1. Dominio 2. Recorrido 3. Puntos de corte 4. Asíntotas

⇒ f ( x) = x 2 + x + 1
1. Dominio
D( f ) = ℜ
3
4
2. Recorrido Im( f ) = [ , ∞)
3. Puntos de corte
- Con el eje y, donde x = 0
y = x2 + x +1
y=1
P (0,1)
- Con el eje x, donde y = 0
No hay punto de corte con el eje x
4. Asíntotas
- Horizontales
lim x 2 + x + 1
=∞
x→∞
No tiene asíntotas horizontales
2
lim x + x + 1
=∞
x → −∞
- Verticales. No tiene asíntotas verticales porque f(x) está definida en ℜ y no cambia
de criterio en ningún punto.
- Oblicuas.
x2 + x +1
lim
=∞
No tiene asíntotas oblicuas.
x
x→∞
5. Continuidad
- Es un polinomio, así que es continua en ℜ , dado que no cambia de criterio.
6. Paridad
Como hay dos grados diferentes, una x 2 y una x, hay un grado par y otro par, así que
la función no es ni par ni impar.
7. Crecimiento
f ′( x) = 2 x + 1
2x + 1 = 0
 1 
− ,∞
 2 
f ′( x) = 2 x + 1
1

 − ∞, − 
2

_
f ( x) = x 2 + x + 1
Decreciente
Creciente
2 x = −1
x=−
1
2
+
 1 
f (x) es creciente en el intervalo  − , ∞ 
 2 
1

