GUIA N° 1

GUIAS PARA ESTUDIANTES
ASIGNATURA GEOMETRÍA
DOCENTE:
DIANA PATRICIA CARDENAS CUESTÁ
2013
ANEXO 1
COLEGIO SAN AGUSTIN I.E.D
ASIGNATURA: GEOMETRÍA
PROFESOR: DIANA CARDENAS
GRADO PRIMERO
NOMBRE: __________________________ FECHA: _______________
Tiempo estimado: Una hora de clase
Objetivo: Conoce los colores, y compara el tamaño de los objetos.
GUIA N° 1: Características de los objetos.
Hola: Bienvenido a esta unidad de
geometría donde aprenderás las formas
de
las
líneas,
clasificación.
las
Para
figuras
ello
y
vamos
su
a
empezar recordando los colores y los
tamaños, que has visto en el jardín.
1. Colorea este dibujo y escribe en las líneas los colores que utilizaste.
2. Los cuerpos tienen tamaño, algunos son grandes, otros son medianos y otros
pequeños.
Completa la siguiente tabla dibujando el objeto del tamaño que falta y
colorea de amarillo el grande, de azul el mediano, y de rojo el pequeño.
Grande
Mediano
Pequeño
3. Colorea de color naranja la estrella de tamaño mediano.
COLEGIO SAN AGUSTIN I.E.D
ASIGNATURA: GEOMETRÍA
PROFESOR: DIANA CARDENAS
GRADO PRIMERO
NOMBRE: __________________________ FECHA: _______________
Tiempo estimado: Una hora de clase
Objetivo: Reconocer las características de los objetos grueso - delgado, alto - bajo,
GUIA N° 2: Grueso – delgado, alto - bajo.
Observa la siguiente imagen
El lápiz de corbatín es grueso
Y el otro lápiz es delgado.
1. Recorta y pega
en tu cuaderno varios
muestra en la siguiente figura:
objetos, gruesos y delgados, como se
2. Marina debe colocar en la caja azul las letras más gruesas y en la caja amarilla las
más delgadas, ayúdala a realizar esta tarea uniendo con una línea las letras con la caja
del color que corresponda.
3. Colorea de color rojo el pez grueso y de verde el pez delgado.
Observa la siguiente imagen:
El niño de camisa verde es más alto que el niño de camisa roja.
El niño de camisa roja es más bajo que el niño de camisa verde.
4. En las siguientes imágenes encierra con color rojo lo que es más alto.
5. Colorea el árbol que es más bajo
6. En la siguiente imagen colorea de rojo la camiseta del jugador más alto y de verde
la del jugador más bajo.
COLEGIO SAN AGUSTIN I.E.D
ASIGNATURA: GEOMETRÍA
PROFESOR: DIANA CARDENAS
GRADO PRIMERO
NOMBRE: __________________________ FECHA: _______________
Tiempo estimado: Una hora de clase
Objetivo: Reconocer las posiciones de los objetos adelante – atrás, y características
como largo – corto.
GUIA N° 3: Adelante – atrás, largo – corto.
Observa las siguientes situaciones:
La silla está adelante de la mesa.
El niño está adelante del señor
La silla está atrás de la mesa
El niño está atrás del señor
1. Colorea la carreta que está adelante de la vaca.
2. Colorea la cerca que está adelante de los caballos
3. Completa con las palabras adelante o atrás:
La niña está corriendo _______________ del autobús.
La niña está ________________ del colegio.
_______________ del colegio está el autobús.
Observa la siguiente imagen:
4. Encierra el lápiz más largo
5. Colorea la espada más corta
6. Dibuja en tu cuaderno otros objetos largos y objetos cortos
COLEGIO SAN AGUSTIN I.E.D
ASIGNATURA: GEOMETRÍA
PROFESOR: DIANA CARDENAS
GRADO PRIMERO
NOMBRE: __________________________ FECHA: _______________
Tiempo estimado: Una hora de clase
Objetivo: Identifica
características entre objetos como arriba – abajo, dentro –
fuera.
GUIA N° 4: Arriba – abajo, dentro - fuera.
Observa las siguientes situaciones
El gato está arriba en la rama del árbol.
El perro está abajo de la rama del árbol.
1. Colorea los niños y los animales que estén arriba en cada situación.
2. Con base a la dibujo responde las
Siguientes preguntas
¿Cuántos pajaros están arriba en el árbol?
____________
¿Cuántos niños hay abajo del árbol?
____________
3. Encierra con color rojo los aviones que están abajo.
Observa la siguiente situación:
El pajarito está dentro de la jaula.
El pajarito está fuera de la jaula
4. En la siguiente figura colorea los niños que están fuera del agua
5. Colorea las frutas que están dentro del frutero
6. Contesta las siguientes preguntas con base a la siguiente imagen:
¿Cuántos niños están dentro
de la casa? ___________
¿Cuántos niños están fuera
de la casa? ___________
COLEGIO SAN AGUSTIN I.E.D
ASIGNATURA: GEOMETRÍA
PROFESOR: DIANA CARDENAS
GRADO PRIMERO
NOMBRE: __________________________ FECHA: _______________
Tiempo estimado: Una hora de clase
Objetivo: Reconocer y diferenciar las líneas rectas de las líneas curvas.
GUIA N° 5: Líneas curvas y líneas rectas.
Juan está en su casa y debe recorrer dos caminos; si quiere ir al colegio debe tomar
el camino n° 1 caminar en línea recta. Pero si quiere ir al parque debe tomar el camino
n°2 caminar en línea curva. ¿Cuál es el camino que debe recorrer Juan para ir al
colegio?
N° 1
N°
2
Recuerda: Una línea es una secuencia infinita de puntos. Las líneas pueden
ser rectas o curvas
Observa algunos ejemplos:
Líneas rectas
Líneas curvas
Actividad:
1. Repisa de color azul las líneas rectas y con rojo las líneas curvas.
2. Repisa los bordes curvos de color verde y los bordes rectos de color amarillo.
3. Algunas letras también tienen líneas curvas o líneas rectas. Escribe al frente las
líneas que forma las siguientes letras:
A
M
I
G
O
4. Continúa la secuencia de las siguientes líneas y escribe si son rectas o curvas
5. Elabora un dibujo usando solo líneas rectas
6. Elabora un dibujo usando solo líneas curvas
COLEGIO SAN AGUSTIN I.E.D
ASIGNATURA: GEOMETRÍA
PROFESOR: DIANA CARDENAS
GRADO PRIMERO
NOMBRE: __________________________ FECHA: _______________
Tiempo estimado: Una hora de clase
Objetivo: Reconocer las líneas abiertas y las líneas cerradas.
GUIA N° 6: Líneas abiertas y líneas cerradas
Ten en cuenta que: Las líneas además de ser curvas o rectas, pueden ser
abiertas o cerradas
Observa algunos ejemplos:
Líneas abiertas
Líneas cerradas
1. Usa una línea abierta para guiar al ciclista a la meta.
META
a
2. Encierra con color rojo las letras y los números que tiene líneas cerradas, y de color
verde los que tienen líneas abiertas.
3. Repasa las líneas abiertas de color azul y de color negro las líneas cerradas.
COLEGIO SAN AGUSTIN I.E.D
ASIGNATURA: GEOMETRÍA
PROFESOR: DIANA CARDENAS
GRADO PRIMERO
NOMBRE: __________________________ FECHA: _______________
Tiempo estimado: Dos horas de clase
Objetivo: Conocer y clasificar las figuras planas según su forma.
GUIA N°7: Figuras geométricas planas
Ahora vamos a aprender cuales son las figuras geométricas
Triángulo
Circulo
c
Cuadrado
Rectángulo
1. Escribe el número de veces que aparece cada figura geométrica en el dibujo.
__________ Triángulos
__________ Rectángulos
__________ Cuadrados
__________ Círculos
2. Colorea las siguientes figuras geométricas, rojo el triángulo, verde el círculo, azul
el cuadrado y amarillo el rectángulo
Las figuras y sus lados:
lados
lado
lado
lado
lado
3. Cuenta y escribe el número de lados que tiene cada figura geométrica.
_______ lados
_______ lados
_______ lados
_______ lados
_______ lados
_______ lados
ANEXO 2
COLEGIO SAN AGUSTIN I.E.D
ASIGNATURA: GEOMETRÍA
PROFESOR: DIANA CARDENAS
GRADO SEGUNDO
NOMBRE: __________________________ FECHA: _______________
Tiempo estimado: Dos horas de clase
Objetivo: Diferenciar las líneas horizontales de las verticales y las líneas paralelas de
las perpendiculares.
GUIA N° 1: Líneas verticales y horizontales.
Las líneas dependiendo su dirección pueden ser horizontales y verticales.
Las líneas horizontales son las que van de derecha
a izquierda o de izquierda a derecha., como se
muestra en la figura.
Las líneas verticales son las que van de arriba hacia abajo, como se
muestra en la figura.
1. Repisa de color azul las líneas horizontales para ver las letras que se forman:
2. Encierra con color rojo la blusa y el vestido que tiene líneas verticales
3. Escribe la palabra horizontal o vertical según la posición de los objetos.
Lee con mucha atención:
Las siguientes rectas son perpendiculares.
Las
rectas
siguientes
rectas
son
paralelas.
4. Une con una línea los dibujos de las rectas con sus nombres según corresponda.
Rectas paralelas
Rectas perpendiculares
5. Con base a las explicaciones dadas traza una línea paralela a las rectas dadas.
6. Traza una recta perpendicular a la recta dada.
7. Repisa con color rojo las rectas paralelas horizontales en cada figura:
8. Repisa con color verde las rectas perpendiculares en cada figura
COLEGIO SAN AGUSTIN I.E.D
ASIGNATURA: GEOMETRÍA
PROFESOR: DIANA CARDENAS
GRADO SEGUNDO
NOMBRE: __________________________ FECHA: _______________
Tiempo estimado: Una hora de clase
Objetivo: Identificar polígonos de acuerdo a su número de lados.
GUIA N°2: Los lados de las figuras
1. Une cada figura con su nombre y escribe el número de lados que tiene cada una.
_______ lados
_______ lados
Triángulo
_______ lados
_______ lados
Cuadrado
_______ lados
_______ lados
_______ lados
Rectángulo
2. Con base a la actividad anterior completa las siguientes frases:
Los triángulos tienen ______ lados.
Los cuadrados tienen ______ lados.
Los rectángulos tienen ______ lados.
