Los hadrones y el modelo de quarks Introducción Conceptos básicos de Teoría de Grupos El grupo SU(2) El grupo SU(3) El modelo de quarks Bariones Mesones Masas y momentos magnéticos de los hadrones Los quarks pesados José Ignacio Illana Departamento de Física Teórica y del Cosmos jillana@ugr.es Introducción – En la década de 1960 se descubrieron un gran número de hadrones. Sus propiedades pudieron entenderse al postular que no eran elementales sino compuestos de quarks lo que permitió su clasificación – Los hadrones forman multipletes de una simetría aproximada SU(m) de sabor * Los bariones están compuestos por tres quarks * Los mesones están compuestos por un quark y un antiquark – Los quarks (antiquarks) viven en la representación m (m∗ ) de SU(m) – Los quarks son fermiones de espín 1 2 bajo rotaciones SU(2) – Las interacciones fuertes no distinguen el sabor: partículas idénticas – Para respetar el postulado de simetrización se introduce el grupo SU(3) de color – Nos centraremos en m = 3 sabores: u, d, s Introducción 2 Conceptos básicos de Teoría de Grupos • Grupo ↔ Simetrías Espaciotemporales: Internas: Bajo permutaciones: Ejemplo: Modelo de quarks • Representaciones (irreps): Transformaciones de simetría Sistema físico Continuas traslaciones, rotaciones, Lorentz, . . . Discretas paridad, inversión temporal, . . . Globales conservación de la carga, . . . Gauge interacciones fundamentales Intercambio partículas idénticas, . . . ↔ Simetría interna global y bajo permutaciones ↔ Operadores ↔ Espacio vectorial (invariante e irreducible) • El grupo Sn = {permutaciones de n elementos} [ciclos: e, (12), (132), . . . ] • Grupos de Lie (continuos): Generadores (Ja ) y álgebra de Lie [ Ja , Jb ] = i f abc Jc • El grupo SU(m) = {matrices m × m complejas unitarias con det. unidad} Teoría de Grupos Conceptos básicos 3 • Representación fundamental de SU(m): =m (sobre Vm ) • Representación producto directo (sobre Vmn ) descomponible gráficamente en irreps (tanto de SU(m) como de Sn ) mediante Tableros de Young de n casillas |ii ∈ base de Vm , |αi = |i1 i2 . . . in i ∈ base de Vmn , ik = 1, . . . , m F • Cada Tablero de Young tiene asociado una irrep λ de SU(m) de dimensión H Al Tablero de Young Normal θλ se asocia el simetrizador irreducible eλ 1 2 θ : e = [e + (12)][e − (13)] λ λ 3 Ejemplo con n = 3, m = 2: 1 3 θλp , p = (23) 2 n! F 2×3×1 Hay 2 = de dimensión 2 = = H H 3×1×1 p θλ • Los siguientes subespacios vectoriales de Vmn son invariantes e irreducibles F p ′ n Tλ ( a) = { peλ |αi ; |αi ∈ Vm , p ∈ θλ fijo} ≡ |λαai ; α = 1, . . . , bajo SU(m) H Teoría de Grupos Conceptos básicos 4 El grupo SU(2) 22 − 1 = 3 generadores : Ji = 21 σi i = 1, 2, 3 2 − 1 = 1 generador diagonal : J3 0 1 0 −i Matrices de Pauli σi : σ1 = σ2 = 1 0 i 0 Álgebra de SU(2): [ Ja , Jb ] = iǫ abc Jc σ3 = 1 0 0 −1 (ǫ abc = símbolo de Levi-Civita) ⇒ SU(2) es isomorfo a SO(3) = rotaciones en 3D – Los vectores base | j, j3 i de una irrep son propios de J = J 2 | j, j3 i = j( j + 1) | j, j3 i , j ∈ {0, 21 , 1, 23 , . . . } , 3 ∑ i =1 Ji2 y de J3 J3 = j3 | j, j3 i j3 ∈ { j, j − 1, . . . , − j} Operador escalera J± = J1 ± iJ2 : sube/baja j3 en 1 unidad, ya que [ J3 , J± ] = ± J± – Cada irrep se caracteriza por j y tiene dimensión d = 2j + 1 – Las irreps de SU(2) son reales (equivalentes a sus complejo-conjugadas) Teoría de Grupos El grupo SU(2) 5 El grupo SU(3) 32 − 1 = 8 generadores 3 − 1 = 2 generadores diagonales : Fi = 21 λi : F3 , F8 (conmutan entre sí) i = 1, . . . , 8 Matrices de Gell-Mann λi : 0 1 0 λ1 = 1 0 0 λ4 = 0 1 0 λ6 = 0 0 Teoría de Grupos 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 −i 0 λ2 = i 0 0 λ5 = 0 i 0 λ7 = 0 0 0 0 0 0 0 −i 0 0 0 0 0 0 0 −i i 0 1 0 0 λ3 = 0 − 1 0 0 0 0 λ8 = √1 3 El grupo SU(3): generadores 1 0 0 ⇐ SU(2) ⊂ SU(3) 0 1 0 0 0 −2 6 Álgebra de SU(3): [ Fa , Fb ] = i f abc Fc . Las constantes de estructura no nulas son: f 123 = 1, f 458 = f 678 = √ 3 2 , f 147 = f 156 = f 246 = f 247 = f 345 = − f 367 = Los vectores base | I, I3 , Y i de una irrep son propios de I = 1 2 y perm. cícl. 3 ∑ Fi2 , I3 = F3 , Y = √23 F8 i =1 Hay tres operadores escalera (tres subgrupos con simetría SU(2)): I± = F1 ± iF2 : sube/baja I3 en 1 unidad y no cambia Y U± = F6 ± iF7 V± = F4 ± iF5 : baja/sube I3 en : sube/baja I3 en 1 2 1 2 unidad y sube/baja Y en 1 unidad unidad y sube/baja Y en 1 unidad ∆Y U+ [ I3 , I± ] = ± I± [ I3 , U± ] = ∓ 12 U± [ I3 , V± ] = ± 21 V± [Y, I± ] = 0 [Y, U± ] = ±U± I− [Y, V± ] = ±V± I+ −1 V− Teoría de Grupos V+ 1 El grupo SU(3): álgebra de Lie − 12 −1 1 2 1 ∆I3 U− 7 Notación de pesos: Cada irrep se caracteriza por dos números naturales ( p, q) ( p + 1)(q + 1)( p + q + 2) . 2 La irrep complejo-conjugada de la ( p, q) es la (q, p) y no son equivalentes, en general. Cada irrep ( p, q) está generada por los estados dados por los puntos en el plano ( I3 , Y ) cuya frontera son el hexágono o triángulo siguientes: La dimensión de la irrep es d = Y p p q q I3 p Y Y p p I3 q q I3 p q q ( p, q) Teoría de Grupos ( p, 0) El grupo SU(3): notación de pesos (0, q) 8 Puede haber más de un estado con los mismos ( I3 , Y ) (tienen distinto I). Los estados del borde exterior de ( p, q) tienen ocupación 1, los de la capa siguiente ( p − 1, q − 1) ocupación 2, y así sucesivamente hasta que se alcanza un nivel en el que la ocupación permanece q + 1 si p > q o p + 1 si p < q: Imáx = p+q 2 24 = (3, 1) Teoría de Grupos El grupo SU(3): notación de pesos 9 Ejemplos: Y Y 1 1 0 0 −1 I3 − 21 0 1 2 3 = (1, 0) Teoría de Grupos −1 I3 − 21 0 1 2 3∗ = (0, 1) El grupo SU(3): notación de pesos 10 Ejemplos: Y 1 Y 1 0 0 −1 −1 −2 I3 I3 −1 − 21 0 1 2 1 − 32 −1 − 21 8 = (1, 1) Teoría de Grupos 0 1 2 1 3 2 10 = (3, 0) El grupo SU(3): notación de pesos 11 Relación entre la notación de pesos ( p, q) y los tableros de Young: p es el número de casillas de la primera fila que sobrepasan a las de la segunda fila y q es el número de casillas de la segunda fila que sobrepasan a las de la tercera fila. Ejemplos: Teoría de Grupos = 3 = (1, 0) = 8 = (1, 1) = 3∗ = (0, 1) = 10 = (3, 0) = 6 = (2, 0) = 6∗ = (0, 2) El grupo SU(3): tableros de Young = 1 = (0, 0) 12 El modelo de quarks [Gell-Mann ’62, Neeman ’61, Zweig ’64] – Los quarks (u, d, s) son base de la representación fundamental de SU(3) Sus números cuánticos (isospín I e hipercarga Y) son: [Se toma: I3 = 12 λ3 = diag{ 21 , − 12 , 0}, Y = √2 1 λ8 32 = diag{ 13 , 31 , − 23 }] = 3∗ = (0, 1) = 3 = (1, 0) Quark u d s Q I I3 Y 2 3 − 31 − 31 1 2 1 2 1 2 − 12 1 3 1 3 − 23 0 0 Y Y 1 1 d s̄ u 0 0 ū d̄ s Q = I3 + 12 Y [Q = carga eléctrica/(e > 0)] −1 I3 − 21 0 −1 1 2 I3 − 21 0 1 2 Los antiquarks (u, d, s) tienen todas las cargas opuestas – Cada quark tiene espín El modelo de quarks 1 2 bajo el grupo SU(2) de las rotaciones 13 Bariones SU(2): Tres quarks de espín × 4S 2 MS Mixtas {↑, ↓} × = 2 ⊗ 2 ⊗ 2 = 4 S ⊕ 2 MS ⊕ 2 M A {|λαai} Bases ortonormales λ Simétrica 1 2 2 MA # es |↑↑↑i χS (+ 23 ) = |↑↑↑i es |↓↓↑i χS (− 21 ) = es |↑↑↓i χS (+ 21 ) = √1 (|↑↑↓i + |↑↓↑i + |↓↑↑i) 3 √1 (|↓↓↑i + |↓↑↓i + |↑↓↓i) 3 es |↓↓↓i χS (− 23 ) = |↓↓↓i em |↓↓↑i χ MS (− 12 ) = em |↑↑↓i χ MS (+ 12 ) = (23)em |↑↑↓i χ M A (+ 21 ) = (23)em |↓↓↑i χ M A (− 21 ) = # √1 (2 |↑↑↓i − |↓↑↑i − |↑↓↑i) 6 √1 (2 |↓↓↑i − |↑↓↓i − |↓↑↓i) 6 √1 (|↑↓↑i − |↓↑↑i) 2 √1 (|↓↑↓i − |↑↓↓i) 2 Con |1i ≡ em |αi y |2i ≡ (23)em |αi se construye el vector unitario El modelo de quarks Espín S Bariones en SU(3) 3 2 1 2 | 2 i − h1 | 2 i |1 i ⊥ |1 i k | 2 i − h1 | 2 i |1 i k 14 SU(3): Tres quarks q1 q2 q3 con sabores qi ∈ {u, d, s} × λ Simétrica 10S = 3 ⊗ 3 ⊗ 3 = 10S ⊕ 8 MS ⊕ 8 M A ⊕ 1 A {|λαai} Base ortonormal es |uudi ψS (uud) = es |uuui ψS (uuu) = |uuui es |ddui