f (x) es decreciente en el intervalo  − ∞,− 
2

Presenta un mínimo en el punto:
 1  1 
 1 3
m  − , f  −   m  − , 
 2 4
 2  2 
8. Curvatura
f ( x) = x 2 + x + 1
f ′( x) = 2 x + 1
f ′′( x) = 2
f ′′( x) > 0 , por lo que f (x) es cóncava hacia arriba en ℜ
No tiene ningún punto de inflexión, ya que en ningún punto cambia la curvatura.
⇒ f ( x) = − x 2 + 4 x + 1
1. Dominio
D( f ) = ℜ
2. Recorrido
Im( f ) = (−∞,5 ]
3. Puntos de corte
- Con el eje y, donde x = 0
y = −0 2 + 4·0 + 1
y =1
- Con el eje x donde y = 0
0 = −x 2 + 4x + 1
x1 = 2 − 5
P (0,1)
(
Q 2 − 5 ,0
)
(
R 2 + 5 ,0
)
x2 = 2 + 5
4. Asíntotas
- Horizontales
lim− x 2 + 4 x + 1
=∞
No tiene asíntotas horizontales
x→∞
- Verticales
No presenta asíntotas verticales porque ningún número anula el denominador, ya
que no tiene, y en ningún punto cambia su criterio
- Oblicuas
− x 2 + 4x + 1
= −∞
x
x→∞
lim
Tampoco presenta asíntotas oblicuas
5. Continuidad
Como esta función es un polinomio es continua en ℜ
6. Paridad
Al tener x 2 y x no es ni par ni impar.
7. Crecimiento
f ′( x) = −2 x + 4
− 2x + 4 = 0
− 2 x = −4
x=2
(− ∞,2)
f ′( x) = −2 x + 4
f ( x) = − x 2 + 4 x + 1
(2, ∞ )
+
Creciente
__
Decreciente
f (x) es creciente en el intervalo (− ∞,2)
f (x) es decreciente en el intervalo (2, ∞ )
Presenta un máximo en:
M (2, f (2) )
M (2,5)
8. Curvatura
f ( x) = − x 2 + 4 x + 1
f ′( x) = −2 x + 4
f ′′( x) = −2
f ′′( x) < 0 , así que es cóncava hacia abajo en ℜ
No presenta ningún punto de inflexión
⇒ f ( x) = 2 x 3 − 8 x + 1
1. Dominio
D( f ) = ℜ
2. Recorrido
Im( f ) = ℜ
3. Puntos de corte
- Con el eje y, donde x = 0
y = 2·0 3 − 8·0 + 1
y =1
- Con el eje x, donde y = 0
0 = 2x 3 − 8x + 1
x1 = −2'05
x 2 = 0'125
Q (-2’05,0)
P (0,1)
R (0’125,0)
S (1’934,0)
x3 = 1'934
4. Asíntotas
- Horizontales
lim 2 x 3 − 8 x + 1 = ∞
No tiene asíntotas horizontales
x→∞
- Verticales
No tiene asíntotas verticales porque no tiene denominador para que algún número le
anule, y tampoco cambia de criterio.
- Oblicuas
No hay asíntotas oblicuas porque las funciones polinómicas no tienen asíntotas.
5. Continuidad
Al ser una función polinómica y no tener puntos donde cambia el criterio es continua
en ℜ .
6. Paridad
f ( x) = 2 x 3 − 8 x + 1
f ( − x ) = −2 x 3 + 8 x + 1
La función no es ni par ni impar
7. Crecimiento
f ′( x) = 6 x 2 − 8
6x 2 − 8 = 0
2 3
)
3
(−∞,−
6x 2 = 8
f ′(x)
2 3
x1 =
3
2 3
x2 = −
3
f (x)
(−
+
2 3 2 3
,
)
3
3
(
2 3
, ∞)
3
__
creciente
+
decreciente
creciente
2 3 2 3
), (
, ∞)
3
3
2 3 2 3
f (x) es estrictamente decreciente en el intervalo (−
)
,
3
3
f (x) es estrictamente creciente en los intervalos (−∞,−
2 3
2 3
, f (−
))
3
3
2 3
2 3
Presenta un mínimo en m(
))
,f(
3
3
Presenta un máximo en M (−
2 3 9 + 32 3
,
)
3
9
2 3 9 − 32 3
)
m(
,
3
9
M (−
8. Curvatura
f ′′( x) = 12 x
12 x = 0
x=0
(−∞,0)
f ′′(x)
__
f (x)
Cóncava hacia
abajo
f (x) es cóncava hacia arriba en el intervalo (0, ∞ )
f (x) es cóncava hacia abajo en el intervalo ( − ∞,0 )
Presenta un punto de inflexión I (0, f (0))
I (0,1)
(0, ∞)
+
Cóncava hacia
arriba
⇒ f ( x) = x 3 − 2 x 2 + x − 1
1. Dominio
2. Recorrido
3. Puntos de corte
D( f ) = ℜ
Im( f ) = ℜ
- Con el eje x, donde y = 0
y = x3 − 2x 2 + x − 1
x = 1'7549
- Con el eje y, donde x = 0
y = −1
P (1’7549,0)
Q (0,-1)
4. Asíntotas
No tiene ninguna asíntota, ya que las funciones polinómicas nunca tienen asíntotas.
5. Continuidad
Al ser una función polinómica y no tener ningún punto donde cambia su criterio es
continua en ℜ .
6. Paridad
No es ni par ni impar debido a los diferentes grados de las variables.
7. Crecimiento
f ′( x) = 3 x 2 − 4 x + 1
1

 − ∞, 
3

2
3x − 4 x + 1 = 0
1
3
x2 = 1
x1 =
f ′(x)
f (x)
+
Creciente
1 
 ,1
3 
__
(1, ∞ )
+
Decreciente Creciente
1

 − ∞, U (1, ∞ )
3

1 
f (x) es estrictamente decreciente en  ,1
3 
 1  1 
1 23
Presenta un máximo en M  , f   
)
M ( ,−
3 27
 3  3 
Presenta un mínimo en m (1, f (1) )
m (1,−1)
f (x) es estrictamente creciente en
8. Curvatura
f ′′( x) = 6 x − 4
6x − 4 = 0
x=
2
3
2

