Teoría de Muestreo - Université de Neuchâtel

Teoría de Muestreo
Yves Tillé
Groupe de Statistique, Université de Neuchâtel
Espace de l’Europe 4, Case postale 1825, 2002 Neuchâtel , Suisse
email : yves.tille@unine.ch
18 de enero de 2005
Índice general
1. Población, diseño muestral, y estimación
1.1. Población finita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2. Plan de muestreo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3. El estimador de Horvitz-Thompson . . . . . . . . . .
1.4. Estimación de N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5. Mala propiedad del estimador de Horvitz-Thompson
1.6. El problema de los elefantes de Basu (1971) . . . . .
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2. Muestreo simple
2.1. Muestreo simple sin reemplazamiento (o muestro aleatorio
2.2. La varianza del plan simple sin reemplazamiento . . . . .
2.3. Algoritmo de selección-rechazo . . . . . . . . . . . . . . .
2.4. Planes simples con reemplazamiento . . . . . . . . . . . .
2.5. Comparación de los planes simples . . . . . . . . . . . . .
simple
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3. Estratificación
3.1. Población y estratos . . . . . . . . . . . . . . .
3.2. Muestra, probabilidad de inclusión , estimación
3.3. Probabilidad de inclusión . . . . . . . . . . . .
3.4. Plan estratificado con afijación proporcional . .
3.5. Plan estratificado óptimo para el total . . . . .
3.6. Nota sobre la optimalidad en estratificación . .
3.7. Optimalidad y coste . . . . . . . . . . . . . . .
3.8. Tamaño de muestra mínimo . . . . . . . . . . .
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4. Planes con conglomerados, multi-etápicos, y multi-fases
4.1. Planes con conglomerados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.1. Notación y definición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.2. Selección de los conglomerados con probabilidades iguales . . .
4.1.3. El plan sistemático . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2. Plan bietápico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.1. Población, unidades primarias y secundarias . . . . . . . . . . .
4.2.2. El estimador de Horvitz-Thompson . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.3. Selección de las unidades primarias con probabilidades iguales .
4.2.4. Plan bietápico autoponderado . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3. Planes multi-etápicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4. Muestreo en dos fases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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5. Muestreo con probabilidades desiguales
5.1. Información auxiliar y probabilidades de inclusión . . . . . .
5.2. Cálculo de las probabilidades de inclusión . . . . . . . . . . .
5.3. Muestreo con probabilidades desiguales con reemplazamiento
5.4. Plan de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5. Muestreo de entropía máxima con tamaño fijo . . . . . . . . .
5.6. El diseño muestral sistemático . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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5.7. El método de escisión . . . . . . . . . . . . . . .
5.7.1. Escisión en dos partes . . . . . . . . . . .
5.7.2. Escisión en M partes . . . . . . . . . . . .
5.7.3. Plan con un soporte mínimo . . . . . . . .
5.7.4. Escisión en planes simples . . . . . . . .
5.7.5. El método del pivote . . . . . . . . . . . .
5.7.6. Método de Brewer . . . . . . . . . . . . .
5.8. Varianza en planes con probabilidades desiguales
6. Muestreo equilibrado
6.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2. Representación por un cubo . . . . . . .
6.3. Muestras equilibradas . . . . . . . . . .
6.4. La martingala equilibrada . . . . . . . .
6.5. Implementación de la fase de vuelo . . .
6.6. Método simple. . . . . . . . . . . . . . .
6.7. Implementación de la fase de aterrizaje
6.8. Varianza en un plan equilibrado . . . . .
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7. Estimación con informaciones auxiliares y planes simples
7.1. Postestratificación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.1.1. El problema y la notación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.1.2. El estimador postestratificado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.1.3. Propiedad del estimador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2. Estimación de calibración sobre márgenes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2.1. El problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2.2. Calibración sobre márgenes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2.3. Estimación de calibración . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3. La variable auxiliar es cuantitativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3.1. El problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3.2. Notación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3.3. Estimación de diferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3.4. Estimación de razón . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3.5. Precisión del estimador de razón . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3.6. Estimación de regresión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3.7. Discusión de los tres métodos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3.8. Comparación del estimador de diferencia y del estimador de Horvitz-Thompson
7.3.9. Comparación del estimador de razón y del estimador de Horvitz-Thompson . .
7.3.10. Comparación del estimador de razón y del estimador de diferencia . . . . . . .
7.3.11. Comparación del estimador de regresión con los otros estimadores . . . . . . .
8. Estimación con informaciones auxiliares y planes complejos
8.1. El problema y la notación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.2. El estimador de regresión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.2.1. Otra presentación del estimador de regresión . . . . . .
8.2.2. Calibración del estimador de regresión . . . . . . . . . .
8.2.3. Estimación de razón . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.2.4. Plan simple y estimación de regresión . . . . . . . . . .
