Ordenaciones (permutaciones) con reemplazo (repetición)

Introducción a la probablilidad
Análisis combinatorio
Permutaciones sin reemplazo:
Las permutaciones son las diferentes formas de ordenar una serie de objetos. Por lo tanto, cuando permutamos los objetos de un
conjunto, el orden es importante. Cuando hacemos una permutación sin reemplazo, los elementos del conjunto original sólo los
podemos usar una vez.
Los números {1, 2} se pueden permutar sin reemplazo de dos formas:
Primera forma = 1, 2
Segunda forma = 2, 1
Nota que si quitamos la coma de en medio de las permutaciones la primera forma crearía el número 12 y la segunda el número 21.
Dado que estos números no son iguales,
(12 ≠ 21) el orden en el que los acomodamos es importante.
Cuando tenemos un conjunto más grande, digamos los números del 0 al 9, es decir, el conjunto {0, 1, …, 9} y queremos saber
cuantas permutaciones tomando r elementos a la vez existen, podemos usar la fórmula:
n
Pr 
n!
n  r!
donde n es el conjunto original y r es el número de elementos que tomamos para permutar.
Por ejemplo, si queremos saber el número de cifras de 6 dígitos que podemos formar con los 10 números del conjunto original sin
repetir ningún número, es decir, sin reemplazo, entonces:
1
n = 10 porque existen 10 números en el conjunto original y
r = 6 porque queremos crear cifras de seis dígitos.
Entonces:
10!
 151,200 permutaciones sin reemplazo de seis dígitos
10 P6 
10 6!
Si preguntáramos cuántas cifras de 10 dígitos podemos hacer con esos 10 dígitos, entonces:
n = 10 porque existen 10 números en el conjunto original y
r = 10 porque queremos crear cifras de 10 dígitos.
Por lo tanto:
P 
10 10
10!
10! 10!


 10! 3628800permutaciones sin reemplazo de seis dígitos.
10 10! 0! 1
Por definición: 0! = 1.
Y cuando r = n
n
Pr  n!
Ejemplo 1:
Cinco personas: (a) Alan, (b) Beto, (c)Carmen, (d) Diana y (e)Ernesto, piensan sentarse en una banca en donde caben los cinco y
están discutiendo quien se sentará dónde. ¿De cuántas formas distintas se pueden acomodar en la banca?
2
Solución:
La pregunta que se está haciendo es ¿cuántas permutaciones sin reemplazo pueden hacerse? Es una permutación pues cómo
quedarán acomodados una vez que se sienten es importante, y es sin reemplazo porque cada uno de ellos, sólo puede sentarse en uno
de los lugares.
El conjunto original n son las cinco personas. Dado que los queremos sentar a los cinco al mismo tiempo, la r también es 5.
Por lo tanto:
P  5! 120 permutaciones distintas o formas distintas en las que se pueden acomodar en la banca.
5 5
Ejemplo 2:
Considera a las mismas 5 personas del ejemplo anterior, pero ahora supón que en la banca en la que se van a sentar solo caben tres de
ellos. ¿De cuántas formas distintas se pueden acomodar en la banca?
Solución:
La pregunta que se está haciendo es ¿cuántas permutaciones sin reemplazo pueden hacerse tomando 3 de ellos a la vez? Es una
permutación pues cómo quedarán acomodados una vez que se sienten es importante, y es sin reemplazo porque cada uno de ellos, sólo
puede sentarse en uno de los lugares.
El conjunto original n son las cinco personas. Dado que sólo podemos sentar a tres de ellos al mismo tiempo, la r ahora es 3.
Por lo tanto:
5!
 60 permutaciones distintas tomando 3 personas a la vez, o formas distintas en las que se pueden acomodar en la banca
5  3!
tomándolos de 3 en 3.
P 
5 3
Permutaciones sin reemplazo con restricciones
3
Si añadimos restricciones a lo qué estamos permutando, y a cómo lo podemos permutar, podemos usar las mismas fórmulas y
principios pero la forma en la que razonamos el problema y cómo lo planteamos es distinto.
