Ejercicio 1

ESTADISTICA Y SUS APLICACIONES EN CIENCIAS SOCIALES.
Primer Parcial
Montevideo, 24 de mayo de 2014.
Nombre: _________________________________________ Horario del grupo: ____________________
C.I.:
_____________________________ Profesor: ________________________________________
Ejercicio 1(10 puntos)
El Ministerio de Salud Pública ha investigado la proporción de mujeres en Uruguay que ha sufrido
alguna forma de violencia doméstica en algún momento de su vida, mediante la realización de una
encuesta a 1200 mujeres por muestreo aleatorio simple.
a. En la muestra aleatoria seleccionada se encontró que 300mujeres declaran haber sufrido alguna
forma de violencia doméstica. Construya el intervalo de confianza para la proporción poblacional de
mujeres víctimas de violencia doméstica con una confianza del 95%.
b. Si la muestra seleccionadahubiera sido de 400 mujeres, con el mismo valor para , ¿Cómo
cambiaría el intervalo obtenido? Responday fundamente sin calcular el nuevo intervalo.
Ejercicio 2 (12 puntos)
Se busca estudiar la relación entre los niveles educativos de la población de una región, descritos
por la variable X cuyos valores 1,2 y 3 indican bajo, medio y alto respectivamente, con los niveles de
aprobación de medidas de protección del medio ambiente, descrita por la variable Y cuyos valores
indican 1 desaprueba, 2 ni aprueba ni desaprueba y 3 aprueba.La distribución conjunta de ambas
variables se presenta en el siguiente cuadro:
P(X,Y)
X
1
2
3
Y
1
0,10
0,15
0,02
2
0,02
0,20
0,10
3
0,01
0,05
0,35
Se pide:
a) Obtenga las cuantías marginales de ambas variables aleatorias.
b)Obtenga el valor esperado del nivel de aprobación.
c)Calcule el valor esperado de la aprobación condicional en los tres valores del nivel educativo, y
comente comparando con el resultado obtenido en el punto anterior.
d)Calcule la covarianza de (X,Y), interpretando el resultado. Recuerde que COV(X,Y)=E(XY)–
E(X)E(Y).
e)¿Son X y Y variables aleatorias independientes? Fundamente brevemente.
Ejercicio 3 (10 puntos)
Se sabe que un 54% de los beneficiarios de un programa de capacitación logran encontrar empleo
dentro los tres meses luego de concluidos los cursos. En cierto período pasan por el programa 15
personas.
a) Calcular la probabilidad de al menos 12 de los que realizaron los cursos consigan empleo.
b) Calcular la probabilidad de que ninguno de los que participaron encuentre empleo.
c) Hallar el número de personas que se espera que encuentren empleo en los tres meses
posteriores al curso.
Ejercicio 4 (8 puntos)
Los resultados de encuestas permiten inferir que en la población de votantes, un 48% votaría por el
Frente Amplio en la próxima elección. A su vez se informa que el 52% de los votantes del Frente
Amplio están en contra de la baja de la edad de imputabilidad penal, mientras que entre los votantes
no frenteamplistas el porcentaje de apoyo es 71%. Se selecciona al azar una persona de la
población votante, que declara estar a favor de la baja. ¿Cuál es la probabilidad de que sea un
votante frenteamplista?
SOLUCION
Ejercicio 1(10 puntos)
a.
La muestra es grande (n=1200). La distribución muestral aproximada de la proporción muestral es
El estadístico a utilizar es:
No conocemos
, usamos la muestral:
El intervalo de confianza surge de la expresión:
Intervalo aleatorio:
En nuestro caso
y
Intervalo de confianza:
b.
Si el tamaño muestral es menor la desviación estándar se incrementa, por lo tanto el intervalo
aleatorio es más amplio, se reduce la precisión de la estimación (el nivel de confianza se mantiene).
Ejercicio 2 (12 puntos)
P(X,Y)
X
1
2
3
Y
1
0,10
0,15
0,02
2
0,02
0,20
0,10
3
0,01
0,05
0,35
Se pide:
a) Obtenga las cuantías marginales de ambas variables aleatorias.
