Nueva definición de límite funcional

NUEVA DEFINICIÓN DE LÍMITE FUNCIONAL
Blázquez, S. y Ortega, T. (2002): Nueva definición de límite funcional. UNO. Vol. 30, pp. 67-82. Graó.
ISSN: 1133-9853. Barcelona.
RESUMEN:
En el presente artículo se hace una revisión histórica de la evolución del concepto de
límite desde la época clásica hasta la formulación métrica debida a Weierstrass. En la
investigación desarrollada desde la Didáctica de la Matemática se ha constatado que esta
definición métrica es demasiado formalista para los alumnos de Bachillerato de Ciencias
Sociales y se presenta una definición que, conservando el rigor, no está ligada al
formalismo de Weierstrass, y la hace más dinámica y apropiada para estos alumnos.
ABSTRAT
This article presents a historical revision of the evolution of the limit concept, from the
Classic Era to Weierstrass's metric formulation. Based on the investigation carried out
within the Didactic of Mathematics at our University, it has been demonstrated that this
metric definition is too formalistic for the Secondary School students of Social Sciences.
Consequently, a new definition is here presented which preserves its rigour, while it
lacks Weierstrass's conventionalism. Thus, this definition is more dynamic and it is best
adapted to this group of students.
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NUEVA DEFINICIÓN DE LÍMITE FUNCIONAL
RESUMEN:
En el presente artículo se hace una revisión histórica de la evolución del concepto de
límite desde la época clásica hasta la formulación métrica debida a Weierstrass. En la
investigación desarrollada desde la Didáctica de la Matemática se ha constatado que esta
definición métrica es demasiado formalista para los alumnos de Bachillerato de Ciencias
Sociales y se presenta una definición que, conservando el rigor, no está ligada al
formalismo de Weierstrass, y la hace más dinámica y apropiada para estos alumnos.
ABSTRAT
This article presents a historical revision of the evolution of the limit concept, from the
Classic Era to Weierstrass's metric formulation. Based on the investigation carried out
within the Didactic of Mathematics at our University, it has been demonstrated that this
metric definition is too formalistic for the Secondary School students of Social Sciences.
Consequently, a new definition is here presented which preserves its rigour, while it
lacks Weierstrass's conventionalism. Thus, this definition is more dynamic and it is best
adapted to this group of students.
1. INTRODUCCIÓN
Hace casi un siglo que el concepto de límite funcional forma parte de los currículos de
educación secundaria de la mayoría de los países occidentales, en España se incluyó por
primera vez en el plan de 19341, sirviendo como puerta de entrada al análisis diferencial
e integral, y, desde entonces, su enseñanza no ha dejado de preocupar a profesores e
investigadores que ven cómo fracasan sus intentos para que los alumnos comprendan su
significado, y cómo esta enseñanza, en muchas ocasiones, se acaba reduciendo a un
conjunto de cálculos que tienen poco sentido. Hay que partir del hecho de que la
comprensión de conceptos como el de límite funcional supone la utilización de
1
Hay que señalar, sin embargo, que desde finales del siglo XVIII ya se enseñaba el cálculo infinitesimal
en los primeros cursos universitarios, en las llamadas Facultades de Artes, y que se publicaron algunos
libros de texto sobre dichos estudios como el de J.J. García (1782).
1
estrategias mentales de alto nivel como las que se consideran en el pensamiento
matemático avanzado y que la clave reside en la creación de un diseño de enseñanza
adecuado a la capacidad y nivel del alumno, que genere un mínimo de interés por el
estudio y que le facilite la adquisición de tales conceptos.
Es evidente que la introducción tradicional del límite en educación secundaria a partir de
la definición formal no ha favorecido más que el desarrollo de una serie de habilidades
relacionadas con el cálculo (que actualmente tienen menos sentido, ya que los
programas de cálculo simbólico resuelven esas tareas de forma magistral), y no la
comprensión del concepto. Una introducción adecuada del límite debe partir de una
motivación que transmita a los alumnos la necesidad de plantear una nueva herramienta,
para pasar a sugerir ésta mediante una definición no formal pero sí instrumental, que
resuelva los problemas planteados en la motivación, completándola con ilustraciones de
la definición y las propiedades del concepto desde distintos sistemas de representación.
En este artículo se presenta una definición novedosa del concepto de límite funcional,
definición que, sin abandonar la precisión de la definición de Weierstrass, simplifica el
formalismo simbólico, a veces insuperable para bastantes alumnos, favoreciendo así la
comprensión del concepto. Esta definición surgió en el seno de la investigación mucho
más amplia que, sobre la didáctica del concepto de límite en el bachillerato de ciencias
sociales2, se viene desarrollando desde el año 1996 en la Universidad de Valladolid.
