ANÁLISIS FÍSICO MATEMÁTICO DE LA LEY DE STOKES Y SU
Anuncio
ANÁLISIS FÍSICO MATEMÁTICO DE LA LEY DE STOKES Y SU INCIDENCIA EN EL DESARROLLO DE LAS TEORÍAS FÍSICAS Jorge David Garcia Baute Reconocimientos A Dios, fuente de todo conocimiento. A mi señora madre Loida Baute, que gracias a su apoyo permitió la realización de esta monografía. Gracias a ti, este trabajo ha sido posible, y aun así sigo en deuda contigo. A mis queridos hermanos María José, Dayana, José y Jonathan, mis mejores amigos, gracias a ustedes me motivo cada día a seguir luchando. Agradezco al profesor Monroy, por su paciencia y comprensión, sus consejos me ayudaron a mejorar sustancialmente este trabajo y a los profesores Diana Castro y Jhon Barragan por sus apreciaciones. También a familiares y maestros de la Pedagógica que gracias a sus consejos y sus aportes en materias de conocimiento han ayudado a formar este profesional. Por último, a todas aquellas personas que han influenciado directa o indirectamente en este trabajo y que por motivos de espacio omito, pero las llevo aquí en mi mente y en mi corazón a todos ustedes. Gracias 3 FORMATO RESUMEN ANALÍTICO EN EDUCACIÓN - RAE Código: FOR020GIB Versión: 01 Fecha de Aprobación: 10-10-2012 Página 1 de 3 1. Información General Tipo de documento Trabajo de Grado Acceso al documento Universidad Pedagógica Nacional. Biblioteca Central Titulo del documento ANÁLISIS FISICO MATEMÁTICO DE LA LEY DE STOKES Y SU INCIDENCIA EN EL DESARROLLO DE LAS TEORIAS FISICAS Autor(es) Jorge David Garcia Baute Director Ignacio Alberto Monroy Cañon Publicación Universidad Pedagógica Nacional, 2014, pág 50 Unidad Patrocinante Universidad Pedagógica Nacional Palabras Claves Ley de Stokes, Ecuaciones de Navier, Movimiento browniano, Cuantización de la carga, Controversias, Difusión, Carácter de ley física 2. Descripción Este documento como tal plantea un análisis de la ley de Stokes, teniendo en cuenta sus aspectos históricos, en el marco de las teorías físicas la cuales influencio directa como indirectamente. Como son los casos de la cuantización de la carga en (1909), por Robert Millikan, y el movimiento browniano analizado desde una perspectiva mecanicista por Albert Einstein en (1905), y verificada posteriormente por Jean Perrin desde (1908 a 1913). Presentamos también, una serie de controversias, alrededor de la carga eléctrica y del movimiento browniano, en las cuales vemos la influencia que tuvo sobre estas la ley de Stokes como punto de discusión y como una ley fundamental que se cumple no solo en el campo de la física macroscópica sino que también a niveles microscópicos. La ley de Stokes, que usualmente se ve en los libros de física planteada sin ninguna deducción matemática, por ser de carácter complejo, es presentada aquí desde un análisis moderno, con una notación asequible, a diferencia de los originales en los cuales se utiliza una notación diferente, propia de la época. Antes de entrar en todos los detalles anteriormente mencionados, es necesario, estar familiarizado con algunos conceptos básicos relacionados con la mecánica de fluidos, y de lo cual hacemos un breve repaso en los primeros capítulos. 3. Fuentes Fajardo Magdalena, Jiménez Esteban, El papel de las constantes en el marco de las teorías y el aprendizaje de la física, 1995, U.P.N Documento Oficial. Universidad Pedagógica Nacional FORMATO RESUMEN ANALÍTICO EN EDUCACIÓN - RAE Código: FOR020GIB Versión: 01 Fecha de Aprobación: 10-10-2012 Página 2 de 3 Einstein, Albert, (1956),"Investigation on the theory of, the brownian movement", Dover Publications, INC Niaz, Mansor, (2000), "The Oil Drop Experiment: A Rational Reconstruction of the Millikan-Ehrenhaft Controversy and Its Implications for Chemistry Texbooks", Journal Of Research In Science Teaching, Vol. 37, No 5, PP (480-508). Stokes, Gabriel, (1850), “On the effect of the internal friction of fluids on the motion of pendulums”, Transactions of the Cambridge Philosophical Society, Vol. IX. p. [8]. Recuperado de: http://www.nawccindex.net/. Tiriaht Fajardo Dalila, Jiménez Esteban, “El Papel De Las Constantes En El Marco De las Teorías y el Aprendizaje De La Física", Universidad Pedagógica Nacional, Facultad de ciencia y tecnología, Departamento de Física 1995, Monografía. Zully Vianney, Sierra Yolanda , "Diseño y Construcción del Equipo Empleado en La Cuantización de la Carga”. Universidad Pedagógica Nacional, Facultad de ciencia y tecnología, Departamento de Física 1996, Monografía. 4. Contenidos Hemos divido el presente trabajo en los respectivos capítulos: Capitulo I, que a manera introductoria presenta el problema asociado a la ley de Stokes. El Capítulo III: trata de las ecuaciones matemáticas que juegan un papel fundamental en la mecánica de fluidos y a partir de las cuales Stokes se valió para encontrar su famosa solución, en el capítulo IV: la formulación de la carga eléctrica y el capítulo V, trata de la relación del movimiento browniano y la ley de Stokes, vista desde un contexto histórico. 5. Metodología El tipo de metodología empleado en el desarrollo de este trabajo, se conoce como metodología de la investigación cualitativa, aunque tampoco se descarta métodos estadísticos y de recolección de datos. Esta se divide en las siguientes fases. La fase inicial, denominada: Exploración, que consistió en: Buscar información bibliográfica que implica libros, tesis o revistas de carácter científico relacionados con la teoría de los fluidos en particular la Ley de Stokes. La fase dos, se denomina Explicación, en la cual consolidamos todo lo anterior. Documento Oficial. Universidad Pedagógica Nacional FORMATO RESUMEN ANALÍTICO EN EDUCACIÓN - RAE Código: FOR020GIB Versión: 01 Fecha de Aprobación: 10-10-2012 Página 3 de 3 La tercera fase se denomina, Aplicación y consistió en la realización de esta monografía y de sus conclusiones. 6. Conclusiones 7. Vemos reflejado en la historia de la ciencia, las controversias como una fuente para construir conocimiento, por ejemplo, el caso entre Sócrates y los sofistas, Leibniz y Euler, cartesianos y newtonianos, y en este caso Ehrenhaft y Millikan, podrían servirnos de referencia. 8. También la teoría expuesta por Stokes en su artículo, "On the effect of the internal frition of fluids on the motion of pendulums", fue objeto de análisis; pero, a su vez encontramos algunos puntos cuestionables, que posiblemente se les atribuya a errores de impresión o en su defecto al mismo Stokes. Sin embargo, esta postura es objetable, por dos razones: Primera: Las ecuaciones de la física desde un punto de vista matemático, tienen su deducción; por ejemplo, la ecuación de Schröndinger independiente del tiempo, es una ecuación de difusión, deducida a partir de razonamientos físicos. Así mismo imaginamos, la deducción de la ecuación para determinar la fuerza de arrastre que experimenta un objeto esférico. 9. No siendo más en este aparte, quisiéramos añadir que esta problemática sea de motivación para nuestros compañeros y personas interesadas en abordar los conceptos de la ciencia, desde una mirada epistemológica, cultural y matemática, les sea de mucha ayuda y de motivación para seguir en esta noble labor que es la enseñanza de la física. Elaborado por: Jorge David Garcia Baute Revisado por: Ignacio Alberto Monroy Fecha de elaboración del Resumen: Documento Oficial. Universidad Pedagógica Nacional 29 01 2014 Índice de figuras 1.1.1. Una forma posible de clasificar los fluidos 13 1.1.2. Representación de las caracteristicas del Flujo laminar y turbulento a tráves de un objeto esférico. Imagen tomada de http://rabfis15.uco.es/. 13 1.1.3. Elemento fluido sometido a la presión. Imagen tomada de http://medirvariables.blogspot.com/ 15 1.2.1. Grafico Ilustrativo para el análisis de Landau 20 − − 1.2.2. Representación gráfica de la ecuación → r ×→ u = f ¨(r)n̂ × û. 22 2.0.1. Esta gráfica es uno de los primeros intentos por J. Perrin por ilustrar el desplazamiento de las semillas de polén . Tomado de Reality Molecular, Perrin, 1910. Pág 64. 40 2.0.2. Imagen obtenida a partir de camara de video adaptada a un microscopio. Los investigadores sugieren evitar particulas enfrentadas, ya que afecta su resultado. Imagen tomada de Measuring Boltzmann’s constant using video microscopy of Brownian motion, Nakroshis Paul & Clbs. 2002 . 42 3.1.1. La cámara de niebla fue desarrollada por el físico escocés Charles Thomson Rees Wilson (1869-1959), posteriormente se convertiría en una herramienta experimental que verificaría hipótesis y en la cual se estudiarían fenómenos como el movimiento de partículas elementales. Imagen rescatada de http://i.ytimg.com/. 21/Sep/013. 44 3.1.2. Gráfico ilustrativo del experimento de la gota de Aceite. Imagen rescatada de http://1.bp.blogspot.com 45 3.1.3. Aparato empleado por P.J Coulier, para el estudio de la condensación del vapor de agua, (Couliers, 1875a) 49 3.1.4. Formas de algunas gotas. Imagen rescatada de https://encrypted-tbn1.gstatic.com. Para más detalles remitirse al trabajo de Philipp Leonard (1862-1947). 4.0.1. Movimiento de las moleculas en un tiempo t + τ , en una región particular del espacio 4 50 58 Índice de figuras 4.0.2. Desplazamiento que debe recorrer una particula en el espacio y en el tiempo. 5 59 Índice general Reconocimientos 3 Índice de figuras 4 Introducción 7 Problemática 8 Objetivos 9 Antecedentes Capítulo 1. 10 Mecánica De Fluidos y Ley de Stokes 12 1.1. Mecánica De Fluidos 12 1.2. Solución a la ecuación de Navier-Stokes, para el caso de una partícula esférica. 18 Capítulo 2. Movimiento Browniano y la Ley de Stokes 33 Capítulo 3. La Cuantización de la Carga y Ley Stokes 43 3.1. Contexto Histórico Capítulo 4. 