8.3. Estimación de calibración . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.3.1. El método . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.3.2. Elección de la pseudo-distancia . . . . . . . . . . . . . .
8.3.3. El método lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.3.4. El método del “raking ratio” . . . . . . . . . . . . . . . .
8.3.5. El método logit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.3.6. El método lineal truncado . . . . . . . . . . . . . . . . .
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9. Estimación de la varianza por linealización
9.1. Orden de magnitud en probabilidad . . . . .
9.2. Aproximación de la varianza por linealización
9.2.1. Linealisación de una función de totales
9.3. Estimación de la varianza . . . . . . . . . . .
9.4. Linealización por etapas . . . . . . . . . . . .
9.5. Descomposición en etapas de la linealización .
9.6. Linealización del estimador de regresión . . .
10.Referencias
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.
.
.
.
.
65
65
69
69
71
72
72
73
74
3
Capítulo 1
Población, diseño muestral, y estimación
1.1.
Población finita
El objetivo es estudiar una población finita
U = {1, . . . , N }
de tamaño N .
La variable de interés y toma el valor yk , k ∈ U.
Vamos a estudiar una función de interés de los yk ,
θ = f (y1 , . . . , yk , . . . , yN ).
El total y la media
Y =
X
yk , e Y =
k∈U
k∈U
La varianza
σy2 =
1 X
yk .
N
1 X
(yk − Y )2 .
N
k∈U
La cuasivarianza
Sy2 =
1 X
(yk − Y )2 .
N −1
k∈U
1.2.
Plan de muestreo
Una muestra s es un subconjunto de la población
s ⊂ U.
Un diseno muestral p(s) es una distribución de probabilidad sobre todas las muestras posibles
X
p(s) = 1.
s⊂U
La muestra aleatoria S toma el valor s con la probabilidad
P r(S = s) = p(s).
Las variables indicadoras son definidas por :
½
1
Ik =
0
si la unidad k ∈ S
si la unidad k ∈
/S
4
La probabilidad de inclusión
πk = E(Ik ) = P r(k ∈ S) =
X
p(s).
s3k
La probabilidad de inclusión de segundo orden:
πk` = E(Ik I` ) = P r(k y ` ∈ S) =
X
p(s).
s3k,`
Además
½
∆k` = Cov(Ik , I` )
πk (1 − πk )
πk` − πk π`
si k = `
si k =
6 `
Si el diseño muestral es de tamaño fijo, entonces
X
πk = n
k∈U
X
πk` = nπk
(con )πkk = πk .
`∈U
1.3.
El estimador de Horvitz-Thompson
El estimador de Horvitz-Thompson viene dado por
X yk
Ybπ =
,
πk
k∈S
e
1 X yk
Yb π =
.
N
πk
k∈S
El estimador de Horvitz-Thompson es insesgado, si πk > 0, k ∈ U,
Ã
!
³ ´
X yk
b
E Yπ
= E
πk
k∈S
Ã
!
X yk
= E
Ik
πk
k∈U
X yk
=
E (Ik )
πk
k∈U
X yk
=
πk
πk
k∈U
X
=
yk
k∈U
=
Y.
La varianza del estimador de Horvitz-Thompson es
³ ´ X y2
X X yk y`
k
V ar Ŷπ =
∆k` .
πk (1 − πk ) +
2
πk
πk π`
k∈U
(1.1)
k∈U `∈U
`6=k
Se puede demostrar que con un tamaño fijo de muestra
¶2
³ ´ −1 X X µ y
y`
k
V ar Ŷπ =
−
∆k` .
2
πk
π`
k∈U `∈U
`6=k
5
(1.2)
La varianza puede estimarse por
³ ´ X y2
X X yk y` ∆k`
k
(1 − πk ) +
Vd
ar Ŷπ =
.
2
πk
πk π` πkl
(1.3)
¶2
³ ´ −1 X X µ y
y`
∆k`
k
Vd
ar Ŷπ =
−
.
2
πk
π`
πk`
(1.4)
k∈S
k∈S `∈S
`6=k
Si el plan es de tamaño fijo,
k∈S `∈S
`6=k
1.4.
Estimación de N
Como N es un total
X
N=
1,
k∈U
podemos estimar N por el estimador de Horvitz-Thompson
bπ =
N
X 1
.
πk
k∈S
1.5.
Mala propiedad del estimador de Horvitz-Thompson
El estimador de Horvitz-Thompson tiene una mala propiedad, cuando la variable es constante, yk = C
bπ
1 X yk
1 X C
1 X 1
N
Yb π =
=
=C
=C
N
πk
N
πk
N
πk
N
k∈S
1.6.
k∈S
k∈S
El problema de los elefantes de Basu (1971)
The circus owner is planning to ship his 50 adult elephants and so he needs a rough estimate of the total
weight of the elephants. As weighing an elephant is a cumbersome process, the owner wants to estimate the
total weight by weighing just one elephant. Which elephant should he weigh ? So the owner looks back on his
records and discovers a list of the elephants’ weights taken 3 years ago. He finds that 3 years ago Sambo the
middle-sized elephant was the average (in weight) elephant in his herd. He checks with the elephant trainer
who reassures him (the owner) that Sambo may still be considered to be the average elephant in the herd.
Therefore, the owner plans to weigh Sambo and take 50 y (where y is the present weight of Sambo) as an
estimate of the total weight Y = Y1 + Y2 + . . . + Y50 of the 50 elephants. But the circus statistician is
horrified when he learns of the owner’s purposive samplings plan. “How can you get an unbiased estimate of Y
this way ?” protests the statistician. So, together they work out a compromise sampling plan. With the help
of a table of random numbers they devise a plan that allots a selection probability of 99/100 to Sambo and
equal selection probabilities 1/4900 to each of the other 49 elephants. Naturally, Sambo is selected and the
owner is happy. “How are you going to estimate Y?”, asks the statistician. “Why ? The estimate ought to be
50y of course,” says the owner. Oh! No! That cannot possibly be right,” says the statistician, “I recently read
an article in the Annals of Mathematical Statistics where it is proved that the Horvitz-Thompson estimator
is the unique hyperadmissible estimator in the class of all generalized polynomial unbiased estimators.”
“What is the Horvitz-Thompson estimate in this case?” asks the owner, duly impressed. “Since the selection
probability for Sambo in our plan was 99/100,” says the statistician, “the proper estimate of Y is 100y/99
and not 50y.” “And, how would you have estimated Y,” inquires the incredulous owner, “if our sampling
plan made us select, say, the big elephant Jumbo?” “According what I understand of the Horvitz-Thompson
estimation method,” says the unhappy statistician, “the proper estimate of Y would then have been 4900y,
where y is Jumbo’s weight.” That is how the statistician lost his circus job (and perhaps became teacher of
statistics!).
6
Capítulo 2
Muestreo simple
2.1.
Muestreo simple sin reemplazamiento (o muestro aleatorio simple m.a.s.)
Definición 1 Un diseño muestral es aleatorio simple si todas las muestras de mismo tamaño tienen la
misma probabilidad de ser seleccionadas.
Existe solamente un solo plan simple de tamaño fijo.
 µ ¶−1
 N
si #s = n
p(s) =
n