La definición que se propone surgió tras un análisis histórico del desarrollo de la noción,
que muestra la complejidad del concepto de límite, el tipo de problemas que dio lugar a
su génesis y, a la vez, el creciente grado de abstracción del mismo. En el siguiente
epígrafe se describe dicha evolución, junto con las concepciones que subyacen en la
misma y que pueden aparecer también en el proceso de enseñanza-aprendizaje. Cada
etapa de esta evolución podría dar lugar a una definición de límite concreta, con sus
ventajas y sus inconvenientes, como se señala a lo largo del epígrafe.
En el último apartado se da cuenta de la definición de límite funcional que proponemos,
basada en la concepción histórica de D´Alembert, y se hace referencia a algunos
2
El concepto aparece en el último curso de matemáticas de todos los bachilleratos, pero la investigación
se ha llevado a cabo en la asignatura Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales, del bachillerato de
Ciencias Sociales. Los alumnos tienen entre 17 y 18 años y la asignatura tiene una orientación
instrumental. En todo el artículo, incluso cuando hablamos de educación secundaria, nos referimos a estos
alumnos y no a otros, alumnos que van a ingresar a la Universidad y presumiblemente estudiarán:
Geografía, Abogacía, Economía, Dirección de Empresas, Psicología, Sociología, Pedagogía, etcétera.
2
resultados de la investigación desarrollada, que está centrada en la aplicación de dicha
concepción. La amplitud de la investigación llevada a cabo no permite explicitarla aquí,
pero es obligado señalar que esos resultados son consecuencia del análisis que se hace
en la misma, ya que, además de hacer una revisión histórica del concepto, se hace otra
sobre las investigaciones didácticas, se completan tres ciclos experimentales de
investigación-acción, se crea un sistema de categorías para el análisis de datos de los
ciclos y de los textos (se estudia el tratamiento del concepto en todos los libros de texto
de 2º de bachillerato que existían en España en los cursos 1996-97 y 1997-98, y de los
de 1º de bachillerato que correspondían a la misma editorial), además del material
curricular apropiado, y se llevan a cabo entrevistas que se graban en audio para su
análisis posterior.
2. EVOLUCIÓN HISTÓRICA DEL CONCEPTO DE LÍMITE
Siguiendo las investigaciones de Cornu (1983) y Robinet (1983), la evolución histórica
del concepto de límite se puede dividir en cuatro etapas, que se diferencian básicamente
por la concepción de límite que subyace en ellas aunque la separación no siempre sea
nítida. En la larga evolución del concepto (desde la matemática griega hasta el siglo
XIX) se observa claramente la necesidad de explicitar y formalizar la noción, que se
utiliza de forma implícita desde la época griega y que no llega a su forma actual hasta el
siglo pasado, en parte para validar algunos resultados ya obtenidos y en parte para
demostrar otros más generales.
2.1. Etapa 1: De Eudoxo de Cnido a la primera mitad del siglo XVIII. Métodos
infinitesimales.
Aparece en esta etapa una idea muy intuitiva del proceso del paso al límite. No existe el
concepto como tal, ya que ni siquiera se ha explicitado el concepto de función, pero sí
aparece como proceso implícito en algunos métodos utilizados, básicamente, para
resolver cuatro tipos de problemas:
a) Dada la fórmula del espacio en función del tiempo, obtener la velocidad y
aceleración en cualquier instante o recíprocamente, dada la aceleración o velocidad
obtener la fórmula del espacio.
3
b) Obtención de la tangente a una curva. En óptica es necesario conocer la normal
a una curva y en el estudio del movimiento la dirección de la tangente. Aparecen
problemas de definición de tangentes en general (cuando surgen nuevas curvas)
pues la definición de tangente como recta que toca en un sólo punto o deja a un
lado la curva sólo sirve para algunas cónicas.
c) Estudio de máximos y mínimos de una función, relacionado con el movimiento
de los planetas, el movimiento de proyectiles, etc.
d) Cálculo de áreas acotadas por curvas, volúmenes acotados por superficies,
longitudes de curvas, centros de gravedad y atracción gravitatoria.
A continuación se presenta un brevísimo resumen de algunos de estos métodos
infinitesimales.
- Método de exhausción. Se atribuye a Eudoxo, aunque su utilización más conocida la
hizo Arquímedes en Sobre la esfera y el cilindro y en La cuadratura de la Parábola. El
método se aplicaba al cálculo de áreas de figuras, volúmenes de cuerpos, longitudes de
curvas, tangentes a las curvas, etc. Consiste en aproximar la figura por otras en las que
se pueda medir la correspondiente magnitud, de manera que ésta vaya aproximándose a
la magnitud buscada. Este método no es de descubrimiento, puesto que es necesario
conocer previamente aquello que se va a demostrar, y se basa, por un lado, en una doble
reducción al absurdo y, por otro, a un principio que viene a decir que toda magnitud se
puede hacer arbitrariamente pequeña dividiendo la misma por la mitad3. Este principio
aparece en el libro X de los Elementos de Euclides y el método lo utiliza el propio
Euclides en el libro XII.