43 Conclusiones 52 Anexo A 54 Anexo B 58 Bibliografía 62 6 Introducción La ley de Stokes, que es el objeto de estudio en este trabajo fue desarrollada y presentada por G.G Stokes (1819-1903), en su serie de estudios titulados "on the effect of the internal friction of fluids on the motion of pendulums " de una manera analítica. Dicha ley, que describe la fuerza de arrastre que experimenta una partícula esférica en un flujo laminar, fue objeto de estudio por reconocidos investigadores en el campo de la física galardonados con el premio Nobel. El primero de ellos R. Millikan (1868-1953), debatió con algunos de sus homólogos tratando de demostrar la cuantización de la carga eléctrica. El segundo, J. Perrin (1870-1942), culminaría la obra mecanicista comprobando el carácter molecular de la materia en un periodo que abarca desde 1908 a 1913. Y en estos dos aspectos particulares de la historia, la realidad molecular y la cuantización de la carga, se pone en juego la ley de Stokes. No obstante, se presenta en este trabajo una propuesta en torno a la ley de Stokes, resaltando su importancia en el desarrollo histórico y epistemológico de las teorías de la física. Esto se realizará a partir de un desarrollo cronológico enfocado en una relación física-matemática. El contendido de este trabajo esta dado de la siguiente manera: Capítulo 1, se hace una introducción a las ecuaciones de Navier-Stokes, culminando en el trabajo particular de Stokes, que es la determinación de los esfuerzos cortantes que experimenta una esfera moviéndose en un fluido viscoso, la cual se conoce como la ley de Stokes. En el Capítulo 2, se pone en contexto el movimiento browniano, y se presenta el trabajo de Einstein, Langevin y el trabajo de Perrin, con algunas controversias que se dieron en el marco de esta teoría. En el Capítulo 3, se encuentra el trabajo de Millikan, sobre la cuantización de la carga, junto con una serie de controversias que dieron lugar a la batalla del electrón, y en el cual, hacemos énfasis en la ley de Stokes, como una ecuación valida en la descripción del experimento de la gota de aceite. Por último, en el Capítulo 4, presentamos las conclusiones del trabajo, junto con un cuadro cronológico en el que resumimos el desarrollo de las teorías expuestas aquí. 7 Problemática En la física, la descripción de los fenómenos de la naturaleza son realizados por un sujeto el cual asocia magnitudes físicas a las posibles variables que puede un sistema en particular. En este entorno científico se plantea la descripción de estos fenómenos estableciendo un conjunto de relación entre estas variables, culminado en algunos casos, en un conjunto de ecuaciones de un modelo físico matemático. Esta idea en particular representa unos de los aspectos de la relación física-matemática como proceso de descripción de los fenómenos físicos. No obstante, en un proceso de enseñanza de estos fenómenos físicos el uso de este lenguaje matemático con sus ecuaciones sin un análisis didáctico e histórico generan espacios de aprendizaje superficiales a los conceptos que algunas veces acarrea consigo una serie de problemáticas, como por ejemplo; la falta de interés en abordarla a profundidad, omitiendo al mismo tiempo aspectos históricos implicados en su desarrollo. En esto citamos al filósofo G. Hegel (1770-1831), cuando establece que nada en el mundo está aislado, todo está relacionado entre sí [13]. En nuestro caso, la ley de Stokes, que a simple vista pareciera solo guardar relación con los objetos esféricos moviéndose a través de un medio fluido, cuya expresión matemática de una fuerza se vincula con el desarrollo teórico de la cuantización de la carga y del movimiento browniano, y a la vez, pone en cuestión, cuales son los limites de validez para esta ley en la elaboración de conceptos físicos. Ese es el motivo por el cual se decidió abordar un estudio epistemológico de esta ley. 8 Objetivos Objetivo General. Hacer un análisis físico-matemático de la ley de Stokes que aparece en la teoría de fluidos, e indagar sobre su papel desempeñado en el desarrollo de las teoria fisicas. Objetivos Específicos. Deducir la ley de Stokes, comprender su formulación y los limites en los cuales es aplicable. Presentar en orden cronológico como la ley de Stokes influencio en la explicación del movimiento browniano y en la cuantización de la carga. A partir de un desarrollo histórico dar a conocer las controversias de los conceptos físicos que se han originado en torno a la ley de Stokes. 9 Antecedentes Einstein, Albert, (1956),"Investigation on the theory of, the brownian movement", Dover Publications, INC. Esta obra es fundamental ya que Einstein, a partir de la aleatoriedad del movimiento browniano, llega por medio de la teoría cinética del calor a describir dicho fenómeno, empleando en este la ley de Stokes. Niaz, Manzoor, (2000), "The Oil Drop Experiment: A Rational Reconstruction of the MillikanEhrenhaft Controversy and Its Implications for Chemistry Texbooks", Journal Of Research In Science Teaching, Vol. 37, No 5, PP (480-508). En este articulo de Manzoor, (2000), se presentan una serie de controversias que giran alrededor de la carga eléctrica y una cuestión referente a la forma esférica de la gota de aceite, la cual fue objeto de discusión entre Millikan y Ehrenhaft, resaltando en ambos casos la ley de Stokes. *Stokes, Gabriel, (1850), “On the effect of the internal friction of fluids on the motion of pendulums”, Transactions of the Cambridge Philosophical Society, Vol. IX. p. [8]. Recuperado de: http://www.nawcc-index.net/. Este articulo escrito de G.G Stokes es de vital importancia debido a que Stokes deduce en este la fórmula que rige para los cuerpos inmersos en un fluido, presentando diversos casos, como partículas esféricas y cilíndricas. Tiriaht Fajardo Dalila, Jiménez Esteban, “El Papel De Las Constantes En El Marco De las Teorías y el Aprendizaje De La Física", Universidad Pedagógica Nacional, Facultad de ciencia y tecnología, Departamento de Física 1995, Monografía. En esta monografía de (Fajardo, Jiménez, 1995), se presenta cómo las constantes juegan un papel fundamental en la teorías de la física. También es posible encontrar por medio del análisis dimensional el carácter dimensional y a-dimensional de algunas constantes, un caso en particular, la ley de Stokes. 10 ANTECEDENTES Zully 11 Vianney, Sierra Yolanda , "Diseño y Construcción del Equipo Empleado en La Cuantización de la Carga”. Universidad Pedagógica Nacional, Facultad de ciencia y tecnología, Departamento de Física 1996, Monografía. Esta monografía de (Zully, Sierra, 1996), contiene un estudio histórico que trata sobre la batalla del electrón, a pesar de ser un trabajo experimental, es a la vez un intento por encontrar un valor aproximado de la carga empleando elementos de fácil consecución. También resalta la importancia del experimento de la cuantización de la carga, como uno de los sucesos que marcaría la historia de la física. Capítulo 1 Mecánica De Fluidos y Ley de Stokes 1.1. Mecánica De Fluidos El estudio de la mecánica de fluidos es de gran importancia debido a que prácticamente toda la naturaleza está constituida por estos [31]. Por ésta razón, abordaremos su estudio teniendo en cuenta algunos conceptos claves, que nos ayudarán a profundizar un poco acerca de esta fascinante materia. La ecuación que emplearemos se conoce como ecuación de Euler1, que es la ecuación rectora en esta área, sin embargo, para fluidos con viscosidad, la ecuación que utilizaremos se conoce con el nombre de Navier-Stokes, también conocidad como ecuación de Movimiento para los fluidos viscosos. 1.1.1. Definición de fluido. Para entrar en detalle, es necesario definir lo que es un fluido, para ello proponemos la siguiente clasificación, pensar que el universo se puede estudiar desde sus constituyentes básicos, por ejemplo; podemos dividirlo en el estudio del tiempo, espacio y materia, esta última (la materia), la podemos encontrar en los siguientes estados: sólido, líquido y gaseoso [31], los dos últimos estados de la materia, liquído y gaseoso.constituyen la rama de estudio de la mecánica de fluidos. Por tanto, podemos decir que los fluidos coresponden a ciertos estados de la materia, para una mayor claridad, ver figura 1.1.1. 1Sin embargo, existen ciertas criticas a destacar por R. Feynman, citando al matemático húngaro-estadounidense Jonh Von Neumann (1903-1957), quien le asigno el nombre de ecuaciones para el agua seca 12 1.1. MECÁNICA DE FLUIDOS 13 Figura 1.1.1. Una forma posible de clasificar los fluidos 1.1.2. Número de Reynolds. En el estudio de los fluidos, encontramos que su comportamiento, lo podemos caracterizar, según un parámetro adimensional, conocido como número de Reynolds, que nos ayuda a determinar el comportamiento de estos, el cual, puede ser un flujo laminar o turbulento. Un flujo laminar se caracteriza por ser ordenado, estratificado y suave [35], para un ejemplo más claro mirar la figura 1.1.2. Figura 1.1.2. Representación de las caracteristicas del Flujo laminar y turbulento a tráves de un objeto esférico. Imagen tomada de http://rabfis15.uco.es/. En el caso de la figura (1.2.1), observamos, como las lineas de corriente son continuas, se puede incluso seguir con los dedos cada linea de corriente y comprobarlo. También, con ayuda de la misma figura, se puede observar la diferencia existente con el flujo turbulento, que es discontinuo y desordenado. 1.1. MECÁNICA DE FLUIDOS 14 Este comportamiento, se puede determinar haciendo uso del número de Reynolds, por ejemplo, si conocemos la densidad ρ, la viscosidad dinámica υ, la velocidad del fluido u, el radio o el diámetro caracteristico del sistema[35], dependiendo según el caso, podemos evaluar el número y así determinar si el fluido, será laminar o turbulento. El número de Reynolds, viene dado en los siguientes términos: (1.1.1) ρuD µ Re = O, su forma equivalente: (1.1.2) Re = uR ν Se puede verificar, el caracter adimensional, haciendo el respectivo análisis. Este número a pesar de ser un resultado experimental, es en sí, la relación de dos fuerzas: La fuerza inercial y las fuerzas viscosas: Re = Fi Fv . Se puede constatar, que si el número de Reynolds está en un rango de Re ≤ 2000, el fluido tendrá un comportamiento laminar, y si Re ≥ 4000, este será turbulento [33]. Una de las razones, por la cual, hemos mencionado este parámetro, se debe, al hecho de que la ley de Stokes, se cumple unicamente para números de Reynolds, menores que la unidad, Re << 1, esto es, un flujo laminar, mejor conocido, como flujo de Stokes. Para números de Reynolds, Re > 1, la ley de Stokes varia de acuerdo a la siguiente expresión: (1.1.3) 3uR F = 6πµRu 1 + 8ν Tal expresión se conoce como, aproximación de Ossen2, y la cual fue mejorada por Proudman y Pearson en 1957, [22]. Inclusive, puede extenderse más, si no fuera por limitaciones en los instrumentos de medición. 