3. Juega con un compañero al sudoku geométrico. Completa todas las casillas que están
vacías teniendo en cuenta que no pueden coincidir dos figuras iguales en la misma fila
y en la misma columna. Solo puedes usar las figuras que se muestran a continuación.
COLEGIO SAN AGUSTIN I.E.D
ASIGNATURA: GEOMETRÍA
PROFESOR: DIANA CARDENAS
GRADO SEGUNDO
NOMBRE: __________________________ FECHA: _______________
Tiempo estimado: Una hora de clase
Objetivo: Conocer los sólidos geométricos y relacionarlos con objetos de su entorno.
GUIA N°3: Cuerpos geométricos
Hoy aprenderás los cuerpos geométricos. Los principales son:
Cubo
Esfera
Cono
Pirámide
Cilindro
Prisma recto
Algunos cuerpos geométricos tienes caras como se muestra a continuación.
Cara
Prisma recto
Cara
Cara
Cara
1. Une con una línea los dibujos que tienen la misma forma de las figuras
2. Cuenta el número de caras que tiene cada figura:
La pirámide tiene ________caras.
El prisma recto tiene ________ caras.
El cubo tiene ________ caras.
3. Elabora
clase.
en tu cuaderno un dibujo utilizando los cuerpos geométricos vistos en
ANEXO 3
COLEGIO SAN AGUSTIN I.E.D
ASIGNATURA: GEOMETRÍA
PROFESOR: DIANA CARDENAS
GRADO TERCERO
NOMBRE: __________________________ FECHA: _______________
Tiempo estimado: Una hora de clase
Objetivo: Reconocer la diferencia entre segmentos, semirrectas y rectas.
GUIA N° 1: Segmentos, rectas y semirrectas.
Camilo debe realizar un dibujo para la clase de arte usando únicamente segmentos,
rectas y semirrectas. Pero él no sabe la diferencia que hay con cada uno de ellos.
Aprende con Camilo que son las rectas, segmentos y semirrectas y ayúdalo luego a
realizar el dibujo para su clase de arte.
La siguiente figura es una recta.
Se representa como recta
AB
La siguiente figura representa una semirrecta.
Se representa como semirrecta CD
La siguiente figura representa un segmento.
Se representa como segmento
HI
1. Completa las frases con base a los siguientes gráficos:
a. La recta no tiene _____________ ni fin.
b. El __________ J divide la recta en dos partes. Cada una de estás partes es una
_______________.
c.
La
parte
de la
recta
comprendida
entre,
los
puntos
P
y
Q
es
un
________________ y se representa como PQ .
d. El símbolo PQ representa la _______________ PQ .
2. Identifica en las siguientes líneas, los segmentos, las rectas y las semirrectas,
colocando el nombre encima de cada una de ellas.
3. Dibuja la recta, semirrecta o segmento según la notación dada.
a. Segmento
CB
b. Recta
MN
c. Semirrecta
BD
4. Sigue las instrucciones, dibuja y completa las frases, como en el ejemplo:
a. Inicia en el punto C y termina en el punto B. Es el segmento CB
b. Inicia en el punto A y termina en el punto D. Es ________________
c. Inicia en el punto A y contiene el punto B. Es __________________
d. Contiene a los puntos B y C. Es ___________________
e. Inicia en el punto C y contiene el punto D. Es ________________
f. Contiene a los puntos B y D. Es _______________
5. Ahora con base a lo que has aprendido ayuda a Camilo a realizar el dibujo para su
clase de arte usando únicamente segmentos, rectas y semirrectas.
COLEGIO SAN AGUSTIN I.E.D
ASIGNATURA: GEOMETRÍA
PROFESOR: DIANA CARDENAS
GRADO TERCERO
NOMBRE: __________________________ FECHA: _______________
Tiempo estimado: Una hora de clase
Objetivo: Conocer, medir y dibujar ángulos.
GUIA N° 2: Ángulos y su medida.
Esteban debe levantarse para ir al colegio y cuando observo el reloj señalaba
las 7 de la mañana, y se hizo una pregunta:
¿La abertura que tiene las manecillas del reloj permanece siempre igual?
Te invitamos a resolver está pregunta al final de está guía.
Un ángulo es la abertura que se forma entre dos semirrectas que
tiene el mismo punto de inicio llamado vértice.
Para medir la abertura que hay entre el lado inicial y el lado final de un
ángulo se usa el transportador, y nos da la medida en grados.
Ubica el punto central del transportador en el vértice del ángulo y la
parte horizontal con el lado inicial. La medida del ángulo son los
grados que señale el lado final en el transportador
Este ángulo mide 50°
1. Observa las siguientes figuras, encierra con color rojo los ángulos que se forman
cada una de ellas y escribe cuantos son:
2. Utiliza el transportador para medir los ángulos que se forman entre las
semirrectas.
3. En cada una de las horas que se muestran en los relojes mide los ángulos que se
forman entre las manecillas, como se muestra en el ejemplo.
a. Son las 2:00 el ángulo que se forma entre las
Manecillas es de 60°.
b. Son las 6:00 el ángulo que se forma entre las
Manecillas es de ________.
c. Son las 3:00 el ángulo que se forma entre las
Manecillas es de ________.
d. Es la 1:00 el ángulo que se forma entre las
Manecillas es de ________.
COLEGIO SAN AGUSTIN I.E.D
ASIGNATURA: GEOMETRÍA
PROFESOR: DIANA CARDENAS
GRADO TERCERO
NOMBRE: __________________________ FECHA: _______________
Tiempo estimado: Una hora de clase
Objetivo: Clasificar los ángulos según su amplitud.
GUIA N° 3: Clasificación de los ángulos.
Observa la siguiente imagen y resalta con color rojo dos ángulos que tengan diferente
medida.
Los ángulos se clasifican según su medida en:
ÁNGULO RECTO: Es el que mide 90°.
ÁNGULOS AGUDOS: Son los que miden
menos de 90°.
ÁNGULO OBTUSO: Son los que miden más de
90° y menos de 180°.
ÁNGULO LLANO O LINEAL: Es el que mide
exactamente 180°.
1. Dibuja a partir de la semirrecta dada un ángulo que tenga la medida indicada.
a. Agudo de 90°
b. Ángulo de 30°
c. Ángulo de 70°
d. Ángulo de 120°
d. Ángulo de 160°
2. Escribe al frente de cada ángulo el valor de su amplitud y su nombre según su
medida, como se muestra en el ejemplo:
Mide: 50°
Ángulo: agudo
Mide: ______
Ángulo: _________
Mide: ______
Mide: ______
Ángulo: _________
Ángulo: _________
Mide: ______
Ángulo: _________
Mide: ______
Ángulo: _________
3. Observa la medida que tienen los ángulos señalados con color rojo en la ventana y
responde:
¿Qué medida tiene los ángulos de la
ventana?
¿Qué clase de ángulos son?
4. En las siguientes figuras mide y clasifica los ángulos que se forman en los rayos de
las semirrectas.
a.
b.
c.
COLEGIO SAN AGUSTIN I.E.D
ASIGNATURA: GEOMETRÍA
PROFESOR: DIANA CARDENAS
GRADO TERCERO
NOMBRE: __________________________ FECHA: _______________
Tiempo estimado: Una hora de clase
Objetivo: Reconocer las características de los polígonos y clasificarlos según su
número de lados.
GUIA N° 4: Polígonos.
En exposición de arte en el colegio Juan observo un dibujo, que estaba formada por
diferentes figuras geométricas. ¿Cuáles son las figuras que conforman este dibujo?
Las figuras planas son cerradas y están limitadas por líneas rectas o líneas curvas.
Un polígono es una figura plana cerrada, limitada por segmentos de recta que no
se cruzan. Cada segmento de recta es un lado y los puntos donde se unen los lados
son los vértices.
Lado
Vértice
Todos los polígonos reciben nombres diferentes según el número de lados que tienen.
Algunos de ellos son:
TRÍÁNGULO: Tiene tres segmentos de
recta y tres vértices.
CUADRILÁTERO: Tiene cuatro
segmentos de recta y cuatro vértices.
PENTÁGONO: Tiene cinco segmentos de
recta y cinco vértices.
HEXÁGONO: Tiene seis segmentos de
recta y seis vértices.
HETPÁGONO: Tiene siete segmentos de
recta y siete vértices.
OCTÁGONO: Tiene ocho segmentos de
recta y ocho vértices.
1. Colorea las figuras que son polígonos.
2. Con base a lo anterior escribe el nombre de los siguientes polígonos
3. Juan ha hecho la siguiente figura con el tangram. Ayúdale a contar y a clasificar las
figuras que utilizo. Escríbelas en tu cuaderno.
4. Escribe Verdadero (V) o Falso (F) y justifica tu respuestá:
a. El rectángulo es un polígono.
______
b. El hexágono tiene cinco vértices.______
c. El rombo es un cuadrilátero.______
d. El trapecio tiene cuatro ángulos.______
5. Elabora un dibujo donde utilices diferentes polígonos.
COLEGIO SAN AGUSTIN I.E.D
ASIGNATURA: GEOMETRÍA
PROFESOR: DIANA CARDENAS
GRADO TERCERO
NOMBRE: __________________________ FECHA: _______________
Tiempo estimado: Una hora de clase
Objetivo: Clasificar los triángulos según la medida de sus lados.
GUIA N° 5: Triángulos.
Mafalda está observando la figura y se hace la siguiente pregunta. ¿Todos los
triángulos que hay son iguales? ¿Cuántos hay en total?
Los triángulos reciben nombres especiales según la medida de sus lados.
1. Con ayuda de la regla mide cada uno de los lados de los triángulos y completa las
frases.
TRIÁNGULO EQUILÁTERO
TRIÁNGULO ISÓSCELES
Dos de sus lados
Todos sus lados
miden________ y el
miden__________.
otro___________
TRIÁNGULO ESCALENO
Sus tres lados miden
__________
2. Observa los siguientes triángulos y colorea de amarillo los que tiene sus 3 lados
iguales, de naranja los que tiene 2 lados iguales y uno desigual y de rojo que tienen
todos sus lados de diferente medida. Puedes utilizar la regla.
3. Los triángulos según la medida de sus lados se clasifican en equilátero,
isósceles o escaleno. Escribe a cada uno el nombre que corresponda.
4. Soluciona el siguiente crucigrama con base a los temas vistos en está guía.
1. Polígono de tres lados.
