6. Modelos kt-kd diarios, Cáceres

Obtención de modelos kt kd en Cáceres y análisis de metodologías de estimación de
valores diarios de irradiación directa normal
6. MODELOS KT-KD DIARIOS, CÁCERES
Una vez realizado el control de calidad de los datos registrados en la estación de
Cáceres se descartan, para el desarrollo del modelo de descomposición diaria, aquellos
días que no hayan registrados sus variables correctamente a lo largo de todo el día y se
integran los valores 5-minutales para conocer el valor diario de cada una de las
variables.
Conocido el valor de la irradiación diaria para todos los días válidos del período,
calculamos para cada uno de ellos los coeficientes Kt y Kd definidos en el apartado 3:
Kt =
H d gh
H d oh
H d dfh
Kd = d
H gh
[6.1]
[6.2]
Para el cálculo del coeficiente Kt necesitamos primero conocer la irradiación
extraterrestre diaria que alcanza la atmósfera proyectada sobre una superficie
horizontal mediante la siguiente expresión:
H d0 =
24
π
I CS E 0 (
πω S
180
senφsenδ + cos φ cos δ cos ω i )
[6.3]
El cálculo del coeficiente Kd lo haremos de dos formas diferentes, para poder
comparar los resultados y detectar algún posible fallo en la medida que haya pasado
desapercibido al aplicar los filtros. La primera forma será utilizando directamente el
valor de la irradiación difusa diaria sobre superficie horizontal que obtuvimos en el
apartado anterior, y la segunda, calculando los valores de difusa a partir de los de
irradiación directa normal mediante la siguiente expresión:
K dD
H d gh − H d D 0
=
H d gh
[6.4]
Pág. 27 de 90
Obtención de modelos kt kd en Cáceres y análisis de metodologías de estimación de
valores diarios de irradiación directa normal
Como el valor de la altura solar varía a lo largo del día, no podemos obtener la
irradiación directa sobre superficie horizontal diaria proyectando directamente los
valores de irradiación directa normal diarios. Así que se calculará para cada valor de
irradiancia directa normal almacenado cada 5 minutos su altura solar correspondiente
y se calculará su proyección sobre superficie horizontal para cada uno de los valores
generando una nueva columna de valores instantáneos de irradiación directa
horizontal:
I D 0 = I Dn ⋅ sen(α )
[6.5]
Integrando estos valores como hacemos con el resto de las variables, hallamos la
irradiación directa diaria sobre superficie horizontal que será la que restaremos a la
irradiación global horizontal diaria en la expresión 6.3. El coeficiente que obtendremos
aplicando este procedimiento lo denominaremos KdD para diferenciarlo del Kd donde
aplicamos directamente la irradiación difusa registrada.
Una vez calculados los coeficientes para cada uno de los días del período de estudio,
representamos los puntos Kt- Kd- y los kt-KdD:
kt-kd diario, Cáceres
1.2
1
kd
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
kt
Figura 1. Representación de los valores Kd-Kt diarios obtenidos con los datos de irradiación difusa
medidos en la estación de Cáceres.
Pág. 28 de 90
Obtención de modelos kt kd en Cáceres y análisis de metodologías de estimación de
valores diarios de irradiación directa normal
kt-kdD diario, Cáceres
1.200
1.000
kdD
0.800
0.600
0.400
0.200
0.000
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
kt
Figura 2. Representación de los valores Kt-KdD diarios obtenidos con los datos de irradiación directa
normal medidos en la estación de Cáceres.
Podemos observar que la nube de puntos representada en ambas figuras es muy
similar, lo que refleja que el control de calidad de los datos ha sido el adecuado.