0
en caso contrario ,
donde
µ
πk =
X
X µ N ¶−1
p(s) =
s3k
s3k
n
N
n
¶
N!
.
n!(N − n)!
µ
¶ µ ¶−1
N −1
N
n
=
= , para todo k ∈ U.
N
n−1
n
=
Probabilidades de inclusión del segundo orden :
πk`
=
X
p(s) =
s3k,`
X µ N ¶−1 µ N − 2 ¶ µ N ¶−1
n(n − 1)
=
=
,
n
n−2
n
N (N − 1)
s3k,`
para todos k 6= ` ∈ U . Luego tenemos,

n(n − 1)
n2
n(N − n)

 πk` − πk π` =
− 2 =− 2
N (N − 1) N
N (N − 1)
∆k` =
³
´

 π (1 − π ) = n 1 − n = n(N − n)
k
k
N
N
N2
1 X N
1X
1 X yk
=
Yb π =
yk =
yk .
N
πk
N
n
n
k∈S
k∈S
k∈S
X N
X yk
N X
=
yk =
Ybπ =
yk = N Yb π .
πk
n
n
k∈S
k∈S
k∈S
7
si k 6= `
si k = `.
(2.1)
2.2.
La varianza del plan simple sin reemplazamiento
h i
V ar Ybπ
=
µ
¶2
−1 X X yk
y`
−
∆k`
2
πk
π`
(2.2)
µ
¶2
y` N
1 X X yk N
n(N − n)
−
2
n
n
N 2 (N − 1)
(2.3)
XX
N (N − n)
1
2
(yk − y` )
n
2N (N − 1)
(2.4)
k∈U `∈U
`6=k
=
k∈U `∈U
`6=k
=
k∈U `∈U
`6=k
=
N2
N − n Sy2
.
N
n
(2.5)
Teorema 1 En un m.a.s., la cuesivarianza de la población es
Sy2 =
1 X
(yk − Y )2 ,
N −1
k∈U
y puede estimarse por
s2y =
1 X
(yk − Yb π )2
n−1
k∈S
Demostración
(
E(s2y ) =
E