2. Triángulo que tiene todos sus lados iguales.
3. Triángulo que tiene todos sus lados desiguales.
4. Triángulo que tiene dos lados iguales y uno desigual.
1
3
2
4
COLEGIO SAN AGUSTIN I.E.D
ASIGNATURA: GEOMETRÍA
PROFESOR: DIANA CARDENAS
GRADO TERCERO
NOMBRE: __________________________ FECHA: _______________
Tiempo estimado: Una hora de clase
Objetivo: Reconocer cuando dos figuras son congruentes.
GUIA N° 6: Congruencia.
Laura observa los gatos que se muestran en la primera imagen
exactamente iguales, pero los aviones de la segunda imagen
y dice que son
no porque tienen
diferente color. Tomas dice que no es así, que los gatos no son iguales porque tienen
diferente tamaño, mientras que los aviones si son iguales a pesar que tienen diferente
color. ¿Qué opinas tú? ¿Quién crees que tiene la razón?
2
1
Observa las siguientes imágenes:
Giro 90°
Volteo
Deslizo
Deslizo y roto 90°
Después de estos movimientos (girar, voltear, deslizar) las figuras siguen
teniendo el mismo tamaño, la misma área, los mismos ángulos y longitudes
de líneas iguales, se dice que son CONGRUENTES.
1. Escribe debajo de cada una de las imágenes si son congruentes o no.
a.
2. ¿Son congruentes las figuras? Escribe sí o no, puedes calcarlas o medirlas con una
regla para determinarlo.
a.
b.
c.
d.
3. Escribe si las siguientes figuras se han deslizado, girado o volteado.
a.
b.
c.
d.
4. Con base a lo visto en clase y a lo trabajado en está guía te invitamos a responder
las siguientes preguntas:
a. ¿Pueden ser congruentes un triángulo y un cuadrado?
b. ¿Son congruentes todos los rectángulos?
c. ¿Las siguientes figuras son congruentes? ¿Por qué?
ANEXO 4
COLEGIO SAN AGUSTIN I.E.D
ASIGNATURA: GEOMETRÍA
PROFESOR: DIANA CARDENAS
GRADO CUARTO
NOMBRE: __________________________ FECHA: _______________
Tiempo estimado: Una hora de clase
Objetivo: Ubica puntos según las coordenadas dadas en el plano cartesiano.
GUIA N° 1: Plano cartesiano.
Un pirata quiere encontrar el tesoro, ¿Cuáles son las coordenadas que tiene el tesoro
para que el pirata lo pueda encontrar?
El plano cartesiano es un grafico formado por dos rectas perpendiculares llamadas
ejes y por puntos llamados coordenadas. El eje horizontal es llamado X o eje de las
abscisas y el eje vertical es llamado Y o eje de las ordenadas. El punto donde se
cortan los dos ejes es el cero, en el eje X hacia la derecha del cero se ubican los
valores positivos, y hacia la izquierda los valores negativos. En el eje Y, hacia arriba
están ubicados los valores positivos y hacia abajo los valores negativos.
En el plano cartesiano se ubican puntos que se representan con letras mayúsculas.
Cada punto tiene una abscisa y una ordenada P(x,y), el primer número indica la
ubicación en el eje horizontal, el segundo numero indica la ubicación en el eje vertical.
Observa el siguiente ejemplo:
Ubicar en el plano cartesiano el punto A (2,5), y el punto B (4,3).
1. Ubica en un plano cartesiano los siguientes puntos: C (1,2); D (5,4); E (3,4). Une los
puntos y responde que figura se formo
2. Escribe las coordenadas en que se encuentran cada uno de los animalitos.
(2,7)
( , )
( , )
( , )
( , )
( , )
3. Ubica en el plano cartesiano los puntos dados. Luego une los puntos y escribe el
nombre del polígono que se forma.
a. A (2,2) B (1,4) C (3,5) D (5,4) E (4,2)
b. A (0,0) B (2,3) C (4,1)
c. L (1,2) M (1,5) N (5,5) O (5,2)
d. P (1,1) Q (3,3) R (6,3) S (4,1)
4. Completa las coordenadas de los puntos que faltan para obtener la figura que se
muestra en el plano.
COLEGIO SAN AGUSTIN I.E.D
ASIGNATURA: GEOMETRÍA
PROFESOR: DIANA CARDENAS
GRADO CUARTO
NOMBRE: __________________________ FECHA: _______________
Tiempo estimado: Dos horas de clase
Objetivo: Reconoce los movimientos de traslación y rotación de figuras planas
GUIA N° 2: Traslación y rotación.
1. Felipe observa que la ruta del colegio se mueve en forma de línea recta cuando va de
un paradero a otro. Pero cuando está en el parque y se sube a la rueda chicago esta se
mueve en forma circular. ¿Cómo se puede llamar a cada uno de estos movimientos?
El movimiento que Felipe observa cuando la ruta se mueve de un paradero a otro se
llama traslación. La traslación es un movimiento que se hace en forma de línea recta,
puede realizarse en dirección horizontal o vertical.
Observa la siguiente figura: Tomando como unidad un cuadro,
el auto
se ha
trasladado 7 unidades a la derecha.
7 unidades a la derecha
La ranita se ha trasladado 3 unidades hacia arriba
3 unidades hacia arriba
En la siguiente imagen la letra ha girado un cuarto de vuelta a la derecha. ¿Cuál es su
nueva posición? Dibújalo en el cuadro en blanco
Posición inicial
Giro de un cuarto de vuelta a la derecha
La rotación consiste en hacer un giro sobre un punto fijo. El giro o rotación de una
figura puede expresarse en grados.
Observa el siguiente ejemplo:
Figura
Figura inicial.
El punto H será el punto de rotación
La figura inicial gira 45° a la derecha
La figura inicial ha girado 90° a la izquierda.
1. Observa donde está ubicado cada animal y traslada a cada uno siguiendo la
instrucción
Traslada el pato
3 unidades arriba y 4 unidades a la derecha.
¿Cuáles son las coordenadas después de la traslación?___________
Traslada el oso panda
1 unidad abajo y cuatro unidades a la izquierda.
2. Gira el triángulo 180° a la izquierda sobre el punto O.
3. Describe la ruta que sigue el conejo para llegar a la zanahoria.
4. Cada objeto ha rotado respecto a un punto. Completa las frases según la figura que
cumple la rotación.
Figura A
Figura B
Figura C
a. La figura _____ roto 90° a la izquierda.
b. La figura _____ roto 180° a la derecha.
c. La figura _____ roto 90° a la derecha.
COLEGIO SAN AGUSTIN I.E.D
ASIGNATURA: GEOMETRÍA
PROFESOR: DIANA CARDENAS
GRADO CUARTO
NOMBRE: __________________________ FECHA: _______________
Tiempo estimado: Una hora de clase
Objetivo: Identifica figuras simétricas
GUIA N° 3:
Simetría.
Julián está jugando al concéntrese de las figuras que son simétricas, y debe unir cada
figura con su otra mitad. ¿Cuáles de las siguientes imágenes no tienen su otra mitad
simétrica? ____________
3
2
1
6
7
4
8
5
9
10
Una figura es simétrica cuando su otra mitad es exactamente igual o al
doblarla por la mitad sus partes son congruentes. La línea que divide una
figura en dos mitades congruentes se llama eje de simetría. Observa el
siguiente ejemplo:
1. Colorea de amarillo las letras que son simétricas con respecto al eje de simetría:
2. Completa las figuras para obtener figuras simétricas:
3. Encierra con color rojo las figuras que no son simétricas. Explica porque.
4. Dibuja un elemento u objeto de la naturaleza que sea simétrico.
ANEXO 5
COLEGIO SAN AGUSTIN I.E.D
ASIGNATURA: GEOMETRÍA
PROFESOR: DIANA CARDENAS
GRADO QUINTO
NOMBRE: __________________________ FECHA: _______________
Tiempo estimado: Dos horas de clase
Objetivo: Determina si dos figuras son semejantes
GUIA N° 1: Congruencia y semejanza de figuras.
Ana María debe preparar una exposición para su clase de geografía, y necesita hacer
el mapa de Colombia en un pliego de cartulina. El mapa que encontró es tamaño carta.
¿Que podrá hacer Ana María para poder dibujarlo en la cartulina, si su tamaño es
mucho más grande y tienen que tener la misma forma?
Dos figuras son semejantes si tienen la misma forma, pero no necesariamente el
mismo tamaño, y sus lados correspondientes son proporcionales.
Observa las siguientes figuras, son semejantes porque tiene la misma forma
pero su tamaño es diferente.
Dos figuras son congruentes si tienen el mismo tamaño y la misma forma.
Observa las siguientes flechas, son congruentes pues tiene la misma forma y el
mismo tamaño, a pesar que su posición sea diferente.
1. Observa la figura y responde las siguientes preguntas justificando la respuesta:
a. ¿Los triángulos ABC y DEC tienen la misma forma?
b. ¿Los triángulos ABC y DEC son congruentes?
c. ¿Los triángulos ABC y DEC son semejantes?
2. Ubica los siguientes puntos en el plano cartesiano y luego únelos con segmentos
rectos hasta formar una figura cerrada. Luego realiza la transformación indicada y
escribe las nuevas coordenadas
de cada punto. Ubícalos en el mismo plano y une
nuevamente los puntos para obtener la figura dada.
Coordenadas iniciales: A (2,1), B (5,1), C (4,3), D (3,3).
Transformaciones:
a. En el punto A multiplica la primera y segunda coordenada por 3.
b. En el punto B multiplica la primera coordenada del por 2 y la segunda coordenada
por 3.
c. En el punto C suma 5 a la primera coordenada y suma 3 a la segunda coordenada.
d. En el punto D suma 4 a la primera coordenada y multiplica por 2 a la segunda
coordenada.
e. Compara las figuras obtenidas y escribe aquí tus conclusiones.
3. Une con una línea de color rojo las figuras que son semejantes
4. Tomando como referencia la cuadricula, determina si en cada caso las figuras son o
no congruentes.
5. Elige en cada caso la figura que no sea semejante.
6. Construye una figura que sea semejante y otra que sea congruente a la figura dada.
Puedes hacerlo usando la cuadricula.
7. Responde verdadero (V) o falso (F) según el caso y justifica tu respuesta.