2Carl Wilhelm Oseen, (1879-1944), fue un físico teórico, nacido en Lund, realizo aportes en la teoría de la elasticidad y la mecánica de fluidos, también hizo parte del comité del Premio Nobel. En realidad, se conoce muy poco acerca de su vida y su filosofía. Para más detalle, ver Work on Atomic Physics, U. Hoyer. 1.1. MECÁNICA DE FLUIDOS 1.1.3. 15 La ecuación de Euler. Comentabamos al comienzo sobre la ecuación de Euler, y su papel fundamental en la descripción del comportamiento de los fluidos, sin embargo es necesario saber de donde se deduce la ecuación de Euler, para ello consideramos lo siguiente: Un recipiente lleno de una sustancia líquida, de la cual aislamos un pequeño elemento del liquido, este elemento fluido, estará sometido a la presión que ejercen sobre él los demás elementos fluidos. Como lo ilustra la figura (1.1.4). Figura 1.1.3. Elemento fluido sometido http://medirvariables.blogspot.com/ a la presión. Imagen La fuerza total actuando sobre esta "partícula" fluida es: (1.1.4) → − F =− ˛ − p d→ s =− ¨ − p d→ s Está ecuación se puede escribir cómo: ˚ (1.1.5) − ¨ ∇p dV = − − p d→ s Por lo tanto: ˚ − → − ∇p dV = F → − Donde F , es la fuerza actuando sobre un diferencial de volumen. → − Esto es: ∇ (p)dV = F, en el caso de que el volumen sea la unidad se tiene: tomada de 1.1. MECÁNICA DE FLUIDOS 16 → − −∇ (p) = F (1.1.6) → − − Consideremos ahora F = m→ a = ρV − d→ v dt , (1.1.7) introduciendo este término en la ecuación (1,1,4). −∇p = ρ − d→ v dt La diferencial de la velocidad se puede escribir de la siguiente manera: (1.1.8) − − − − ∂→ v ∂→ v ∂→ v ∂→ v − d→ v = dt + dx + dy + dz ∂t ∂x ∂y ∂z Que simplificamos a: − − d→ v ∂→ v − − = +→ v (∇ · → v) dt ∂t (1.1.9) Reemplazando en la ecuación (1,1,5): (1.1.10) ρ → ∂− v − − +→ v (∇ · → v ) = −∇p ∂t La anterior ecuación se puede escribir como: (1.1.11) → ∂− v p − − +→ v (∇ · → v ) = −∇ ∂t ρ Esta es la ecuación de Euler, que describe el movimiento para fluidos ideales, en la cual encontramos una variación de la velocidad, que se conoce como aceleración local, − ∂→ v ∂t , y una aceleración que se conoce − − como aceleración convectiva, → v (∇ · → v ) y un gradiente de presión, ∇P , dividido por la densidad del fluido, ρ. Para el caso de que el fluido se encuentre en un campo gravitatorio, la ecuación seria: 1.1. MECÁNICA DE FLUIDOS (1.1.12) 17 → ∂− v p − − − +→ v (∇ · → v ) = −∇ + → g ∂t ρ − Donde → g , representa la aceleración gravitacional. La limitación de la ecuación de Euler, radica en que únicamente es valida para fluidos ideales, se hace entonces necesario, deducir a partir de esta ecuación la ecuación de movimiento para fluidos viscosos, ya que en la naturaleza, es muy difícil encontrar un fluido con características ideales, siempre es posible encontrar fluidos con cierto grado de viscosidad, sea pequeña o grande, dependiendo de la temperatura [16]. En la siguiente tabla ilustramos la medida de la viscosidad, para fluidos a una temperatura de 20◦ C. Cuadro 1. Viscosidad Para Fluidos a 20◦ C. Landau, Lisfchizt, Mecánica de Fluidos. 1986 Fluido µ (g/cms) Agua 0,01 Aire 0,00018 Alcohol 0,018 Glicerina 8,5 La ecuación de movimiento o segunda ley de Newton, para este aparte es una modificación de la ecuación de Euler, y esta afirmación la podemos hacer gracias a los estudios termodinámicos implicados en la teoría, debido a que el análisis entre la teoría de G.G Stokes, y el manejo de la teoría que hace la academia de ciencias Rusa, difieren en el hecho de que Stokes, por ser un matemático puro, su enfoque es extenso en el desarrollo matemático, mientras que en Landau y Lifhitz, hay un punto de vista más físico, en el sentido que trabaja la teoría desde la termodinámica, y lo hace explícitamente, cuestión que no notamos en el desarrollo del profesor Stokes. Al trabajar la teoría de la mecánica de fluidos, desde una perspectiva termodinámica podemos hacer una serie de consideraciones que nos permiten trabajar con comodidad el aspecto matemático. En el 1.2. SOLUCIÓN A LA ECUACIÓN DE NAVIER-STOKES, PARA EL CASO DE UNA PARTÍCULA ESFÉRICA. 18 caso de fluidos viscosos, hay ciertas propiedades termodinámicas, como por ejemplo, la transferencia de impulso3 , que nos permite llegar a la ecuación de Navier-Stokes4 : (1.1.13) ρ → ∂− v − − − v +→ v (∇ · → v ) = −∇p + µ∇2 → ∂t Esta es la ecuación denominada de movimiento, la cual debe ser resuelta para fluidos viscosos, cuya solución es el campo de velocidades en un instante de tiempo t. La razón por la cual, se conocen muy pocas soluciones es debido a las dificultades matemáticas implicadas, de hecho, a Stokes, se le debe el desarrollo de estas ecuaciones y a su vez una solución analítica, que es el caso de una partícula esférica moviéndose a través de un fluido viscoso. No obstante, estas ecuaciones habían sido desarrolladas por el físico francés Jean Cloude Navier (1785-1836), por esta razón, en muchos textos, se les denomina ecuaciones de Navier-Stokes. 1.2. Solución a la ecuación de Navier-Stokes, para el caso de una partícula esférica. En esta sección se presenta la solución hallada por George Stokes a la ecuación de Navier, para el caso de una esfera inmersa en un fluido viscoso y de la cual se deduce la conocida ley de Stokes. Iniciábamos anteriormente con la siguiente pregunta, cuál es la deducción matemática de la ley de Stokes. Para dar respuesta a lo anterior hemos señalado dos métodos: analítico y experimental, el método analítico hace referencia al empleo de ecuaciones, en general todos los argumentos matemáticos que implica la teoría, basados en los cálculos realizados por Lev Davidovich Landau (1908-1968) y E.M Lifshitz (19151985), los cuales tratamos de reproducir de manera completa. Tenemos entonces la ecuación de Navier-Stokes para un fluido viscoso: 3Los profesores Landau y Lifshitz, pág 14, Mecánica De Fluidos, Reverté, consideran la transferencia de impulso y la cantidad − → − → − → → de movimiento iguales, esto es: I = F t y P = m− v , A simple vista, son términos diferentes, que representan conceptos diferentes; pero si consideramos un tiempo y una velocidad infenitesimal: dv dt ∴ dI = mdv dt Un tratamiento similar para la cantidad de movimiento, nos indica que, dp = mdv, por tanto: dp = dI; aunque teoricamente es posible, como se acaba de mostrar, no hay que olvidar su significado físico, el cual debe estar de acuerdo al fenómeno observado. 4 Para una dedución más completa, mirar el anexo A. dI = F dt = m 1.2. SOLUCIÓN A LA ECUACIÓN DE NAVIER-STOKES, PARA EL CASO DE UNA PARTÍCULA ESFÉRICA. (1.2.1) − → − v (∇ · → v)=− 19 1 µ − ∇P + ∇2 → v ρ ρ − → − Bajo pequeños números de Reynolds el término v (∇· → v ); se puede omitir, esto permite que la ecuación (1.2.1), se pueda expresar como: − µ∇2 → v − ∇P = 0 (1.2.2) Aplicando a la ecuación (1,2,2) el rotacional, se obtiene: (1.2.3) − µ∇ × ∇2 → v − ∇ × ∇P = ∇ × 0 La anterior ecuación se simplifica a: (1.2.4) µ∇2 (∇ × v) − ∇ × ∇P = 0 aplicando las propiedades del cálculo vectorial tenemos que: (1.2.5) ∇ × ∇P = 0 por lo tanto la ecuación (1,2,3) queda expresada de la siguiente forma: (1.2.6) µ∇2 (∇ × v) = 0 Ahora como la viscosidad dinámica (µ) la consideramos constante entonces debe cumplirse: (1.2.7) ∇2 (∇ × v) = 0 1.2. SOLUCIÓN A LA ECUACIÓN DE NAVIER-STOKES, PARA EL CASO DE UNA PARTÍCULA ESFÉRICA. 20 Para solucionar esta ecuación es necesario recurrir a argumentos físicos y matemáticos, entonces − imaginamos a la partícula esférica inmersa en el fluido viscoso moviéndose a velocidad constante → u. Figura 1.2.1. Grafico Ilustrativo para el análisis de Landau Colocamos nuestro sistema cartesiano en el centro de la esfera lo cual nos permite tener un radio − vector y el vector velocidad,→ u. Toda esta construcción representa la esencia del trabajo científico, para modelar dicho fenómeno, el cual es validado de acuerdo con la experiencia. Ahora, lo anterior nos permite construir el vector axial: → − − − A =→ r +→ u (1.2.8) Retomando nuevamente la ecuación (1,2,7): (1.2.9) − ∇2 (∇ × → v)=0 − se puede expresar la velocidad → v como la siguiente suma: → − − → − v = v’ + → u (1.2.10) si aplicamos el operador divergencia a (1,2,8): (1.2.11) → − − − ∇·→ v = ∇ · v’ + ∇ · → u 1.2. SOLUCIÓN A LA ECUACIÓN DE NAVIER-STOKES, PARA EL CASO DE UNA PARTÍCULA ESFÉRICA. 21 teniendo en cuenta la ecuación de continuidad: (1.2.12) − ∇·→ v =0 se asume de manera general, que cuando la divergencia es nula, es porque no hay fuentes ni sumideros en el fluido. − Debido a que → u , es constante, la ecuación (1,2,9), queda expresada de la siguiente manera: (1.2.13) → − − ∇·→ v = ∇·v’ Con base en la ecuación (1,2,10), se puede inferir que: (1.2.14) → − ∇ · v’ = 0 por lo tanto: (1.2.15) → −0 → − v =∇× A de esta manera la ecuación (1,2,8) se puede escribir como: (1.2.16) → − − → − v =∇× A +→ u → − − El vector A , debe ser función lineal del vector → u , esto sería: 1.2. SOLUCIÓN A LA ECUACIÓN DE NAVIER-STOKES, PARA EL CASO DE UNA PARTÍCULA ESFÉRICA. 22 − − Figura 1.2.2. Representación gráfica de la ecuación → r ×→ u = f ¨(r)n̂ × û. → − pero f 0 (r)n̂, se conoce como: f 0 (r)n̂ = ∇f (r), luego el vector A , se puede expresar en los siguientes términos: → − − A = ∇f (r) × → u (1.2.17) Por lo tanto (1.2.13) quedaría: (1.2.18) → −0 → − − v = ∇ × A = ∇ × [∇f (r) × → u] − Como el vector → u es constante, las propiedades del cálculo vectorial permiten escribir la ecuación anterior como: (1.2.19) − − ∇f (r) × → u = ∇ × f→ u Reemplazando en la ecuación (1,2,8): (1.2.20) → − −u + → − v = ∇ × ∇ × f→ u Así vamos construyendo la solución a la ecuación de Navier para el caso de una esfera, que es uno de los pocos casos que se pueden resolver. − Aplicamos nuevamente el rotacional a (1,2,16), pero considerando al vector → u , paralelo obtenemos: 1.2. SOLUCIÓN A LA ECUACIÓN DE NAVIER-STOKES, PARA EL CASO DE UNA PARTÍCULA ESFÉRICA. 