Para aproximar los puntos representados en las figuras por un modelo matemático,
emplearemos varios tipos de ajustes. En primer lugar, probaremos con un ajuste lineal
de la nube de puntos y en segundo lugar con ajustes polinómicos de tercer y cuarto
orden. La metodología que emplearemos para obtener los diferentes ajustes será la
misma que se empleó en el proyecto fin de carrera “Obtención de modelos kd-kt
horario y diario a partir del análisis de datos medidos en la estación radiométrica de la
Escuela Superior de Ingenieros de Sevilla” para obtener los modelos con los datos del
GTER, pudiendo así comparar con mayor rigor los resultados en ambos
emplazamientos. A continuación se describe la metodología empleada en cada uno de
los ajustes:
6.1 AJUSTE LINEAL
Se aproximará la nube de puntos representada en las figuras 1 y 2 por un modelo lineal
formado por 3 intervalos, dos intervalos donde el valor de Kd se considerará
Pág. 29 de 90
Obtención de modelos kt kd en Cáceres y análisis de metodologías de estimación de
valores diarios de irradiación directa normal
constante, y otro donde se ajustará el resto de valores con una recta de pendiente
negativa. Para saber el valor de Kt que delimita el comienzo y el fin de uno y otro
intervalo, seguiremos el siguiente procedimiento:
1. Calculamos la recta realizando un ajuste en el sentido de los mínimos
cuadrados con todos los puntos representados en la figura.
2. Comprobamos si el valor de Kd, al sustituir en la ecuación de la recta obtenida
el menor Kt de la nube de puntos, es mayor que 1. Si es así, pasamos al
siguiente punto, si no, ya hemos encontrado el valor de Kt antes del cual los
puntos serán aproximados por una recta horizontal de valor el Kd calculado y
pasamos al punto 4.
3. Si el valor de Kd ha sido mayor que 1 probaremos a hacer un nuevo ajuste con
los puntos que tengan un Kt mayor que el menor de los incluidos en el paso
anterior. Y volvemos al punto 2º.
4. Para obtener el segundo tramo horizontal comprobamos si al sustituir el valor
del mayor Kt de la nube de puntos en la ecuación de la recta se alcanza un Kd
menor que el mínimo que ha sido representado en los puntos. Si esto es así,
debemos recalcular la ecuación excluyendo del ajuste todos los puntos cuyos Kt
sean mayores o iguales que último Kt incluido, e ir de nuevo al punto 2. Si no, el
último Kt incluido en el ajuste de la recta será el límite del tramo horizontal de
valor su Kd correspondiente y hemos completado el modelo.
Para el ajuste de la recta de pendiente negativa, también se ha utilizado el mismo
procedimiento empleado en el último modelo diario desarrollado por el GTER, para
poder comparar los resultados sin que esto influya. A continuación, presentamos un
diagrama de flujo que explica los pasos seguidos a la hora de obtener la correlación:
Pág. 30 de 90
Obtención de modelos kt kd en Cáceres y análisis de metodologías de estimación de
valores diarios de irradiación directa normal
Seleccionar puntos cuyo Kt
esté entre Ktmín y Ktmáx
Ajustar los puntos por mínimos cuadrados
Eliminar puntos cuya distancia a la recta esté
por encima de 3 * distancia media
si
Se elimininó
algún punto
No
Correlación definitiva
Una vez aplicado el procedimiento a los datos y conocida la correlación definitiva,
representaremos el conjunto de puntos que se han utilizado para el ajuste final de la
recta con pendiente decreciente calculados a partir de la radiación difusa:
Kt-Kd diario. Medidas de Cáceres
1
Kd
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
0.2
0.4
0.6
Kt
0.8
1
1.2
Figura 3. Representación de los valores Kd-Kt diarios empleados en el ajuste de la recta definitiva de
pendiente negativa.