Las figuras congruentes son semejantes. _________

Todas las figuras semejantes son congruentes._________

Para que dos figuras sean congruentes deben estar en la misma posición.
_________

Para que dos figuras sean semejantes deben estar en la misma posición.
_________
8. En los siguientes dibujos se muestran distintas maneras de dividir un cuadrado, en
cuatro partes iguales.
a. ¿Las partes en las que ha sido dividida cada cuadrado son congruentes? ¿Por qué?
b. ¿Las partes en que se divide cada cuadrado son semejantes? ¿Por qué?
c. ¿Qué otra forma puedes encontrar para dividir un cuadrado en cuatro partes
iguales?
9. Con base a lo aprendido en esta sesión, elabora un dibujo con objetos que sean
semejantes y congruentes.
COLEGIO SAN AGUSTIN I.E.D
ASIGNATURA: GEOMETRÍA
PROFESOR: DIANA CARDENAS
GRADO QUINTO
NOMBRE: __________________________ FECHA: _______________
Tiempo estimado: Una hora de clase
Objetivo: Realizar movimientos de traslación de figuras y señalar las coordenadas de
la figura después de la traslación.
GUIA N° 2: Traslación de figuras
Un barco ha salido desde el puerto y debe llegar a la isla que se muestra en el plano.
Pero solo puede moverse bajo las siguientes condiciones: tres unidades en posición
vertical y dos en posición vertical. ¿Cuántas translaciones hará como mínimo el barco
para poder llegar a la isla? ¿Cuáles son las coordenadas de la isla?
TRASLACIÓN: Es un movimiento en el plano que consiste en desplazar una figura a lo
largo de una línea recta, a una distancia determinada.
La figura o el objeto trasladado mantiene su forma y su tamaño originales. Para
realizar una traslación debes indicar la dirección, el sentido y la magnitud.
Dirección: Puede ser horizontal o vertical.
Sentido: Puede ser positivo o negativo.
Magnitud: Es el número de unidades que se mueve la figura.
Observa el siguiente ejemplo:
Tomando como unidad un cuadro, en la siguiente figura traslada el siguiente polígono
ABCDE , 5 unidades a la derecha.
PASO 1: Dibuja un polígono sobre una cuadricula y nombra
cada uno de sus vértices.
PASO 2: Traslada cada vértice del polígono 5 unidades en
dirección horizontal a la derecha.
PASO 3: Une los vértices para formar el polígono, que se ha
trasladado 5 unidades a la derecha.
1. Traslada el polígono 4 unidades en dirección vertical hacia abajo.
2. Traslada el triángulo 6 unidades hacia la izquierda en dirección horizontal
3. Describe con tus palabras la traslación, que ha sufrido el polígono ABCD. ¿Cuáles
son las nuevas coordenadas del polígono después de la traslación?
4. Escribe verdadero (V) o falso (F) al frente de cada afirmación.
a. Al trasladar una figura cualquiera, la figura de la imagen es congruente a la original.
_______
b. Puedo trasladar dos o más veces una figura sin que se altere su forma y su
tamaño._______
c. Una traslación es un movimiento que se puede realizar en cualquier dirección.
_______
5. Dibuja en el plano cartesiano una figura, realiza dos traslaciones con ella. Luego
describe en clase a tus compañeros las traslaciones que realizaste.
COLEGIO SAN AGUSTIN I.E.D
ASIGNATURA: GEOMETRÍA
PROFESOR: DIANA CARDENAS
GRADO QUINTO
NOMBRE: __________________________ FECHA: _______________
Tiempo estimado: Dos horas de clase
Objetivo: Realiza rotaciones de figuras con base a un punto o centro de rotación.
GUIA N° 3: Rotación de figuras
Observa la secuencia de la figura. ¿Cuál es la figura que debe seguir en el último
cuadro? ¿Qué movimiento esta describiendo esta figura?
?
ROTACIÓN: Una rotación es un giro de una figura o un objeto sobre un punto. Para
hacer una rotación se debe tener en cuenta el ángulo de giro y el punto de rotación.
El ángulo de giro se mide en grados; hay que tener en cuenta que para realizar la
rotación de debe girar cada punto de la figura
según el ángulo dado en sentido
positivo o negativo.
El ángulo es positivo, cuando abre en sentido contrario a las manecillas del reloj.
El ángulo es negativo, cuando abre en el sentido horario a las manecillas del reloj.
Observa el siguiente ejemplo con ayuda de tu profesor:
Girar el polígono ABCD 90° en sentido positivo sobre el punto O.
PASO 1: Dibujar un polígono sobre una cuadricula y nombra cada uno de
sus vértices.
PASO 2: Luego se trazan líneas rectas desde el centro de rotación O a cada
uno de los vértices de la figura.
PASO 3: Se coloca el transportador en el segmento OA y se mide 90°. Se
repite el mismo procedimiento con los segmentos OB y OC.
PASO 4: Con ayuda del compás mides la amplitud de cada lado del
polígono y los marcas en las líneas resultantes del paso anterior.
PASO 5: Unes los puntos con una regla para obtener la figura rotada
OA’B’C’.
1. Escribe las nuevas coordenadas del polígono ABCD que ha sido rotada 90° con
respecto al punto C, en sentido negativo.
2. Gira el triángulo 90° a la derecha sobre el punto B y escribe las coordenadas de la
nueva posición
.
3. Gira el siguiente rectángulo 60° a la izquierda sobre el punto C
4. Escribe verdadero (V) o falso (F) al frente de cada afirmación.
a. Una rotación es una traslación en sentido vertical. ________
b. En una rotación se debe tener en cuenta el sentido de giro y el ángulo de
rotación._________
c. Si giramos cualquier figura, esta mantiene su forma y su tamaño.________
5. Dibuja en el plano cartesiano una figura, realiza una rotación con ella. Luego
describe la rotación que realizaste.
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ASIGNATURA: GEOMETRÍA
PROFESOR: DIANA CARDENAS
GRADO QUINTO
NOMBRE: __________________________ FECHA: _______________
Tiempo estimado: Una hora de clase
Objetivo: Comprender el concepto de reflexión de una figura.
GUIA N° 4: Reflexión de una figura.
Camila en su clase de geometría le pregunta a su profesora: ¿Porque cuando se mira en
el espejo se ve igual y cada vez que se acerca o se aleja de él la imagen del espejo
hace lo mismo?
REFLEXIÓN: La reflexión es un movimiento en el plano que consiste en copiar todos
los puntos de una figura a la misma distancia de una recta llamada eje de reflexión.
La figura y su reflejo, tiene la misma forma y el mismo tamaño. ¡Solo cambia su
posición!
Para reflejar una figura es importante que tengas en cuenta los siguientes pasos
observa el siguiente ejemplo con mucha atención:
PASO 1: Se dibuja una figura y se traza una línea que será el eje de
reflexión.
PASO 2: Después desde cada uno de los vértices al eje de reflexión se
trazaran líneas como se muestra en la figura. Puedes utilizar la escuadra
en este caso.
PASO 3: Con el compas se toma la distancia del vértice A al eje de
reflexión y con esta misma distancia se ubica la imagen de A ' al otro
lado del eje. Se repite el mismo procedimiento con los otros vértices de
la figura.
PASO 4: Se unen los puntos para obtener la imagen reflejada de la
figura.
1. Dibuja en cada ejercicio el eje de reflexión de cada figura.
a.
b.
c.
2. Realiza la reflexión de las siguientes figuras:
a.
b.
c.
3. Colorea la figura que corresponde a la reflexión correcta.
a.
b.
c.
4. Dibuja otros objetos reflejados que se encuentren en la naturaleza.
ANEXO 6
COLEGIO SAN AGUSTIN I.E.D
ASIGNATURA: GEOMETRÍA
PROFESOR: DIANA CARDENAS
GRADO SEXTO.
NOMBRE: __________________________ FECHA: _______________
Tiempo estimado: Una hora de clase
Objetivo: Clasificar y medir ángulos.
GUIA N° 1: Ángulos y su bisectriz.
Carlos observa un vehículo que está subiendo por una montaña y se hace la siguiente
pregunta: ¿Por qué es tan difícil acelerar cuando se está subiendo por una montaña?
¿Sería más fácil si aumenta o disminuye el ángulo con respecto al suelo?
Antes de empezar es importante que tengas en cuenta estos conceptos:
Ángulo: Es el espacio comprendido entre dos semirrectas que parten de un
mismo punto llamado origen.
Los elementos que forman un ángulo son:
-Lado: cada una de las dos semirrectas.
-Vértice: punto en el que coinciden las dos
semirrectas.
-Amplitud: Es la abertura que hay entre los
lados.
Los ángulos se pueden nombrar de diferentes maneras:
1. Usando tres letras
mayúsculas y colocando en
medio la letra que
corresponde al vértice.
2. Usando una letra griega
escrita en el vértice.
3. Usando la letra
mayúscula que esta en el
vértice.
1. Averigua como se clasifican los ángulos según su medida, su posición y su suma.
Bisectriz de un ángulo:
La bisectriz es la semirrecta que tiene
su origen en el vértice del ángulo
y lo divide en dos ángulos congruentes.
La bisectriz de un ángulo se puede construir siguiendo los siguientes pasos:
1. Se traza el ángulo ABC.
2. Desde el vértice se trazan dos arcos
en cada uno de los lados del ángulo
llamados M y N, como se muestra en la figura .
3. Con la abertura del compás mayor que
los arcos hechos antes, ahora con centro
en M y en N traza dos arcos que se
corten en un punto llamado P.
4. Se traza una semirrecta que parta
del punto B y pase por P
Esta semirrecta divide al ABC en ABP y PBC, que son congruentes.
2. Dibuja la bisectriz de los siguientes ángulos:
a.
b.
c.
3. En tu cuaderno dibuja otros ángulos con sus bisectrices
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ASIGNATURA: GEOMETRÍA
PROFESOR: DIANA CARDENAS
GRADO SEXTO.
NOMBRE: __________________________ FECHA: _______________
Tiempo estimado: Una hora de clase
Objetivo: Aprender a usar el programa geogebra para construir ángulos.
GUIA N° 2: Construcción de ángulos con geogebra.
Esta es una guía paso a paso para utilizar las herramientas del programa geogebra en
la construcción de ángulos y triángulos. Anímate y sigue las instrucciones para que
aprendas a utilizar este programa:
1. Una vez descargado el programa en tu computador
geogebra
haz clic en el icono de
y obtendrás el siguiente pantallazo.
En la parte superior de la pantalla podrás ver el menú principal. En la segunda línea
puedes visualizar la barra de herramientas, en las cuales se desprenden funciones que
se pueden realizar con el programa.
2. En el menú principal
escoge la opción de geometría. Allí realizaremos algunas
construcciones de ángulos entre dos rectas.
3. En la barra de las herramientas, haz clic en el botón
y selecciona la opción
de semirrecta que pasa por dos puntos
Dibuja dos rectas que se corten en el punto A como se muestra en la figura.
4. En la herramienta de números y ángulos en la opción
tres puntos
ángulo entre rectas y
que sirve para conocer el ángulo que se forma entre tres puntos y dos
rectas. Luego haz clic en los puntos BAC, que forman el ángulo entre estas rectas para
conocer su amplitud, como lo muestra la figura. Debes tener en cuenta que la forma
para conocer la abertura de los ángulos siempre es en sentido contrario de las
manecillas del reloj o en sentido anti horario.
Puedes mover cualquiera de los puntos y te darás cuenta como varía la medida del
ángulo.
Otra forma para dibujar los ángulos es haciendo clic en la opción
que es para
dibujar ángulos dando la amplitud que se quiere dibujar.
ACTIVIDAD:
1. Dibuja los siguientes ángulos en geogebra.
a. 30°
d. 180°
b. 60°
e. 250°
c. 100°
f.300°
2. Con la opción de rectas y sus herramientas haz clic en la opción de
la bisectriz de los ángulos anteriores.
y dibuja
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ASIGNATURA: GEOMETRÍA
PROFESOR: DIANA CARDENAS
GRADO SEXTO.
NOMBRE: __________________________ FECHA: _______________
Tiempo estimado: Dos horas de clase
Objetivo: Aprender a usar el programa geogebra para construir triángulos.
GUIA N° 3: Construcción de triángulos con geogebra
En esta sesión te vamos a enseñar a construir triángulos con el programa geogebra.
Observa con mucha atención el siguiente ejemplo:
EJEMPLO: Construir los siguientes triángulos en geogebra.
a. AB  4, A  60, B  70
b. a  b  c  5
Para construir el primer triángulo en geogebra, es necesario realizar los siguientes
pasos:
1. Al entrar al programa, debes ir a las herramientas de segmentos y escoger la
opción
segmento dado dos puntos y longitud para dibujar el segmento AB  4
como lo muestra la figura
2. Después en las herramientas de ángulos seleccionamos la opción
y hacemos
clic en el vértice A de la figura. A continuación sale un recuadro donde se escribe el
valor de la amplitud del ángulo que es 60° damos ok y a continuación aparece el ángulo
como lo muestra la figura.
3. En las herramientas de segmentos hacemos clic en la opción
los punto A y B’ de la figura.
y dando clic en
4. Repetimos el mismo procedimiento de los numerales 2 y 3 para el ángulo B que mide
70° hasta obtener la figura que se muestra en la siguiente imagen.
5. Con el mouse hacemos clic izquierdo en el punto A’ y le damos la opción de ocultar
objeto, ocultar rotulo, de la misma manera para B´ y el l punto donde se cortan las
dos rectas será el tercer vértice del triángulo. Para ello, en las herramientas de
puntos hacemos clic en el icono
que es intersección de dos objetos y hacemos
clic en la intersección de las dos rectas como lo muestra la figura.
6. En la herramienta de polígonos hacemos clic en la opción
y lo dibujamos
sobre los mismos vértices de las rectas en el orden ABC. Para cerrar el polígono es
necesario regresar al punto A. Una vez este dibujando el triángulo haces clic con el
botón izquierdo en una de las rectas y das la opción ocultar objeto e igualmente con la
otra para que no se vean y solo quede el triángulo en la figura.
Para construir el segundo triángulo que todos con todos sus lados iguales realiza los
siguientes pasos:
1. Abre una nueva ventana para construir esta figura. Haciendo clic en la herramienta
de números y ángulos selecciona la opción deslizador
y escribe como valor
mínimo 0 y valor máximo 10. Repite el mismo procedimiento para crear otro deslizador
con las mismas características y ubícalo en la pantalla donde lo puedas visualizar.
Luego crea un segmento con la opción
para y en longitud escribe 5 y luego ok.
2. Después en las herramientas de cónicas selecciona la opción de circunferencia
dados su centro y su radio
haz clic en el punto A yen la opción de radio escribe
a que es la opción del deslizador. Luego repite el mismo procedimiento, haciendo
centro en el punto B y colocando como radio el nombre del deslizador b, así obtendrás
dos circunferencias como se muestra en la siguiente imagen. Puedes mover los
deslizadores para que observes como varía el radio en cada uno de las circunferencias,
y deja cada circunferencia de radio 5 como se muestra en la figura.
