MA-150 PRINCIPIOS DE MATEMÁTICA. EJERCICIOS ADICIONALES DE LÓGICA. 1. Sea F la siguiente proposición: ∀a, b, c ∈ R (a 6= 0 ⇒ [(∃x ∈ R (ax2 + bx + c = 0)) ⇔ b2 − 4ac ≥ 0]) Escriba una proposición equivalente a F, que comience con el sı́mbolo de negación, y en donde este sı́mbolo solo aparezca una vez. 2. Considere la siguiente afirmación: “Para cualquier a, a es diferente de 0 si y solamente si la ecuación ax + b = 0 posee solución cualquiera que sea b”. Exprésela en lenguaje matemático por una proposición que comience con el sı́mbolo de negación seguido por un cuantificador, y en la que el sı́mbolo de negación aparezca solamente una vez. 3. Sea F (x) la siguiente expresión: ∀y ∈ N (x + y > 2) ⇒ [ ∃z ∈ N (x + z = 10) ⇒ x2 + 30 ≤ 13x ] Encuentre una expresión equivalente a ¬F (x) en la que no aparezca el sı́mbolo de negación. 4. Demuestre la siguiente equivalencia: ∀x(∃yF (x, y) ⇒ ∀zG(x, z)) ∼ ¬∃x(∃z¬G(x, z) ∧ ∃yF (x, y)). 5. Considere la siguiente proposición: Existe un número natural tal que su triple más uno es menor o igual que 61, y tal que sumado con cualquier otro número natural se obtiene un resultado diferente de 20. (a) Exprésela en lenguaje matemático por una proposición que comience con el sı́mbolo de negación y adonde este sı́mbolo no aparezca más que una vez. (b) Demuestre por contradicción que esta proposición es falsa. 6. Demuestre la siguiente equivalencia: ¬∃x (F (x) ⇔ G(x)) ∼ ∀x ((F (x) ∧ ¬G(x)) ∨ (¬F (x) ∧ G(x))) 7. Demuestre la siguiente proposición por contradicción: ∀x ∈ N (7x + 4 < 40 ∨ ∀y ∈ N (x + y 6= 5)) 8. Considere la siguiente proposición F: ∀x ∈ N [3x < 22 ⇔ ∃y ∈ N (x2 + y + 1 ≤ 50)] (a) Escriba una proposición G equivalente a la negación de F, en donde no aparezca el sı́mbolo de negación. (b) Obtenga una contradicción a partir del supuesto de que G es verdadera. 9. Considere la siguiente proposición: Sea cual sea el número natural, si su doble más uno es estrictamente mayor que 7, entonces su cuadrado es mayor o igual a 13. Exprésela en lenguaje matemático por una proposición que comience con el sı́mbolo de negación y adonde este sı́mbolo no aparezca más que una vez. 10. Use la contrapositiva para demostrar la siguiente proposición: ∀x ∈ N (x3 > 30 ⇒ ∀y ∈ N (7x + y + 3 6= 30)).