=
E
1 X
(yk − Yb π )2
n−1
)
k∈S



XX
1
(yk − y` )2



 2n(n − 1)
k∈S `∈S
`6=k
=
XX
1
(yk − y` )2 E (Ik I` )
2n(n − 1)
k∈U `∈U
`6=k
=
XX
1
n(n − 1)
(yk − y` )2
2n(n − 1)
N (N − 1)
k∈U `∈U
`6=k
=
XX
1
(yk − y` )2
2N (N − 1)
k∈U `∈U
`6=k
=
Sy2 .
2
2.3.
Algoritmo de selección-rechazo
Fan, Muller y Rezucha (1962)y Bebbington (1975)
2.4.
Planes simples con reemplazamiento
Selección con reemplazamiento de manera independiente Se las unidades de la muestra son
ye1 , ..., yei , ..., yem
8
Algorítmo 1
Cuadro 2.1: Método de selección-rechazo
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
Definición k, j : entero; u : real;
k = 0;
j = 0;
= variable aleatoria
uniforme a[0, 1[;
u
¯
¯
¯
¯
seleccionar
la unidad k + 1;
n−j ¯
¯
Si u <
N − k ¯ j = j + 1;
Repetir mientras j < n ¯¯
¯ sino pasar la unidad k + 1;
k = k + 1.
Los yei son m variables aleatorias de varianza
σy2 =
1 X
(yk − Y )2 .
N
k∈U
Se puede estimar Y sin sesgo por
m
1 X
1 X
yk .
Yb CR =
yei =
m i=1
m
e
k∈S
La varianza de Yb CR es
m
m
σy2
1 X 2
1 X
V ar(e
yi ) = 2
σy =
V ar(Yb CR ) = 2
.
m i=1
m i=1
m
y puede estimarse por
m
se2y =
1 X
(e
yi − Yb CR )2 .
m − 1 i=1
La varianza del estimador de la media puede estimarse por
se2y
Vd
ar(Yb CR ) = .
m
9
(2.6)
2.5.
Comparación de los planes simples
Plan simple
Cuadro 2.2: Planes simples
Sin reemplazamiento
Con reemplazamiento
Tamaño de la muestra
n
m
Estimador de la media
1X
Yb SR =
yk
n
1 X
Yb CR =
yk
m
k∈S
³
Varianza del estimador
Esperanza de la varianza
Estimador de la varianza
´
e
k∈S
³
´
(N − n) 2
V ar Yb SR =
Sy
nN
¡ ¢
E s2y = Sy2
σy2
V ar Yb CR =
m
¡ 2¢
E sey = σy2
³
´ (N − n)
s2y
Vd
ar Yb SR =
nN
³
´ se2
y
Vd
ar Yb CR =
m
Ejercicio 1
Seleccione una muestra de tamaño 4 en una población de tamaño 10 según un plan simple sin reemplazamiento
con el método de selección-rechazo. Use las realizaciones siguientes de una variable aleatoria uniforme [0, 1]
:
0, 375489 0, 624004 0, 517951 0, 0454450 0, 632912
0, 246090 0, 927398 0, 32595 0, 645951 0, 178048.
10
Capítulo 3
Estratificación
3.1.
Población y estratos
Población U = {1, ..., k, ..., N } dividida en H subconjuntos, Uh , h = 1, .., H, llamados estratos
H
[
Uh = U y Uh
\
Ui = ∅, h 6= i.
h=1
Siendo Nh el tamaño del estrato Uh .
H
X
Nh = N.
h=1
El objetivo es estimar
Y =
X
H X
X
yk =
k∈U
yk =
h=1 k∈Uh
donde
Yh =
X
H
X
Yh ,
h=1
yk .
k∈Uh
Y =
H
H
1 X X
1 X
1 X
yk =
Nh Y h ,
yk =
N
N
N
k∈U
h=1 k∈Uh
h=1
donde Y h es la media calculada en el estrato h
Yh =
1 X
yk .
Nh
k∈Uh
2
Además, σyh
representa la varianza del estrato h
2
σyh
=
¢2
1 X ¡
yk − Y h
Nh
k∈Uh
y
2
Syh
la cuasivarianza
2
Syh
=
Nh
σ2 .
Nh − 1 yh
La varianza total σy2 se logra por
σy2 =
H
H
1 X
1 X
1 X
2
(yk − Y )2 =
Nh σyh
+
Nh (Y h − Y )2 .
N
N
N
k∈U
h=1
h=1
Esta igualdad es la descomposición clásica de la varianza, que se escribe
2
2
σy2 = σy(intra)
+ σy(inter)
11
(3.1)
2
donde σy(intra)
es la varianza intra-estratos
H
1 X
2
=
Nh σyh
N
2
σy(intra)
h=1
y
2
σy(inter)
es la varianza inter-estratos
2
σy(inter)
=
H
1 X
Nh (Y h − Y )2 .
N
h=1
3.2.
Muestra, probabilidad de inclusión , estimación
Un diseño muestral es estratificado si,
- en cada estrato, se selecciona una muestra simple aleatoria de tamaño fijo nh
- la selección de una muestra en un estrato es independiente de selección de las muestras de los otros estratos.
Sh representa la muestra aleatoria seleccionada en el estrato h con el plan ph (.), donde ph (sh ) = P r(Sh = sh ).
La muestra aleatoria total es
H
[
S=
Sh .
h=1
Además, de manera general s representa un valor posible de S donde
H
[
s=
sh .
h=1
Figura 3.1: Plan estratificado
U1
Uh
U
s
s
s1
H
h
H
El diseño muestral global es p(.) donde
p(s) = P r(S = s).
Por la independencia de las selecciones en cada estrato, tenemos
p(s) =
H
Y
ph (sh ), s =
h=1
H
[
h=1
nh representa el tamaño de la muestra en el estrato h, tenemos
H
X
nh = n,
h=1
donde n es el tamaño de la muestra.
12
sh .
3.3.
Probabilidad de inclusión
Si la unidad k está en el estrato h,
nh
, k ∈ Uh .
Nh
πk =
Para calcular las probabilidades de inclusión de segundo orden, tenemos que separar dos casos :
En el caso donde las unidades k y ` están en el mismo estrato
πk` =
nh (nh − 1)
, k y ` ∈ Uh .
Nh (Nh − 1)
Si dos individuos k y ` están en dos estratos distintos,
πk` =
Se logra
∆k`
nh ni
, k ∈ Uh y ` ∈ Ui .
Nh Ni
 n N −n
h
h
h



 Nh Nh
nh (Nh − nh )
=
− 2


Nh (Nh − 1)