3. Haz clic en la herramienta intersección de dos objetos
y señala el punto
superior donde se encuentran las dos circunferencias. Este será el tercer vértice del
triángulo en construcción. Después con las herramientas de polígono, opción
se
hace clic en cada uno de los puntos de la figura para construir el triángulo ABC, como
se muestra en la figura.
4. Luego con la herramienta de ángulos tres puntos
puedes hallar el valor de
cada ángulo interior del triángulo, y haciendo clic izquierdo con el mouse dando la
opción de mostrar rótulo y mostrar valor para que aparezca las medidas de cada lado.
Por último puedes hacer clic izquierdo en cada una de las circunferencias y dar la
opción de muestra objeto se oculten las circunferencias y solo se vea la imagen del
triángulo, como se muestra en la figura.
ACTIVIDAD:
1. Dibuja otros triángulos en geogebra de diferentes medidas a las dadas en el
ejemplo.
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ASIGNATURA: GEOMETRÍA
PROFESOR: DIANA CARDENAS
GRADO SEXTO.
NOMBRE: __________________________ FECHA: _______________
Tiempo estimado: Una hora de clase
Objetivo: Aprender a usar el programa geogebra para realizar traslaciones.
GUIA N° 4: Traslaciones de polígonos con geogebra
En esta sesión aprenderás como se hace traslaciones de figuras planas en el programa
geogebra. Para ello realiza la siguiente traslación paso a paso y luego realiza los
ejercicios que se proponen al final de esta guía.
EJEMPLO: Dibujar el polígono con vértices
Trasladarlo
A(2,3), B(4,4), C(3,2), D(4,2), E(3,1).
5 unidades a la derecha y tres unidades hacia arriba, escribe las
coordenadas del polígono resultante.
1. Dibuja un polígono haciendo clic en el icono
D(4,2), E(3,1).
con vértices A(2,3), B(4,4), C(3,2),
En la barra de herramientas haz clic en la opción de transformaciones geométricas
selecciona la opción traslada objeto por un vector,
haz clic en la imagen y luego
dibuja el vector 5 unidades a la derecha.
3. Luego aparece el polígono trasladado 5 unidades a la derecha.
4. Repite el mismo procedimiento pero ahora trasladando el polígono resultante 3
unidades hacia arriba.
Las coordenadas del polígono resultante son A’’ (7,6), B’’ (9,7), C’’ (11,5), D’’ (9,5),
E’’ (8,4).
La traslación es el movimiento de una figura a lo largo de una línea recta, sin
ningún giro, con una distancia, una dirección y un sentido determinado.
ACTIVIDAD:
1. Dibuja en el plano cartesiano el cuadrilátero ABCD cuyos vértices son A(-5,6),
B (-7,3), C (-2,3), D (0,6).
a. Traslade el cuadrilátero 9 unidades a la derecha.
b. Traslade el cuadrilátero obtenido en el punto anterior 7 unidades abajo.
e. Escribe las coordenadas del polígono resultante.
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ASIGNATURA: GEOMETRÍA
PROFESOR: DIANA CARDENAS
GRADO SEXTO.
NOMBRE: __________________________ FECHA: _______________
Tiempo estimado: Una hora de clase
Objetivo: Aprender a usar el programa geogebra para realizar rotaciones de figuras
geométricas.
GUIA N° 5: Rotaciones de polígonos con geogebra
En esta sesión aprenderás como se hacen rotaciones de figuras en geogebra. Para ello
realiza la siguiente rotación paso a paso y luego realiza los ejercicios que se proponen
al final de esta guía.
EJEMPLO: Dibujar el polígono con vértices A(3,4), B(4,7), C(7,5), D(4,3). Rotarlo 50°
en sentido positivo tomando como centro de rotación el punto O (0,0).
1. Dibujamos con la herramienta de polígonos haciendo clic en la opción
con
vértices A(3,4), B(4,7), C(7,5), D(4,3). Luego con la opción de herramientas de puntos
haz clic en la opción
dibujamos el punto de rotación O (0,0).
2. En la barra de herramientas haz clic en la opción de transformaciones geométricas
selecciona la opción rota un objeto en torno a un punto
haz clic primero en la
imagen y luego en el punto O que es el centro de rotación de la figura. Aparecerá en
la pantalla un cuadro para colocar el ángulo de rotación y el sentido de la rotación. Se
escribe 50° y luego se hace clic en ok.
3. Luego aparece el nuevo polígono rotado, como se muestra a continuación.
La rotación es un movimiento que realiza una figura alrededor de un punto
fijo llamado centro de rotación. La rotación se mide en grados.
ACTIVIDAD:
1. Dibuja en el plano cartesiano el triángulo ABC cuyos vértices son A (-6,2), B (-8,-1),
C (-4-2).
a. Con centro de rotación el punto (0,0), rotar el triángulo 120° en sentido negativo.
b. Con centro de rotación el punto (2,-2), rotar el triángulo 90° en sentido positivo.
2. Dibuja en el plano cartesiano el polígono DEFG cuyos vértices son D (3,2), E (7,2),
F(8,4), G(4,4), y rotarlo 130° en sentido negativo con respecto al origen.
COLEGIO SAN AGUSTIN I.E.D
ASIGNATURA: GEOMETRÍA
PROFESOR: DIANA CARDENAS
GRADO SEXTO.
NOMBRE: __________________________ FECHA: _______________
Tiempo estimado: Una hora de clase
Objetivo: Aprender a usar el programa geogebra para realizar reflexiones sobre una
recta de figuras geométricas.
GUIA N° 5: Reflexiones de polígonos con geogebra.
En esta sesión aprenderás como se hacen reflexiones de figuras en geogebra. Para
ello realiza la siguiente reflexión paso a paso y luego realiza los ejercicios que se
proponen al final de esta guía.
EJEMPLO: Dibujar el polígono con vértices A(6,2), B(2,2), C(4,5), D(4,3), reflejarlo
con respecto a un eje de reflexión paralelo al eje Y.
1. Dibujamos con la herramienta de polígonos haciendo clic en la opción
vértices A(6,2), B(2,2), C(4,5), D(4,3).
con
2. Luego con la opción de herramientas de segmentos
y haz clic en la opción
dibujamos el eje de reflexión del polígono, que sea paralelo al eje Y, como se muestra
en la figura.
3. En la barra de herramientas haz clic en la opción de transformaciones geométricas
selecciona la opción refleja objeto en recta
haz clic primero en la imagen y
luego en el eje de reflexión. Aparecerá en la pantalla la imagen reflejada después del
eje de reflexión como se muestra en la siguiente figura.
Una reflexión respecto a una recta l, llamada eje de reflexión es el movimiento que
cada punto A del plano le asigna a otro punto A’ del mismo plano tal que el segmento
AA’ es perpendicular a la recta l y A’ esta a la misma distancia de la recta l como lo
está el punto A.
ACTIVIDAD:
1. 1. Dibuja en el plano cartesiano el triángulo ABC cuyos vértices son A (2,4), B (6,4),
C (4,7).
a. Reflejar la figura con respecto a un eje de reflexión ubicado dos unidades abajo de
la figura, paralelo al eje X.
b. Reflejarlo con respecto al eje Y.
2. Dibuja en el plano cartesiano el polígono HIJKL cuyos vértices son H (1,-4), I(5,-4),
J(6,-1), K(3,-3), L(2,-1) y refléjalo tomando como eje de reflexión al eje X.
ANEXO 7
COLEGIO SAN AGUSTIN I.E.D
ASIGNATURA: GEOMETRÍA
PROFESOR: DIANA CARDENAS
GRADO SEPTIMO.
NOMBRE: __________________________ FECHA: _______________
Tiempo estimado: Una hora de clase
Objetivo: Construir triángulos con la medida de sus ángulos internos en el programa
geogebra.
GUIA N° 1: Construcción de triángulos y sus ángulos
internos en geogebra.
Esta es una guía paso a paso de cómo utilizar las herramientas del programa geogebra
para la construcción de triángulos congruentes. Anímate y sigue las instrucciones para
que aprendas a utilizar este programa:
1. Una vez descargado el programa en tu computador haz clic en el icono de geogebra
y obtendrás el siguiente pantallazo.
2. En el menú principal de la barra en disposiciones escoge la opción de geometría
básica.
3. Luego haz clic en el botón
y dibuja un triángulo como se muestra en la figura.
4. Ahora vas a saber cuál es la medida de cada uno de los ángulos en el triángulo
dibujado el triángulo haciendo clic en el botón
Luego para hallar la medida del ángulo A, con el mouse señalas en el mismo orden los
puntos CAB, ya que el vértice del ángulo esta en este punto. Así obtendrás la amplitud
del ángulo A.
5. Repites el mismo procedimiento con los vértices B y C del triángulo. Una vez
obtengas las medidas suma las tres amplitudes ¿Cuánto da la suma de los tres ángulos
interiores del triángulo que dibujaste?
6. Con base a la siguiente figura describe las otras propiedades de los triángulos
vistas en clase.
COLEGIO SAN AGUSTIN I.E.D
ASIGNATURA: GEOMETRÍA
PROFESOR: DIANA CARDENAS
GRADO SEPTIMO.
NOMBRE: __________________________ FECHA: _______________
Tiempo estimado: Una hora de clase
Objetivo: Construcción de líneas
y puntos notables del triángulo en el programa
geogebra.
GUIA N° 2: Líneas y puntos interiores de los
triángulos.
Para este taller interactivo, es necesario que recuerdes que la mediatriz es la recta
perpendicular trazada por el punto medio de un lado del triángulo. Todo triángulo tiene
tres mediatrices. Una vez recordado esto, dibujaremos las tres mediatrices de un
triángulo en geogebra. Para ello es importante que realices los siguientes pasos:
1. Entra al programa y en el menú principal en disposiciones y escoge la opción de
algebra y gráficos.
2. Con la opción
dibuja un triángulo, como se muestra en la figura.
3. En la opción de recta perpendicular haz clic y escoge la opción mediatriz como lo
muestra la figura.
4.
Haz clic en el vértice A y luego en el vértice B del triángulo y obtendrás la
mediatriz del lado AB como lo muestra la figura.
5. Repite el mismo procedimiento para encontrar las mediatrices de los lados BC y AC
del triángulo, como se muestra en la figura.
6. Como puedes ver las tres mediatrices se cortan en un mismo punto. Ahora ve a la
opción herramienta de puntos haz clic en la opción intersección de dos objetos
y luego marca con el cursor la intersección de las rectas. En la opción de
herramientas de cónicas busca el clic el icono
circunferencia dados su centro y
un punto dando clic en el centro de la figura y en uno de los vértices del triángulo
como se muestra en la figura. ¿Cómo se llama este punto?
7. Con ayuda de este programa encuentra las otras líneas y puntos notables de los
triángulos.
COLEGIO SAN AGUSTIN I.E.D
ASIGNATURA: GEOMETRÍA
PROFESOR: DIANA CARDENAS
GRADO SEPTIMO.
NOMBRE: __________________________ FECHA: _______________
Tiempo estimado: Una hora de clase
Objetivo: Establecer cuando dos polígonos son congruentes
GUIA N° 3: Polígonos congruentes
Observa la siguiente imagen y responde la siguiente les pregunta ¿Todos los polígonos
son iguales? ¿Por qué?
Es importante que tengas en cuenta
que dos figuras geométricas son
congruentes cuando tienen el mismo
tamaño y la misma forma.
Polígonos congruentes:
Dos polígonos son congruentes si
existe una correspondencia entre los
vértices de ellos tal que los ángulos
correspondientes son congruentes y
los lados correspondientes son
congruentes, o al superponer una
figura sobre otra estas coinciden
exactamente. El símbolo para denotar
la congruencia es ≅.
Observa los siguientes polígonos:
Para establecer si los dos polígonos son congruentes se establecen las
correspondencias entre los vértices, los lados, y los ángulos de los dos polígonos de
la siguiente manera:
A F
AB  FG
A F
B G
BC  GH
B G
CH
CD  HI
C H
DI
DA  IF
D I
Como los lados y las medidas de los ángulos que corresponden miden lo mismo, se
dice que son congruentes y se simboliza . De esta manera:
A E
AB  FG
A E
BG
BC  GH
B G
CH
CD  HI
C H
DI
DA  IF
D I
Por lo tanto los polígonos ABCD y FGHI son congruentes y se simboliza
ABDC  FGHI .
Por lo tanto podemos afirmar que dos polígonos son congruentes si y sólo si los
lados y los ángulos correspondientes son congruentes.
ACTIVIDAD:
1. Explica porque las siguientes afirmaciones son verdaderas:
a. Dos polígonos con diferente número de vértices no pueden ser ni
congruentes ni semejantes.
b. Todo polígono es congruente a sí mismo.
c. Si dos polígonos son congruentes entonces son semejantes.
d. Dos polígonos son congruentes si tienen la misma forma.
2. Dibuja en el interior del hexágono tres segmentos del mismo tamaño para dividirlo
en tres regiones congruentes.
3. Identifica cuales de las siguientes figuras son congruentes. Nómbralas de acuerdo
con la correspondencia adecuada.
4. Los dos triángulos que se muestran en la siguiente figura son congruentes. Completa
la siguiente información:
a. MNO 
b. M 
c. MO 
, QO 
d. O es el punto medio de ______________ porque ____________________
5. De acuerdo con la información en cada ilustración halla los valores que faltan:
a. ABC  KLM
b. FPK  RGK
6. Ubica los siguientes puntos en el plano cartesiano y dibuja el ABC y el DEF .
¿Estos triángulos son semejantes?
a. A(-1,2) ; B(4,2); C(2,4); D(5,-1); E (7,1); F(10,-1).
b. A(-3,1); B(2,1): C(2,3); D(4,3); E(6,3); .F(6,8)
COLEGIO SAN AGUSTIN I.E.D
ASIGNATURA: GEOMETRÍA
PROFESOR: DIANA CARDENAS
GRADO SEPTIMO.
NOMBRE: __________________________ FECHA: _______________
Tiempo estimado: Una hora de clase
Objetivo: Establecer cuando dos polígonos son semejantes
GUIA N° 4: Polígonos semejantes.
Si cada dimensión de un rectángulo se aumenta en un 40%, ¿Cómo son las dimensiones
del nuevo rectángulo? ¿Este rectángulo es semejante o congruente al original?
Dos polígonos son semejantes cuando tienen exactamente la misma forma pero
no necesariamente el mismo tamaño.
Dos polígonos son semejantes si existe una correspondencia entre los vértices tal
que los ángulos correspondientes son congruentes y las medidas de los lados
correspondientes son proporcionales. El símbolo de la semejanza es .
Observa los siguientes polígonos.
Para comprobar que son semejantes se establece
correspondientes de la siguiente manera:
que los ángulos son
A  E, B  F , C  G, D  H .
Además las medidas de los lados del polígono ABCD miden el doble del
polígono EFGH . Por lo tanto
ABCD EFGH significa que ABCD es
semejante a EFGH . Es importante tener en cuenta la correspondencia entre los
vértices para determinar que dos polígonos son semejantes.
ACTIVIDAD:
1. Construir un polígono semejante al polígono dado que cumpla la condición
mencionada:
a. El lado de menor longitud tenga 6 cm.
b. Los lados que forman el ángulo de 90° midan el triple de los lados dados.
2. Escribe al frente de cada afirmación V o F. Justifica tu respuesta.
a. Dos polígonos son semejantes si tiene exactamente la misma forma pero diferente
tamaño.
b. Todos los triángulos rectángulos son semejantes.
c. Dos polígonos semejantes también son congruentes.
d. Todos los triángulos cuyos ángulos miden 30°, 60° y 90° son semejantes.
3. Con base a la siguiente figura completa la siguiente información:
a.
PO OT

