Para que 3 puntos formen un triángulo no pueden pertenecer a la

Para que 3 puntos formen un triángulo no pueden pertenecer a la misma recta. Los puntos pueden pertenecer a la misma recta por
parejas, pero si los 3 pertenecen a la misma recta no es posible que haya triángulo.
Calculo la ecuación de la recta que une dos puntos y después tengo que demostrar que el tercer punto no pertenece a la misma
recta.
Calculo la ecuación de la recta que pasa por los puntos A(2,4) y B(-1,2).
En primer lugar, calculo la pendiente.
=
=
=
=
Ahora uso la ecuación punto pendiente para calcular la ecuación de la recta.
−
=
=
+
( −
− 4 = ( − 2)
− +4
=
=
)
Ahora tengo que demostrar que el punto C(-7,-1) no pertenece a la recta. Si perteneciera a la recta, al sustituir x por 7, el
resultado debería ser 1, si no fuera así, ese punto no pertenecería a la recta.
Sustituimos x por -7 en la ecuación:
=
(
)
=
=
= −2
Como vemos no se cumple, por lo que el punto C no pertenece a la misma recta y por tanto, los 3 puntos forman un triángulo.
Ahora para comprobar si forman un triángulo rectángulo dos de las rectas que unen los puntos deben ser perpendiculares. Para
que dos rectas sean perpendiculares su pendiente debe ser inversa y de signo contrario, o lo que es lo mismo, si multiplicamos las
pendientes de dos rectas paralelas, el producto debe ser -1.
Ya he calculado la pendiente de la recta que une los puntos Ay B, ahora calculo las pendientes de las rectas que unen AyC y ByC
A(2,4); C(-7,-1).
=
=
=
B(-1,2); C(-7,-1).
=
=
(
)
=
=
=
= =
Vemos que todas las pendientes tienen el mismo signo, por lo que ninguna de esas rectas es perpendicular a otra y los 3 puntos no
son los vértices de un triángulo rectángulo.
He calculado la ecuación de la recta que une los puntos A y B, ahora calculo la ecuación de la recta que une los puntos B y C.
La pendiente ya la conozco, y puedo calcular su ecuación.
− 2 = ( − (−1))
− 2 = ( + 1)
=
=
=
+ +2
+
Para que esa recta forme parte de un paralelogramo debe haber una recta paralela a esa y que pase por el punto A. Esa recta debe
tener la misma pendiente que la que pasa por los puntos B y C, ½ , y debe pasar por el punto A, uso la ecuación punto pendiente.
− 4 = ( − 2)
=
−1+4
=
+3
Ahora calculo una recta paralela a la recta que pasa por A y B y que pasa por el punto C
− (−1) = ( − (−7))
+ 1 = ( + 7)
=
+
=
−1
+
=
Ahora que he calculado la ecuación de las rectas paralelas planteo un sistema con ellas para encontrar el punto de corte de
ambas.
=
=
+3
Como en ambas tengo despejada y, uso el método de igualación
+3=
+
=
elimino denominadores
3 + 18 = 4 + 22
4 − 3 = 18 − 22
= −4
Ahora calculo el valor de y
=
=
(
)
=
= =1
El punto de corte de ambas rectas es (-4,1) y esas serán las coordenadas del punto D, que será el cuarto vértice del paralelogramo.