Si tenemos el conjunto de números {0, 1, …, 9} y queremos armar cifras de seis dígitos sin repetir ninguno de los números,
algunas de las restricciones que podemos añadir podrían ser:
1) las cifras tienen que comenzar con cero, ó
2) las cifras no pueden tener como segundo número un 6, ó
3) las cifras tienen que comenzar con 2 ó 3, etc.
Los problemas los plantearíamos como:
1. ¿Cuántas cifras de seis números pueden hacerse si no repetimos ningún número y las cifras tienen que comenzar con
cero?
2. ¿cuantas cifras de seis números pueden hacerse si no repetimos ningún número y las cifras no pueden tener como
segundo número un 6?
3. Cuántas cifras de seis números pueden hacerse si no repetimos ningún número y las cifras tienen que comenzar con 2 ó
3.
Soluciones:
1. Dado que la cifra sólo puede comenzar con cero, el conjunto original se reduce de diez a nueve dígitos. Es decir, la primera posición
siempre será cero y por lo tanto sólo tenemos que acomodar los nueve números restantes (porque no hay repetición) en los cinco
espacios que nos quedan.
Entonces:
n= 9 y r=5
P 
9 5
9!
 15,120 cifras de 6 dígitos que empiezan con cero.
9  5!
2. Con la restricción de que el segundo número sólo puede ser un 6, tenemos un problema similar al anterior. El primer dígito puede
ser cualquiera de los nueve números que no son el seis. El segundo dígito es un seis. El tercer dígito es cualquiera de los ocho números
4
que no sean seis y que no sean el número que está ocupando la primera posición. En el cuarto dígito de la cifra podemos escoger uno
de siete números, en el quinto dígito uno de seis números y en el sexto uno de 5.
Entonces:
9 x 1 x 8 x 7 x 6 x 5 = 15,120
La forma alterna de plantearlo sería:
n=9 porque el seis lo estamos utilizando siempre en la segunda posición
r=5 porque sólo podemos acomodar los números de los dígitos que no son el segundo.
Entonces:
9!
 15,120 cifras de 6 dígitos que tienen como segundo dígito un seis.
9 P5 
9  5!
Esta es la misma respuesta que de el ejemplo anterior.
3. Si no pudiésemos repetir ningún número, y el primero dígito tuviese que ser 2 ó 3 entonces, el primer dígito sólo puede tener uno
de dos números. En el segundo dígito, uno de 9 números (porque sólo estamos utilizando ó el 2 ó el 3) En el tercero uno de ocho y así
sucesivamente.
Entonces:
2 x 9 x 8 x 7 x 6 x 5 = 30,240
La forma alterna de plantearlo sería:
9!
2
 30,240
9  5!
n=9 porque ya sea el 2 ó el 3 los estamos utilizando en el primer dígito.
r= 5 porque sólo tenemos que acomodar los números en el resto de los 5 dígitos de la cifra.
Y lo multiplicamos por 2 porque existen 2 alternativas en la primera cifra (los números 2 ó 3).
5
Ejemplo 1.
Considera a cinco personas: (p) paco, (q) quico, (r) ramona, (s) sara y (t) tito. Piensan subirse a un automóvil para cinco pasajeros
incluyendo al conductor. Uno de ellos tiene que conducir, y sólo Paco y Sara saben cómo. De cuántas formas distintas pueden
acomodarse?
Si maneja Paco:
n = 4 y r = 4, (hay que acomodar a 4 porque Paco ya tiene un lugar asignado: el del conductor), por lo tanto:
4
P4  4! 24 (porque n = r)
Si maneja Sara:
n = 4 y r = 4, (hay que acomodar a 4 porque Sara ya tiene un lugar asignado, el del conductor) por lo tanto:
4
P4  4! 24
Dado que estamos considerando las permutaciones distintas cuando Paco maneja y cuando Sara maneja:
Entonces:
2 4 P4  2 4! 48 formas distintas en las que se pueden acomodar las cinco personas en un coche si Paco o Sara manejan. (24 + 24)
Permutaciones con reemplazo:
Son las formas en las que podemos ordenar a una serie de elementos de un conjunto pero cuando estas pueden aparecer más de una
vez en la permutación. Por ejemplo, el conjunto de números {2, 3} tiene cuatro permutaciones:
Primera forma:
6
2, 2
Segunda forma
Tercera forma:
Cuarta forma:
2, 3
3, 2
3, 3
Si quitamos las comas de en medio de los números obtendríamos los números: 22, 23, 32 y 33. Por lo tanto, el orden importa.