Pág. 31 de 90
Obtención de modelos kt kd en Cáceres y análisis de metodologías de estimación de
valores diarios de irradiación directa normal
La recta representada en la figura es aquella en la que converge el procedimiento
empleado que tiene la siguiente expresión:
Kd = 1.423246-1.720478·Kt
[6.6]
Sustituyendo los puntos representados en la figura 1 en la ecuación de la hallamos los
siguientes extremos:
Ktmáx.= 0.79
Ktmín= 0.25
Kdmín.= 0.09847
Kdmáx.= 0.99312
Modelo obtenido con los datos de radiación difusa:
Kd = 0.986
Kd = 1.423246-1.720478·Kt
Kd = 0.082
[6.7]
si
Kt ≤0.25
si 0.23< Kt <0.79
si
Kt ≥0.79
kt-kd diario, Cáceres
1.2
1
kd
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
kt
Figura 4. Representación de los valores Kt-Kd diarios medidos en la estación de Cáceres junto al
modelo lineal obtenido a partir de ellos.
Aplicando la misma metodología de ajuste a los valores kt- kdD representados en la
figura 2 se obtiene el siguiente resultado:
Pág. 32 de 90
Obtención de modelos kt kd en Cáceres y análisis de metodologías de estimación de
valores diarios de irradiación directa normal
Kt-KdD diario. Medidas Cáceres.
1
KdD
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
0.2
0.4
0.6
Kt
0.8
1
1.2
Figura 5. Representación de los valores KdD-Kt diarios empleados en el ajuste de la recta definitiva de
pendiente negativa.
La recta representada en la figura 5 es aquella en la que converge el procedimiento
empleado que tiene la siguiente expresión:
KdD = 1.451014-1.708327·Kt
[6.8]
Sustituyendo los puntos representados en la figura 2 en la ecuación de la hallamos los
siguientes extremos:
Ktmáx.= 0.78
Ktmín= 0.27
KdDmín.= 0.135602
KdDmáx.= 0.989766
Modelo obtenido con los datos de radiación directa:
KdD= 0.986
KdD = 1.451014-1.708327·Kt
KdD = 0.082
[6.9]
si
Kt ≤0.23
si 0.23< Kt <0.77
si
Kt ≥0.77
Pág. 33 de 90
Obtención de modelos kt kd en Cáceres y análisis de metodologías de estimación de
valores diarios de irradiación directa normal
kt-kdD diario, Cáceres
1.2
1.0
kdD
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
kt
Figura 6. Representación de los valores Kt-KdD diarios medidos en la estación de Cáceres junto al
modelo lineal obtenido a partir de ellos.
Una vez hecho el ajuste representamos ambos modelos juntos sobre los puntos de
partida para poder comparar los resultados:
kt-kd diario, Cáceres
kt-kd
kt-kdD
Ajuste kt-kd
0.3
0.4
Ajuste kt-kdD
1.2
1
kd
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
0.1
0.2
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
kt
Figura 7. Representación de los valores Kt-Kd y Kt-KdD diarios medidos en la estación de Cáceres con
sus respectivos modelos lineales.
Pág. 34 de 90
Obtención de modelos kt kd en Cáceres y análisis de metodologías de estimación de
valores diarios de irradiación directa normal
Puede verse con toda claridad en la figura 7 que tanto la nube de puntos como el
modelo obtenido con la radiación directa son prácticamente iguales que los obtenidos
con los datos de difusa, aunque ligeramente desplazado hacia arriba. Esto quiere decir,
que los valores de irradiación difusa calculados a partir de las medidas de irradiancia
directa son un poco superiores a los que directamente han sido medidos con el
piranómetro sombreado. Esto podría deberse a que los aparatos de medida no estén
bien calibrados o
simplemente a que las medidas han sido tomadas con dos
dispositivos diferentes que tienen errores de medida diferentes. Aunque también
podría ocurrir que el pirheliómetro no estuviese correctamente alineado
subestimando la directa existente una cantidad tal que a simple vista no puede ser
detectada en la inspección visual de las gráficas ni con los filtros aplicados de la BSRN
(donde el margen de error en el filtro de variables cruzadas es de 50W/m2) asumiendo
como consecuencia una difusa superior. Otra posibilidad es que la propia estructura
que soporta la bola de sombreamiento bloquee parte de la difusa procedente de la
bóveda celeste haciendo que el piranómetro subestime las medidas de irradiación
difusa. Es difícil decidir cual de las dos variables es más adecuada, así que en principio
seguiremos considerando ambos resultados como posibles.