23 − − ∇×→ v =∇×∇×∇×f→ u (1.2.21) Haciendo uso de las propiedades del cálculo vectorial (1,2,17), queda: (1.2.22) − − ∇×∇×∇×f→ u = (∇·) ∇ − ∇2 ∇ × f → u Recordando que: − −∇2 (∇ × f → u) = 0 (1.2.23) Cuando tenemos un rotacional igual a cero, asumimos que en el fluido no hay vortices, esto es, está libre de remolinos, por ende, la anterior ecuación (1.2.23) puede expresarse como: (1.2.24) − − −∇2 (∇ × f → u ) = −∇2 (∇f × → u) = 0 finalmente llegamos a la ecuación: (1.2.25) − − ∇×→ v = −∇2 (∇ × f → u) Multiplicando por el operador ∇2 , se obtiene: (1.2.26) − − ∇2 (∇ × → v ) = −∇4 (∇ × f → u) Pero de (1,2,19), la ecuación anterior se convierte en: (1.2.27) − − ∇2 (∇ × → v ) = −∇4 (∇f × → u) 1.2. SOLUCIÓN A LA ECUACIÓN DE NAVIER-STOKES, PARA EL CASO DE UNA PARTÍCULA ESFÉRICA. 24 De tal manera que: (1.2.28) ∇4 (∇f ) = 0 simplifiquemos la notación anterior introduciendo la siguiente notación: ∇2 = 4 ∂ ∂ 1 ∂ ∂ donde el operador 4 = r12 ∂r r2 ∂r + r2 sinθ ∂θ sinθ ∂θ la ecuación (1,2,23)5 se simplifica a: (1.2.29) ∇(42 f (r)) = 0 esto es: (1.2.30) 42 f (r) = Constante Ahora debemos solucionar la ecuación anterior con el propósito de encontrar la función f (r), llamemos entonces a ∇2 f (r) = g, y reemplazamos en (1.2.25): (1.2.31) 1 ∂ r2 ∂r ∂ r ∂r 2 g=0 desarrollando esta ecuación obtenemos: (1.2.32) 2 ∂g ∂ 2 g + 2 =0 r2 ∂r ∂r solucionando esta ecuación por el método de Cauchy-Riemman, se obtiene la siguiente solución: (1.2.33) g = Ar−1 + B 5La ecuación (5.2.44), se puede escribir como: ∇∇∇∇(∇f ) = ∇(∇∇∇∇f ) , de manera simplificada: ∇(∇4 f ) = ∇(42 f ) 1.2. SOLUCIÓN A LA ECUACIÓN DE NAVIER-STOKES, PARA EL CASO DE UNA PARTÍCULA ESFÉRICA. 25 una consideración física para reducir los términos es tomar a la constante B = 0, la razón que el profesor Landau sugiere es debido a que la velocidad se anula en el infinito, teniendo esto en mente el termino anteriormente planteado se convierte en: 1 ∂ r2 ∂r (1.2.34) ∂ r2 f (r) = Ar−1 ∂r Realizando una primera integración obtenemos: ˆ (1.2.35) ˆ ∂ = A rdr d r2 ∂r Lo cual da. como resultado: (1.2.36) r2 ∂ r2 =A +B ∂r 2 Una segunda integración da como resultado: (1.2.37) f (r) = ar + br−1 si ahora sustituimos la función f (r), en la ecuación (1,2,16): (1.2.38) → − − − − − v =∇×∇×f→ u +→ u = ∇ × ∇ × (ar + br−1 )→ u +→ u según las propiedades del cálculo vectorial: (1.2.39) − − − ∇ × ∇ × (ar + br−1 )→ u = (∇·) ∇(ar + br−1 )→ u − ∇2 (ar + br−1 )→ u desarrollando toda la operación anterior teniendo en cuenta las siguientes propiedades: 1.2. SOLUCIÓN A LA ECUACIÓN DE NAVIER-STOKES, PARA EL CASO DE UNA PARTÍCULA ESFÉRICA. → − A ∇ · ∇ 1r = 26 → − → − 3 A ·n̂ − A r3 − ∇(→ r)=3 Empecemos a desarrollar la anterior expresión por partes: − − − a (∇·) ∇(r · → u ) = −ar−1 [r̂(r̂ · → u)+→ u] (1.2.40) Para la segunda parte: − − − u = br−3 [3r̂(r̂ · → u)−→ u] b (∇·) ∇ r−1 → (1.2.41) El segundo término; ∇2 (ar + br−1 ) = 0, permite escribir (1,2,16) de la siguiente forma: (1.2.42) → − − − − − − v = −ar−1 [r̂(r̂ · → u)+→ u ] + br−3 [3r̂(r̂ · → u)−→ u]+→ u Ahora nuestro problema consiste en determinar las constantes a y b, esto implica tomar condiciones − limites: r = R; → v = 0, así (1,2,37) queda: (1.2.43) − − − − − 0 = −aR−1 [r̂(r̂ · → u)+→ u ] + bR−3 [3r̂(r̂ · → u)−→ u]+→ u los valores de a y b, los hallamos de la siguiente manera: a b + 3 =1 R R − b a +3 3 =0 R R que constituyen un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas que se pueden resolver mediante el empleo de determinantes: 1.2. SOLUCIÓN A LA ECUACIÓN DE NAVIER-STOKES, PARA EL CASO DE UNA PARTÍCULA ESFÉRICA. 27 Entonces para el caso de la constante a: 1 0 a= 1 R3 3 R3 1 R 1 R3 −1 R 3 R3 = 3 R 4 Ahora calculando para: 1 R3 b = R4 = 4 R4 retomando nuestra función f (r), (Ecuación 1,2,32) (1.2.44) f (r) = 3 R3 −1 Rr + r 4 4 y la función (1,2,38) queda expresada como: (1.2.45) 3 R3 −3 → − − − − − − v = − Rr−1 [r̂(r̂→ u)+→ u]+ r [3r̂(r̂→ u)−→ u]+→ u 4 4 como estamos trabajando sobre una esfera es conveniente expresar las componentes de la velocidad en − términos de coordenadas esféricas, esto es: → v = vθ + vr . Siendo: (1.2.46) 3R R3 vθ = u cos θ 1 − + 3 2r 2r (1.2.47) 3R R3 vr = u sin θ 1 − + 4r 4r Retomando la ecuación de Navier (1,2,2): 1.2. SOLUCIÓN A LA ECUACIÓN DE NAVIER-STOKES, PARA EL CASO DE UNA PARTÍCULA ESFÉRICA. (1.2.48) 28 − µ4→ v − ∇p = 0 recordando (1,2,16), y aplicando el operador 4, a la ecuación, obtenemos: (1.2.49) − −u ) + 4→ − 4→ v = 4(∇ × ∇ × f → u se obtiene: (1.2.50) − −u ) 4→ v = 4(∇ × ∇ × f → La ecuación de Navier, queda expresada como: (1.2.51) − µ4(∇ × ∇ × f → u ) = ∇p aplicando las propiedades del cálculo vectorial: (1.2.52) − − µ4 (∇·) ∇f → u − ∇2 f → u = ∇p Lo anterior se convierte en: (1.2.53) −u ) = ∇p µ4 ((∇·) ∇f → que se puede expresar como6: 6El término izquierdo de la ecuación (1.2.48), se puede escribir en terminos de la ecuación (1.2.49); únicamente en casos particulares, por ejemplo; si la función está definida, es decir, cumple con el teorema de Clairut. Esto es fácil de verificar, cuando las funciones son cartesianas, exceptuando las funciones de Dirichlet, pero los operadores (nabla y gradiente) expresados en fuciones esféricas, no cumplen del todo dicha propiedad. Para superar dicho problema, aplicamos similarmente, las operaciones indicadas en la nota al pie5, y así, procedemos a agrupar, para llegar a la ecuación (1.2.49). 1.2. SOLUCIÓN A LA ECUACIÓN DE NAVIER-STOKES, PARA EL CASO DE UNA PARTÍCULA ESFÉRICA. − µ∇ ((∇·) 4f → u ) = ∇p (1.2.54) una primera integración nos da: − µ ((∇·) 4f → u ) = p − p0 (1.2.55) Reemplazando 4 y f (r): (1.2.56) µ∇ 1 ∂ r2 ∂r ∂ r ∂r 2 R3 −1 → 3 − u = p − p0 Rr + r 4 4 − como las cantidades µy → u , son constantes se tiene: ∇ 1 ∂ r2 ∂r ∂ r ∂r 2 ∇ R3 −1 3 Rr + r 4 4 1 ∂ 3 R3 −1 =∇ 2 Rr + r r ∂r 4 4 R3 −1 3R 1 ∂ 3 Rr + r = ∇ r2 ∂r 4 4 2r 3R ∂ 3R ∇ = n̂ 2r ∂r 2r ∂ 3R 3R n̂ = − 2 n̂ ∂r 2r 2r Luego: (1.2.57) ((∇·) 4f ) = − 3R n̂ 2r2 Y la ecuación de Navier-Stokes queda en los siguientes términos: (1.2.58) p=− 3R − n̂ · → u + p0 2r2 29 1.2. SOLUCIÓN A LA ECUACIÓN DE NAVIER-STOKES, PARA EL CASO DE UNA PARTÍCULA ESFÉRICA. 30 lo cual es equivalente a: (1.2.59) p=− 3R u cosθ + p0 2r2 Como el propósito de todo este desarrollo matemático es calcular la fuerza de arrastre que actúa en la esfera, podemos hacer uso de los esfuerzos cortantes que sobre ella aplican, estos son: (1.2.60) σrr = 2µ ∂vr ∂r y: (1.2.61) σrθ = µ 1 ∂vr ∂vθ vr + − r ∂θ ∂r r reemplazando vθ y vr : ∂vr ∂ 3R R3 2µ = 2u sin θµ + 1− ∂r ∂r 4r 4r (1.2.62) 2u sin θµ ∂ 3R R3 3R 3R3 1− + = 2u sin θµ − 2 + 4 ∂r 4r 4r 4r 4r si r = R, entonces obtenemos: (1.2.63) σrr = 0 Ahora analicemos el esfuerzo tangente, σrθ : (1.2.64) h u cos θ 1 − 3R + 2r ∂vθ vr u ∂ sin θ 3R R3 ∂ 3R R3 1 ∂vr + − =µ 1− + +u cos θ 1− + 3 − µ r ∂θ ∂r r r ∂θ 4r 4r ∂r 2r 2r r R3 2r 3 i 1.2. SOLUCIÓN A LA ECUACIÓN DE NAVIER-STOKES, PARA EL CASO DE UNA PARTÍCULA ESFÉRICA. Si r = R, la expresión anterior se convierte en: (1.2.65) σrθ = − 3µu 2r u sin θ → − Ahora nos queda calcular la fuerza de arrastre F = F eˆx . → − F = (1.2.66) ˛ (−p cos θ + σrr cos θ − σrθ sin θ) dAex reemplazando valores y recordando(1,2,55) y (1.2.56) obtenemos: (1.2.67) → − F = ˛ 3µu 3µu u cos θ cos θ + sin2 θ dAex − p0 − 2r 2r Se obtiene: (1.2.68) → − F = ˛ 3µ −p0 cos θ + 2r dAex Si tomamos la siguiente condición, p0 = 0, la anterior expresión se convierte en: (1.2.69) 3µu F = 2r ˆ dA como estamos integrando sobre una esfera obtendremos: (1.2.70) (1.2.71) F = 3µu 2r 4πr2 F = 6πµr u 31 1.2. SOLUCIÓN A LA ECUACIÓN DE NAVIER-STOKES, PARA EL CASO DE UNA PARTÍCULA ESFÉRICA. 32 A esta expresión se le conoce con el nombre de Ley de Stokes, y se cumple para determinados números de Reynolds, de esta manera mostramos la deducción matemática de esta ley, aunque, vale la pena advertir que existen otras formas para llegar a ella, no obstante son teorías más complicadas de tratar, como es el caso de los libros de Batchelor, y de Ripoll y Saborid, también un cálculo sencillo y rápido se encuentra en el libro de Mecánica de Fluidos de Victor Streetler, en el cual se presenta la construcción de una función que satisface las ecuaciones de Navier-Stokes y llega efectivamente a la formula de Stokes, también podemos revisar los originales de G.G. Stokes,[27], sin embargo en este articulo se encontrará con una notación bastante complicada por ser de una época ya antaño. ¡Oh, con las cifras se puede probar todo lo que se quiera! Y con los hechos, muchacho; ¿Ocurre lo mismo? Viaje al centro de la tierra. Julio Verne . Capítulo 2 Movimiento Browniano y la Ley de Stokes 2.0.1. Movimiento Browniano. En este capítulo mencionamos el movimiento browniano como un fenómeno que guarda relación con la ley de Stokes, esto es, entra en la descripción teórica hecha por Einstein, Langevin y Smoluchosky. Inicialmente dicho fenómeno fue descubierto por el botánico Robert Brown (1773-1858), al observar por medio del microscopio partículas diminutas de polen, que se movían aleatoriamente a través de un medio fluido: En el caso de Brown se empleó agua como medio, sin embargo, este descubrimiento motivó a diversos investigadores a encontrar una explicación a dicho fenómeno, generándose así una serie de explicaciones a mediados del siglo XVIII. Muchos de estos investigadores añadieron nuevos elementos al experimento de Brown, como por ejemplo; utilizaron partículas inorgánicas inmersas en diferentes fluidos, algunos aplicaron campos magnéticos, corrientes eléctricas y reacciones exotérmicas, [29]. Cada experimentador añadía con cada experimento, nuevas bases teóricas, pero fue Albert Einstein (1879-1955), que con su serie de artículos sobre el movimiento browniano1, haría un desarrollo completo de la teoría que describiria dicho fenómeno. El aporte realizado por Einstein, se caracteriza por unificar dos puntos de vista contrarios entre sí, el punto de vista energético y la teoría cinética molecular liderada por L. Bolztmann (1844-1906), en la que las particulas tienen una distribución de velocidades, cuando tales particulas chocan con el polen generan el movimiento aleatorio de este. La verificación de esta teoría cinética molecular se le atribuye a J.B Perrin (1870-1942), quien comprobó el carácter atómico de la materia. En dicho desarrollo teórico realizado por Albert Einstein, la ley de Stokes jugó un papel fundamental lo cual haremos explicito en el siguiente aparte, mostrando así, el papel transcendental que ha jugado esta ley, en el desarrollo de las teorías físicas, en este caso, el movimiento browniano. 