 − ∞, 
3

2 
 ,∞
3 
f ′′(x)
__
+
f (x)
Cóncava
hacia abajo
Cóncava
hacia arriba
2 
f (x) es cóncava hacia arriba en  , ∞ 
3 
2

f (x) es cóncava hacia abajo en  − ∞, 
3

 2  2 
Presenta un punto de inflexión en I  , f   
 3  3 
 2 25 
I  ,− 
 3 27 
⇒ f ( x) = ( x + 1) 2 ·( x − 2) = x 3 − 3 x − 2
1. Dominio
D( f ) = ℜ
2. Recorrido
Im( f ) = ℜ
3. Puntos de corte
- Con el eje x, donde y = 0
0 = x 3 − 3x − 2
x1 = −1
x2 = 2
- Con el eje y, donde x = 0
y = 0 3 − 3·0 − 2
y = −2
P (− 1,0)
Q (2,0)
R (− 2,0)
4. Asíntotas
No presenta ninguna asíntota, ya que es una función polinómica.
5. Continuidad
Al ser una función polinómica y no presentar ningún punto en el que cambie de
criterio es continua en ℜ
6. Paridad
f ( x) = x 3 − 3 x − 2
f (− x) = − x 3 + 3x − 2
La función no es ni par ni impar.
7. Crecimiento
f ′( x) = 3 x 2 − 3
3x 2 − 3 = 0
x1 = 1
(− ∞,−1)
(− 1,1)
+
__
f ′(x)
x 2 = −1
f (x)
Creciente
Decreciente
f (x) es creciente en el intervalo ( − ∞,−1)U (1, ∞)
f (x) es decreciente en el intervalo (-1,1)
Presenta un máximo en (− 1, f (−1) )
M (-1, 0)
Presenta un mínimo en ( 1, f (1) )
m (1,-4)
8. Curvatura
f ′′( x) = 6 x
6x = 0
x=0
(1, ∞ )
f ′′(x)
f (x)
Presenta un punto de inflexión en I (0, f (0) )
(− ∞,0)
(0, ∞ )
__
+
Cóncava
Cóncava
hacia abajo hacia arriba
I (0,-2)
+
Creciente
⇒ f ( x) =
x 4 x 2 x 4 − 2x2 1 4 1 2
−
=
= x − x
4
2
4
4
2
1. Dominio
D( f ) = ℜ
2. Recorrido
1
Im( f ) =  , ∞
4
)
3. Puntos de corte
- Con el eje x, donde y = 0
1
1
0 = x4 − x2
4
2
x1 = 0
P ( − 2 ,0 )
x2 = − 2
Q ( 0,0)
R ( 2 ,0 )
x3 = 2
- Con el eje y, donde x = 0
1
1
y = ·0 4 − ·0 2
S (0,0)
4
2
y=0
4. Asíntotas
No tiene asíntotas porque es una función polinómica.
5. Continuidad
Es continua en ℜ porque es una función polinómica y no tiene ningún punto donde
cambia su criterio.
6. Paridad
f ( x) = f (− x) Simétrica respecto al eje y.
7. Crecimiento
f ′( x) = x 3 − x
x3 − x = 0
(− ∞,−1)
(− 1,0)
(0,1)
(1, ∞ )
__
+
__
+
x·( x 2 − 1) = 0
x1 = 0
f ′(x)
x 2 = −1
x3 = 1
Decreciente Creciente
Decreciente Creciente
f (x)
f (x) es creciente en el intervalo (−1,0)U (1, ∞)
f (x) es decreciente en el intervalo (−∞,−1)U (0,1)
Presenta un máximo en M (0, f (0) )
M (0,0)
1
m1 (−1,− )
4
1
m2 (1,− )
4
Presenta dos mínimos en m1 (−1, f (−1))
m2 (1, f (1))
8. Curvatura

1
 − ∞, − 

3 



− 1 , 1 

3 3


f ′′(x)
+
__
f (x)
Cóncava
hacia arriba
f ′′( x) = 3 x 2 − 1
3x 2 − 1 = 0
 1 
 ,∞ 
 3 