ψS (ddu) = es |uusi ψS (uus) = es |dddi es |udsi es |ddsi es |ssui es |ssdi es |sssi El modelo de quarks × √1 (|uudi + |udui + |duui) 3 √1 (|ddui + |dudi + |uddi) 3 ψS (ddd) = |dddi √1 (|uusi + |usui + |susi) 3 ψS (uds) = √16 (|udsi + |dusi + |usdi + |sdui + |sudi + |dsui) ψS (dds) = √13 (|ddsi + |dsdi + |sdsi) ψS (ssu) = √13 (|ssui + |susi + |ussi) ψS (ssd) = √1 (|ssdi + |sdsi + |dssi) 3 ψS (sss) = |sssi Bariones en SU(3) 15 {|λαai} λ em |uudi 8 MS em |ddui em |uusi Mixtas em |ddsi em |udsi em |usdi em |ssui em |ssdi (23)em |uudi 8 MA # (23)em |ddui (23)em |uusi (23)em |ddsi (23)em |udsi (23)em |usdi (23)em |ssui (23)em |ssdi El modelo de quarks Bases ortonormales √1 (2 |uudi − |duui − |udui) 6 ψMS (ddu) = √1 (2 |ddui − |uddi − |dudi) 6 ψMS (uus) = √1 (2 |uusi − |suui − |usui) 6 ψMS (dds) = √1 (2 |ddsi − |sddi − |dsdi) 6 ψMS (uds) = 21 (|udsi + |dusi − |sdui − |dsui) 1 √ ψ⊥ MS (uds) = 2 3 (2 |usdi + 2 |sudi − |udsi ψMS (ssu) = √1 (2 |ssui − |ussi − |susi) 6 ψMS (ssd) = √1 (2 |ssdi − |dssi − |sdsi) 6 ψMA (uud) = √1 (|udui − |duui) 2 1 ψMA (ddu) = √ (|dudi − |uddi) 2 ψMA (uus) = √1 (|usui − |suui) 2 ψMA (dds) = √1 (|dsdi − |sddi) 2 1 ψMA (uds) = √ (2 |usdi − 2 |sudi + |udsi − |dusi + |dsui − |sdui) 2 3 1 ψ⊥ M A (uds) = 2 (|udsi − |dusi + |sdui − |dsui) ψMA (ssu) = √1 (|ussi − |suui) 2 ψMA (ssd) = √1 (|dssi − |duui) 2 ψMS (uud) = Bariones en SU(3) 16 Estados simetrizados Decuplete J P = Barión 3+ 2 ψS ( q 1 q 2 q 3 ) χ S ( m J ) m J ∈ {+ 32 , + 21 , − 21 , − 23 } Quarks Función de onda ∆++ uuu ∆+ uud ∆0 udd ∆− ddd Σ∗+ uus Σ ∗0 uds Σ∗− dds Ξ ∗0 uss Ξ∗− dss Ω− sss El modelo de quarks |uuui χS (m J ) √1 (|uudi + |udui + |duui) χ S ( m J ) 3 √1 (|ddui + |dudi + |uddi) χ S ( m J ) 3 |dddi χS (m J ) √1 (|uusi + |usui + |susi) χ S ( m J ) 3 √1 (|udsi + |dusi + |usdi + |sdui + |sudi + |dsui) χ S ( m J ) 6 √1 (|ddsi + |dsdi + |sdsi) χ S ( m J ) 3 √1 (|ssui + |susi + |ussi) χ S ( m J ) 3 √1 (|ssdi + |sdsi + |dssi) χ S ( m J ) 3 |sssi χS (m J ) Bariones en SU(3) 17 Octete JP = 1+ 2 Barión p n Σ+ Σ− El modelo de quarks √1 2 ψ MS ( q 1 q 2 q 3 ) χ MS ( m J ) + ψ M A ( q 1 q 2 q 3 ) χ M A ( m J ) m J ∈ {+ 12 , − 21 } Quarks Función de onda (m J = + 12 ) ↑ ↑ ↓ ↓ ↑ ↑ ↑ ↓ ↑ 1 √ 2 u u d + d u u + u d u uud 3 2 ↓ ↑ ↑ ↑ ↑ ↓ ↑ ↑ ↓ − u u d + d u u + u d u ↑ ↓ ↑ ↑ ↓ ↑ ↓ ↑ ↑ − u u d + d u u + u d u ↑ ↑ ↓ ↓ ↑ ↑ ↑ ↓ ↑ 1 √ 2 d d u + u d d + d u d udd 3 2 ↓ ↑ ↑ ↑ ↑ ↓ ↑ ↑ ↓ − d d u + u d d + d u d ↑ ↓ ↑ ↑ ↓ ↑ ↓ ↑ ↑ − d d u + u d d + d u d ↑ ↑ ↓ ↓ ↑ ↑ ↑ ↓ ↑ 1 √ uus 2 u u s + s u u + u s u 3 2 ↓ ↑ ↑ ↑ ↑ ↓ ↑ ↑ ↓ − u u s + s u u + u s u ↑ ↓ ↑ ↑ ↓ ↑ ↓ ↑ ↑ − u u s + s u u + u s u ↑ ↑ ↓ ↓ ↑ ↑ ↑ ↓ ↑ 1 √ 2 d d s + s d d + d s d dds 3 2 ↓ ↑ ↑ ↑ ↑ ↓ ↑ ↑ ↓ − d d s + s d d + d s d ↑ ↓ ↑ ↑ ↓ ↑ ↓ ↑ ↑ − d d s + d s d + d s d Bariones en SU(3) 18 Octete JP = 1+ 2 (cont.) Nota: Σ0 y Λ0 elegidas para dar isospín correcto Barión Quarks Función de onda (m J = + 12 ) Σ0 1 6 {(|usdi + |sdui)(2 |↑↑↓i − |↓↑↑i − |↑↓↑i) uds (|dusi + |usdi)(2 |↓↑↑i − |↑↓↑i − |↑↑↓i) Λ0 uds 1 √ (|sdui + |dusi)(2 |↑↓↑i − |↑↑↓i − |↓↑↑i)} 2 3 {(|usdi − |sdui)(|↑↓↑i − |↓↑↑i) (|dusi − |usdi)(|↑↑↓i − |↑↓↑i) Ξ0 uss Ξ− dss El modelo de quarks (|sdui − |dusi)(|↓↑↑i − |↑↑↓i)} ↑ ↑ ↓ ↓ ↑ ↑ ↑ ↓ ↑ 1 √ 2 s s u + u s s + s u s 3 2 ↓ ↑ ↑ ↑ ↑ ↓ ↑ ↑ ↓ − s s u + u s s + s u s ↑ ↓ ↑ ↑ ↓ ↑ ↓ ↑ ↑ − s s u + u s s + s u s ↑ ↑ ↓ ↓ ↑ ↑ ↑ ↓ ↑ 1 √ 2 s s d + d s s + s d s 3 2 ↓ ↑ ↑ ↑ ↑ ↓ ↑ ↑ ↓ − s s d + d s s + s d s ↑ ↓ ↑ ↑ ↓ ↑ ↓ ↑ ↑ − s s d + d s s + s d s Bariones en SU(3) 19 – El estado fundamental tiene momento angular orbital L = 0. Por tanto el momento angular total del barión (su espín) J coincide con la suma vectorial de los espines de los tres quarks S. Su paridad es P = (−1) L – La total simetría del estado fundamental [espacial] × [espín] × [sabor] ocasiona un conflicto con el postulado de simetrización: esperamos que bajo el intercambio de fermiones idénticos la función de onda debe ser antisimétrica. Para solucionar este problema se supone que los quarks son la representación fundamental de una simetría SU(3) de color que, a diferencia de la SU(3) de sabor, es exacta: los quarks puden tener color rojo (R), verde (G) o azul (B). Se postula que los hadrones son neutros de color, es decir, pertenecen a la representación singlete de SU(3) de color. Así los bariones pertenecen a la representación antisimétrica 1 A de SU(3) de color: 1 ea |RGBi = √ (|RGBi − |GRBi − |RBGi − |BGRi + |BRGi + |GBRi) 6 de modo que la función de onda [espacial] × [espín] × [sabor] × [color] es en efecto antisimétrica. El modelo de quarks Bariones en SU(3) 20 Los números cuánticos de los multipletes de bariones Y ddd udd uud uuu 1 Y dds 1 d uds uus 0 u 3×3×3 0 =⇒ s dss uss −1 sss −1 I3 − 21 0 −2 1 2 I3 − 32 El modelo de quarks Bariones en SU(3) −1 − 21 0 1 2 1 3 2 21 Decuplete Y JP = 3+ 2 ∆− (L = 0, S = 32 ) ∆0 ∆+ ∆++ 1 Σ ∗− Σ ∗0 Σ ∗+ 0 ∗− ∗0 Ξ Ξ −1 Ω − −2 I3 − 32 El modelo de quarks −1 − 21 0 1 2 1 3 2 Quarks I I3 Y M [MeV] ∆++ uuu 1232 uud 1 1232 ∆0 udd 1 1232 ∆− ddd 1 1232 Σ∗+ uus 1 3 2 1 2 − 12 − 32 1 ∆+ 3 2 3 2 3 2 3 2 1 0 1383 Σ ∗0 uds 1 0 0 1384 Σ∗− dds 1 0 1387 Ξ ∗0 uss dss −1 1530 Ξ∗− 1 2 1 2 −1 Ω− sss 