Electromagnetismo I Semestre: 2014-2 TAREA 7 Dr. A. Reyes-Coronado Solución por Carlos Andrés Escobar Ruı́z ~ en una región del espacio 1.- Problema: (20pts) Considera que el campo magnético B está dado por: ~ = k z êx B donde k es una constante. Calcula la fuerza sobre un espira cuadrada de lado a, que está en el plano Y Z y centrada en el origen, por la que circula una corriente estacionaria I (tú decide la dirección de la corriente). Solución al problema 1 Supongamos que la corriente estacionaria I circula en sentido contrario a las manecillas del reloj. Las fuerzas sobre los lados derecho e izquierdo de la espira son nulas. a Z Z Z Ikêy 2 2 ~ ~ Fizq = I dl × B = I dz(−êz ) × kzêx = −Ikêy zdz = − · z = 0. (1) 2 −a 2 Siguiendo el mismo razonamiento encontramos que Fder es nulo. 2 La fuerza producida en la parte superior de la espira es IaB = Iak( a2 ) = Ik( a2 ), y apunta en la dirección êz , lo mismo para la parte inferior. Formalmente, en las integrales que se deben de realizar, las direcciones de las corrientes son contrarias en la parte inferior y superior, sin embargo, una integral está evaluada con el campo en z = a2 , mientras que la otra en z = − a2 , y dado que el campo magnético es proporcional a z pues cambia de signo, de ahı́ del por qué se tiene el mismo signo. Con lo cual la fuerza total sobre la espira es F~T = Ika2 êz . (2) 2.- Problema: (20pts) Una corriente I fluye por un alambre de radio a. a) Si está uniformemente distribuı́da sobre la superficie, calcula la densidad de corrien~ te superficial K. b) Si está distribuı́da de tal manera que la densidad volumétrica de corriente es ~ inversamente proporcional a la distancia del eje, calcula J. Solución al problema 2 a) Dado que la corriente está uniformemente distribuda sobre la superficie, y la longitud perpendicular a la corriente es la circunferencia, entonces K= I . 2πa 1 (3) b) α J= , r Z ⇒ I= Z 2π Z Jda = 0 0 a α rdrdθ = α2πa , r ⇒ α= I , 2πa (4) por lo tanto J= I . 2πar (5) 3. Problema: (20pts) a) Un fonógrafo del siglo antepasado hace girar un disco cargado con una densidad estática de carga σ uniformemente distribuı́da. Si gira a una velocidad angular ~ ω, calcula la densidad de corriente superficial K. b) Una esfera sólida uniformemente cargada, de radio R y de carga total Q, está centrada en el origen de coordenadas y gira con una velocidad angular constante ω alrededor del eje z. Considerando que la velocidad angular y el radio R son las misma que la del planeta Tierra, y que la carga total es de 1 Coulomb, calcula la densidad de corriente volumétrica J~ en cualquier punto (r, θ, ϕ) dentro de la esfera. Solución al problema 3 ~ está dada por a) La densidad superficial de corriente K ~ = σ~v = σrω êφ . K (6) b) La densidad volumétrica de corriente está dada por J~ = ρ ~v , donde ~v es la velocidad tangencial, que está dada por ~v = ω ~ × ~r, (7) = ωR (êz × êr ), = ωR [êz × (sin θ cos φ êx + sin θ sin φêy + cos(θ) êz )] , = ωr sin θ (− sen φ êx + cos φ êy ) , = ωr sin θ êφ . Entonces, J~ = ρ ~v = 3 Q 4 πR3 ωr sin θ êφ ≈ 6.7 × 10−26 r sin θ êφ C , m3 · s (8) dado que el radio de la Tierra es de aproximadamente 6,378 Km y la velocidad angular de 7.292 × 10−5 1/s . 4. Problema: (20pts) Dos alambres paralelos e infinitos, separados por una distancia d, tienen una densidad de carga lineal λ cada uno (ambos con el mismo signo), y se mueven ambos con una rapidez constante v como se muestra en la figura. ¿Qué tan grande tendrá que ser la rapidez v para que la fuerza de atracción magnética cancele a la fuerza de repulsión eléctrica? ¿Es razonable la velocidad que calculaste? (calcula numéricamente la velocidad empleando unidades de m/s). 