PS
d. O 
b.
TV

RQ PQ
e. SRQ 
c.
OT

RQ
TV
f. T 
4. Establece las medidas de los lados que faltan teniendo en cuenta que
ABC
DEF
a.
b.
5. Soluciona los siguientes problemas:
a. La base de un triángulo isósceles mide 4 cm y uno de sus lados iguales mide 10 cm.
¿Cuál es la longitud de los lados de un triángulo semejante cuyo lado menor mide 6 cm?
b. Carolina tiene que aumentar las dimensiones de una maqueta que tiene 15 cm de
largo y 40 cm de ancho, a una maqueta que tenga el triple de largo de la maqueta
anterior. ¿Cuáles son las dimensiones de la nueva maqueta?
ANEXO 8
COLEGIO SAN AGUSTIN I.E.D
ASIGNATURA: GEOMETRÍA
PROFESOR: DIANA CARDENAS
GRADO OCTAVO
NOMBRE: __________________________ FECHA: _______________
Tiempo estimado: Dos horas de clase
Objetivo: Conocer y aplicar los criterios de congruencia de triángulos.
GUIA N° 1: Congruencia de triángulos.
Observa la siguiente figura ¿Crees que todos triángulos
son iguales? Explica tu
respuesta
TRIÁNGULOS CONGRUENTES: Dos triángulos son congruentes si existe una
correspondencia entre sus vértices tal que los lados y ángulos correspondientes son
congruentes, como se muestra a continuación:
A  D; B  F ; C  E;
AB  DF ; BC  FE; AC  DE
Para denotar la congruencia nombramos los vértices correspondientes en el mismo
orden así:
ABC  DFE
ABC  DFE
GIH  JLK .
CRITERIOS DE CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS:
Para determinar si dos triángulos son congruentes se debe tener en cuenta los
siguientes criterios:
Criterio lado, lado, lado (LLL):
Si los tres lados de un triángulo son
congruentes con los tres lados de otro
triángulo, entonces los triángulos son
congruentes.
GI  JL, JK  GH , KL  HI .
Por lo tanto GIH  JLK .
Criterio lado, ángulo, lado (LAL):
Si los dos lados de un triángulo y el
ángulo formado por estos son
congruentes con dos lados de otro
triángulo y el ángulo formado por estos
respectivamente, entonces los dos
triángulos son congruentes.
GH  JK , HL  KL, y H  K .
Criterio ángulo, lado, ángulo (ALA):
Si dos ángulos de un triángulo y el
lado comprendido entre ellos, son
congruentes con dos ángulos de
otro triángulo y el lado comprendido
entre ellos entonces los triángulos son
congruentes.
ABC  DFE
B  E, A  D y AB  DE
ACTIVIDAD:
1. Se sabe que ABC  EDF. Encuentra en cada caso las medidas pedidas.
a.
b.
c.
2. Si se sabe que MNP  RST . Encuentra las medidas pedidas en cada caso.
a.
ST 
RT 
b.
SR 
R
3. Dado: ABC con
A  C , justifica que AB  CB
4. Dos triángulos rectángulos tienen respectivamente congruentes las hipotenusas.
¿Son congruentes los dos triángulos? ¿Por qué?
5. Encuentra el valor de x en cada caso, si los triángulos son isósceles:
a.
b.
6. En la figura AB  ED, AB ED, BF  CD. Demuestra que ABC  EDF.
COLEGIO SAN AGUSTIN I.E.D
ASIGNATURA: GEOMETRÍA
PROFESOR: DIANA CARDENAS
GRADO OCTAVO
NOMBRE: __________________________ FECHA: _______________
Tiempo estimado: Dos horas de clase
Objetivo: Reconocer los criterios de la semejanza de triángulos para calcular
longitudes y ángulos.
GUIA N° 2: Triángulos semejantes.
¿Cómo podrías calcular la altura tiene un templo si su sombra mide 6 metros, si la
altura de un árbol cercano es de 3 metros y la distancia desde la copa del árbol hasta
donde termina su sombra es de 5 metros?
5m
3m
6m
Para determinar la semejanza entre dos triángulos existen tres criterios que son los
siguientes:
Primer criterio ángulo - ángulo (AA): Dos triángulos son semejantes si tienen dos de
sus ángulos respectivamente iguales. Del criterio ángulo - ángulo se puede concluir que
dos triángulos rectángulos son semejantes si tienen un ángulo agudo congruente, pues
el ángulo restante es necesariamente congruente.
Segundo criterio lado- ángulo –lado (LAL): Dos triángulos son semejantes si dos de
sus lados son proporcionales respectivamente y congruente el ángulo que forman.
Tercer criterio lado – lado – lado (LLL): Dos triángulos son semejantes si sus tres
lados son respectivamente proporcionales.
Es importante que tengas en cuenta que la congruencia de triángulos es un caso
especial de semejanza, en el cual las razones entre los lados correspondientes son
iguales y su valores la unidad, debe mantenerse que los ángulos de los triángulos
sean congruentes.
EJEMPLO:
Determina si los siguientes triángulos son semejantes:
Para este par de triángulos podemos aplicar el criterio LAL, pues los ángulos formados
por los lados correspondientes en los triángulos son congruentes.
Por lo tanto
verificamos que los lados son proporcionales de la siguiente manera:
A´B´ B´C´