0 −2 1672 Bariones en SU(3) 1 2 − 12 0 −1 1530 22 Octete JP = 1+ 2 Y (L = 0, S = 21 ) p n 1 Σ− Σ0 Λ0 Σ+ 0 Ξ− Ξ0 −1 I3 −1 − 21 El modelo de quarks 0 1 2 1 Quarks I I3 Y M [MeV] p uud 938 udd 1 939 Λ0 uds 0 1 2 − 12 1 n 1 2 1 2 0 0 1115 Σ+ uus 1 1 0 1189 Σ0 uds 1 0 0 1192 Σ− dds 1 0 1197 Ξ0 uss dss −1 1314 Ξ− 1 2 1 2 −1 Bariones en SU(3) 1 2 − 12 −1 1321 23 Mesones SU(2): Un quark y un antiquark, ambos de espín × Antisimétrica El modelo de quarks = 2 ⊗ 2 = 3S ⊕ 1 A {|λαai} Base ortonormales λ Simétrica 1 2 3S 1A es |↑↑i χS (+1) = |↑↑i es |↓↓i χS (−1) = |↓↓i ea |↑↓i χ A (0) = es |↑↓i χ S (0) = Espín S √1 (|↑↓i + |↓↑i) 2 1 √1 (|↑↓i − |↓↑i) 2 0 Mesones en SU(3) 24 SU(3): Un quark q y un antiquark q de sabores q ∈ {u, d, s}, q ∈ {u, d, s} = 3 ⊗ 3∗ = 8 ⊕ 1 × – Nota: El grupo SU(3) de sabor posee un subgrupo SU(2) de isospín I. Los multipletes de isospín de las antipartículas deben ser definidos con cuidado (deben transformarse igual y tener I3 opuesto). Así, por ejemplo: u′ d′ Por tanto: 0 −1 | {z = 1 0 π e−i 2 σ2 u d } ⇒ −d I I3 Estado 1 1 1 0 −ud 1 0 El modelo de quarks u ′ ′ = 0 −1 1 0 −d u √1 (uu − dd) 2 −1 du 0 √1 (uu + dd) 2 Mesones en SU(3) 25 λ Base ortonormal |C i ≡ | Bi ≡ | Ai ≡ I I3 Y (No hay simetría de intercambio) 0 0 0 0 0 0 1 0 0 ← Este deber ser el singlete ) −ud 1 1 0 du 1 −1 0 us 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 − 12 1 2 − 12 1 √1 (uu + dd + ss) 3 √1 (uu + dd − 2ss) 6 √1 (uu − dd) 2 ds sd su Ortogonales a |C i con I3 = Y = 0 ↓ Los seis estados restantes 1 −1 −1 – Los estados | Bi (octete) y |C i (singlete) no se mezclan bajo transformaciones de SU(3) pero tienen los mismos I = Y = 0. Pueden superponerse. Por ejemplo: L = 0, S = 0 : L = 0, S = 1 : El modelo de quarks √1 (uu + dd − 2ss), 6 ≈ √1 (uu + dd), 2 |η i ≈ |ω i Mesones en SU(3) |η ′ i ≈ √1 (uu + dd + ss) 3 |φi ≈ ss 26 Los números cuánticos de los multipletes de mesones – El espín J del mesón es la suma vectorial de L y S del sistema quark-antiquark S. La paridad es el producto de la paridad intrínseca y la extrínseca P = −(−1) L – Un mesón neutro es autoestado de conjugación de carga con C = (−1) L+S Y 1 d u Y 0 s 1 I3 0 s̄ us̄ 1 −1 Y −1 2 ds̄ 1 2 3 × 3∗ =⇒ dū 0 sū 0 ū sd̄ −1 d̄ I3 −1 I3 − 12 El modelo de quarks ud̄ uū, dd̄, ss̄ 0 −1 − 21 1 2 Mesones en SU(3) 0 1 2 1 27 Nonete J P = 0− (L = 0, S = 0) (octete y singlete casi no se mezclan) π0 Y K0 π+ K+ 1 π− π− π 0 , η, η ′ η π+ 0 K+ K− K̄ 0 −1 I3 −1 − 21 0 1 2 1 Función de onda∗ I I3 Y M [MeV] √1 (uu − dd) 2 1 0 0 135 −ud 1 1 0 140 du 1 0 140 √1 (uu + dd − 2ss) 6 0 −1 0 0 547 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 − 12 − 12 1 2 1 493 −1 493 1 498 −1 498 0 0 0 958 us K− su K0 ds K 0 η′ −sd √1 (uu + dd + ss) 3 ∗ [multiplicar por χ A (0)] Nota: π 0 , η y η ′ tienen J PC = 0−+ El modelo de quarks Mesones en SU(3) 28 Nonete J P = 1− (L = 0, S = 1) (octete y singlete se mezclan) Función de onda∗ I I3 Y M [MeV] √1 (uu − dd) 2 1 0 0 775 −ud 1 1 0 775 du 1 0 775 ω √1 (uu + dd) 2 0 −1 0 0 782 K ∗+ us 892 su ds −1 892 K ∗0 1 2 − 12 − 12 1 2 1 K ∗− 1 2 1 2 1 2 1 2 1 892 892 0 0 −1 ρ0 Y K ∗0 ρ+ K ∗+ 1 ρ− ρ− ρ0 , ω, φ ω+ 0 K̄ ∗0 K ∗− −1 I3 −1 − 21 0 1 2 1 K ∗0 −sd ss φ ∗ [multiplicar 0 1020 por χS (m J )] Nota: ρ0 , ω y φ tienen J PC = 1−− El modelo de quarks Mesones en SU(3) 29 Masas y momentos magnéticos de los hadrones Diferencias de masa en multipletes de isospín Atribuirlas a la interacción eléctrica entre quarks constituyentes y mu 6= md 6= ms . Por ejemplo, para los hiperones Σ: Σ+ (1189) = uus Σ0 (1192) = uds Σ− (1197) = dds tendríamos, suponiendo interacción eléctrica entre pares de quarks, MΣ+ = M0 + ms + 2mu + ( Q2u + Qu Qs + Qu Qs )δ MΣ0 = M0 + ms + md + mu + ( Qu Qd + Qu Qs + Qd Qs )δ , 1 e2 δ= 4πǫ0 r MΣ− = M0 + ms + 2md + ( Q2d + Qd Qs + Qd Qs )δ de donde 1 md − mu = [ MΣ− + MΣ0 − 2MΣ+ ] = 3.7 MeV 3 que confirma la similitud entre los quarks del doblete de isospín Hadrones Diferencias de masa en multipletes de isospín u d . 30 Masas de los bariones Las masas de los hadrones de un mismo multiplete no son iguales. Suponer que el hamiltoniando de la interacción fuerte H contiene un término H ′ que rompe SU(3): H = H0 + H ′ donde H ′ conmuta con los generadores diagonales I3 e Y. [vid. valores tablas] Fórmula de Gell-Mann–Okubo (empírica, consistente con lo anterior) 2 Y para bariones: M = M0 + M1 Y + M2 I ( I + 1) − 4 ⇒ Decuplete de bariones JP = 3+ 2 , cumplen Y = 2( I − 1): [ A ≈ 1380 MeV, M = A + BY ⇒ Octete de bariones JP = 1+ 2 : 3MΛ0 + MΣ0 = 2Mn + 2MΞ0 Hadrones B ≈ −150 MeV] [se cumple con una precisión del 5h] Masas de los bariones 31 Masas de los mesones Suponer que la relación entre masas es cuadrática. Fórmula de Gell-Mann–Okubo para mesones: M2 = M02 + M12 Y + M22 Y2 I ( I + 1) − 4 ⇒ Octete de mesones psedoescalares J P = 0− : 2 2 2 3Mη2 + Mπ 0 = 2MK 0 + 2M 0 K y como MK0 = MK0 se obtiene finalmente 2 2 3Mη2 + Mπ 0 = 4MK 0 que se cumple con una precisión del 8%. Hadrones Masas de los mesones 32 Momentos magnéticos de los bariones El operador momento dipolar magnético de un fermión sin estructura, de espín 21 , carga Q y masa