- Método de los infinitésimos de Kepler (1571-1630). Era utilizado para resolver
problemas de medidas de volúmenes o áreas como los que aparecen en Nova
stereometria doliolum vinatorum (1615). La base del método consiste en pensar que
todos los cuerpos se descomponen en infinitas partes, infinitamente pequeñas, de áreas o
volúmenes conocidos. Galileo utilizará un método semejante para mostrar que el área
encerrada bajo la curva tiempo-velocidad es el espacio.
3
Este principio se demuestra utilizando el llamado axioma de Arquímedes, que en realidad se debe a
Eudoxo, y dice que dadas dos magnitudes no nulas, se puede encontrar un múltiplo de cualquiera de ellas
que exceda a la otra.
4
- Método de los indivisibles de Cavalieri (1598-1647). Fue utilizado para determinar
áreas de figuras planas y volúmenes de cuerpos. Cavalieri representaba estos objetos
mediante una superposición de elementos cuya dimensión era una unidad menor en su
libro Geometria indivisibilibus continuorum nova quadam ratione promota (1635).
- Método de Fermat para buscar extremos de curvas. Lo aplicó a las “parábolas e
hipérbolas de Fermat”4 y consiste en considerar que en una “cumbre” o en un “valle” de
la curva, cuando E es pequeño, los valores de la función f(x) y f(x+E) están tan próximos
que se pueden tomar iguales. El método consiste en hacer f(x+E)=f(x), dividirlo por E y
tomar E=0. Al resolver esta ecuación, Fermat (1601-1665) obtenía las abscisas de
puntos extremos. Se puede observar que el método es similar al que se utiliza
actualmente, si bien, aquí no está presente el concepto de límite aunque, ciertamente, en
las funciones consideradas, la ecuación obtenida es el límite del cociente incremental y,
por tanto, la derivada.
- Método de las tangentes. Fermat envía a Mersenne en 1637 una memoria que se titula
Sobre las tangentes a las líneas curvas donde parece plantear un método para calcular
tangentes en un punto de cualquier curva, si bien sólo lo utiliza con la parábola. En un
intento de clarificar dicho método, Descartes crea el suyo propio según reza en la carta
que envía a Mersenne en Mayo de 1638 y, así, considera que la curva y su tangente en
un punto coinciden en un entorno pequeño de dicho punto. Lo que pretende es dibujar la
recta tangente en el punto P=(x, f(x)) y, para ello, calcula la subtangente TQ (ver gráfico
2.1.1), utilizando un criterio de semejanza de triángulos al suponer que R está tan
cercano a la curva que puede suponerse situado en ella (o equivalentemente la tangente
se identifica con la secante). Esto sirve para hallar el punto T y con él la tangente sin
más que unir los puntos P y T. Evidentemente las cantidades PQ y TQ permiten calcular
la pendiente de la recta tangente a la curva y=f(x) en P. En la práctica, para obtener
PQ/TQ se consideraba f(x+E)-f(x), se dividía por E y se tomaba E=0, lo que equivale a
hallar el límite funcional en la abscisa del punto P.
4
Curvas de ecuación y=xn con n positivo –parábolas- o negativo –hipérbolas-.
5
R
TQ
PQ
P
PS
RS
S
TQ
f(x)
E
T
=
=
E
f(x+E)-f(x)
Q
Gráfico 2.1.1.
Al mismo tiempo, Fermat propone un método, distinto del primero, muy similar al de
Descartes pero más general, ya que utiliza la ecuación implícita de la curva. Después
Fermat propondría otro método basado en el procedimiento para hallar máximos y
mínimos descubierto por él años atrás.
- Método de Barrow (1630-1677). Su método es muy semejante al de Fermat, pero en él
aparecen dos incrementos e y a, que equivalen a los ∆x e ∆y actuales. Hay que destacar
el uso del triángulo diferencial o característico PRP´, utilizado por Pascal para el cálculo
de áreas, donde PR (gráfico 2.1.2) es tan pequeño que PP´ se puede considerar un
segmento de la tangente o un arco de la curva. Así ∆x e ∆y son tan pequeños que se
pueden despreciar las potencias de a y e mayores que uno para calcular la subtangente.
P´
a
P
e
R
Gráfico 2.1.2.
Todos estos métodos fueron el germen del análisis infinitesimal y surgieron motivados
por las exigencias de la mecánica, de la astronomía y de la física. El álgebra aportó las
herramientas necesarias para que algunos de éstos métodos se desarrollaran, destacando
el método de las coordenadas, que facilitó el estudio de las curvas. Sin embargo, estos
métodos funcionaban de forma separada y no se tenía conciencia de su generalidad;
faltaba algo que les armonizara y además les diera ese carácter de universalidad, faltaba
el concepto de límite. En parte, esta etapa empírica de la evolución del análisis
infinitesimal será superada por la obra de Newton y Leibnitz. Con ellos los cuatro
problemas principales se resumen en diferenciación y antidiferenciación.