+
1
x1 =
3
1
x2 = −
3

f (x) es cóncava hacia arriba en  − ∞,−


1
,
f (x) es cóncava hacia abajo en  −

3


Presenta un punto de inflexión en I  −

I2(
1  1 
U  , ∞ 
3   3 
1 
3

1 5 
,− 
3 36 
1 5
,− )
3 36
Cóncava hacia Cóncava hacia
abajo
arriba
⇒
x
x +1
2
1. Dominio
2. Recorrido
D( f ) = ℜ
 1 1
Im( f ) = − , 
 2 2
3. Puntos de corte
- Con el eje x, donde y = 0
x
0= 2
x +1
x=0
- Con el eje y, donde x = 0
0
y=
0 +1
0 (0,0)
0 (0,0)
y=0
4. Asíntotas
- Horizontales
x
=0
lim 2
x +1
x→∞
Presenta una asíntota horizontal de ecuación y = 0
- Verticales No presenta asíntotas verticales
- Oblicuas
No presenta asíntotas oblicuas porque tiene una asíntota horizontal
5. Continuidad
f (x) es continua en su dominio, por lo que f (x) es continua en ℜ
6. Paridad
Como f (− x) = f ( x), f ( x) es una función impar.
7. Crecimiento
f ′( x) = −
x2 +1
( x 2 + 1) 2
x2 +1
− 2
=0
( x + 1) 2
x1 = −1
x2 = 1
(− ∞,−1)
f ′(x)
f (x)
__
Decreciente
(− 1,1)
+
Creciente
(1, ∞ )
__
Decreciente
f (x) es creciente en el intervalo (−1,1)
f (x) es decreciente en el intervalo (−∞,−1)U (1, ∞ )
Presenta un mínimo en m (−1, f (−1))
Presenta un máximo en M (1, f (1))
1
m (−1,− )
2
1
M (−1, )
2
8. Curvatura
f ′′( x) =
2x
x + 2x 2 + 1
4
2x
=0
x + 2x 2 + 1
x=0
4
f (x) es cóncava hacia arriba en (0, ∞)
f (x) es cóncava hacia abajo en (−∞,0)
Presenta un punto de inflexión en I (0,0)
(−∞,0)
(0, ∞)
f ′′(x)
__
+
f (x)
Cóncava
hacia abajo
Cóncava
hacia arriba
⇒ f ( x) =
x2
x +1
1. Dominio D( f ) = ℜ − {−1}
2. Recorrido Im( f ) = (−∞,−4)U (0, ∞)
3. Puntos de corte
- Con el eje x, donde y = 0
x2
0=
x +1
x=0
- Con el eje y, donde x = 0
y=0
0 (0,0)
0 (0,0)
4. Asíntotas
- Horizontales
x2
lim
=∞
No tiene asíntotas horizontales
x +1
x→∞
- Verticales
lim
x2
−
lim
= x → 1 = −∞
Tiene una asíntota vertical de ecuación x = -1
x +1
lim
x → −1
x → 1+ = ∞
- Oblicuas
2
m = lim x : x = 1
x +1
x→∞
b=
x2
lim
− x =1
x +1
x→∞
Tiene una asíntota oblicua en y = x + 1
Cuando x → −∞ presenta otra asíntota oblicua de ecuación
y = −x −1
5. Continuidad
Es continua en todo su dominio, es continua en ℜ − {−1}
6. Paridad
(− x) 2
− x +1
La función no es ni par ni impar.
f (. − x) =
7. Crecimiento
x 2 + 2x
x2 + 2x + 1
x 2 + 2x
=0
x 2 + 2x + 1
x1 = 0
f ′( x) =
x 2 = −2
(−∞,−2)
f ′(x)
+
f (x)
Creciente
f ( x) es creciente en (−∞,−2) U (0, ∞)
f ( x) es decreciente en (−2,−1) U (−1,0)
Presenta un máximo en M ( − 2, f (−2))
Presenta un mínimo en m (0, f (0))
(−2,−1)
__
(−1,0)
__
M (-2,-4)
m(0,0)
2
3
2
x + 3x + 3 x + 1
2
=0
x 3 + 3x 2 + 3x + 1
Igualo el denominador a 0 y saco las raíces del denominador
x = −1
(−∞,−1)
f ′′(x)
f (x)
__
+
Decreciente Decreciente Creciente
8. Curvatura
f ′′( x) =
(0, ∞)
(−1, ∞)
+
Cóncava hacia Cóncava hacia
abajo
arriba
f (x) es cóncava hacia arriba en (−1, ∞)
f (x) es cóncava hacia abajo en (−∞,−1)
Como las raíces obtenidas no son de la función completa, sino que son del denominador,
no presenta puntos de inflexión, porque además en -1 no está definida.
 x −1 
⇒ f ( x) = ln