0
El π-estimador
si ` = k, k ∈ Uh
si k y ` ∈ Uh , k 6= `
(3.2)
si k ∈ Uh y ` ∈ Ui , h 6= i.
H
H
X yk
X
X
Nh X
=
yk =
Ybh ,
πk
nh
Ybestrat =
k∈S
h=1
k∈Sh
h=1
y
H
H
1 X yk
1 X
1 X Nh X
Yb strat =
yk =
=
Nh Yb h .
N
πk
N
nh
N
k∈S
k∈Sh
h=1
h=1
donde Ybh es el estimador del total del estrato h
Nh X
yk .
Ybh =
nh
k∈Sh
e Yb h es la media de la muestra en el estrato h
1 X
Yb h =
yk .
nh
k∈Sh
Como la selecciones son independientes entre los estratos y que los planes son simples en los estratos :
ÃH
!
H
H
³
´
³ ´ X
X
X
N h − nh 2
V ar Ybstrat = V ar
Syh .
(3.3)
Ybh =
V ar Ybh =
Nh
nh
h=1
h=1
h=1
La varianza de este estimador puede estimarse sin sesgo por
H
³
´ X
Nh − nh 2
Vd
ar Ybstrat =
Nh
syh ,
nh
h=1
donde
s2yh =
X
1
(yk − Yb h )2 , h = 1, ..., H.
nh − 1
k∈Sh
13
(3.4)
3.4.
Plan estratificado con afijación proporcional
Un plan estratificado tiene una afijación proporcional, si
nh
n
= , h = 1, ..., N.
Nh
N
Suponemos que nh = nNh /N son enteros. El estimador del total es
Ybprop =
H
X
h=1
N X
Ybh =
yk ,
n
k∈S
y el estimador de la media
H
1 X
1X
Nh Yb h =
yk ,
Yb prop =
N
n
h=1
k∈S
donde Yb h es la media de la muestra en el estrato h e Ybh es el estimador del total en el estrato h
1 X
Yb h =
yk .
nh
k∈Sh
La varianza del estimador del total se simplifica
H
N −n X
2
V ar(Ybprop ) =
Nh Syh
,
n
(3.5)
h=1
y la varianza del estimador de la media viene dada por :
H
N −n X
2
Nh Syh
.
V ar(Yb prop ) =
nN 2
(3.6)
H
2
N − n σy(intra)
N −n X
2
=
V ar(Yb prop ) ≈
N
σ
.
h
yh
nN 2
N
n
(3.7)
h=1
2
2
Si N es grande, Syh
≈ σyh
.
h=1
Comparación del plan estratificado con el muestro aleatorio simple.
N − n σy2
V ar(Yb srs ) ≈
.
N n
(3.8)
La varianza del estimador de la media puede estimarse por :
H
N −n X
Vd
ar(Yb prop ) =
Nh s2yh ,
nN 2
(3.9)
h=1
donde
s2yh =
X
1
(yk − Yb h )2 , h = 1, ..., H.
nh − 1
k∈Sh
3.5.
Plan estratificado óptimo para el total
Neyman (1934)
Se busca la afijación para los tamaños en la muestra n1 , ..., nh , ..., nH que maximiza la varianza del estimador
de Horvitz-Thompson para un tamaño de muestreo fijo.
Tenemos que minimizar
H
X
Nh − nh 2
Syh ,
(3.10)
V ar(Ybstrat ) =
Nh
nh
h=1
14
en n1 , ..., nh , ..., nH sujeta a que
H
X
nh = n.
(3.11)
h=1
Podemos escribir la ecuación de Lagrange
H
X
L(n1 , ..., nH , λ) =
h=1
ÃH
!
X
Nh − nh 2
nh − n .
Nh
Syh + λ
nh
h=1
Anulamos las derivadas parciales respecto a los nh e a λ, se logra
N2 2
∂L
= − 2h Syh
+ λ = 0, h = 1, ..., H,
∂nh
nh
(3.12)
y
H
∂L X
=
nh − n = 0.
∂λ
(3.13)
Nh
nh = √ Syh , h = 1, ..., H.
λ
(3.14)
h=1
Luego
y
H
X
PH
h=1
Obtenemos
√
y finalmente
PH
λ=
Nh Syh
√
.
λ
h=1
nh = n =
Nh Syh
.
n
h=1
nNh Syh
, h = 1, ..., H.
nh = P H
h=1 Nh Syh
(3.15)
(3.16)
Nota
Hay un problema de redondeo,
Se puede obtener nh > Nh .
3.6.
Nota sobre la optimalidad en estratificación
Sea una población dividida en dos estratos H = 2 donde queremos estimar la diferencia D = Y 1 − Y 2 .
El estimador
b = Yb 1 − Yb 2 .
D
Como las selecciones de las muestras son independientes entre los estratos
³ ´
³ ´
³ ´
N2 − n2 2
2
b = V ar Yb 1 + V ar Yb 2 = N1 − n1 Sy1
+
S .
V ar D
n1 N1
n2 N2 y2
Se minimiza (3.17) sujeta a que n1 + n2 = n y se logra
Syh
nh = √ , h = 1, 2,
λ
donde λ es el multiplicador de Lagrange. Como n1 + n2 = n, se logra
nh =
nSyh
, h = 1, 2.
Sy1 + Sy2
15
(3.17)
3.7.
Optimalidad y coste
El problema es estimar un total Y para un coste fijado C. Minimizamos la expresión (3.10) sujeta a que
H
X
nh Ch = C,
h=1
donde Ch es el coste de la entrevista en el estrato h.
Obtenemos

