, planteando el equilibrio financiero en t = 3 y actualizando las anualidades pendientes de pago
al tipo de interés del mercado:
V4
0
1
2
3
a
a
a ...................................a
4
5
6 ................................
10 años
i’ = 5% anual
7 anualidades
V4 = a x a7⎤ i’
V4 = 8.152,0771 x a7⎤ 0,05 = 47.170,96 €
3º. Por último, sustituimos en el sistema de ecuaciones el valor de: V4 = 47.170,96 € y
C4 = 45.508,006 €:
(1)
47.170,96 = U 4 + N 4
(2)
U4 =
0,06
x [45.508,006 – N 4]
0,05
De la ecuación (1) podemos despejar N4:
N 4 = 47.170,96 – U 4
(3)
Sustituyendo la ecuación (3) en la ecuación (2), obtenemos:
0,06
U4 =
x [45.508,006 – (47.170,96 – U 4)]
0,05
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U 4 = 9.977,724 €