 x−2
1. Dominio
D ( f ) = ℜ − (1,2)
2. Recorrido
Im( f ) = ℜ − {0}
3. Puntos de corte
No tiene ningún punto de corte con los ejes
4. Asíntotas
- Horizontales
 x −1 
lim ln
=0
 x −2
x→∞
- Verticales
Tiene una asíntota horizontal en y = 0
x −1
=
x − 2 límites laterales Tiene una asíntota vertical en x = 1
lim ln
x →1
lim ln
x −1
x − 2 =límites laterales
Tiene una asíntota vertical en x = 2
x→2
- Oblicuas. Como tiene asíntotas horizontales y verticales, no tiene oblicuas.
5. Continuidad
Es continua en su dominio, en ℜ
6. Paridad
La función no es ni par ni impar
7. Crecimiento
f ′( x) = −
1
x − 3x + 2
2
1
=0
2
x − 3x + 2
Igualo a 0 el denominador
x1 = 1
f ′(x)
(−∞,1)
(2, ∞)
__
__
−
f (x)
Decreciente
Decreciente
(− ∞,1)
(2, ∞ )
+
x2 = 2
f (x) es decreciente en todo su dominio.
8. Curvatura
f ′′( x) =
3
x=
2
2x − 3
x − 6 x + 13 x 2 − 12 x + 4
4
3
f ′′(x)
f (x)
__
Cóncava hacia Cóncava hacia
abajo
arriba
f (x) es cóncava hacia arriba en (2, ∞)
f (x) es cóncava hacia abajo en (−∞,1)
Como las raíces obtenidas son solo del denominador, no presenta puntos de inflexión,
porque además en la raíz obtenida no está definida.
⇒ f ( x) =
x2 −1
x2 +1
1. Dominio D( f ) = ℜ
2. Recorrido Im( f ) = (−1,1)
3. Puntos de corte
- Con el eje x, donde y = 0
x1 = 1
P (1,0)
x 2 = −1
- Con el eje y, donde x = 0
x = -1
R (0,-1)
Q(-1,0)
4. Asíntotas
- Horizontales
x2 −1
lim 2
=1
Tiene una asíntota horizontal en y = 1
x +1
x→∞
- No tiene asíntotas verticales ni oblicuas.
5. Continuidad
Es continua en todo su dominio, en ℜ
6. Paridad
x2 −1
x2 +1
f (− x) = f ( x)
La función tiene simetría par.
f ( − x) =
7. Crecimiento
4x
f ′( x) = 4
x + 2x2 + 1
4x
=0
4
x + 2x 2 + 1
x=0
f (x) es creciente en (0, ∞)
f (x) es decreciente en (−∞,0)
Presenta un mínimo en m (0, f (0))
(−∞,0)
(0, ∞)
f ′(x)
__
+
f (x)
Decreciente
Creciente
m (0,−1)
8. Curvatura
f ′′( x) =
− 12 x 2 + 4
x 6 + 3x 4 + 3x 2 + 1
(−∞,−
− 12 x 2 + 4
=0
x 6 + 3x 4 + 3x 2 + 1
3
x1 =
3
3
x2 = −
3
(−
3 3
, )
3 3
f ′′(x)
__
+
f (x)
Cóncava
hacia abajo
Cóncava
hacia arriba
3 3
, )
3 3
3
3
f (x) es cóncava hacia abajo en (−∞,−
) U ( , ∞)
3
3
Presenta dos puntos de inflexión


3 
3  
3 1

I1  −
, f  −
I 1  −
,− 

 3

3
3
2





 3  3 
 3 1



, f 
I2
I
2
 3 ,− 2 

 3
3





f (x) es cóncava hacia arriba en (−
3
)
3
(
3
, ∞)
3
__
Cóncava
hacia abajo