N S

 nh = √h yh , h = 1, ..., H,


λCh
H
X


nh Ch = C,


h=1
donde λ es el multiplicador de Lagrange, y
nh = √
3.8.
CNh Syh
√ .
PH
Ch `=1 N` Sy` C`
Tamaño de muestra mínimo
Otra manera de abordar el problema es buscar la afijación que da el tamaño de muestra mínimo para una
varianza fijada.
Sea
ah = nh /n, h = 1, ..., H,
entonces
H
X
ah = 1.
h=1
De (3.10),
V ar(Ybstrat ) =
H
X
Nh
h=1
Nh − nah 2
Syh .
nah
(3.18)
Buscamos entonces un valor mínimo de (3.18) en a1 , ..., aH , para un valor fijado V ar(Ybstrat ) representado
por V . Sustituyendo (3.18) en V ar(Ybstrat ) por V , se logra
V =
H
H
1 X Nh2 2 X
Sh −
Nh Sh2 ,
n
ah
h=1
lo que se puede escribir
PH
n=
Entonces minimizamos
V +
V +
H
X
2
Nh 2
h=1 ah Sh
.
PH
2
h=1 Nh Sh
PH
n=
en a1 , ..., aH , sujeta a que
h=1
(3.19)
2
Nh 2
h=1 ah Sh
.
PH
2
h=1 Nh Sh
(3.20)
ah = 1,
h=1
y después de algunos cálculos, tenemos
Nh Syh
ah = PH
.
`=1 N` Sy`
16
(3.21)
Se logra el mismo tipo de afijación . Finalmente se puede fijar el tamaño de la muestra
³P
n∗ =
H
h=1
V +
Nh Syh
PH
h=1
´2
2
Nh Syh
.
Ejercicio 2
Queremos estimar medias para las empresas de un departamento. Las empresas son clasificadas según el
volumen de negocios y son clasificadas en tres clases. Los datos de un censo son los siguientes :
Volumen de negocios
de 0 a 1
de 1 a 10
de 10 a 100
Número de empresas
1000
100
10
Se quiere seleccionar una muestra de 111 empresas. Si se supone que la distribución es uniforme en cada
estrato, calcule la varianza del estimador de la media del volumen de negocios para un plan con representación
proporcional y para un plan estratificado óptimo.
17
Capítulo 4
Planes con conglomerados,
multi-etápicos, y multi-fases
4.1.
4.1.1.
Planes con conglomerados
Notación y definición
La población U = {1, ..., k, ..., N } se divide en M subconjuntos, Ui , i = 1, .., M, llamados conglomerados
M
[
Ui = U y Ui ∩ Uj = ∅, i 6= j.
i=1
El número Ni de unidades del conglomerado i se llama el tamaño del conglomerado :
M
X
Ni = N,
i=1
donde N es el tamaño de la población U . El total puede escribirse
X
Y =
yk =
M X
X
yk =
i=1 k∈Ui
k∈U
M
X
Yi
i=1
y la media
Y =
M
M
1 XX
1 X
1 X
yk =
yk =
Ni Y i ,
N
N i=1
N i=1
k∈U
k∈Ui
e Yi es el total del conglomerado i e Y i la media del conglomerado i :
X
Yi =
yk , i = 1, ..., M,
k∈Ui
Yi =
1 X
yk , i = 1, ..., M.
Ni
k∈Ui
Además,
2
σyi
representa la varianza del conglomerado i
2
σyi
=
¢2
1 X¡
yk − Y i
Ni
k∈Ui
2
y Syi
la varianza corregida
2
Syi
=
Ni
σ2 .
Ni − 1 yi
Un plan es por conglomerados si
18
se selecciona una muestra de conglomerados sI con un plan pI (sI ), SI representa la muestra aleatoria
tal que P r(SI = sI ) = pI (sI ) y m = #SI , el número de conglomerados seleccionados.
Todas las unidades de los conglomerados seleccionados son observadas :
Figura 4.1: Plan con conglomerados
U1
U2
U i-1 Ui
U3 U 4 U 5
Ui+1
UM-2 UM-1 UM
La muestra aleatoria completa viene dada por
S=
[
Ui .
i∈SI
El tamaño de S es
n=
X
Ni .
i∈SI
El tamaño de la muestra es generalmente aleatorio.
La probabilidad de seleccionar un conglomerado es
X
πIi =
pI (sI ), i = 1, ..., M,
sI 3i
La probabilidad de seleccionar dos conglomerados distintos es
X
pI (sI ), i = 1, ..., M, j = 1, ..., M, i 6= j.
πIij =
sI 3i,j
Si la unidad k está en el conglomerado i, tenemos
πk = πIi , k ∈ Ui .
Para las probabilidades de inclusión del segundo orden hay que separar dos casos :
Si k y ` están en el mismo conglomerado i,
πk` = πIi , k y ` ∈ Ui .
Si k y ` no están en el mismo conglomerado respectivamente i y j,
πk` = πIij , k ∈ Ui y ` ∈ Uj , i 6= j.
Las condiciones de Sen-Yates-Grundy no se verifican.
En efecto, si k y ` ∈ Ui , entonces
2
πk π` − πk` = πIi
− πIi = −πIi (1 − πIi ).
El estimador de Horvitz-Thompson del total y de la media son
Ybπ =
X Yi
,
πIi
i∈SI
19
y
1 X Ni Y i
Yb π =
.
N
πIi
i∈SI
La varianza
V ar(Ybπ ) =
M
M X
M
X
X
Yi2
Yi Yj
(1 − πIi ) +
(πIij − πIi πIj ).
π
π
π
i=1 Ii
i=1 j=1 Ii Ij
(4.1)
j6=i
Si el número de conglomerados es fijo,
M
M
1XX
V ar(Ybπ ) =
2 i=1 j=1
µ
Yj
Yi
−
πIi
πIj
¶2
(πIi πIj − πIij ).
(4.2)
j6=i
Estimación de la varianza
Vd
ar(Ybπ )1 =
X Y2
X X Yi Yj πIij − πIi πIj
i
(1 − πIi ) +
.
2
πIi
πIi πIj
πIij
i∈SI
(4.3)
i∈SI j∈SI
j6=i
Cuando el número de conglomerados seleccionados es fijo, se puede construir otro estimador de esta varianza
mediante (4.2)
µ
¶2
Yi
1 X X
Yj
πIi πIj − πIij
Vd
ar(Ybπ )2 =
−
.
2
πIi
πIj
πIij
i∈SI j∈SI
j6=i
Una aproximación practica (pero sesgada) es
´2
X cIi ³
c∗ ,
Y
−
Y
i
i
2
πIi
Vd
ar(Ybπ )3 =
i∈SI
donde
P
∗
Yc
i = πIi
j∈S cIj Yj /πIj
P
j∈S cIj
,
y donde
m
.
m−1
En los planes por conglomerados, el estimador de Horvitz-Thompson tiene una mala propiedad.
Si la variable es constante (yk = C, para todos k ∈ U ), se logra
cIi = (1 − πIi )
1 X Ni
Yb π = C
.
N
πIi
i∈SI
En este caso, es preferible usar el razón de Hájek :
Ã
Yb R =
X Ni
πIi
!−1 Ã
i∈SI
4.1.2.
X Yi
πIi
!
.
i∈SI
Selección de los conglomerados con probabilidades iguales