6.2 AJUSTE POLINÓMICO
A continuación, haremos un ajuste polinómico de tercer y cuarto orden para la nube
de puntos que hemos obtenido con los valores de radiación difusa. En este caso
impondremos la condición de que la polinomial pase por el punto Kd=1 y Kt=0.
El procedimiento a seguir para elegir los valores de Kt que limitan las distintas partes
de los modelos es el mismo que para el modelo lineal. Representaremos ambos ajustes
junto a los puntos de partida correspondientes para poder comparar los resultados:
Pág. 35 de 90
Obtención de modelos kt kd en Cáceres y análisis de metodologías de estimación de
valores diarios de irradiación directa normal
kt-kd diario, Cáceres
kt-kd
Polinomial 4ª
Polinomial 3ª
1.2
1
kd
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
kt
Figura 8. Representación de los modelos Kt-Kd polinómicos de 3º y 4º orden obtenidos a partir de los
datos de radiación difusa medidos en la estación de Cáceres.
Modelo polinómico de tercer orden:
Kd = 0.990
si
Kt ≤ 0.07
Kd = 1+ 0.0232Kt -1.7965 Kt2+ 0.3556 Kt3
si
0.07 < Kt < 0.76
Kd= 0.101
si
Kt ≥ 0.76
[6.10]
Modelo polinómico de cuarto orden:
Kd = 0.992
si
Kt ≤ 0.05
Kd = 1+ 0.0961 Kt -1.3415 Kt2-0.5179 Kt3+0.5297 Kt4
si
0.05 < Kt < 0.76
Kd = 0.081
si
Kt ≥0.76
[6.11]
Como se observa en la gráfica X ambos modelos prácticamente se superponen, y a
simple vista es casi imposible distinguir cual se ajusta mejor a la nube de puntos.
Pág. 36 de 90
Obtención de modelos kt kd en Cáceres y análisis de metodologías de estimación de
valores diarios de irradiación directa normal
Aplicando la misma metodología de ajuste a los valores kt- kdD representados en la
figura X se obtiene el siguiente resultado:
kt-kdD diario, Cáceres
kt-kdD
Polinomial 3ª
Polinomial 4ª
0.4
0.6
1.2
1.0
kdD
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
0
0.1
0.2
0.3
0.5
0.7
0.8
0.9
1
kt
Figura 9. Representación de los modelos Kt-Kd polinómicos de 3º y 4º orden obtenidos a partir de los
datos de radiación directa medidos en la estación de Cáceres.
Modelo polinómico de tercer orden:
KdD = 1
si
Kt ≤ 0.05
KdD = 1+ 0.1272 Kt -2.0396 Kt2+ 0.502641 Kt3
si
0.05 < Kt < 0.77
KdD = 0.118
si
Kt ≥ 0.77
[6.12]
Modelo polinómico de cuarto orden:
KdD = 0.998
si
KdD = 1+ 0.0416 Kt -1.4838 Kt2-0.5950 Kt3+0.6804 Kt4
KdD = 0.140
si
si
Kt ≤ 0.05
0.05 < Kt < 0.76
Kt ≥0.76
[6.13]
Pág. 37 de 90
Obtención de modelos kt kd en Cáceres y análisis de metodologías de estimación de
valores diarios de irradiación directa normal
Al igual que ocurría con los modelos kt-kd polinómicos, se observa en la gráfica X que
ambos modelos kt-kdD prácticamente se superponen, y a simple vista es casi imposible
distinguir cual se ajusta mejor a la nube de puntos.