- Newton (1648-1727) es el creador de la teoría de las fluxiones, un método de
naturaleza geométrico-mecánica para tratar de forma general los problemas del análisis
6
infinitesimal. En el método de las fluxiones, expuesto en la obra Methodus fluxionum et
serierum infinitorum (publicada en 1736), se estudian las magnitudes variables,
introducidas como abstracción de las diferentes formas del movimiento mecánico
continuo, y denominadas fluentes. Todas las fluentes son variables dependientes y tienen
un argumento común, el tiempo. Después se introducen las velocidades de la corriente
de los fluentes, esto es, las derivadas con relación al tiempo, que se denominan
fluxiones. La teoría de fluxiones resuelve dos problemas: la determinación de la relación
entre fluxiones, conocidas la relación entre fluentes y el recíproco, dada la relación entre
fluxiones, encontrar las fluentes (diferenciación implícita e integración de ecuaciones
diferenciales, respectivamente). Para resolver estos problemas aplicó sendos métodos
basados en el uso de cantidades infinitamente pequeñas. Para el propio Newton en estos
métodos resolutivos no se explicaban de forma satisfactoria la anulación de estas
cantidades, por lo que en 1704 en su obra Tractatus quadratura curvarum, explicita el
método de las "razones primeras y últimas", en la que el incremento de la variable se
"desvanece", lo que supone la explicitación de una idea de límite un tanto metafísica.
Allí resuelve el siguiente problema “Fluya una cantidad x uniformemente; ha de
encontrarse la fluxión de la cantidad xn. En este tiempo, la cantidad x, al fluir, se
convierte en x+o, la cantidad xn resultará (x+o)n; que por el método de las series
infinitas es xn+noxn-1+((n2-n)/2)o2xn-2+ etc. Y los incrementos o y noxn-1+((n2-n)/2)o2xn-2+
etc., estarán entre sí como 1 y nxn-1+((n2-n)/2)oxn-2+ etc. Desvanézcanse ahora aquellos
incrementos, y su última razón será 1 a nxn-1. Y por eso, la fluxión de la cantidad x es a
la fluxión de la cantidad xn como 1 a nxn-1 ”.
Newton no concreta el significado de la palabra “desvanecerse”, si bien incluye en su
obra Principia el siguiente Lema (Boyer, 1992, p. 500) que muestra lo que entiende por
límite:
"Cantidades, y la razón de cantidades5, que en cualquier intervalo finito de tiempo
convergen continuamente a la igualdad, y que antes del final de dicho tiempo se
aproximan una a la otra más que cualquier diferencia dada, se hacen finalmente
iguales".
- Leibnitz (1646-1716), preocupado por la claridad de los conceptos y el aspecto formal
de la matemática, contribuye al nacimiento del análisis infinitesimal con su teoría sobre
las diferenciales. Se dio cuenta de que la pendiente de la tangente a una curva depende
5
Hay que hacer notar que Newton se interesaba por la razón entre variables y no por las variables en sí.
7
de la razón entre las diferencias de las ordenadas y de las abscisas, cuando se hacen
infinitamente pequeñas estas diferencias; asimismo el área bajo una curva depende de la
suma de las áreas de los rectángulos infinitamente estrechos que constituyen dicha área.
Así, establece el hecho de que la integración, como proceso de sumación, es inverso al
de la diferenciación. El diferencial del argumento, dx, se toma como una magnitud
completamente arbitraria, mientras que el diferencial dy de la función está definido por
dy=ydx/St, donde St es la subtangente a la curva en el punto (x, y). Esta notación (dx, dy)
era sumamente útil. Así, por ejemplo, para calcular d(x.y) hace
(x+dx).(y+dy)-x.y=x.dy+y.dx+dx.dy
y desprecia dx.dy, pues lo considera "infinitamente, infinitamente pequeño". Leibnitz
también resolvió numerosos problemas de sumación de series, pero evitó clarificar el
uso de lo “infinitamente pequeño”.
La concepción que subyace en esta etapa es una concepción geométrica de límite puesto
que se trabaja con magnitudes, no con números, en problemas de índole geométrica. La
noción de límite en realidad se encuentra implícita, y se ve una evolución de su estatus,
pasando de ser una noción protomatemática (ni siquiera se explicita como útil) a ser, con
los infinitésimos y las razones primeras y últimas de Newton, una herramienta para
resolver problemas (noción paramatemática). El trabajo de Leibnitz muestra ya la
transición a la siguiente etapa, puesto que su trabajo es más formal, más algebraico.
Una concepción como la que se utiliza en esta etapa no puede dar lugar a una definición
de límite puesto que éste no tiene estatus de noción matemática, es más bien un proceso
que se utiliza para resolver ciertos problemas concretos, y que se basa en aproximar el
objeto geométrico del que se quiere obtener una medida (pendiente de la tangente, área
de la superficie, longitud de la curva, valor mínimo de una expresión) por otros objetos
similares en los que dicha medida sea sencilla de obtener (pendiente de una secante, área
de una superficie similar, longitud de una curva similar, valor de una determinada
expresión). Esto puede dar lugar a una primera aproximación al concepto de límite que
se puede utilizar en etapas tempranas de la enseñanza (por ejemplo, para aproximar
áreas de figuras curvilíneas).