Un plan clásico es seleccionar los conglomerados por un m.a.s. de tamaño m.
πIi =
y
πIij =
m
, i = 1, ..., M,
M
m(m − 1)
, i = 1, ..., M.
M (M − 1)
20
(4.4)
El tamaño de la muestra es aleatorio. Su esperanza es
Ã
!
X
X
m
Nm
E (nS ) = E
Ni =
Ni
=
,
M
M
i∈SI
i∈UI
lo que permite construir el estimador de Horvitz-Thompson del total :
M X
Yb =
Yi
m
i∈SI
y de la media
M X
Yb π =
Ni Y i .
Nm
i∈SI
La varianza es
V ar(Yb ) =
¶2
M µ
M −mM X
Y
Yi −
,
M − 1 m i=1
M
(4.5)
y puede estimarse sin sesgo por
M −mM X
Vd
ar(Yb ) =
m−1 m
i∈SI
4.1.3.
Ã
Yb
Yi −
M
!2
.
(4.6)
El plan sistemático
El plan sistemático puede verse como un plan con conglomerados donde se selecciona un solo conglomerado.
4.2.
Plan bietápico
4.2.1.
Población, unidades primarias y secundarias
Sea la población U = {1, ..., k, ..., N } compuesta de M subpoblaciones, Ui , i = 1, ..., M, llamadas unidades
primarias. Cada unidad Ui se compone de Ni unidades secundarias , tenemos
M
X
Ni = N,
i=1
donde N es el tamaño de la población U .
De manera general, un plan bietápico se define de la manera siguiente :
Una muestra de unidades primarias es seleccionada con un plan pI (sI ). SI representa la muestra
aleatoria tal que P r(SI = sI ) = pI (sI ) y m = #SI ;
Si una unidad primaria Ui se selecciona en la primera etapa Ui , se selecciona una muestra si de unidades
secundarias con el plan pi (si ). Si representa la muestra aleatoria de unidades primarias seleccionadas
de manera que P r(Si = si ) = pi (si ) y ni = #Si .
Los planes bietápicos tienen que tener las dos propiedades de invarianza y de independencia. La invarianza significa que los planes pi (si ) de la segunda etapa no dependen de lo que pasó en la primera
etapa, entonces P r(Si = si ) = P r(Si = si |SI ). La independencia significa que las selecciones de la
segunda etapa son independientes las unas de las otras (como en estratificación).
La muestra aleatoria viene dada por
S=
[
Si .
i∈SI
Para la variable y, el total se escribe
Y =
X
k∈U
yk =
M X
X
i=1 k∈Ui
21
yk =
M
X
i=1
Yi ,
Figura 4.2: Plan bietápico
U1
U2
Ui-1 Ui
U3 U 4 U 5
Ui+1
UM-2 U
U
M-1 M
donde Yi es el total calculado en la unidad primaria i
X
Yi =
yk , i = 1, ..., M.
k∈Ui
Del mismo modo, la media calculada en la población se escribe
Y =
M
M
1 X
1 XX
1 X
Ni Y i ,
yk =
yk =
N
N i=1
N i=1
k∈U
k∈Ui
donde Y i es la media calculada en la unidad primaria i
1 X
yk , i = 1, ..., M.
Yi =
Ni
k∈Ui
2
σyi
es la varianza en Ui
2
σyi
=
¢2
1 X¡
yk − Y i ,
Ni
k∈Ui
2
la varianza corregida
y Syi
2
Syi
=
Ni
σ2 .
Ni − 1 yi
La muestra aleatoria total està formada par :
S=
[
Si .
i∈SI
El tamaño de S es
n=
X
ni .
i∈SI
El tamaño de S es generalmente aleatorio.
Podemos definir
- πIi : La probabilidad de seleccionar la unidad primaria Ui .
- πIij , La probabilidad de inclusión del segundo orden para dos unidades primarias Ui y Uj .
Estas probabilidades vienen del plan pI (sI ). Al final, tenemos
½
πIij − πIi πIj si i 6= j
∆Iij =
πIi (1 − πIi )
si j = i.
- πk|i , la probabilidad de seleccionar la unidad k dado que i ha sido seleccionada
- πk`|i la probabilidad de seleccionar conjuntamente k y ` dado que i ha sido seleccionada.
½
πk`|i − πk|i π`|i si k 6= `
∆k`|i =
, i = 1, ..., M.
πk|i (1 − πk|i )
si k = `
La probabilidad de inclusión de la unidad es
πk = πIi πk|i , k ∈ Ui .
Para las probabilidades de inclusión del segundo orden, hay que separar dos casos :
22
(4.7)
(4.8)
Si dos unidades k y ` están en la misma unidad primaria Ui ,
πk` = πIi πk`|i .
Si dos unidades k y ` están en dos unidades primarias distintas , Ui y Uj ,
πk` = πIij πk|i π`|j .
4.2.2.
El estimador de Horvitz-Thompson
El estimador de Horvitz-Thompson del total es
Ybπ =
X X
i∈SI k∈Si
X Ybi
yk
=
,
πIi πk|i
πIi
i∈SI
donde Ybi es el estimador de Horvitz-Thompson de Yi
X yk
Ybi =
,
πk|i
k∈Si
y el estimador de Horvitz-Thompson de la media por
1 X X yk
Yb π =
.
N
πIi πk|i
i∈SI k∈Si
Teorema 2 En un plan bietápico
V ar(Ybπ ) = VU P + VU S ,
donde VU P es la parte que se refiere a las unidades primarias
VU P =
M X
M
X
Yi Yj
∆Iij ,
π π
i=1 j=1 Ii Ij
VU S es la parte que se refiere a las unidades secundarias
VU S =
M
X
V ar(Ybi )
i=1
y
X X
V ar(Ybi ) =
k∈Ui `∈Ui
πIi
,
yk y`
∆k`|i , i = 1, ..., M.
πk|i π`|i
Demostración
La varianza se divide en dos partes :
h i
h
i
h
i
V ar Ybπ = V arE Ybπ |SI + EV ar Ybπ |SI .
La varianza de la esperanza condicional es
h
i
V arE Ybπ |SI = V arE
"
X
i∈SI
¯ #
¯
¯
b
Y i ¯ SI .
¯
Por la propiedad de invarianza
¯ #
"
X ¯¯
X h ¯¯ i X h i X Yi
.
E
Ybi ¯ SI =
E Ybi ¯ SI =
E Ybi =
¯
πIi
i∈SI
Luego
i∈SI
i∈SI
i∈SI
#
"
M X
M
h
i
X
X Yi
Yi Yj
=
∆Iij .
V arE Ybπ |SI = V ar
πIi
π
π
i=1 j=1 Ii Ij
i∈SI
23
(4.9)
La esperanza de la varianza condicional es
h
i
EV ar Ybπ |SI = EV ar
"
¯ #
X Ybi ¯¯
¯ SI .
πIi ¯
i∈SI
Por las propiedades de invarianza y de independencia
"
V ar
h i
¯ #
¯ #
"
¯
V
ar
Ybi
X Ybi ¯¯
X
X
b
Yi ¯
V ar
.
¯ SI =
¯ SI =
2
πIi ¯
πIi ¯
πIi
i∈SI
Luego,
i∈SI
i∈SI
h i
h i