Una vez definidos los ajustes representamos todos los modelos juntos sobre los puntos
de partida para poder comparar los resultados al igual que hicimos con los modelos
lineales:
kt-kd diario, Cáceres
kt-kd
kt-kdD
Polinomial 3ª kd
Polinomial 3ª kd
Polinomial 4ª kd
Polinomial 4ª kd
1.2
1.0
kd
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
kt
Figura 10. Representación de los valores Kt-Kd y Kt-KdD diarios medidos en la estación de Cáceres con
sus respectivos modelos polinomiales de 3º y 4º orden.
Observamos que el resultado obtenido es el mismo que con los ajustes lineales, los
valores de kd que proporcionan los modelos polinómicos obtenidos con los valores de
irradiación difusa calculados a partir de las medidas de irradiación directa son
ligeramente superiores a los que proporcionan los modelos obtenidos con los valores
medidos de irradiación difusa.
Para comparar los modelos obtenidos tanto con las medidas de difusa como con las
medidas de directa, se hallará para cada uno de ellos el valor del error medio (MBE) y
Pág. 38 de 90
Obtención de modelos kt kd en Cáceres y análisis de metodologías de estimación de
valores diarios de irradiación directa normal
del error cuadrático medio o erro estándar (RMSE), parámetros tradicionalmente
empleados en este tipo de comparaciones.
El error medio se define según la siguiente expresión:
MBE =
1 n
d
d
⋅ ∑ ( H dif
,est −H dif , med )
n i =1
[6.14]
Y el error cuadrático medio mediante la expresión:
RMSE =
1 n
d
d
2
⋅ ∑ ( H dif
[6.15]
,est −H dif , med )
n i =1
El valor de ambos parámetros para cada uno de los modelos presentados se recoge en
la siguiente tabla:
Tabla 9. Valores del MBE y del RMSE obtenidos para los modelos Kt-Kd diarios.
Lineal
2
MBE (Wh/m )
2
RMSE (Wh/m )
kd
-17.75
280.80
kdD
-16.01
281.01
Caceres
Polinomial 3º
kd
kdD
-13.92
-9.17
260.67
263.46
Polinomial 4º
kd
kdD
-13.83
-8.94
260.78
263.69
Se observa que el menor error medio tanto para los modelos kt-kd como para los
modelos kt-kdD se obtiene para el ajuste polinomial de cuarto orden, aunque la
diferencia de resultados con los modelos polinomiales de tercer orden no son
destacables. Los ajustes con menor desviación típica son en ambos casos los
polinomiales de tercer orden, aunque tampoco se encuentra una diferencia apreciable
respecto a los hallados con el ajuste polinomial de mayor orden. Si comparamos los
resultados de los ajustes de los puntos kt-kd con los de los puntos kt-kdD, vemos que
estos últimos son los que menor error medio presentan pero no el que menor
desviación típica, aunque este último parámetro puede considerarse del mismo orden
en ambos casos. En vista de los resultados obtenidos en ambos coeficientes y por
simplicidad en el cálculo, consideraremos el modelo polinomial de tercer orden diario
obtenido a partir de los datos de directa como el más adecuado para el emplazamiento
de Cáceres.
Pág. 39 de 90
Obtención de modelos kt kd en Cáceres y análisis de metodologías de estimación de
valores diarios de irradiación directa normal
Si analizamos el RMSE de este último modelo frente al valor medio de irradiación
difusa diaria registrada durante el período de estudio, podemos decir que representa
un 17.6 % del mismo, mientras que el error medio no supone ni el 0.1 % del mismo
valor. Esto nos muestra que el uso de este tipo de modelos es más adecuado cuanto
mayor es el período de cálculo para el que se aplica. Es decir, el uso de este modelo
daría un buen resultado si el objetivo es conocer la irradiación difusa (o directa)
mensual de un determinado emplazamiento y aún mejor resultado si el objetivo es
conocer su valor anual.
Pág. 40 de 90