Un ejemplo de permutaciones con repetición son los números telefónicos. Todos están compuestos de 8 dígitos donde el conjunto
original es el conjunto {0, 1, …, 9} y los números pueden repetirse.
La fórmula para calcular Permutaciones con reemplazo es:
n
Rr  n r
donde n es el conjunto original y r es el número de elementos que vamos a tomar para permutar.
En el caso de los número telefónicos,
n=10 y r= 8
Si no hubiese ninguna restricción la cantidad de números telefónicos posibles sería de:
10
R8 108
pues en cada uno de los 8 dígitos, podríamos escoger uno de 10 números. Es decir las opciones posibles serían de 10 x 10 x10 x 10
x10 x 10 x10 x 10 ó 106. Lo cual nos da todos los números posibles que existen del 0 (00,000,000) al 99,999,999. es decir cien
millones de números distintos.
Ahora, si la restricción es que los números telefónicos deben empezar con 55 ello nos deja sólo 6 dígitos en donde acomodar los
números. Dado que se pueden repetir, usamos la misma fórmula pero ahora r = 6. n sigue siendo 10 pues podemos usar cualquiera de
los 10 dígitos del conjunto original.
7
Por lo tanto:
10
R6 106 = 10,000,000 (diez millones de números telefónicos distintos de ocho dígitos que empiezan con 55).
Si añadimos una restricción más: que comiencen con 55 y que el tercer dígito no sea 4. Entonces ya sabemos cuáles son los primeros
dos números y sabemos que el tercero sólo pueden ser 9 números (los que no son el 4). Entonces, nos que dan 5 dígitos en los que
realizamos permutaciones con reemplazo y los multiplicamos por 9 porque estas son las opciones que existen para el tercer dígito.
Usamos la misma formula pero ahora r = 5. n sigue siendo 10 pues podemos usar cualquiera de los 10 dígitos del conjunto original.
910 R5  9 105 = 900,000 (novecientos mil números telefónicos distintos de ocho dígitos que empiezan con 55 y en los que el segundo
dígito no es 4).
Ejemplo 1:
Para los detalles finales de una construcción, un arquitecto tiene que asignar 3 labores (resanar, pintar y limpiar) a 5 de sus
trabajadores. Todos los trabajadores pueden hacer cualquiera de las labores y el arquitecto podría asignar más de una labor a un
trabajador. ¿De cuántas formas puede asignar las labores?
Solución:
Se tienen que asignar 3 labores entre cinco trabajadores, pero un trabajador podría hacer una, dos o tres labores. Por lo tanto si se
selecciona a un trabajador para resanar luego se puede seleccionar a ese mismo trabajador para pintar y luego para limpiar. Entonces,
es un problema de permutación con reemplazo.
Por lo tanto:
n =5 porque son 5 trabajadores
r =3 son tres trabajos que se asignan entre los trabajadores.
5
8
R3  5 3 = 125 formas distintas de asignar los tres trabajos entre los trabajadores.
Ejemplo 2:
Si en el ejemplo anterior, uno de los trabajadores sólo sabe resanar y ninguno de los otros 4 lo saben hacer. ¿Cuántas formas de
asignar las tareas existen?
Solución:
Sabemos que una de las tareas las tiene que hacer un trabajador específico, por lo tanto, sólo queda repartir dos tareas entre cuatro
trabajadores porque el que sabe resanar, sólo sabe resanar y no sabe pintar ni limpiar. El resto, puede pintar y limpiar pero no sabe
resanar.
Por lo tanto:
n=4 y r=2
R2  4 2 =12 formas de asignar las tres tareas entre 5 trabajadores cuando uno de ellos sólo sabe resanar y los demás sólo saben pintar
y limpiar.