2 r !v λ" d" r !v λ" Solución al problema 4 La fuerza de atracción debida a la fuerza magnética por unidad de longitud, para dos alambres paralelos portando corrientes I1 e I2 , separados por una distancia d, está dada por: µ0 I1 I2 µ0 (λv)2 Fm = = . (9) 2π d 2π d Por otro lado, el campo eléctrico sobre un alambre está dado por: E= 1 λ , 2π0 d (10) con lo cual la fuerza eléctrica de repulsión que siente el otro alambre será Fe = 1 λ2 . 2π0 d (11) Cuando la fuerza de atracción magnética sea igual a la fuerza de repulsión eléctrica, es decir, Fm = Fe , de lo cual despejamos la velocidad v para obtener v=√ 1 = c = 3 × 108 m/s, 0 µ0 (12) lo cual es precisamente la velocidad de la luz en el vacı́o. Dado que los alambres reales poseen masa, no es fı́sicamente razonable la velocidad a la cual se cancelan las fuerzas, dado que es sabido que sólo partı́culas sin masa pueden alcanzar estas velocidades. Además, el cálculo correcto deberı́a ser un cálculo relativista! 5. Problema: (20pts) Calcula el momento dipolar magnético del disco cargado girando en el mismo fonógrafo viejito del problema 3. Solución al problema 5 Para un anillo de corriente tenemos que el momento dipolar magnético es m = Iπr2 . En este caso I → σvdr = σωrdr, por lo que hay que integrar sobre todos los anillos que conforman el disco, de lo que obtenemos Z m= R πr2 σωrdr = 0 πσωR4 , 4 (13) con dirección êz si el disco se encuentra en el plano XY. 6. Problema TORITO: (30pts) Un toroide delgado (como una dona de chocolate muy flaquita), con carga total Q y masa M gira alrededor del eje êz . 3 a) Calcula el cociente de su momento dipolar magnético entre su momento angular. A esto se le conoce como la razón giromagnética del objeto. b) Calcula la razón giromagnética de una esfera uniformemente cargada girando. No requieres hacer un cálculo nuevo, solamente describe a la esfera como si estuviera compuesta por anillos infinitesimales y aplica el resultado del inciso anterior. c) De acuerdo a la mecánica cuántica, el momento angular de un electrón girando es ~/2, donde ~ es la constante de Planck. Calcula el momento dipolar magnético del electrón en unidades de A · m2 . Este resultado semi–clásico está de hecho mal por casi un factor de 2! La teorı́a relativista para el electrón desarrollada por Dirac obtiene un factor de 2 exacto, y posteriormente Feynman, Schwinger y Tomonaga calcularon pequeñas correcciones a este factor. La determinación del momento dipolar magnético del electrón es probablemente el logro más fino de la teorı́a electromagnética cuántica, y es uno de los mejores acuerdos encontrados entre la teorı́a y el experimento en la historia de toda la fı́sica. A la cantidad (e~/2m), con e la carga del electrón y m su masa se le conoce como el magnetón de Bohr. !êz r !v r !v Solución al problema 6 a) La corriente está dada por I = λ v, donde λ es la densidad lineal de carga y v es la velocidad tangencial. Suponiendo que el radio del toro es R y que tiene carga Q (despreciando su grosor), entonces: Q Q Qω ~ I= ω ~ ×R= ωR = . (14) 2πR 2πR 2π El área encerrada por la corriente es a = πR2 , de modo que el momento dipolar magnético está dado por Qω Q m=Ia= πR2 êz = ωR2 êz . (15) 2π 2 ~ = ~r × p~, y para este caso: Por otro lado, el momento angular está dado por L ~ = R (M~v ) = R (M ωR ) êz = M ωR2 êz , L (16) entonces, la razón giromagnética g está dada por g= m Q ωR2 Q = = , 2 L 2 M ωR 2M 4 ⇒ m ~ = Q ~ L. 2M (17) b) Dado que g es independiente de R, la misma relación aplica para todo el toro, y por lo tanto para la esfera o cualquier otra figura de revolución, por tanto g= Q . 2M (18) c) Empleando el resultado de los incisos anteriores tenemos que m ~ = Q ~ L 2M (19) y si L para el electrón es ~/2, y considerando la carga del electrón e y su masa me , el momento dipolar magnético está dado por m= e ~ e~ (1.6 × 10−19 C)(1.05 × 10−34 J · s) = = = 4.61 × 10−24 A · m2 . 2 me 2 4 me 4 (9.11 × 10−31 Kg) 5 (20)