Ahora bien, esta idea de límite como aproximación sin más no basta. Por una parte, la
aproximación tiene que ser indefinida, es decir, tiene que existir la posibilidad de tomar
aproximaciones cada vez mejores, cosa que se consigue en todos los métodos revisados,
8
pero hasta Newton esta posibilidad no se plasma claramente en el hecho de que los
objetos se han de aproximar “más que cualquier diferencia dada”, lo cual implica que el
límite debe ser la mejor de todas las aproximaciones posibles. Esta idea, base de la
definición que se propone, se perfila y clarifica al final de la etapa siguiente.
2.2. Etapa 2: Segunda mitad del siglo XVIII. Transformación de los fundamentos del
análisis infinitesimal.
Utilizando los infinitésimos pequeños y grandes, que surgen de la teoría de las razones
primeras y últimas de Newton, los matemáticos de la época obtienen solución para
muchos de sus problemas. La dificultad más importante para el desarrollo del análisis
infinitesimal era la necesidad de extender las operaciones del análisis a un mayor
número de funciones, para lo que se requería una idea clara de dependencia funcional y,
para ello, fue necesario investigar el significado del concepto de función y sus
manipulaciones algebraicas. Los matemáticos del siglo XVIII, que se preocuparon de la
fundamentación del análisis, buscaban eliminar lagunas y clarificar los matices místicos,
pero no acertaron a separar los métodos analíticos de los algebraicos y, por tanto, no se
dieron cuenta de la necesidad del concepto de límite. De esta época destacamos los
trabajos de Euler, D'Alembert y Lagrange.
- Euler (1707-1743) toma como punto de partida el cálculo diferencial de Leibnitz y el
método de fluxiones de Newton y los integra en una rama más general de las
matemáticas, que, desde entonces, se llama Análisis y se ocupa del estudio de los
procesos infinitos. Euler, al se deben los primeros tratados sistemáticos de esta
disciplina. Euler se basa en el concepto de función formulado por Bernoulli (Boyer,
1992; p. 558) y para él “una función es cualquier expresión analítica formada con la
cantidad variable y con números o cantidades constantes". Así, sienta las bases para
separar el cálculo de la geometría, al trabajar sobre funciones y no sobre variables. Se
plantea la regularidad de las funciones, introduciendo la función continua como sumas,
productos y composiciones de funciones elementales (la idea de función continua de
Euler coincide con la idea actual de función analítica). Euler rechaza los infinitésimos y
basa su obra en desarrollos en serie. Así, trabajará con series infinitas, sin tener en
cuenta muchas veces la convergencia, lo que, a veces, le lleva a cometer algunos errores.
9
- D'Alembert (1717-1783) crea la teoría de los límites al modificar el método de las
primeras y últimas razones de Newton. En el tomo IX de la Encyclopédie, D´Alembert
escribe la siguiente definición de límite:
Se dice que una cantidad es límite de otra cantidad, cuando la
segunda puede aproximarse a la primera más que cualquier cantidad
dada por pequeña que se la pueda suponer, sin que, no obstante la
cantidad que se aproxima pueda jamás sobrepasar a la cantidad a la
que se aproxima; de manera que la diferencia entre una tal cantidad y
su límite sea absolutamente inasignable.
En esta definición las variables son monótonas y el límite unilateral, es decir, la
magnitud que se aproxima no le puede superar, y así, aunque la aproximación es
objetiva no se puede tener un control completo de la misma. Este planteamiento no
obtuvo el suficiente reconocimiento por no ser algorítmico y sus contemporáneos
siguieron utilizando el lenguaje y las concepciones de Leibnitz y Euler.
La concepción que subyace a esta etapa es una concepción algebraica, puesto que los
problemas de paso al límite, que se vinculan a las funciones, se resuelven con ayuda de
operaciones algebraicas (manipulación de series, cálculos con infinitos), y, por tanto, las
necesidades prácticas y la complejidad del concepto de límite reducen el análisis a un
conjunto de cálculos algebraicos. Esto mismo ocurre hoy en día en la enseñanza
secundaria tradicional, donde la introducción formal del límite no lleva precisamente a
la comprensión y utilización del concepto para resolver problemas, sino que se ha creado
la necesidad de proponer una serie de métodos algebraicos para poder calcular límites y
derivadas, y este cálculo se constituye en el problema a resolver. En el fondo, con este
tipo de enseñanza sólo se favorece el aspecto algorítmico y no el conceptual, los
alumnos no entenderán nunca qué es el límite funcional y no sabrán aplicarlo, puesto
que sólo se han enfatizado las reglas del cálculo.