1Aunque realmente el articulo trataba acerca de la teoria molecular del calor. El articulo como tal se titula: “Die von der molekularkinestischen Theorie der Wärme gefordete Bewegung von der ruhenden flüssigkeiten suspendierten Teilchen ”; pero en sí, este articulo explica el movimiento browniano. Sucede similarmente al caso relacionado con la teoria de la relatividad especial, el artículo que Einstein publicó iba con el propósito de explicar el experimento de Michelson-Morley, sin embargo, trata de la teoría de la relatividad especial. 33 2. MOVIMIENTO BROWNIANO Y LA LEY DE STOKES 2.0.1.1. 34 La ley de Stokes en contexto. Encontramos una controversia, entre dos posturas diferentes: Una postura energética y la otra mecanicista. Los energéticos, quienes negaban la realidad molecular eran liderados por E. Mach (1838-1916) y M. Planck (1858-1947), quienes inicialmente fueron atomistas pero cambiaron su postura, debido a las dificultades que tuvieron que afrontar al tratar de adaptar la teoría al campo de la práctica; en el caso de E. Mach, no logró explicar los espectros atómicos, a partir de la teoría atómica, esto provocó su deserción en este campo[6]. Mencionábamos también a M. Planck, por ir en contra de esta postura, las razones por las cuales adoptó un carácter antagonista, se deben a cuestiones históricas, pues para ese entonces, existía un supuesto que giraba alrededor del movimiento browniano, el cual se suponía violaba la segunda ley de la termodinámica, planteando la posible existencia de máquinas de movimiento perpetuo [6]. A pesar de que Jean Perrin, demostró el carácter molecular de la materia, su discurso no pretendía desprestigiar a los energéticos, sino de unificar ambos puntos de vista [1]. La problemática planteada respecto a la ley de Stokes, también afectó las investigaciones llevadas a cabo por Jean Perrin, en (1908-1913), sobre el movimiento browniano, que a su vez, tuvo que deducirla experimentalmente [1]. Vale la pena mencionar que dicho trabajo de investigación se llevó a cabo, aproximadamente durante cinco años, y a pesar de ello encontró fuertes oposiciones por parte de sus propios homólogos quienes cuestionaban los resultados y conclusiones con base en sus propias observaciones. Incluso algunos llegaron a calificar a la teoría propuesta por Einstein de inexacta e incompleta, como fueron los casos de Victor Henry, Svedberg y Exner [1]. 2.0.1.1. La ley de Stokes en contexto. Comentábamos al principio, si el tamaño de la esféra se reducía, esto es, si disminuía considerablemente su diámetro, se vería afectada por el movimiento browniano y en tal caso, la ley de Stokes, estaría sujeta a modificaciones. Resulta que aun a niveles microscópicos, la ley de Stokes, se cumple, pero sólo aplicada a los líquidos [17], para partículas, que constituyen un gas, se ve modificada por el factor 4π. Esto es: (2.0.72) F = 4πµvR 2. MOVIMIENTO BROWNIANO Y LA LEY DE STOKES 35 Nos preguntamos, entonces cómo puede la ley de Stokes, aportar al movimiento browniano. El desarrollo, como tal, lo encontró Albert Einstein con su serie de artículos, publicados a partir de (1905). No obstante, el movimiento browniano, lo explicó Einstein a partir de la teoría del transporte, por medio del fenómeno de difusión y la ley de Fick, [17]. Existen sin embargo, otras explicaciones, entre ellas, la desarrollada por Paul Langevin (1872-1946), en (1908), a partir de la teoría de fluctuaciones. El desarrollo seguido por Einstein empleando la ley de Stokes es extenso para abordarlo aquí en su totalidad. Sin embargo, una opción para verificar dicha ley, sería comparar los resultados teóricos, con los hallados experimentalmente. Este método planteado corresponde con el empleado por Jean Perrin, en su estudio del movimiento browniano. A diferencia del método propuesto por Einstein, que implica un desarrollo estadístico hasta llegar a la ecuación de difusión, en la que señala directamente la relación del coeficiente de difusión con el desplazamiento cuadrático medio de una partícula. (2.0.73) ∂ρ 42 ∂ 2 ρ = ∂t 2τ ∂x2 Siendo ρ; el número de partículas por unidad de volumen. En un determinado tiempo la probabilidad de encontrar determinada densidad de partículas en un punto , donde 4, es un pequeño incremento en la posición, en un instante t y tal que en un instante posterior t + τ , se encuentre en un punto x esta dado por ˆ (2.0.74) ρ (x, t + τ ) = ρ (x − 4, t)φ(4)d4 que es la llamada ecuación de Chapman-Kolmogorov y se conoce como la probabilidad % de estar en x+4, que a su vez viene determinada por la probabilidadφ(4) de haber estado en el punto 4. Lo que ilustra como la probabilidad de hallar ρ(x, t) es proporcional a la probabilidad de haber estado en un tiempo anterior en 4.2 Haciendo una expansión de Taylor de ρ(x, t) en 4: 2Para más detalles ver el anexo B, en el que se ilustra el desarrollo seguido por Einstein 2. MOVIMIENTO BROWNIANO Y LA LEY DE STOKES (2.0.75) ρ (x, t + τ ) = 36 ˆ ∂ρ 42 ∂ 2 ρ φ(4)d4 ρ (x, t) + 4 + ∂x 2 ∂x2 lo anterior da: ˆ (2.0.76) ρ (x, t + τ ) = ρ (x, t)φ(4)d4 + ∂ρ ∂x ˆ 4φ(4)d4 + ∂2ρ ∂x2 ˆ 42 φ(4)d4 2 ´∞ ´∞ y teniendo en cuenta que la probabilidad es, −∞ φ(4)d4 = 1; se deduce que, −∞ 4φ(4)d4 = ´∞ 0 −→ V alor Esperado y −∞ 42 φ(4)d4 = a2 −→ V arianza Se obtiene: (2.0.77) ρ (x, t + τ ) − ρ (x, t) = a2 ∂ 2 ρ 2 ∂x2 multiplicando por τ −1 : (2.0.78) ρ (x, t + τ ) − ρ (x, t) a2 ∂ 2 ρ = τ 2τ ∂x2 Tomando el límite cuando τ tiende a cero, se obtiene la ecuación de difusión: (2.0.79) a2 ∂ 2 ρ ∂ρ = ∂t 2τ ∂x2 Donde: (2.0.80) D= a2 , 2τ Siendo D es el coeficiente de difusión. Einstein al final de su artículo propone dos métodos teóricos para verificar dicha ecuación, el primero consiste en hallar el valor del desplazamiento cuadrático medio dadas las siguientes condiciones: Agua a 2. MOVIMIENTO BROWNIANO Y LA LEY DE STOKES 37 una temperatura de 17°, con k = 1,35 × 10−2 , el desplazamiento sería de ξ = 0, 8µ. Por último Einstein se dio cuenta que el desplazamiento medio cuadrático del movimiento browniano es proporcional a la raíz cuadrada del tiempo. Esto se puede evidenciar si se reorganiza la ecuación (2.0.80): (2.0.81) a2 = 42 = 2Dt (2.0.82) p √ h42 i = 2Dt ´∞ Con 42 = −∞ 42 φ(4)d4. Una explicación más amena, al fenómeno del movimiento browniano lo propone Langevin, y es empleado actualmente en la explicación de este fenómeno. A continuación, expondremos la teoría, en la que hemos tratado de hacer explicito los aspectos matemáticos implicados. Lo que queremos describir del movimiento browniano, es el desplazamiento cuadrático medio, para hallarlo planteamos que la particula browniana se mueve bajo un conjunto de fuerzas actuando sobre ella. Una fuerza de fricción proporcional a la velocidad y una fuerza debido a los choques de la partículas del medio. Desde la segunda ley de Newton la ecuación de movimiento es: (2.0.83) Fx (t) − α dx d2 x =m 2 dt dt En la cual, la fuerza como se mencionó antes es una fuerza que se origina debido al choque con las particulas que componen el medio, α, es el factor de fricción. Por facilitar la descripción del movimiento se ha supuesto que ocurre a lo largo de un solo eje. El primer paso a seguir, será multiplicar la ecuación (2.0.75) por (x): (2.0.84) mx dx d2 x = Fx (t)x − xα dt2 dt 2. MOVIMIENTO BROWNIANO Y LA LEY DE STOKES Haciendo la siguiente sustitución: (2.0.85) xu = x dx 1 dx2 = dt 2 dt y: (2.0.86) x du d(xu) = − u2 dt dt La ecuación (2.0.84) se puede escribir como: (2.0.87) 1 d2 x2 xα dx2 2 m − u = − + Fx (t)x 2 dt2 2 dt Organizando la anterior ecuación tenemos: (2.0.88) m d2 x2 xα dx2 2 − mu = − + Fx (t)x 2 dt2 2 dt Tomando el valor medio de cada uno de los terminos de la ecuación (2.0.88), obtenemos: (2.0.89) 1 − α 2 dx2 dt = 1 m 2 d2 x2 dt2 D E 2 − m (u) D E 2 El término m (u) = kT según la teoria cinetica de Maxwell-Boltzmann. Volviendo a la ecuación (2.0.81), y reemplazando el último término: (2.0.90) 1 − α 2 dx2 dt Haciendo ahora la siguiente sustitución s = (2.0.91) 1 = m 2 dhx2 i dt , d2 x2 dt2 − kT la ecuación (2.0.90), queda: 1 1 d2 s − αs = m 2 − kT 2 2 dt 38 2. MOVIMIENTO BROWNIANO Y LA LEY DE STOKES 39 Resolviendo la ecuación anterior, con el método del factor integrante: ´ (2.0.92) I(t) = exp− (2.0.93) kT d s exp−αt/m = exp−αt/m dt m α/m dt = exp−αt/m La solución a la ecuación (2.0.93), nos da: i 2 2kT h x = 1 − exp−αt/m α (2.0.94) de tal manera que si t >> α m entonces exp−αt/m −→ 0, obteniendose: 2 2kT x = α (2.0.95) Reemplazando α = 6πµR en (2.0.95) queda finalmente: (2.0.96) kT t ξ 2 = x2 = 3πµR En la cual hemos reemplazado el factor de fricción de acuerdo a la ley de Stokes, para una esfera. Se puede observar como este resultado hallado por Langevin, concuerda con el hallado por Albert Einstein a partir de la ecuación de difusión (2.0.73). 