EL BILLAR NO ES PARA EL BILLAR NO ES PARA VAGOS

EL BILLAR NO ES PARA
VAGOS
Carlos Bosch Giral
ITAM
¿Qué es el billar?
{
Billar: del francés billard. Juego
g de
destreza que se ejecuta con tacos,
bolas de marfíl en una mesa
rectangular forrada de paño,
rodeada de barandas elásticas y con
troneras o sin ellas.
Definición de Serge Tabachnikov
{
Una mesa de billar es una variedad Riemanniana
M con frontera suave a pedazos
pedazos. El sistema
dinámico del billar en M está generado por el
movimiento libre de un punto donde se acumula
la masa (llamada bola) sujeta a la reflexión
ó en la
frontera. Esto quiere decir que un punto se
mueve según una geodésica en M con velocidad
constante hasta que golpea la frontera. En un
punto suave de la frontera la bola se refleja de
manera que la correspondiente tangencial de la
velocidad sea la misma mientras que la normal
cambia de signo.
Definición de Donald
{
Una mesa de billar es la unión de
dos cuadrados donde el rebote de
la bola es tal que el ángulo de
entrada y el de salida son iguales.
{
{
{
{
{
{
{
1800 juego de dos personas
1900 se admiten más de dos personas
Tres jjuegos
g p
principales
p
El billar con tres bolas
La pirámide con 15 bolas rojas sin
número
El pool número variable usualmente 15
bolas con número, una bola sin número
El pool adquiere el nombre de la forma de
apostar
{
{
{
{
{
{
El billar es un juego antiguo
Sh k
Shakespeare
h bl d
habla
dell bill
billar en “A
“Antonio
t i y
Cleopatra” 1607
Llegó a Inglaterra a través de los caballeros que
regresaban de las cruzadas.
La primera evidencia que se tiene del billar es en
Francia siglo XV
Carlos IX de Francia y James I de Inglaterra en el
siglo XVI tenian mesas de billar en sus palacios.
palacios
En América la primera mesa de billar apareció en
Florida llevada p
por los españoles
p
en 1565
Los números y los billares
{
{
{
{
Patente US 2,978,816
11 de abril de 1961
Andrés Zavrotsky Universidad de los Andes
Venezuela
Aparato óptico para calcular el máximo común
di i
divisor
Tomaremos mesas de distintos tamaños
11 10
9
9
8
8
7
7
6
6
5
5
4
4
3
3
2
1
2
45°
0 1
2
0
1 0
45°
3
4
5
0 1
2
3
4
5
6
7
8
9
Máximo común divisor
De
6
y
9
6
2
9
3
6= 2 X 3
3
3
3
3
9= 3 X 3
1
1
1
1
mcd (6,9)=3
De
342
y
243
342
2
3
243
3
171
3
81
3
57
3
27
3
19
19
9
3
1
3
3
1
1
1
9= 3 X 3
mcd ((342,243)=9
)
{
H. Steinhaus probó que no importa
cuales
l son las
l dimensiones
di
i
d
de la
l
mesa si una bola empieza en un
vértice
é
con un ángulo
á
de 45°
después de un número finito de
rebotes llegará a alguno de los
otros vértices.
Pregunta
{ ¿Qué vértice de los tres restantes
es el que tocará la bola?
8
7
4563
6
5
4
5
5802
3
2
1
0
5
4
3
2
1
0
9
8
8
7
7
6
6
5
5
par
impar
4
4
3
3
2
2
1
1
0
0
0
1
2
3
impar
4
5
0
1
2
3
4
impar
5
12
11
10
7
9
6
8
5
7
4
6
3
5
2
4
1
3
0
0
1
2
3
4
par
5
6
7
8
9
10
2
1
0
0
1
2
par
3
4
Máquina de Zavrotsky
{
{
Se envía un rayo de luz a 45°
partiendo del origen, el rayo
p
de un número finito de
después
“rebotes” llegará a uno de los
g
, entonces
vértices del rectángulo,
habrá sobre el lado más largo un
punto iluminado A que es el más
cercano al origen.
Calcular la distancia de OA
Representa el doble del
MÁXIMO
Á
COMUN DIVISOR
6
0
0
6
A
9
3
0
0
A
8
A
5
P
A
Q
N
M
6
2mcd(a,b)=min{d:d=2am+2an
2mcd(a
b)=min{d:d=2am+2an tal
que m,n
Z y d>0}
∈
0
A
8
Problemas de mínimos-máximos
d(P,Q) = distancia de P a Q
{ Si P 1 y P 2 son fijos, P está en C una
curva
cu
a lisa
sa y L(P)
( ) = d(P 1 ,,P)) + d(
d(P,, P 2) ;
{ L() alcanza un mínimo o un máximo en el
punto P 0 de C entonces P 1 , P 0, P 2
es una trayectoria de billar con rebote en C
{
P0
P1
P2
{
{
{
P2
P1
{
{
{
Observaciones
(1) Si P1 y P2 son los focos
de una elipse una bola que
sale de P1 pasa siempre por
P2 con un rebote de billar
(2) d ( P1 , P) + d( P, P2)
constante
SUPONGAMOS Q
QUE EL
REBOTE EN P0 NO ES UN
REBOTE DE BILLAR
Consideremos la familia de
elipses
li
que ti
tiene
y
P
P2
1
como focos.