4
Permutaciones cíclicas o circulares:
Se utilizan cuando queremos ordenar objetos o cosas alrededor de algún círculo. Lo importante es la posición relativa entre
ellos. La fórmula que utilizamos es
n
PCr  (n 1)!
Ejemplo:
De cuantas formas se pueden ordenar a tres personas alrededor de una mesa redonda:
9
Nota que:
=
=
=
=
Y que
ó
PC 3  (3 1)!
= 2!
= 2 formas.
3
Cuando un problema que involucra el ordenar elementos alrededor de un círculo tiene restricciones de personas u objetos que
se tienen que sentar o estar juntas, a las personas u objetos que tienen que estar juntos, los tomamos como un sólo elemento dentro del
problema cíclico pero consideramos las diferentes formas en que los podemos ordenar por sí mismos.
Por ejemplo, si vamos a ordenar a cinco personas alrededor de una mesa: (a) Alan, (b) Beto, (c)Carmen, (d) Diana y
(e)Ernesto, pero e y d tienen que sentarse juntos, tomamos a e y d como un solo elemento, por lo cual ahora tenemos que ordenar a 4
elementos alrededor de la mesa: a, b, c, y {d, e}. Entonces n = 4. Dado que , e y d pueden permutarse de dos formas porque Diana
puede sentarse a la derecha o a la izquierda de Enrique entonces:
2 4 PC 4  2  (4 1)! = 12. Formas distintas de ordenar a 5 personas alrededor de una mesa si dos de ellas tienen que sentarse juntas.
Permutaciones con elementos indistinguibles:
10
Los elementos que se presentan dentro de un conjunto y que para fines prácticos son lo mismo, los llamamos elementos
indistinguibles. Por ejemplo, si consideramos a la palabra “oso” como un conjunto de letras, esta palabra tendría a dos objetos
indistinguibles: las dos “o”.
Si permutáramos las letras de esta palabra, sería lo mismo poner una “o” en lugar de la otra pues no nos percataríamos de la
diferencia. Así pues, lo que nos interesa es el número de permutaciones distinguibles. Las posibilidades serían;
Primera permutación
Segunda permutación
Terceta permutación
oso
oos
soo
La formula para obtener el número de permutaciones distinguibles teniendo en cuenta a los objetos indistinguibles es:
Pnn 1 ,n 2 ,.. .,n k 
n!
n1!n2 !... n k!
donde n es los elementos del conjunto original y las ni el número de objetos indistinguibles de cada tipo.
Para el ejemplo de la palabra “oso”, n = 3 porque hay tres letras en la palabra, y n1 sería 2 pues las “o” se repiten 2 veces.
Entonces:
3!
2
P3  = 3 permutaciones distinguibles.
2!
Ejemplo 1:
¿Cuantas palabras distintas se pueden formar con las letras de la palabra “silogismo”
Como la palabra tiene 9 letras, n = 9.
Las s se repiten 2 veces y las o se repiten dos veces, por lo tanto ns = 2 y no = 2
Entonces:
11
P9 
2,2
9!
= 90, 720 palabras distintas.
2!2!
Combinaciones:
Existen casos en los que queremos crear subconjuntos en donde el orden en el subconjunto no importa. Por ejemplo, comités
sindicales o grupos de estudio de estudiantes en una clase, o simplemente crear subconjuntos a partir de un conjunto original de
objetos. Lo que preguntamos es de cuántas formas podemos crear subconjuntos de tamaño r, o tomando r elementos a la vez. La
fórmula que utilizamos es:
n
Cr 
n!
r!n  r!
dónde n es el conjunto original y r es el número de elementos que tomamos de ese conjunto para crear los subconjuntos.
Si queremos saber cuantos subconjuntos podemos crear de un conjunto original de 5 elementos tomando 2 de ellos a la vez entonces n
=5 y r =2.
Supón que el conjunto original de cinco elementos es el de las vocales {a, e, i, o, u}. Si tomamos dos elementos a la vez, utilizando la
fórmula tendríamos:
5
C2 
5!
 10 subconjuntos tomando 2 elementos a la vez.