2.0.1.4. Resultados experimentales hallados por Jean Perrin. El físico francés Jean Bautiste Perrin (1870-1942), en sus investigaciones sobre el movimiento browniano, empleo un ultramicroscopio moderno para analizar dicho fenómeno a la luz de la teoría planteada por Albert Einstein en 1905, el método seguido por Jean Perrin, consistio en hallar el número de Avogadro, valiéndose de la ley de distribución de 2. MOVIMIENTO BROWNIANO Y LA LEY DE STOKES 40 los desplazamientos y utilizando semillas de guta inmersas en tipos particulares de emulsion. Para hacer explícito este método, se debe tener en cuenta la solución a la ecuación de difusión, esta es: (2.0.97) n ρ(x, t) = √ exp 2 πDt −x2 4Dt Si hacemos la siguiente sustitución ξ 2 = 2Dt, llegamos al término empleado por J. Perrin, [1]: (2.0.98) ρ(x, t) = n √ ξ 2 2π exp −x2 2ξ 2 Esta función corresponde a una distribución de probabilidad. Se puede notar como en ambos casos la ley de Stokes, entra a ser parte de las soluciones halladas por Langevin y Einstein. Perrin a partir de sus investigaciones obtiene una grafica de las semillas de guta, que consiste en ilustrar los desplazamientos a diferentes intervalos de tiempo, lo cual, se puede notar tienen un caracter aleatorio. Esto se ilustra en la figura (2.0.1): Figura 2.0.1. Esta gráfica es uno de los primeros intentos por J. Perrin por ilustrar el desplazamiento de las semillas de polén . Tomado de Reality Molecular, Perrin, 1910. Pág 64. Cuando se mira la obra de J. Perrin, no se observa ningún diagrama correspondiente a la densidad de probabilidad, como sucede en las investigaciones llevadas a cabo en la actualidad [19]. No obstante, su serie de datos le permitieron contrastar, entre lo observado y calculado. Presentamos aquí algunos de los resultados encontrados por su colaborador M. Chaudesaigues, en su primera serie: 2. MOVIMIENTO BROWNIANO Y LA LEY DE STOKES Proyecciones en μ (Micrometros) 0 y 1,7 1,7 a 3,4 3,4 a 5,1 número de semillas Encontradas. 38 44 33 41 número de semillas. Calculadas 48 43 40 Cuadro 1. Resultados hallados por J.Perrin y cols, en su primera serie. Reality Molecular, 1910, pág 65. Estos resultados fueron hallados empleando la ecuación (2.0.96), en ellos se puede observar los resultados obtenidos tanto por cálculo, como por observación También empleando otro método, esta vez, con la ecuación:. (2.0.99) ξ2 = τ RT 1 N 3πµR Encuentra con ayuda de su colaborador M. Chaudesaguies, y empleando agua como medio fluido a una temperatura de 17°C, y cincuenta semillas de guta3, halla un valor de N, más aproximado. Tiempo en Seg. 30 60 90 120 Desplazamiento medio (Micras) 8.4 11.6 14.8 17.5 ξ 2 × 10−8 45 86.5 140 195 N × 10−22 68 70.5 71 62 N medio 68 × 1022 Cuadro 2. Segunda serie hallada por J.Perrin y sus colaboradores. Perrin, 1910, Reality Molecular, Pág 63. Sin embargo, en investigaciones actuales, los resultados obtenidos ilustran lo siguiente: 3El arbol de Guta, o mejor, Gutagamba, pertenece a la familia de árboles conocidos como gutifereas y es empleado como planta medicinal, cosmético y producto industrial. Es originario, según algunas fuentes del continente asiático 2. MOVIMIENTO BROWNIANO Y LA LEY DE STOKES 42 Figura 2.0.2. Imagen obtenida a partir de camara de video adaptada a un microscopio. Los investigadores sugieren evitar particulas enfrentadas, ya que afecta su resultado. Imagen tomada de Measuring Boltzmann’s constant using video microscopy of Brownian motion, Nakroshis Paul & Clbs. 2002 . Puede notarse a partir de estos resultados encontrados por Jean Perrin, que la ley de Stokes, se ajusta a los resultados obtenidos experimentalmente,. Capítulo 3 La Cuantización de la Carga y Ley Stokes 3.1. Contexto Histórico En la mecánica de fluidos la ley de Stokes, ha jugado un papel fundamental en la descripción de algunos fenómenos físicos. Podemos mencionar un breve ejemplo: la velocidad de una partícula material que permite la determinación de su radio. Para esto se requiere imprescindiblemente la aplicación de la ley de Stokes y este es un ejemplo sencillo del cual muchos geólogos se valen para determinar el diámetro de ciertos agregados, e incluso el mismo Jean Perrin, lo empleó en el estudio del movimiento browniano. Podemos decir, con base en lo anterior que esta ley también ha hecho sus aportes en el desarrollo de algunas teorías de la física, como son los casos del experimento de la gota de aceite y el movimiento Browniano. Esta vez, haremos una breve descripción del experimento de la gota de aceite: 3.1.1. El experimento de la gota de aceite. Una de las aplicaciones de la ley de Stokes, se dio a conocer en el marco de la física moderna, en particular, el experimento del físico americano Robert Andrew Millikan (1868-1953), con el cual, determina la carga del electrón que hasta entonces era una incógnita en el desarrollo teórico de los rayos catódicos. Este aporte de Millikan, se debe basicamente a la complejidad inmersa en experimentos anteriormente realizados los cuales arrojaban resultados algo dudosos para el valor de la carga eléctrica, como era el caso de la cámara de niebla de H. Wilson. Esta cámara había sido inicialmente desarrollada con el propósito de estudiar fenómenos atmosféricos, sin embargo, sería utilizada como una herramienta experimental por Thomson en compañía de su estudiante Wilson, quienes determinaron inicialmente el valor de e ≈ 3 × 10−10 e.s.u, (unidades electrostáticas). 43 3.1. CONTEXTO HISTÓRICO 44 Figura 3.1.1. La cámara de niebla fue desarrollada por el físico escocés Charles Thomson Rees Wilson (1869-1959), posteriormente se convertiría en una herramienta experimental que verificaría hipótesis y en la cual se estudiarían fenómenos como el movimiento de partículas elementales. Imagen rescatada de http://i.ytimg.com/. 21/Sep/013. Las dificultades implicadas en la medición del experimento de la cámara, lo discutiremos más adelante, no obstante, Millikan en compañía de su estudiante Harvey Fletcher1, diseñaron un montaje experimental que les permitio encontrar un valor con cierto grado de exactitud para la carga, dicho montaje experimental de Millikan y su estudiante Fletcher consistía básicamente en un cilindro cerrado con una abertura en la cara superior y otra en la parte media del cilindro que permitía la entrada de las gotas de aceite, gotas que al pasar por el orificio intermedio del cilindro eran afectadas por la presencia de un campo eléctrico homogéneo entre las dos placas, que eran la cara inferior y la cara intermedia del cilindro. Ver la figura 3.1.2. 1Este experimento como tal puede encontrarse detalladamente en la literatura y en algunas páginas de internet que señalamos en la bibliografía 3.1. CONTEXTO HISTÓRICO 45 Figura 3.1.2. Gráfico ilustrativo del experimento de la gota de Aceite. Imagen rescatada de http://1.bp.blogspot.com 3.1.1.1. Descripción cuantitativa del experimento de la gota de aceite. En el experimento de Millikan, encontramos dos momentos, uno en el cual se mide la velocidad de la gota de aceite sin presencia del campo eléctrico y otro en el cual éste se aplica. Para el primer caso tenemos la siguiente ecuación de movimiento y diagrama de cuerpo libre. (3.1.1) − → → − − F = fR − m→ g La fuerza de rozamiento que actúa en la gota de aceite se conoce como ley de Stokes. Esta ley equivale en términos matemáticos a fR = 6πRv, reemplazando este término en la ecuación (3,1,1), obtenemos: 3.1. CONTEXTO HISTÓRICO 46 − − − m→ a = 6πµR→ v − m→ g (3.1.2) Cuando la gota de aceite cae, en una pequeñísima cantidad de tiempo alcanza la velocidad terminal, por lo tanto la ecuación (3,1,2) , queda expresada en los siguientes términos: − − m→ g = 6πµR→ v (3.1.3) Haciendo un trabajo algorítmico y algunas sustituciones se encuentra que la velocidad que experimenta la gota de aceite es: 2R2~g → − v = 9πµ (3.1.4) Al aplicar el campo eléctrico la gota de aceite experimenta otra fuerza actuando y es la fuerza eléctrica, −→ → − FE = q E . Destacamos antes de continuar la forma geométrica de la gota, porqué esférica y no cónica?, es un tema que se trato posterior al experimento, por el físico austriaco Felix Ehrenhaft (1879-1952). Si Millikan hubiera utilizado otro tipo de material con geometría no esférica, sino cilíndrica, cónica o cúbica, hubiese llegado a los mismos resultados?, dejamos estos detalles para posterior discusión. 3.1.2. Controversias Históricas Alrededor de la Cuantización de la Carga Eléctrica. La ciencia, es considerada una construcción racional de la humanidad, pero también es un producto de la cultura en la cual influyen factores como costumbres y cosmovisiones [1]. Toda esa construcción esbelta se ha erigido desde tiempos remotos a partir de controversias, y profundos análisis acerca de la naturaleza y sus fenómenos. George Federich Hegel (1770-1831) pensaba que para llegar a la verdad era necesario que una tesis entre en controversia con su antítesis. Se puede pensar que este es un buen método para hacer ciencia sí se 3.1. CONTEXTO HISTÓRICO 47 observa como se han desarrollado las grandes teorías, como por ejemplo: Relatividad General, Mecánica Cuántica, Heliocentrismo, entre otras. Una de las teorías más controversiales que se desarrolló en el campo de la física está relacionada con el experimento de J.J Thomson, acerca de los rayos catódicos, del cual se deduce la relación cargaq masa, m . Esta cuestión, que en un momento despertó interés por conocer los constituyentes elementales de la materia, se convirtiría en un reto cientifico para aquellos investigadores que quisieran determinar el valor de la carga eléctrica del electrón, produciendo así una "carrera", entre aquellos que trabajaban independientemente con diversos métodos para tratar de hallarla, como a la vez, fuertes controversias, que aun el dia de hoy, cuando se vuelven a retomar dejan ciertas dudas al respecto de los conocimientos del momento. Hay que anotar que en muchos textos no es posible encontrar planteada la parte histórica de la ciencia, aunque se pueden excluir algunos que la tratan de manera superficial [20]; es el caso del experimento de la gota de aceite realizado por Robert Millikan (1868-1953), y discutido por su homólogo Felix Ehrenhaft (1879-1952), es un ejemplo de ello. Vale la pena destacar que inicialmente fue Millikan, quien lidero las controversias con respecto a los primeros experimentos realizados para medir la relación carga-masa, como los casos que menciona el profesor Niaz: Millikan-Twonsend Millikan-Wilson. Una de las discusiones a destacar, se dio, entre Felix Ehrenhaft y Robert Millikan, acerca del experimento de la gota de aceite que está directamente vinculado con la ley de Stokes, pero antes miremos la polémica generada entre Millikan-Twonsend. 