m es: eh̄ ~µ = Q ~σ ≡ µ~σ 2m Para un barión constituido por tres quarks i = 1, 2, 3 el modelo de quarks predice ~µ = ∑ ~µi i =⇒ µbarión = hψ| ∑ µi σ3i |ψi i donde ψ es su función de onda en el estado de m J = J. Teniendo en cuenta que sólo se están considerando las contribuciones de los quarks de valencia (quarks constituyentes), el éxito del modelo es bastante bueno, como muestra la siguiente tabla. Hadrones Momentos magnéticos de los bariones 33 p n Λ0 Σ+ Σ0 Σ− Ξ0 Ξ− Ω− Modelo de quarks µ/µ N Experimento µ/µ N 1 3 (4µu − µd ) 1 3 (4µd − µu ) — +2.792 847 351 ± 0.000 000 028 µs 1 3 (4µu − µs ) 1 3 (2µu + 2µd − µs ) 1 3 (4µd − µs ) 1 3 (4µs − µu ) 1 3 (4µs − µd ) 3µs — — +2.67 +0.79 −1.913 042 7 ± 0.000 000 5 −0.613 ± 0.004 +2.458 ± 0.010 — −1.09 −1.160 ± 0.025 −0.49 −0.6507 ± 0.0025 −1.43 −1.84 −1.250 ± 0.014 −2.02 ± 0.05 donde se ha usado como unidad el magnetón nuclear µ N ≡ Nota: Si suponemos mu = md , el modelo de quarks predice eh̄ 2m p µn 2 = − ≈ −0.667, µp 3 µn bastante de acuerdo con el valor experimental = −0.685 µp Hadrones Momentos magnéticos de los bariones 34 Los quarks pesados El quark c (mesón J/ψ: SLAC y Brookhaven, 1974; mc ≈ 1.5 GeV) Se introduce un cuarto sabor, ampliándose la simetría a SU(4). El quark b (mesón Y: Fermilab, 1977; mc ≈ 4.5 GeV) Se introduce un quinto sabor, ampliándose la simetría (aún más aproximada) a SU(5). El quark t (pp → tt̄ + X: Fermilab, 1994; mt ≈ 170 GeV) Tan pesado que puede decaer débilmente: t → Wb antes de hadronizarse. Números cuánticos (conservados en interacciones fuertes). Quark d u s c b t Los quarks pesados Y Q = I3 + 2 Y = B+S+C+B+T Q I I3 S C B T − 13 1 2 1 2 − 12 0 0 0 0 1 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 S = strangeness 0 0 −1 0 1 0 0 C = charm 0 0 0 0 0 B = beauty o bottomness 0 0 0 0 −1 1 T = topness 2 3 − 13 2 3 − 31 2 3 0 c, b y t B = número bariónico = 1 3 35 Ξ cc+ SU(4) + Ωcc (a) Σc 0 ddc Ξ c0 SU(3) n Σ− ++ Ξ cc dcc ucc scc Λ+c, Σ c+ uuc udc dsc 0 usc Ω ssc c Ξ c+ n udd dds uud uds Λ ,Σ dss 0 Ξ Ds+ Σc++ p uus K0 Σ + π – 0 K Σ c0 ddc Ξc ∆ SU(3) + Ωcc ddd Σ ∆ udd uds − dds Ξ − + Ξ c Ωc0 ∆+ Σ0 uss dss sss Ω− uud uus Ξ0 ++ uuu ∆ dc− − sc ds− π+ K0 uc− D0 − − cs cd− cu − du − ud Ds− Ds* + D* − dc− − sc o SU(3) (b) D* + K *+ ρ 0 ω us− − + − J/ ψ φ sd− ud ρ su K *− Σ+ K *0 uc− D*0 o SU(3) Ds* − Bariones Los quarks pesados ρ − D+ + K π η ηc η ′ sd− D*0 K *0 Σ c++ (a) us− 0 Y usc ssc – I uuc udc 0 ++ Ξ cc Σ c+ dsc 0 − ( dcc ucc scc − su D– C (b) ds− − du Ω ++ ccc + Ξ cc − − cs cd− cu D0 uss Ξ− u,d,s,c Mesones SU(4) 36