Como en
el rebote no es
P
0
de billar la tangente
a C en
no es tangente a alguna
de
P0 las elipses en ,
intersecta a las elipses
P0
{
{
{
{
{
{
En una vecindad de P0 la curva C intersecta a la
familia de las elipses.
elipses
P 0 está en una de las elipses así que d(P 1 , P 0)
+ d( P 2 , P 0 ) = k
E claro
Es
l
que siempre
i
h
hay un punto
t P en C que
cumple d( P 1 , P 0 ) + d( P 2 , P ) > k y otro
punto Q en C que cumple
d( P 1 ,Q) + d( P 2 , Q) < k
P y Q en las elipses
De modo que d( P 1 , P 0 ) + d( P2 , P 0 ) no es ni
máximo ni mínimo!
P1
P2
C
A
¿Cuál es el camino más corto?
A
{
B
C1
C2
l
C3
{
A
B
C
l
A’
El mínimo se alcanza
cuando ABC sea un rebote
de billar
Es decir, que si tomamos
A’ el reflejado
j
de A
respecto a l y trazamos BA’
está la recta intersecta a l
en el punto C y BCA será
y
que
q
la trayectoria
buscamos
A
Q
{
P1
P2
P
B
R
{
P
P2''
P1
P2'
A
P2
P1
R
B
P2
Q
{
¿ P1 QR P2 lo más
corto
t posible
ibl con
Q en PA y R en
PB?
P1 QR P2 debe ser
una trayectoria de
billar con rebotes
en Q y R
Con las simetrías
obtenemos los
rebotes de billar
P2'''
{
P1 '''
P 2''
P
'
2
P 1 ''
P1'
P P 1 P 2 tiene que ser
un triángulo de billar
en P 1 y P 2
Dado un punto P
en un lado de un
triángulo
encontrar un
triángulo de
perímetro mínimo
cuyos vértices
estén en los lados
del triángulo y
uno de ellos sea P
T iá
Triángulo
l pedal
d l = pies
i d
de las
l alturas
lt
P2''
P1'
P
3
(0,0)
5
llenar o vaciar recipiente grande
llenar o vaciar recipiente pequeño
mandar de un recipiente a otro
3
(0,0)
5
5
3
5
0
3
2
2
0
0
2
((1.3))
3
(0,0)
5
5
3
5
2
4
3
4
0
1
3
3
5
0
(0,0)
5
3
3
3
0
3
3
5
1
Polígonos regulares y billares
k cerrado, acotado, convexo int k ≠ φ , k ⊂ ℜ 2
f
t
de
d k suave a pedazos
d
∂ k frontera
bola de billar=punto en el interior de k
B l se mueve a velocidad
Bola
l id d constante
t t en línea
lí
recta hasta que choca con un punto P ∈ ∂k .
Si P es regular (frontera suave) la bola de
billar rebota en la dirección determinada por
la reflexión sobre la única recta tangente en
P Si P no es regular
P.
l la
l bola
b l se “mueve”.
“
” La
L
bola genera una trayectoria de tipo billar.
Una trayectoria de tipo billar es periódica si
regresa donde empezó.
1
2
3
4
5
6
7
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
Posición clave 4
Posición natural 4
Ángulo natural 3
Posición clave – ángulo natural = 4 – 3 =1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
Posición clave 3.5
35
Ángulo natural 2
1
2
3
4
5
6
7
S
R
4
Q
P
1
O
N
7
M
L
T
K
5U
J
V
I
A
B
C
6
D
E
F
G
3
H
2
10
P
4
Q
1
7
5
6
2
6
S
3
R
¿Cuántas veces rebota la bola antes de
llegar al punto Q?
Polígonos regulares y billares
{
{
{
{
En los puntos “suaves” la bola
rebota en la dirección determinada
por la reflexión.
p
En los puntos no suaves la bola se
mueve
La bola genera una trayectoria de
tipo billar
Una trayectoria de tipo billar es
periódica si regresa donde empezó
Cierto para cualquier polígono regular de n lados
Teorema
{
{
Un p
polígono
g
convexo y cerrado P
en el plano es regular si y sólo si P
contiene una trayectoria periódica
de tipo billar P’ semejante a P.
IDEA DEMOSTRACIÓN:
Ó
z
z
Fácil al tomar P´ el p
polígono
g
formado
por los puntos medios de P
P´una
P
una trayectoria peiódica tipo billar
vértice en P y semejante a P
Observaciones
Cierto para cualquier polígono regular de n lados
El recíproco también es cierto
Figuras de ancho constante
Consideremos una figura convexa
cerrada. En cada dirección la figura se
encuentra limitada por dos rectas
paralelas.
ancho
o
{
ancho
{
Hay
y una infinidad de figuras
g
que
q
tienen el mismo ancho en todas las
direcciones
Círculo
Triángulo de Reuleaux
Teorema
{
{
Una curva suave es de ancho constante si
y sólo si toda trayectoria de tipo billar que
“rebota” hacia la derecha (izquierda)
siempre sigue rebotando hacia la derecha
(izquierda)
No hay trayectorias de tipo
Sine R., Kreinovic V.
Remarks on billiards
Amer. Math
A
M th Monthly
M thl
86, (1979), 204-206
P’
P
α i' + 2
α i +1
α
β i +1
α i −1
α i'
'
i+1
αi
β
i
α i + β i + β i +1 = π
α i' + 2 β i = π
α1 + α 2 + ... + α n = α1' + α 2' + ... + α n' = (n − 2)π
αi =
α i'+1 + α i'
2
Además por la semejanza de P y P’, {α i } y {α i' } son una
permutación una de la otra. Entonces
αi = αi +1
⎛ n−2⎞
αi = ⎜
⎟π
⎝ n ⎠