3.1.2.1. Controversia Millikan-Twonsend. Como se mencionó anteriormente, a comienzos del siglo XIX, J.J Thomson había descubierto la relación carga masa, a partir de este acontecimiento, muchos científicos se dieron a la tarea de encontrar el valor de la carga eléctrica, uno de ellos fue John Sealy Edward Twonsend (1868-1957), quien ideo un método que consistía en emplear rayos X, y vapor de agua. 3.1. CONTEXTO HISTÓRICO 48 El valor que determino Twomsend fue de, e ≈ 3 × 10−10 e.s.u, Millikan critico este experimento basado en los cambios abruptos de la temperatura, lo cual producía una evaporización rápida de las gotas de agua. Antes de entrar en detalle acerca del método, debemos aclarar lo siguiente: J.S.E Townsend a pesar de ser contemporáneo de Thomson, trabajaban independientemente con el propósito de encontrar el valor de la carga, dicho método empleado consistía en medir la velocidad de caída de las gotitas influenciadas por la acción gravitacional y la viscosidad del aire, estos parámetros ayudaban a estimar la masa de una gota, lo cual permitia encontrar el número de gotas existentes con la siguiente hipótesis: si conocemos la masa total del liquido, podemos encontrar el número total de gotas dividiendo la masa del líquido entre la masa de la gota encontrada. 3.1.2.2. Controversia Millikan-Wilson. El físico escocés Charles Thomson Rees Wilson (1869-1959) empleando un método similar al de Twonsend hallo un valor para la carga eléctrica de e ≈ 3 × 10−10 e.s.u; solo que en el caso de Wilson se utilizo una batería que suministraba un campo eléctrico no homogéneo. Millikan encontró posibles fallas que afectaban la medición, como por ejemplo: Validez de la ley de Stokes, campo eléctrico no uniforme y la evaporación de las gotas, hecho que dificultaba la toma de datos. El principio de la cámara de Wilson se basaba en los descubrimientos de Coulier y Aitken, que consistían en un método para producir nubes al expandir una cámara que contuviese una atmósfera humedad. Esto permitió a Wilson, descubrir que en ausencia de partículas de polvo se puede lograr una atmósfera supersaturada, de tal manera que al ionizar las moléculas del medio estas se convertian en gotas. 3.1. CONTEXTO HISTÓRICO 49 Figura 3.1.3. Aparato empleado por P.J Coulier, para el estudio de la condensación del vapor de agua, (Couliers, 1875a) Una súbita expansión de aire saturado con vapor de agua forma nubes, al ionizar dicho medio utilizando rayos X, Thomson y Wilson lograron determinar aproximadamente la carga media que poseía cada gotita. Las dificultades del experimento, aparte de la evaporización rápida de las gotas de agua, era conocer con exactitud la velocidad de caída de la atmósfera saturada, estos "detalles" se costituyeron en argumentos para atacar el método empleado y el resultado hallado para el valor de la carga eléctrica. 3.1.2.3. Millikan-Rutherford. El método desarrollado por H.Geiger (1882-1945) y E.Marsden (1889- 1970), dirigidos por el físico britanico Ernest Rutherford (1871-1937) para medir la carga de las partículas alfa, permitió a Millikan intuir la carga del electrón, debido a que teóricamente la carga de las partículas alfa equivalen a α = 2e; el valor encontrado por estos dos investigadores fue de α = 9, 8 × 10−10 e.s.u. lo que sugería un posible valor para la carga e ≈ 4,657 × 10−10 e.s.u. A partir de un análisis detallado de literatura científica Millikan encontró este experimento, el cual le aporto un dato esencial, que la carga eléctrica tendría un valor aproximado a la mitad de la carga de las partículas alfa. 3.1. CONTEXTO HISTÓRICO 3.1.2.4. 50 Controversia Millikan-Ehrenhaft. Uno de los temas centrales de esta controversia fue el de la ley de Stokes, pues Ehrenhaft2 argumentaba acerca de la esfericidad de la gota de aceite, cuestión debatida por el mismo Millikan, pues esta ley se cumple para determinadas condiciones, como por ejemplo, el fluido debe presentar un comportamiento laminar, y la partícula debe tener simetría esférica. Por esta razón debe hacerse una corrección a la ley de Stokes, pero Ehrehaft al parecer, daba a entender, que para él no era necesario realizar dicha correción3 debido a que contaba con unos de los microscopios más modernos de su época, el cual tenia un poder de resolución de hasta quinientas veces un microscopio normal. Los experimentos realizados por Ehrenhaft, daban como resultado un rango de valores para la carga eléctrica, argumentado la presencia de partículas a las cuales llamó subelectrones, finalmente, se puede constatar a través de la historia el triunfo de Millikan, por determinar el valor de la carga eléctrica. En la actualidad existen diversos experimentos que confirman la cuantización de la carga, como es el caso de la constante de Faraday; F = eNA ≈ 96485, 3 C mol−1 . Relación que se puede verificar, apartir de la electrólisis. Como mencionábamos, en un párrafo anterior, acerca de la geometría de la gota de aceite y qué pasaría si esta cambiará su geometría o en su defecto se utilizará una sustancia diferente al aceite, podría no cumplirse necesariamente la ley de Stokes y el valor de la carga eléctrica posiblemente no hubiese sido la misma, como ocurrio con el mismo Ehrenhaft, que empleaba coloides y fragmentos de metal generados a partir de vapor de plata [20]. Figura 3.1.4. Formas de algunas gotas. Imagen rescatada de https://encryptedtbn1.gstatic.com. Para más detalles remitirse al trabajo de Philipp Leonard (1862-1947). La geometría de la gota esférica es debida a las fuerzas de tensión superficial, así si dejamos una gota suelta en cualquier medio sujeta a su propio campo gravitatorio esta adoptará una simetría esférica,[14], 2Felix Ehrenhaft (1879-1952), físico austriaco. Estudio en la universidad de Vienna y en el instituto de Tecnología de dicha universidad. Fue conocido por sus estudios acerca del movimiento browniano en gases. 3Para Ehrenhaft, la corección empleada por Millikan es incorrecta, debido a que se incluye en esta la concepción de un electrón unitario, en vez de un método empirico. 3.1. CONTEXTO HISTÓRICO 51 si estudiamos en detalle esta situación, podemos constatar su esfericidad. Sin embargo, muchos autores han desacreditado estos experimentos, mencionamos en particular a Gerald Holton (1922) y di Trocchio (1952), quienes acusan a algunos hombres de ciencia como fraudes de bata blanca [10]. En fin, todas esta controversias en el campo científico, han contribuido en la construcción de nuevas hipótesis, como es el caso que presentamos (Millikan-Ehrenhaft), que a partir de sus criticas, diseño un experimento y así pudo encontrar el interrogante que giraba alrededor de la cuantización de la carga, ocupando así, un lugar importante en el campo científico, no ocurrió lo mismo para su homólogo Ehrenhaft, que fue olvidado junto con sus criticas y su trabajo. Capítulo 4 Conclusiones Iniciamos analizando la ley de Stokes, que es una ley en la cual el mecanicismo tiene sus bases, para terminar en una serie de controversias, lideradas prácticamente entre dos posturas: Continua y discreta; aunque, Jean Perrin trato de evitar enfrentamientos concluyendo que las dos posturas habían triunfado y no necesitan oponerse entre sí. Una de las razones por las cuales hemos optado en hacer un análisis matemático de la ley de Stokes, se debe a que consideramos imprescindible saber de donde es deducida, ya que en algunos textos se presenta de manera superficial, dejando algunos interrogantes acerca de si es empírica o es un resultado analítico. Es para nosotros de vital importancia desde un punto de vista pedagógico, analizar el contexto histórico de algunas de las leyes que enseñamos al enfrentarnos a una clase, y mostrar las influencias que muchas de estas leyes tuvieron en un determinado momento, mostrando así sus implicaciones y haciendo desde nuestro punto de vista que el aprendizaje sea significativo. Desde un punto de vista histórico, la ley de Stokes se vincula directamente con el desarrollo de las teorías mecanicistas lideradas por el físico Ludwig Boltzmann, y seguidas posteriormente por Einstein. A continuación presentamos un cuadro cronológico en el que mostramos como la ley de Stokes influencio en el desarrollo de las teorías. Autor Sir George Gabriel Stokes Ludwig Boltzmann Albert Einstein Jean B. Perrin Robert Millikan Felix Erenhaft Trabajo Sobre el movimiento de los péndulos en un fluido con fricción interna Uber die Beziehung ¨ . "Sobre el movimiento de las partículas pequeñas suspendidas...” “Brownian Movement and Molecular Reality” "Sobre la carga eléctrica elemental y la constante de Avogadro” “Über die Messung von Elektrizitätsmengen...” Cuadro 1. Cuadro Cronológico de los principales trabajos enmarcados en el desarrollo de las teorias 52 Fecha (1850) (1877) (1905) (1910) (1913) (1910) 4. CONCLUSIONES 53 Vale recalcar que a simple vista la constante que nosotros llamamos de Stokes y equivalente a 6π, aparece en muchas ecuaciones, y formulas físicas, y nos atreveriamos a afirmar que un analisis de estas constantes es de vital importancia para la física, solo el hecho de imaginarse que alguna de ellas tuviera un valor diferente cambiaria toda nuestra cosmovisión del universo, y esto lo decimos, porque si la constante para una esfera en la ley de Stokes fuera diferente a 6π, el valor de la carga eléctrica sería diferente y desde luego esto traería toda una serie de implicaciones teoricas las cuales dejamos al lector como un problema abierto para que profundize y reflexione sobre estas. No siendo más en este aparte, quiseramos añadir que esta problematica sea de motivación para nuestros compañeros y personas interesadas en abordar los conceptos de la