- Lagrange (1736-1813) trabajó con desarrollos de funciones en series de potencias
(series de Taylor) y para él las derivadas de las funciones en x=0 eran los coeficientes de
las potencias sucesivas. Los resultados conseguidos le hicieron creer que se podían
evitar los infinitesimales y los límites y continuó haciendo desarrollos en series de
potencias, sin darse cuenta de que la convergencia de las mismas necesitaba del
concepto de límite. En Lagrange subyace una concepción algebraica del análisis y,
10
aunque rehuye la noción de límite, contribuye al paso del dominio geométrico al
dominio numérico.
En esta etapa la noción de límite sigue sin explicitarse como tal y aunque D´Alembert lo
define y lo convierte así en noción matemática, Lagrange opta de nuevo por un camino
algebrista e intenta huir del proceso de paso al límite. La concepción que transmite
D´Alembert, que evoluciona hacia concepción numérica en la siguiente etapa en la que
tiene lugar la aritmetización del análisis, será la base de la definición que proponemos
para que sea utilizada en los procesos educativos de los escolares de educación
secundaria (17-18 años), eso sí, reformulada e integrada en el currículo.
2.3. Etapa 3: Siglo XIX y principios del siglo XX. Aritmetización del análisis.
A finales del siglo XVIII y comienzos del XIX las obras de un gran número de
matemáticos ya reflejaban la necesidad objetiva de construcción de la teoría de límites
como base del análisis matemático y una reconstrucción radical de este último, la
aritmetización, en la que fueron determinantes la clarificación del concepto de función,
la aparición de nuevos problemas matemáticos y físicos, y la evolución de la enseñanza
de las matemáticas, que tras la Revolución Francesa pasa de ser una materia estudiada
por aficionados a una disciplina obligatoria en la Escuela Normal Superior y en la
Politécnica. Los matemáticos se ven obligados a enseñar análisis matemático y, por
tanto, tienen que apoyarse en unas bases rigurosas. De estos matemáticos destacamos a
Cauchy, Bolzano y Weierstrass.
- Cauchy (1789-1857). Retoma el concepto de límite de D'Alembert, rechazando el
planteamiento de Lagrange, prescinde de la geometría, de los infinitésimos y de las
velocidades de cambio, dándole un carácter más aritmético, más riguroso pero aún
impreciso. La definición de límite que propone Cauchy (1821, 4) es la siguiente:
…, cuando los sucesivos valores que toma una variable se aproximan
indefinidamente a un valor fijo, de manera que terminan por diferir de
él en tan poco como queramos, este último valor se llama el límite de
todos los demás.
La noción de límite dada por D´Alembert es más objetiva que la de Cauchy, ya que en
ésta aparece el término "tanto como queramos" que la subjetiviza y que acarrea
11
problemas de enseñanza. Define además infinitésimos como una cantidad variable que
converge a cero, la función derivada como el límite de los cocientes incrementales
cuando el incremento de x tiende a cero y la continuidad de forma análoga a la actual (al
igual que Bolzano). Recupera, además, el sentido geométrico inicial de la integral como
área (y no como operación inversa de la diferenciación) definiéndola como límite de
sumas integrales. Como se puede observar, Cauchy basa todo el análisis en el concepto
de límite.
- Bolzano (1781-1848) da una definición de continuidad basada en la de límite. De
hecho la obra de Bolzano se desarrolla de forma paralela a la de Cauchy, basada en la
misma idea de límite.
- Weierstrass (1815-1897) contribuyó con notoriedad a la aritmetización del análisis,
dando definición satisfactoria de número real y otra del concepto de límite. Weierstrass
criticó la expresión "la variable se acerca a un límite" puesto que, según él, esto sugiere
tiempo y movimiento, y dio una formulación métrica, puramente estática, definición que
se utiliza hoy en día en los primeros cursos universitarios de análisis. Esta definición,
que aparece en la obra de su discípulo Heine Elemente, es la siguiente:
"Si, dado cualquier ε, existe un no, tal que para 0<n<no, la diferencia
f(xo±n)-L es menor en valor absoluto que ε, entonces se dice que L
es el límite de f(x) para x=xo".
La noción de límite es ya, en esta etapa, una noción matemática que sirve como soporte
a otras como la continuidad, la derivada y la integral, hecho que ha contribuido a un uso
universalizado de la misma. Sin embargo, esta definición, que evoluciona desde la
concepción dinámica de Cauchy a una concepción estática, no es el final de un largo
proceso evolutivo, ya que en el siglo XX surgen concepciones de tipo topológico,
ligadas a la generalización de los conceptos del cálculo a conjuntos no necesariamente
numéricos, lo que constituye una cuarta etapa en el desarrollo del concepto. Estas
concepciones están muy alejadas de los planteamientos curriculares de educación
secundaria y, para nosotros, la definición de Weierstrass, en la que subyace una
concepción numérica del límite, culmina esta evolución, pero, aunque elimina ciertos
problemas que se asocian al dinamismo de las definiciones de Cauchy o D´Alembert,
acarrea otros asociados al formalismo simbólico.
