ble -t(X" x:~).. `X:.n,) :tn.

Ecuaciones Diferenciales
Por: CARLOS LEMOINE
Es claro que dada una funcion indefinidamente diferenci~
ble
-t(X"
x:~).. 'X:.n,)
una funcion
( j
'U
puede existir un operador diferencial P(D)
que sea indefinidamente diferenciable
y no 10 sea en
<. n)
fe:x:"
Ejenplo
X~)
=0
En 'Xl}'"
y
Xj
:tn.
Xj ..,,'"
PCD)= Dx,
tiene como
so IuctSn
cualquier
funcion dependiente solamente de y.
Voy a dar una condicion suficiente para que un operador
con coeficientes indefinidamente diferenciables P(x7D) sea tal
si
qE
es la so IucfSn de la scuac i Sn P(x,D)u
u
es indefinidamente derivable en las primeras
j
=
f
E
COO
variables, tam -
bien 10 sea en las ultimas m - j.
Usando las notaciones de Hormander (Linear Partial
Dif~
ferential Operators) 'el resultado se puede enunciar asi:
Sea Q,
Teorema 1.
finido en
Q
un abierto de "R"
u
i Sn
indefinidamente derivable en
una distribucion que satisface a
I ) Existe
Ko(~) E
k
( para todo Y entero posi tivo )
ii)
entonces
10
u
P(x7D)u
=
f
y
sea parcialmente hipoellptico re~
pecto de x"= 0, si f es una runc
y
P(x,D) un operador d~
con coeficientes indefinidamente derivables,
tal que' en un punto Xo de ~
5G
7
en
Q ,
es indefinidamente derivable en~.
Ejemplo
o...:C'X:)+L
satisface las condiciones enunci~
o...<J.('X)DcI.
1.,(1<.11\.
;'= (~I ) ... ) ~rH)}
das si tomamos
~/I
= ~"'"
Bi.bliograf{a.
Linear Partial Differential Operators: D. L. Hormander, 1963,
Springer-Verlag-Berlin~
Gottingen~ Meildelberg.
-
0 -
Filtros Minimales de Cauchy
Por~ JAIRO CHARRIS
Teorema
8i
es un espacio uniforme tal que
(x) y..()
X
sistema fundamental de entornos de
X
minimal de Cauchy de
En ef'ec
t o , si "
ces
S
es una base de
tal que
(W'l1)"'~N
(sim&tricos), todo filt~
es un filtro minimal de Cauchy, enton-
IA
E ~
}
Como por otra parte, para cada n existe
A'tI 'J. A"" ~ ltV.,., si formamos ,BH
= ~ W,.,..(All)
\
'YI
E
es una base, claramente enumerable. En efecto: si F
F 2. W(A),
W E'W,
A E
ver que W",,(A'tt) ~ WCA).
(y,x) E
c W,.,
es un
tiene una base numerable.
= ~ Wl'o CA )
1T.
(S. C. M. )
En
0]1 • si
tomamos
w; I
~'lI
ef'ecto, sea y E W'tt<A-:J'
W.." • Si tomamos z E A.,., (\
:L
entonces (y,z) E W-K. ~ W
Af
I
Btl
W
vamos a
x: € A",
tal que
~
+ ~ se tiene:
y por tanto
N ~
E ~
A""E 1f
(xv
z) EA,.'i.Art
y E WCA)
10
cual completa la demostracion.
11