ciencia, desde una mirada epistemológica, cultural y matemática, les sea de mucha ayuda y de motivación para seguir en esta noble labor que es la enseñanza de la física. Anexo A Al trabajar la teoría de la mecánica de fluidos, desde una perspectiva termodinámica podemos hacer una serie de consideraciones que nos permiten trabajar con comodidad el aspecto matemático. En el caso de fluidos viscosos, hay ciertas propiedades termodinámicas, como por ejemplo, la transferencia de impulso1 , que nos permite introducir la siguiente cantidad tensorial denominada, tensor de densidad de flujos del impulso, el cual es equivalente a: Y (4.0.5) = pδik + ρvi vk ik Donde p, es la presión, δik = 1 si i = k; 0 si k 6= j , la delta de Kronecker y ρ, la densidad del fluido. Ahora si expresamos la ecuación de Euler, en forma vectorial obtenemos (omitiendo la acción del campo gravitatorio): (4.0.6) ∂vi ∂ =− (pδik + ρvi vk ) ∂t ∂xk Lo cual es equivalente a: (4.0.7) ∂vi ∂ Y =− ∂t ∂xk ik 1Los profesores Landau y Lifshitz, pág 14, Mecánica De Fluidos, Reverté, consideran la transferencia de impulso y la cantidad − → − → − → → de movimiento iguales, esto es: I = F t y P = m− v , A simple vista, son términos diferentes, que representan conceptos diferentes; pero si consideramos un tiempo y una velocidad infenitesimal: dv dt ∴ dI = mdv dt Un tratamiento similar para la cantidad de movimiento, nos indica que, dp = mdv, por tanto: dp = dI; aunque teoricamente es posible, como se acaba de mostrar, no hay que olvidar su significado físico, el cual debe estar de acuerdo al fenómeno observado. dI = F dt = m 54 ANEXO A 55 La anterior ecuación es la misma ecuación de Euler, solo que expresada de manera tensorial, en términos del tensor densidad de flujos, como el propósito es trabajar con fluidos viscosos, tenemos que añadir una nueva cantidad al tensor densidad de impulsos, denominada tensor de tensiones de la viscosidad, 0 σik. Y (4.0.8) 0 = pδik + ρvi vk − σik ik Podemos simplificar más la ecuación si introducimos, un término más genera (4.0.9) 0 σik = −pδik + σik Luego: Y (4.0.10) = ρvi vk − σik ik Ahora, el tensor de densidad de flujos viscosos o también conocido como, transferencia de impulso viscoso, viene expresado explícitamente en los siguientes términos [8]: (4.0.11) 0 σik =a ∂vi ∂vk + ∂xk ∂xi +b ∂vl δik ∂xl Donde a y b son constantes. Este tensor también lo podemos escribir como: (4.0.12) 0 σik ∂vk 2 ∂vl ∂vl ∂vi + − δik +ς δik =µ ∂xk ∂xi 3 ∂xl ∂xl Los coeficientes µ ≥ 0; ς ≥ 0, que se conocen como coeficientes de viscosidad. Volviendo a la ecuación de Euler: ANEXO A (4.0.13) ρ ∂vi ∂vi ∂ 0 + vk =− (pδik − σik ) ∂t ∂xk ∂xk 0 Reemplazando σik , se obtiene: (4.0.14) ρ 0 ∂vi ∂p ∂σik ∂vi + vk =− + ∂t ∂xk ∂xk ∂xk Pero: (4.0.15) 0 ∂σik ∂ 2 vl ∂ 2 vi ∂ 2 vk 2 ∂ 2 vl =µ +µ − µδik + ςδik ∂xk ∂xk ∂xk ∂xk ∂xi 3 ∂xk ∂xl ∂xk ∂xl Si hacemos i = k: (4.0.16) 0 ∂σii ∂ 2 vi ∂ 2 vi 2 ∂ 2 vl ∂ 2 vl =µ +µ − µ +ς ∂xk ∂xk ∂xk ∂xk ∂xk 3 ∂xk ∂xl ∂xk ∂xl Operando términos semejantes, obtenemos: 0 ∂ 2 vl ∂ 2 vi 2 ∂σii =µ + ς+ µ ∂xk ∂xk ∂xk 3 ∂xk ∂xl (4.0.17) Ahora tenemos las siguientes propiedades: ∂vl ∂ 2 vl − − =∇·→ v; = ∇2 → v ∂xl ∂xk ∂xl (4.0.18) Finalmente la ecuación, expresada de forma vectorial quedaría: (4.0.19) ∂vi ∂vi 2 − − 2→ ρ + vk = −∇p + µ∇ v + ς + µ ∇ (∇ · → v) ∂t ∂xk 3 56 ANEXO A 57 − La ecuación de continuidad, independiente de la naturaleza del fluido, esto es: ∇ · → v = 0, por tanto, la ecuación anterior se reduce a: (4.0.20) ρ → ∂− v − − − v +→ v (∇ · → v ) = −∇p + µ∇2 → ∂t Esta es la ecuación denominada de movimiento, la cual debe ser resuelta para fluidos viscosos, cuya solución es el campo de velocidades en un instante de tiempo t. Anexo B Puede parecer a simple vista que el fenómeno de difusión no guarda ninguna relación con la física estadística. Sin embargo, Einstein demostró que no es así del todo, para ello, se valió del siguiente análisis: Una porción de moléculas se distribuyen : Figura 4.0.1. Movimiento de las moleculas en un tiempo t + τ , en una región particular del espacio el número de moléculas, se puede calcular empleando la siguiente ecuación: (4.0.21) dn = nφ(4)d4 Esta función φ (4), se conoce como la probabilidad de encontrar cierto número de partículas, en una región particular del espacio, cumpliendo la siguiente relación: (4.0.22) φ (4) = φ (−4) Supondremos entonces que una partícula se desplaza en un tiempo t en dx+x, hacia x en un tiempo posterior equivalente a t + τ . Empleando la relación: 58 ANEXO B (4.0.23) ν= 59 dn ∴ dn = υdx dx pero ν = f (x, t) , luego: ˆ (4.0.24) dn = f (x, t)dx y n = f (x, t)dx Reemplazando en la ecuación (8.0.13): ˆ (4.0.25) f (x, t) = f (x, t)φ (4)d4 Para entrar en detalles, Einstein tomo la densidad de las partículas por unidad de volumen, esto es ν, y la formulo como una función de f (x, t), la cual depende de la posición x y el tiempo t, la cuestión ahora radica en saber la distribución de moléculas a través del eje x, esto es, entre x+dx. Figura 4.0.2. Desplazamiento que debe recorrer una particula en el espacio y en el tiempo. De lo dicho anteriormente, deducimos que: ANEXO B 60 ˆ (4.0.26) f (x, t + τ ) = f (x + 4, t)φ (4)d4 Recordando la definición de derivada, se encuentra: ∂f (x, t) f (x, t + τ ) − f (x, t) = ∂t 4t (4.0.27) Siendo 4t = τ Obtenemos: (4.0.28) τ ∂f (x, t) = f (x, t + τ ) − f (x, t) ∂t La forma que emplearemos será: (4.0.29) f (x, t + τ ) = f (x, t) + τ ∂f (x, t) ∂t La siguiente función: f (x, t + τ ), se puede expandir en una serie de Taylor, alrededor de un punto: (4.0.30) X an (x − a)n ; an = f n (a) ∴x−a=4 n! Los primeros coeficientes serían: a0 = f (x, t), a1 = y a2 = ∂f ∂t 2 1 ∂ f 2! ∂t2 La serie quedaría: (4.0.31) f (x + 4, t) = f (x, t) + 4 ∂f 42 ∂ 2 f + ∂x 2 ∂x2 Reemplazando estos resultados en la ecuación (8.0.21): ANEXO B (4.0.32) Debido a que f (x, t) + τ ´∞ −∞ ∂f (x, t) = ∂t ˆ 42 ∂ 2 f ∂f d4 + f (x, t) + 4 ∂x 2 ∂x2 φ(4)d4 = 1, se deduce que: ´∞ −∞ 4φ(4)d4 = 0 −→ V alor Esperado y a2 −→ V arianza Queda finalmente; la ley de difusión: ∂f 42 ∂ 2 f = ∂t 2τ ∂x2 (4.0.33) Donde: D = 42 2τ , 61 es el coeficiente de difusión. ´∞ −∞ 42 φ(4)d4 = Bibliografía [1] Alejandro, P. N. (10/08/2000). Ecuaciones fundamentales de la hidraulica. Recuperado el (20/06/2013), de htpp// escuelas.fi.uba.ar/iis/Hidraulica.pps [2] Alonso M. Finn.(1970). “FISICA”. Fondo Educativo Interamericano [3] Arfken George. “Mathematical Methods for physicists” [4] Asimov, I. (1984).”Amenazas De Nuestro Mundo”. Plaza & Janes, S.A [5] Batchelor, G.K. (2000) An Introduction To Fluid Dinamics. Cambridge Mathematical library. [6] Berstein Jeremy, (2006), Einstein and the existence of atoms. Am. J. Phys. [7] Brodkey Robert S. (2005). “The Phenomena of Fluid Motions”. La Vergne USA. Adisson-Wesley. [8] Einstein, A. El Significado De La Relatividad.(1980).Madrid. Espasa-Culpe S:A. [9] Bunge, M. (1996). La Ciencia Su Método Y Su Filosofía. Bogotá D.C: Panamericana. [10] Crespo. (12 de 09 de 2009). Lecturas Porcinas. Recuperado el 29 de 07 de 2013, de Lecturas Porcinas: Las mentiras de la ciencia: http://lecturasporcinas.blogspot.com/2009/09/las-mentiras-de-la-ciencia.html [11] Feynman. R, Weinberg, S. (1997). “Las Particulas Elementales ” [12] Gurtler, Leo. Gunter. L.H. (2007). “Modos de pensar y estrategias de investigación cualitativa”. http://pepsic.bvsalud.org/scielo.php?pid=S1729-48272007000100005&script=sci_arttext.html [13] Gadamer George, (2000), La dialéctica de Hegel. Recuperado de http://antropologica.com.ar/wp- content/uploads/2013/03/Gadamer-Hans-Georg-La-Dialectica-De-Hegel.pdf. [14] Hector Rotgé, J. P. (2000). Experimentos Impactantes. España: Trillas Sa De Cv. [15] Jackson. J.D. (1980). “Electrodinámica Clásica”. Alhambra [15] LAFUENTE, A. (2010). La mecánica de fluidos y la teoria de la figura de la tierra (1687-1743) . Alicante : Biblioteca Virtual Miguel de Cervantes , 35. [16] Landau L.D, E.M Lifshitz. “Mecánica de Fluidos”. Reverté [17] Levine. I.N. (2002). Fisicoquímica Vo 2. Ed. 5. McGraw-Hill. [18] Merle Potter, David Wiggert. (2002). “Mecánica De Fluidos”. 62 Bibliografía 63 [19] Nakroshis, Amoroso, Leguere, (2003), Measuring Boltzmann´s Constant using microscopy Brownian Motion. Am. J. Physics. [20] Niaz, M. (2000). The Oil Drop Experiment: A Rational Reconstrution of the Millikan-Erenhaft. Journal of Research In Science Teaching , 480-5 [21] Reiff, F. (1996). “Física Estadística”. Reverté [22] Ripoll Antonio, Saborid-Sánchez-Pastor, (2005), Fundamentos De Mecánica de Fluidos.McGraw-Hill [23] Pedreros Rosa Inés,Martínez. (2007). Aportes para dimensionar la Educación Intercultural en Colombia. Obtenido de portales.puj.edu.co/dhermith/ponencias: htpp//:portales.puj.edu.co/dhermith/ponencias [24] Perrin Jean, (1910), Brownian Molecular and Reality Molecular, London. Northeastern University Library. [25] Stewar.James. (2006). “Transcendentes Tempranas”.CENGAGE Learning. [26] Streeter V., Wylie E. “Mecánica de Fluidos”. McGraw-Hill. [27] Stokes, G.G. Mathematical and Physical Papers. CAMBRIDGE UNIVERSITY EXPRESS [28] Tokaty. G.A. A History And Philosophy Of Fluid Mechanics. (1971). New York. Dover Publication, Inc. [29] Restrepo, M. L. (17-18 de Febrero de 2005). Movimiento Browniano PDF. Recuperado el 02 de junio de 2013, de Movimiento Browniano PDF: http://www.univalle.edu.co/~fisica/coloquio/Movimiento_Browniano.pdf [30] White, F. M. (2004). Mecánica de Fluidos. Bogotá: McGraw-Hill. [31] Hughes,F, W. (1967).”Teorias y Problemas de Dinamica de Fluidos”. (1965). McGraw-Hill. [32] Valdez, F. (2002). “La Gran Ilusión I”. Http://bibliotecadigital.ilce.edu.mx/sites/ciencia/volumen1/.../ilusion.htm [33] Yunus A. Cengel y John Cimbala,Mecánica De Fluidos, 2006, McGraw HillHilger Education. [34] Zill Dennis.“Ecuaciones Diferenciales Con Aplicaciones De modelado”. (2009).Cengage Learning Editores. [35] Wikipedia, Recuperado de http://es.wikipedia.org/wiki/Flujo_laminar. el 19 de febrero del 2014.
![Prueba Segundos2[1]](http://s2.studylib.es/store/data/003397536_1-3ac4e8618b6474fb10e9bb3037bc9dd2-300x300.png)