2!5  2!
Esto lo podemos comprobar escribiendo los subconjuntos, tomando dos elementos a la vez:
{a, e}, {a, i}, {a, o}, {a, u}
{e, i}, {e, o}, {e, u}
{i, o}, {i, u}
{o, u}
12
Nota que aquí el orden no importa: {a, e} = {e, a}.
Ejemplo 1.
Considera a cinco personas: (p) Paco, (q) Quico, (r) Ramona, (s) Sara y (t) Tito. Quieren enviar a una comisión de tres
personas para ir a la biblioteca por libros para todos. Todos los que vayan en la comisión harán las mismas cosas. ¿De cuántas formas
pueden escoger a la comisión de tres personas?
Solución
Aquí el conjunto original son las cinco personas, por lo tanto n = 5. Como la comisión es de tres miembros, vamos a tomar a tres de
ellos a la vez y armar los subconjuntos posibles. Por lo tanto r = 3. Usando la fórmula, tenemos que:
5
C3 
5!
 10comisiones tomando a tres personas a la vez.
3!5  3!
Si escribimos los subconjuntos éstos serían:
{p, q, r}, {p, q, s}, {p, q, t}, {p, r, s}, {p, r, t}, {p, s, t}
{q, r, s} {q, r, t}, {q, s, t},
{r, s, t}
Combinaciones con restricciones.
A estas combinaciones podemos añadir restricciones. Por ejemplo, que ciertos elementos tengan que estar dentro de un
subconjunto, o que los subconjuntos tengan ciertas características.
Usando a las mismas personas del ejemplo anterior, : (p) Paco, (q) Quico, (r) Ramona, (s) Sara y (t) Tito, supón que ahora
quieren mandar una comisión de tres personas pero que contenga a dos hombres para que carguen los libros y a una mujer para que
haga los trámites que se necesitan. El conjunto original ahora lo vamos a dividir en dos, uno de hombres con tres elementos {p, t, q} y
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otro de mujeres de dos elementos {r, s}. Del conjunto de hombres tenemos que encontrar el número de subconjuntos tomando dos
elementos a la vez y del de mujeres el número de subconjuntos posibles tomando un elemento a la vez.
Hombres:
n = 3, r = 2
3
C2 
3!
3
2!3  2!
Mujeres:
n = 2, r = 1
2!
2
2 C1 
1!2  1!
Dado que podemos seleccionar a los dos hombres que irán en la comisión de tres maneras y podemos seleccionar a la mujer que irá en
la comisión de 2 formas, entonces el número total de formas de escoger una comisión de dos hombres y una mujer es:
2 x 3 = 6 formas.
Ejemplo 1.
La comisión de hacienda de la cámara de diputados está conformada por 8 miembros del PAN, 6 del PRI, 4 del PRD, 1 del PEVEM,
1, del PT, 1 del PAS y 1 más del PCN. Tienen que formar una subcomisión de 8 miembros, de los cuales 3 tienen que ser del PAN, 2
del PRI, 2 del PRD, y uno de cualquiera de los partidos restantes. Todos los miembros de la comisión tendrán las mismas facultades.
¿De cuántas formas pueden elegir a los miembros de la comisión?
Solución:
Existen 8 diputados del PAN de los cuales tenemos que seleccionar a 3;
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Seis del PRI de los cuales tenemos que seleccionar a 2;
Cuatro del PRD de los cuales tenemos que seleccionar a 2;
Y cuatro del resto de los partidos de los cuales se seleccionará a uno.
Por lo tanto tenemos que encontrar cada una de las combinaciones por partido y luego multiplicarlas entre si para encontrar el número
total de combinaciones posibles o de subcomisiones posibles.
Entonces:
8
C3 6 C2 4 C2  4 C1
PAN
PRI
PRD
OTROS
8!
6!
4!
4!




3!8  3! 2!6  2! 2!4  2! 1!4  1!
 56 15 6  4  20,160 formas distintas de escoger una subcomisión de ocho miembros donde tres son del PAN, dos del PRI, dos
del PRD, y uno de otros partidos.
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