AB
BC
15 12

10 8
3 3

2 2
Estableciendo la razón entre los lados del triángulo
Simplificando tenemos:
Por lo tanto la igualdad se cumple esto quiere decir que los lados del
Triángulo son proporcionales.
ACTIVIDAD:
1. Determina en cada caso si los triángulos son semejantes y explica cual criterio se
cumple en cada uno de ellos.
a.
b.
2. Completa los datos de los siguientes triángulos para que sean semejantes si tienen
sus tres lados proporcionales.
3. Los lados de un triángulo miden 36 cm, 42 cm y 54 cm. Si en un triángulo semejante
a este el lado homologo del primero mide 24 cm. Halla la medida de los otros dos lados
de ese triángulo.
4. Completa los datos de los siguientes triángulos para que sean semejantes que tienen
un ángulo igual comprendido por lados proporcionales.
5. En la figura BC DE . Halla la longitud DE
6. Explica porque la división de un triángulo rectángulo por una de sus diagonales
produce dos triángulos semejantes. Si se corta el rectángulo en cuatro triángulos por
medio de las dos diagonales ¿Se obtienen necesariamente cuatro triángulos
semejantes entre sí?
COLEGIO SAN AGUSTIN I.E.D
ASIGNATURA: GEOMETRÍA
PROFESOR: DIANA CARDENAS
GRADO OCTAVO
NOMBRE: __________________________ FECHA: _______________
Tiempo estimado: Dos horas de clase
Objetivo: Conocer el teorema de Pitágoras y aplicarlo a la solución de problemas..
GUIA N° 3: Teorema de Pitágoras.
Camila necesita ir a la casa de su amiga Laura y para ello tiene dos opciones, la primera
es caminar 4 metros al oriente y luego 3 metros al norte. La segunda es ir en diagonal
pasando por el parque 5 metros. ¿Cuál sería la mejor opción que debe tomar Camila
para ir a la casa de su amiga Laura? ¿Que figura se forma en este recorrido?
Un triángulo rectángulo es el que tiene uno de sus ángulos recto, los dos lados del triángulo que
forman el ángulo recto se llaman catetos y el lado opuesto al ángulo recto se conoce como
hipotenusa.
Teorema de Pitágoras: En todo triángulo rectángulo, la longitud de la hipotenusa elevada al
cuadrado es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los catetos.
h2  a 2  b2
Si deseas conocer el valor de la longitud de un cateto, conociendo el valor de la hipotenusa y el
otro cateto, se debe restar a la hipotenusa al cuadrado la longitud del otro cateto al cuadrado.
a 2  h2  b2 a 2  h2  b2
EJEMPLO: Hallar la longitud de la diagonal de una cancha de futbol olímpica que es
un rectángulo de 100 m de largo y 70 m de ancho.
70 m
100 m
Para conocer el valor de la diagonal utilizamos el teorema de Pitágoras, donde un
cateto vale 100m y el otro cateto 70 m. Reemplazando en la expresión tenemos:
h2  a 2  b2
h2  m2  (70m)2 Se eleva cada término al cuadrado
h 2  14900m 2
h 2  14900m 2
Se saca raíz cuadrada a ambos lados para despejar h
h  122.06m
El valor de la diagonal de la cancha de futbol es de 122,06 m.
ACTIVIDAD:
1. Calcula el valor de la hipotenusa en los siguientes triángulos:
a. a = 3
b=4
b. a = 30
b = 16
c. a = 12
b=5
2. Encuentra el valor del cateto faltante en los triángulos de hipotenusa y cateto
dado.
a. h = 9
b=4
b. h = 8
a=7
c. h = 250
b = 88
d. h = 650
b = 408
3. Resuelve los siguientes problemas:
a. Hallar la longitud de la hipotenusa de un triángulo rectángulo si las longitudes de los
catetos son 36 cm y 27 cm.
b. Si un bambú de 32 m de altura se dobla por la acción del viento de tal manera que
su extremo superior queda apoyado en el suelo a una distancia de 16 m de su base, ¿A
qué altura del suelo se doblo?
c. Un niño quería construir un corral rectangular para su conejo. Cuando termina midió
las dimensiones del corral y se dio cuenta que formaba un triángulo rectángulo cuya
base es de 54 pulgadas, y 30 pulgadas de largo. Si quiere encerrarlo con3 vueltas de
alambre, ¿cuantos metros de alambre necesita para poder hacer la cerca?
d. En un parque hay un jardín con forma de cuadrado y un lago en forma de triángulo
equilátero como se muestra en la figura.
a. ¿Cuánto tiene de lado el cuadrado?
b. ¿Cuál es el área del jardín?
c. ¿Cuál es el área del lago?
ANEXO 9
COLEGIO SAN AGUSTIN I.E.D
ASIGNATURA: GEOMETRÍA
PROFESOR: DIANA CARDENAS
GRADO NOVENO
NOMBRE: __________________________ FECHA: _______________
Tiempo estimado: Una hora de clase
Objetivo: Aplica el teorema fundamental de la proporcionalidad.
GUIA N° 1: Razones y proporciones
Dos ángulos complementarios están en la razón de 4 a 5. Hallar la medida de cada
ángulo.
Antes de iniciar es importante que recuerdes con ayuda de tu profesor los siguientes
conceptos y propiedades de las proporciones :
RAZÓN: Una razón es el cociente indicado entre dos cantidades p y q.
p
r
q
PROPORCIÓN: Una proporción es una igualdad entre dos razones
p s

q t
donde p y t representan los extremos y q y s son los medios.
PROPIEDADES DE LAS PROPORCIONES:
1. Propiedad fundamental de las proporciones: En toda proporción el producto de los
extremos es igual al producto de los medios.
p s

q t
entonces p  t  q  s
2. Si se invierten los términos de cada razón se obtiene otra proporción.
p s
q t
 entonces

q t
p s
3. La suma o resta de los términos de la primera razón es a su consecuente, como la
suma o resta de los términos de la segunda razón es a su consecuente.
p s
pq st


entonces
q t
q
t
ACTIVIDAD:
1. Expresar en forma de razón las siguientes expresiones:
a. Un equipo de futbol gano 14 partidos, empato 6 y perdió 8. Establece la razón
entre partidos ganados y empatados, ganados y perdidos, empatados y
perdidos.
b. Hay alrededor de 28 toneladas de silicio por cada 100 toneladas de corteza
terrestre ¿Cuál es la razón de silicio al peso de la corteza?
c. En el estado de Texas, de cada 1000 personas ,122 morirán de cáncer .Obtenga
la razón de aquellos que morirán de cáncer a cada mil personas de ese estado.
d. Hallar la relación entre las edades de dos niños de 10 y 14 años.
2. Determina si las razones dadas forman una proporción:
a.
4 12
y
5 15
b.
24 36
y
30 45
c.
55 121
y
60 132
d.
11 5
y
12 6
3. Determina el termino desconocido en cada proporción:
a.
24 4

x 3
b.
12 9

72 x
c.
25 x

40 64
d.
2
11

3 x3
e.
x 2
 si x  y  28
y 5
f.
x 15

si x  y  8
y 11
4. Resolver los siguientes problemas:
a. Un lápiz de 25 centímetros proyecta una sombra de 4 centímetros. ¿Cuánto mide
un árbol que proyecta una sombra de 1.20 metros?
b. Dos números están a razón 3/7. Si el menor de ellos es 189 ¿Cuál es el otro?
c. Una inversión de $5500 produjo un rendimiento de $385 en un año, otra
inversión produjo $560 a la misma tasa de interés durante el mismo tiempo.
¿Cuál era el valor de la segunda inversión?
d.
Dos obreros trabajan en un fábrica empacando calcetines, pero mientras uno
empaca 3 cajas, el otro empaca 7 cajas. Si el más hábil ha empacado 91 cajas,
¿cuántas habrá empacado el otro?
e. La suma de dos números es 2920 y se encuentra en razón 5/3. ¿Cuáles son los
números?
f. Dos ángulos suplementarios están a razón de 2 a 7. Encontrar sus medidas.
COLEGIO SAN AGUSTIN I.E.D
ASIGNATURA: GEOMETRÍA
PROFESOR: DIANA CARDENAS
GRADO NOVENO
NOMBRE: __________________________ FECHA: _______________
Tiempo estimado: Una hora de clase
Objetivo: Establece razones entre segmentos.
GUIA N° 2: Razón de dos segmentos.
La razón entre las longitudes de dos trozos de cuerda es de 4 a 5. Si el trozo mayor
mide 40 cm, ¿Cuánto mide el otro trozo?
La razón de dos segmentos es el cociente entre sus medidas.
AB
CD
SEGMENTOS
PROPORCIONALES:
Dos
segmentos
AB
y
EF
son
proporcionales a los segmentos BC y FG si:
AB BC