PX(x) =
PY(y) =
0,10 + 0,02 + 0,01 = 0.13
x=1
0,15 + 0,20 + 0,05 = 0.40
x=2
0,02 + 0,10 + 0,35 = 0.47
x=3
0,10 + 0,15 + 0,02 =
0.27
y=1
0,02 + 0,20 + 0,10 =
0.32
y=2
0,01 + 0,05 + 0,35 =
0,41
y=3
b) E(Y) = 0.27 · 1 + 0.32 · 2 + 0.41 · 3 = 2,14
c)
PY/x=1(y/X = 1) =
0,10 /0,13= 0,77
y=1
0,02 /0,13 = 0,15
y=2
0,01 /0,13 = 0,08
y=3
PY/x=2(y/X = 2) =
PY/x=3(y/X = 3) =
0,15 /0,40= 0,375
y=1
0,20 /0.40 = 0,50
y=2
0,05 /0,40 =
0125
y=3
0,02/0,47
= 0,04
y=1
0,10/0,47 =
0,21
y=2
0,35/0,47=
0,75
y=3
E(Y/X = 1) = 1 * 0.77 + 2 * 0.15 + 3 * 0.08 = 1,31
E(Y/X = 2) = 1 * 0.375 + 2 * 0.50 + 3 * 0.125 = 1,75
E(Y/X = 3) = 1 * 0.04 + 2 * 0.21 + 3 * 0.75 = 2,70
El valor esperado del nivel de aprobación crece con el nivel educativo.
d) Calcule la covarianza de (X,Y), interpretando el resultado. Recuerde que COV(X,Y)=E(XY)–
E(X)E(Y).
Se obtiene
E(XY) = 1 *1* 0.1 + 1 *2* 0.02 + 1*3* 0.01 + 2 *1* 0.15 + 2 *2* 0.2 + 2 *3* 0.05 + 3*1* 0.02 + 3 *2* 0.1
+ 3 *3* 0.35 = 5,38
E(X) = 0.13 · 1 + 0.40 · 2 + 0.47 · 3 = 2,34
Por lo tanto
COV(X,Y) = E(XY) – E(X) E(Y) = 5,38 – 2,14*2,34 = 0,372
e) ¿Son X y Y variables aleatorias independientes? Fundamente brevemente.
No son independientes.No se cumple PXY(x,y) = PX(x) PY(y). Por ejemplo
PXY(1,1)= 0,10 ≠ PX(x) PY(y) = 0,13· 0,27
El valor esperado del nivel de aprobación crece con el nivel educativo.
Ejercicio 3 (10 puntos)
Suponemos que hay independencia en si las personas consiguen trabajo. El resultado de cada persona
es un experimento tipo Bernoulli. Hay 12 repeticiones independientes, por lo que se puede definir:
X = “número de personas que consigue empleo entre 15 que hacen el curso”.
a)
=
0,0000968 + 0,001237 +0,007376 + 0,02722 = 0,03593
b)
=0.0000087
c) E(X) = n.p = 15 × 0,54 = 8,1
Ejercicio 4 (8 puntos)
Tomamos los eventos FA= es votante del Frente Amplio; F =está a favor de la baja; FA C=no es
votante del Frente Amplio; FC= está en contra de la baja de la edad.
Conocemos P(FA)=0,48 y P(FC/FA)=0,52 con lo que P(F/FA)=0,48, a la vez que P(F/FAC)=0,71 y
P(FC/FAC)=0,29 . Se pide la probabilidad: P(FA/F)= P(FA∩F)/P(F).
Tenemos que P(FA∩F)= P(F/FA)·P(FA)=0,48·0,48=0,23
Con respecto a P(F), tenemos
P(F) = P(F∩FA)+ P(F∩FAC) = P(F/FA)P(FA)+ P(F/FAC) P(FAC) = 0,48·0,48 + 0,71·0,52 = 0,59.
Por lo tanto: P(FA/F)= P(FA∩F)/P(F) = 0,23 /0,59=0,38