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Soluciones a “Ejercicios y problemas”
PÁGINA 186
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■ Resuelve problemas
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Para calcular la altura de un árbol, Eduardo ve la copa reflejada en un charco y
toma las medidas que indica el dibujo. ¿Cuál es la altura del árbol?
162 cm
1,2 m
4m
Por semejanza de triángulos:
4 = x 8 x = 5,4 m
1,2 1,62
46
x
1,62 m
a
1,2 m
a
4m
¿Cuál es la profundidad de un pozo, si su anchura es 1,5 m y alejándote 0,5 m
del borde, desde una altura de 1,7 m, observas que la visual une el borde del pozo
con la línea del fondo?
1,7 m
0,5 m
x
Por semejanza de triángulos:
1,5 = x 8 x = 5,1 m
0,5 1,7
a
1,5 m
En un círculo de 52 cm de diámetro se traza una cuerda a 10 cm del centro.
Halla el área del cuadrilátero que se forma uniendo los extremos de la cuerda con
los del diámetro paralelo a ella.
26
47
52 cm
9
x
10
Unidad 9. Problemas métricos en el plano
x = √262 – 102 = 24 cm
A () = (48 + 52) · 10 = 500 cm2
2
9
Soluciones a “Ejercicios y problemas”
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Ejercicio resuelto
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Hallar el radio de un arco de 100,48 m de longitud y 72° de apertura (π = 3,14).
• Calculamos la longitud de la circunferencia:
l = 100,48 8 l = 502,4 m
360°
72°
• Hallamos el radio: 2πr = 502,4 m
• Despeja r y termina el problema.
2πr = 502,4 8 r = 502,4 ≈ 79,96 m
2π
49
Calcula la medida, en grados, de un arco que mide 31,4 cm correspondiente a
una circunferencia de 471 cm de longitud (π = 3,14).
l = 2π · r = 471 8 r = 471 = 75 cm
2π
l = 2π · 75 · () = 31,4 8  = 24°
360°
50
Se quiere renovar con material sintético, que cuesta 15 €/m2, el piso de una
pista de atletismo como la que ves en la figura, compuesta por 8 calles de 1 metro de
anchura. ¿Cuál es el presupuesto para la compra del material?
112 m
110 m
A = π · 92 – π · 12 + 2 · (110 · 8) ≈ 2 011,33 m2
 = 2 011,33 · 15 ≈ 30 170 €
51
El área de una corona circular es 20π cm2, y la circunferencia interna mide
8π cm. Calcula el radio de la circunferencia externa.
8π = 2 · π · r1 8 r1 = 8π = 4 cm
2π
20π = π · r 22 – π · 42 8 r2 = √36 = 6 cm
Unidad 9. Problemas métricos en el plano
r2
r1
Soluciones a “Ejercicios y problemas”
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Calcula la superficie que ocupa, cerrado, el sobre que ves
en la figura, sabiendo que la solapa es un triángulo equilátero
y que si lo cierras, el vértice V cae exactamente sobre el centro, C, del lado opuesto.
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C
V
15 cm
C
15
x
()
152 + x
2
V
x
15 cm
53
15 cm
2
= x 2 8 225 = 3 x 2 8 x = √300 ≈ 17,32
4
S  ≈ 17,32 · 15 = 259,8 cm2
Calcula el área del triángulo curvilíneo comprendido entre tres circunferencias tangentes iguales de 5 cm
de radio.
Como es un triángulo equilátero, sus ángulos son de 60°.
60°
60°
m
2
A ° = π · 5 · 60° ≈ 13,09 cm2
360°
5c
9
60°
Aplicamos la fórmula de Herón para hallar el área del triángulo de lado 10 cm:
s = 30 = 15 8 A = √15 · (5)3 ≈ 43,3 cm2
2
A  = 43,3 – 3 · 13,09 = 4,09 cm2
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a) A un cuadrado de 1 dm de lado le cortamos triangulitos
isósceles en las cuatro esquinas. Calcula x para que el octógono
resultante sea regular.
b) Calcula el área de un octógono regular de 8 cm de lado.
a) x 1 – 2x
Ä
√2x 2
√2x 2 = 1 – 2x 8 √2 · x = 1 – 2x 8
8 (2 + √2)x = 1 8 x =
1
= 0,35 dm
2 + √2
b) x 2 + x 2 = 82 8 x = √32 ≈ 5,66 cm
Lado del cuadrado = 5,66 · 2 + 8 = 19,32 cm
Área del octógono:
2
A = (5,66) = 16,02 cm2
2
A = 373,26 – 4 · 16,02 = 309,18 cm2
A = (19,32)2 ≈ 373,26 cm2
O bien:
A = Perímetro · apotema = 8 · 8 · (19,32 : 2) = 309,12 cm2
2
2
(La apotema del octógono es la mitad del lado del cuadrado).
Unidad 9. Problemas métricos en el plano
x
x