12
3. DEFINICIÓN DE LÍMITE COMO APROXIMACIÓN ÓPTIMA
Ya se ha señalado que una primera etapa en la adquisición del concepto de límite lo
constituye el proceso de paso al límite como simple aproximación. Esta concepción no
es suficiente para definir el concepto en un nivel de educación secundaria, donde se
pretende que los alumnos sean capaces de definir y de comprender el concepto de
derivada, y de llevar a cabo el proceso de integración sin que ambos se reduzcan a un
conjunto de cálculos. Así, en este nivel parece más útil definir límite funcional de
manera similar a como lo hizo D´Alembert considerando éste como una aproximación,
pero de tal manera que ésta sea mejor que cualquier otra, que se aproxime más que
cualquier magnitud dada.
Esta visión se adapta a la del currículo de educación secundaria vigente, que recoge la
importancia que da la comunidad matemática actualmente a los procesos de
aproximación. Ésta es una de las razones por las que se escoge el aspecto dinámico de la
definición de límite en términos de aproximación, que constituye el paso previo a la
definición estática y formal del límite según Weierstrass, cuyo formalismo no está al
alcance de todos los alumnos de secundaria como reconocen numerosos investigadores,
docentes y el propio currículo español.
Otra de las ideas que guían esta elección es la de aprovechar la preferencia de los
alumnos por el dinamismo. En varios estudios que los investigadores Tall y Vinner
llevan a cabo observan que, en los alumnos, la concepción dinámica del límite funcional
prevalece sobre la definición formal (los intentos de definición formal por parte de los
alumnos, en su mayoría, son incorrectos), no sólo cuando se les pide una definición del
concepto sino cuando han de ponerla en juego en algún ejemplo concreto o en alguna
propiedad. Por otra parte, a partir de la concepción dinámica, muchos teoremas resultan
sumamente intuitivos para los alumnos.
A continuación se presenta la definición de límite que proponemos, como ya se ha
señalado está basada en la definición de D´Alembert, si bien en este caso el límite no es
unilateral ni debe existir necesariamente monotonía. La presentación se hace a los
alumnos tras la correspondiente motivación y un trabajo previo, totalmente intuitivo, con
sucesiones. La presentación del concepto comienza estableciendo la diferencia entre
aproximación y tendencia, entendida ésta como aproximación que mejora cualquier otra,
dando paso a la definición de límite a partir de las tendencias de ambas variables, x e y, y
13
enfatizando la relación entre la tendencia de la variable y la de los valores de la función,
enunciando al final una definición con entornos más próxima aún a la definición formal.
Aproximación y Tendencia
Una variable, que toma sus valores en un conjunto numérico, puede
aproximarse a un cierto número si los errores absolutos que se cometen,
considerando los valores de la variable como aproximaciones del número
son cada vez menores.
Ejemplo 1: Los valores 3´1209, 3´12009, 3´120009, ... se aproximan a 3
porque los errores son 0´1209, 0´12009, 0´120009, ... pero también se
aproximan a 3´1 (los errores son 0´0209, 0´02009, 0´020009, ... ), a 3´12 (en
este caso los errores son 0´0009, 0´00009, 0´000009,...), etcétera.
La variable tiende a un número cuando los valores son aproximaciones del
número y además se aproximan más que cualquier otro valor, es decir,
cualquier aproximación se puede mejorar con valores de la variable.
Ejemplo 2: Los valores 3´1, 3´01, 3´001, 3´0001, ... son aproximaciones de
3, pero además la proximidad que se logra con este tipo de valores es mayor
que con cualquier número distinto de 3, pues si tomáramos, por ejemplo,
2´99999999 como aproximación de 3 (el error es 0´000000001) y, por
ejemplo, el valor 3´0000000001 mejora la aproximación (el error es 10
veces menor).
Ejemplo 3: Las tendencias finitas de las sucesiones donde los términos se
aproximan al límite y se puede mejorar cualquier aproximación con todos
los términos a partir de uno en adelante.
Definición: Sea f una función y a un número real, el número L es el límite
de la función f en el punto a, y se escribe límx→af(x)=L (se lee límite de
f(x) cuando x tiende a a es L), si cuando x tiende a a, siendo distinto de a,
sus imágenes, f(x), tienden a L.
Hay que señalar la existencia de una dependencia entre las variables y, por
tanto, entre sus tendencias. Así, la definición implica que si L es el límite, a
cada aproximación de L le corresponde una aproximación de a, de manera
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que la imagen de todos los puntos que son mejor aproximación de a que ésta
mejoran la aproximación de L.
Aproximación de "a"
Aproximación de L
Mejores
aproximaciones a "a"
Mejores
aproximaciones a L
Esto equivale a decir que a toda aproximación de L le corresponde un
entorno reducido de a de manera que las imágenes de los puntos de dicho
entorno mejoran la aproximación.