EF FG
EJEMPLO: Dados los siguientes polígonos halle la razón entre las longitudes de sus
lados y determine si son proporcionales.
HG FG

LK JK
Se plantea la proporción entre los lados de los rectángulos
4cm
3cm

Se reemplazan las medidas
6cm 4,5cm
4  4,5  3  6
18  18
Se aplica la propiedad fundamental de las proporciones
Se cumple la igualdad por lo tanto los segmentos son proporcionales.
ACTIVIDAD:
1. Si AB  6cm y AC  2cm , encontrar el valor de cada razón.
a. AB a AC
c. AC a AB
b. AB a CB
d. CB a AC
2. La razón entre las longitudes de dos segmentos es de 3 a 5. Si uno de ellos mide 30
cm, ¿Cuánto puede medir el otro?
3. Un segmento se divide en dos segmentos cuya razón es 5:3. Si la diferencia de las
longitudes de los segmentos que resultan es 4 cm, encontrar la medida de cada uno.
4. Se corto un cable en dos partes tales que guardan la proporción
2 5
= entre ellos. Si
3 2
el cable mide en total 200 m ¿Cuál es la medida de cada parte del cable?
5. En el siguiente dibujo la razón entre la medida de total del segmento AC y el
segmento AB es de
5
. ¿Cuál es la medida BC ?
2
COLEGIO SAN AGUSTIN I.E.D
ASIGNATURA: GEOMETRÍA
PROFESOR: DIANA CARDENAS
GRADO NOVENO
NOMBRE: __________________________ FECHA: _______________
Tiempo estimado: Dos horas de clase
Objetivo: Comprende y aplica el teorema de Thales en la solución de problemas.
GUIA N° 3: Teorema de Thales.
Teorema de Thales: Si tres o más rectas paralelas son cortadas por dos rectas
secantes entonces los segmentos determinados sobre los segmentos determinados
sobre las secantes son proporcionales.
AA ' BB ' CC ' l y s son secantes
Se construye un segmento CA ' .
a A' Z
c A' Z
en el CA ' C ', 
por teorema de rectas paralelas y

b CZ
d CZ
AB A ' B '

división proporcional. Igualando las expresiones tenemos:
.
BC A ' C '
En el ACA ',
I
Del teorema de Thales se obtienen aplicaciones importantes:



Si una recta es paralela a uno de los lados de un triángulo y corta a los otros
dos lados, entonces divide a estos dos lados en segmentos proporcionales.
Si unja recta divide dos lados de un triángulo en segmentos proporcionales,
entonces esa recta es paralela al tercer lado.
La bisectriz de un ángulo interno de un triángulo divide al lado sobre el que
se traza en segmentos proporcionales a los otros dos lados.
EJEMPLO: Encuentra la longitud de los segmentos si en la figura AD BE CF . Si
AB 14cm , BC  28cm y EF  32cm , hallar DE .
Por el teorema de Thales tenemos:
AB DE

BC EF
14cm
DE

28cm 32cm
14  32  28  DE
DE 
Reemplazando los valores tenemos:
Aplicando la propiedad fundamental de las proporciones
448
Despejando DE tenemos
28
DE  16cm
ACTIVIDAD:
1. Encontrar la longitud de los segmentos en cada caso:
a.
MO  42dm MO  42dm
MN  22dm MN  22dm
QR  20dm QR  20dm
PQ  ?
PQ  ?
b.
FJ  40m
GK  50m
IK  20m
HJ  ?
JL  ?
2. Una paralela a uno de los lados del triángulo determina en uno de los dos lados dos
segmentos de 35 cm y 15 cm. ¿Cuál es la medida de los segmentos determinados en el
otro lado si su medida es 60 cm?
3. Los lados de un triángulo miden 36 cm, 42 cm y 54 cm. En un triángulo semejante a
este, el lado homologo del primero mide 24 cm, halla la medida de los otros dos lados
de ese triángulo.
4. Los siguientes triángulos MNO y PQR son semejantes:
Encuentra la medida de los lados PQ, QR y del ángulo
5.
O.
En la siguiente figura BD CA. Dado que AE  12, EB  28, CE  15, AC  18.
Determina el valor de ED y BD
6. Hay dos fotografías de la misma persona, una de tamaño 3 cm x 4 cm que luego es
ampliada a 6 cm x 8 cm. Ambas son semejantes y tienen una misma proporción, ya que
una es ampliación de la otra tanto a lo ancho como a lo largo. Si se ampliara solo el alto
de la foto, es decir sus dimensiones fueran 3 cm x 8 cm ¿Cómo cambiaria el aspecto
de la foto?. Si en la foto inicial se maneja una escala 1:20, y en la realidad la cabeza
de la persona mide 25 cm. ¿Cuánto mide en la foto?
7. Demuestra el siguiente enunciado si ABC
AC y DF respectivamente, entonces
DEF , G y H son puntos medios de
BG AB

.
EH DE
8. Realiza la siguiente demostración si DE AC entonces.
BD BE

.
BA BC
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ASIGNATURA: GEOMETRÍA
PROFESOR: DIANA CARDENAS
GRADO NOVENO
NOMBRE: __________________________ FECHA: _______________
Tiempo estimado: Dos horas de clase
Objetivo: Demuestra cuando dos polígonos son semejantes
GUIA N° 4: Polígonos semejantes.
Los lados de un polígono miden 4 cm, 6 cm, 8 cm, 10 cm y 12 cm respectivamente.
¿Cuáles serian las medidas de un polígono semejante si su lado mayor mide 20 cm?
¿Cuál sería la constante de proporcionalidad entre los lados de los dos polígonos?
Dos polígonos son semejantes si existe una correspondencia entre sus vértices,
de modo que los ángulos correspondientes son congruentes y los lados
correspondientes son proporcionales.
La razón constante entre un lado del primer polígono y su lado correspondiente
en el segundo polígono se denomina razón de semejanza.
A  A´, B  B´, C  C´, D  D´.
AB
BC
CD
DE
Estos lados reciben el nombre de lados homólogos.



A´B´ B´C´ C´D´ D´E´
ACTIVIDAD:
1. Determinar si cada par de figuras son congruentes:
a.
b.
2. Escribe verdadero o falso según corresponda. Justifica tu respuesta.
a. Dos rectángulos de cualquier tamaño siempre son semejantes.______
b. Dos cuadrados sin importar su tamaño siempre son semejantes.______
c. Dos triángulos isósceles siempre son semejantes.______
d. Un paralelogramo y un trapecio son semejantes.______
3. Los lados de un paralelogramo mides 3 cm y 5 cm. Escribir las medidas de los lados
de tres paralelogramos semejantes a él y las medidas de los ángulos que se forman en
su interior.
4. Los polígonos ABCDE y A’B’C’D’E’ de la figura son semejantes. Si la razón de
semejanza es
1
y AB  4cm, ¿Cuál es la medida de A ' B ' ?
2
5. Dados los rectángulos ABDC Y EFGH que son semejantes
a. Escribir la razón entre sus lados.
b. Escribir la razón entre sus perímetros.
c. Hallar la razón entre sus áreas.
6. Un rectángulo MNPQ tiene 20 cm de base y 15 cm de altura. Calcular la base y la
altura de otro rectángulo M’N’P’Q’ semejante al primero, si se sabe que la razón de
semejanza es
5
.
3
COLEGIO SAN AGUSTIN I.E.D
ASIGNATURA: GEOMETRÍA
PROFESOR: DIANA CARDENAS
GRADO NOVENO
NOMBRE: __________________________ FECHA: _______________
Tiempo estimado: Dos horas de clase
Objetivo: Conoce y aplica los criterios de semejanza de triángulos en la solución de
problemas.
GUIA N° 5: Semejanza de triángulos
Un hombre de 1,75 m de altura proyecta una sombra de 2,5 m sobre el suelo, cuando
se encuentra a 7m del pie de un poste. ¿Cuál es la altura del poste?
TEOREMA FUNDAMENTAL DE LA SEMEJANZA DE TRIANGULOS:
Toda paralela trazada a un lado de un triángulo forma, con los otros dos lados, un
triangulo semejante al primero.
Hipotesis: ABC; DE AB
Tesis: DEC
ABC
Para determinar la semejanza entre dos triángulos existen tres criterios que son los
siguientes:
Primer criterio ángulo - ángulo (AAA): Si dos triángulos tienen los tres ángulos de uno
respectivamente congruentes con los tres ángulos del otro, entonces los triángulos son
semejantes.
Por ejemplo para ABC y PQR se cumple que:
A  P
B  Q
C  R
Luego, ABC
PQR
De este caso se puede concluir:



Dos triángulos rectángulos son semejantes si tiene un ángulo agudo
congruente.
Dos triángulos isósceles son semejantes si tienen congruentes el ángulo del
vértice o uno de los ángulos adyacentes de la base.
Dos triángulos son semejantes si tienen sus lados respectivamente paralelos
o perpendiculares.
Segundo criterio lado- ángulo –lado (LAL): Si dos triángulos tienen dos pares de
lados correspondientes proporcionales y los ángulos formados por esos lados son
congruentes, entonces los triángulos son semejantes.
Para los triángulos FGH y OPQ se cumple:
FG FH

OP OQ
F  O
Luego, FGH
OPQ
De este caso se puede concluir que dos triángulos rectángulos son semejantes si
tienen sus catetos proporcionales.
Tercer criterio lado – lado – lado (LLL): Dos triángulos son semejantes si sus tres
lados son respectivamente proporcionales.
Por ejemplo, para los triángulos DEF y PQR se cumple que:
PQ PR QR


DE DF EF
Luego, DEF
PQR
ACTIVIDAD:
1. Determinar si cada una de las siguientes afirmaciones es verdadera o falsa.
Justifica tu respuesta.
a. Cualquier par de triángulos equiláteros son semejantes.________
b. Si dos triángulos tienen un ángulo interior igual a 120°, entonces son
semejantes.______
c. Si los lados de dos triángulos son paralelos entonces son semejantes.______
2. Determina si los siguientes pares de triángulos son semejantes aplicando los
criterios de semejanza de triángulos.
a.
b.
c.
d.
3. En cada figura los triángulos son semejantes. Hallar el valor de los elementos
indicados.
a.
x?
y?
b.
BCA  ?
DCE  ?
DC  ?
4. En una carretera se observa una señal de transito que indica que la vía tiene una
pendiente de 15%, es decir, que cada 100 m medidos en la horizontal la carretera se
eleva 15m.
a. Determinar la elevación de la carretera si se miden 350 m de la horizontal.
b. Determinar la elevación de la carretera si se miden 1,5 Km en la horizontal.
5. Construye una figura semejante a la dada:
a. Un triangulo isósceles semejante a otro cuya base mide 4 cm y los ángulos de la
base tienen 40°.
b. Triangulo equilátero semejante a otro de 7 cm de lado.
6. Demuestra los criterios de semejanza de triángulos.