En la investigación desarrollada por los autores (Blázquez, 1999) en torno a esta
definición y una secuencia didáctica adaptada a ella, se muestra como el alumno llega a
adquirir un lenguaje adecuado en aproximación y tendencias y, aunque el límite no es
plenamente comprendido en muchos casos (no se pueden obviar los obstáculos
asociados el concepto a los que se alude más adelante), al menos la secuencia consigue
explotar la utilización que los alumnos hacen de la concepción dinámica, de manera que,
en gran medida, se destierra la definición ingenua de límite como extremo o fin en favor
de una concepción de límite claramente vinculada a la aproximación, lo que es
importante, ya que, teniendo en cuenta la facilidad con la que los alumnos olvidan lo
aprendido, como manifestaron claramente en las entrevistas llevadas a cabo en dicha
investigación, la idea de aproximación perdura más el ellos.
Se concluye también que el tratamiento del límite finito en un punto como aproximación
óptima es una opción ventajosa a los tratamientos existentes en lo que se refiere a su
utilidad como herramienta, ya que es posible probar todas las propiedades del límite o
ilustrarlas de una forma muy sencilla. En lo que se refiere a su aplicabilidad, no cabe
duda que los conceptos relacionados con continuidad o derivabilidad resultan más
cercanos a la realidad con la concepción de límite como aproximación óptima, puesto
que ésta, sin separarse de la idea de aproximación, garantiza la unicidad.
También se concluye en la investigación que la definición del límite finito en un punto
como aproximación óptima es una opción más ventajosa que la definición formal por su
simplicidad. La presentación del límite a partir de su definición métrico-formal no es
comprendida, en general, por la gran mayoría de los alumnos de Matemáticas Aplicadas
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a las Ciencias Sociales y, en la secuencia, se observa claramente el origen de la
dificultad asociada a la definición formal. Dicha dificultad es mucho mayor que la que
conlleva la definición como aproximación óptima ya que ésta se topa, sobre todo, con
obstáculos relacionados con los tópicos de aproximación, obstáculos didácticos que
tienen que ver con el poco énfasis que se ha dado a estos tópicos en la enseñanza
tradicional (además de los asociados al concepto en sí). Los obstáculos que conlleva la
definición formal, sin embargo, están asociados a dificultades en las manipulaciones
algebraicas, al papel de las variables en matemáticas, y al alto grado de abstracción
necesario: los alumnos tienen problemas para evaluar una expresión; no saben hallar la
expresión para acotar el error cuando la función está dada por su expresión analítica, y
convierten dicha expresión en ecuación, que pretenden resolver; el trabajo de acotación
es mucho más complicado para ellos si la cota no es un número concreto sino una letra;
no recuerdan las ecuaciones de las rectas o la división de polinomios y no comprenden
cómo al resolver las inecuaciones se obtiene un intervalo de la recta. En todo momento
de la secuencia didáctica implementada se detecta con absoluta nitidez que los alumnos
prefieren trabajar con expresiones numéricas mejor que con expresiones algebraicas, y
que a la hora de trabajar ciertos aspectos funcionales anteponen la representación gráfica
a la elección de su representación algebraica.
Todo intento de introducir la definición formal en la secuencia didáctica, aún en el caso
más sencillo del límite secuencial, en general fracasa con estos alumnos (incluso cuando
se hace con entornos, que, como se constata en la investigación, no es un concepto tan
intuitivo como puede parecer). Es más, las dificultades que surgen en la ilustración
algebraica del concepto muestran que si los alumnos no son capaces de utilizar el límite
en una ejemplificación, como la que se hace en dicha tarea (donde se utiliza una función
concreta y una cota concreta), mucho menos lo serán de utilizar la definición simbólica,
que es mucho más abstracta (aunque fueran capaces de aprenderla de memoria).
Además, en la ilustración algebraica, las expresiones que se utilizan muestran un aspecto
operativo de los valores de la función y, por tanto, transmiten la impresión de algo
estático. Sin embargo, la ilustración numérica trabaja con representaciones decimales de
los valores de la función y se puede observar un cierto cambio, con lo que la idea es más
dinámica. Ahora bien, una interpretación excesivamente dinámica de la definición puede
obstaculizar la comprensión del concepto, ya que, en ese caso, los alumnos rechazan lo
que les parece demasiado estático, como el resultado de un cálculo (proponen una
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aproximación al resultado y no el propio resultado) o confunden la tendencia con el
movimiento.
CONCLUSIÓN
El estudio de la génesis histórica del concepto de límite ha sugerido una alternativa a la
introducción del concepto en secundaria a través de la definición formal que consiste en
una adaptación de la concepción de D´Alembert al currículo actual, donde los tópicos de
aproximación tienen gran peso. En la investigación desarrollada se ha constatado que
esta definición, menos formal pero no menos precisa, ha resultado ser en la práctica más
ventajosa respecto a las utilizadas hasta el momento en los procesos de enseñanzaaprendizaje con alumnos de Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales y abre el
camino a un nuevo tratamiento de los tópicos de análisis.
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