bi
M V ar Y
i
h
X V ar Ybi
X
 =
,
EV ar Ybπ |SI = E 
2
πIi
πIi
i=1
i∈SI
h i
donde V ar Ybi es dado en (4.9).
2
Teorema 3 En un plan bietápico
Vd
ar1 (Ybπ ) = V̂U P + V̂U S
es un estimador insesgado de V ar(Ybπ ), donde V̂U P es la parte de la varianza que se refiere a las unidades
primarias
X X Ybi Ybj ∆Iij
V̂U P =
,
πIi πIj πIij
i∈SI j∈SI
(con πIii = πIi ,) V̂U S es la parte de la varianza que se refiere a las unidades secundarias
V̂U S =
X Vd
ar(Ybi )
,
πIi
i∈SI
y
Vd
ar(Ybi ) =
X X
k∈Si `∈Si
yk y` ∆k`|i
,
πk|i π`|i πk`|i
con πkk|i = πk|i .
Demostración
Como
h
i ½
V ar(Ybi ) + Yi2
E Ybi Ybj |SI =
Yi Yj
si i = j
si i =
6 j,
¯ 
X X Ybi Ybj ∆Iij ¯¯
¯ SI 
EE 
πIi πIj πIij ¯¯
i∈SI j∈SI


X X Yi Yj ∆Iij
X V ar(Ybi )
E
+
(1 − πIij )
2
πIi πIj πIij
πIi

E[V̂U P ]
=
=
i∈SI j∈SI
=
M X
M
X
i=1 j=1
i∈SI
M
X
Yi Yj
∆Iij +
V ar(Ybi )
πIi πIj
i=1
24
µ
1
πIij
¶
−1 .
De otra parte
¯ #
X Vd
ar(Ybi ) ¯¯
= EE
¯ SI
πIi ¯
i∈SI
"
#
X V ar(Ybi )
= E
πIi
"
E[V̂U S ]
i∈SI
M
X
=
V ar(Ybi )
i=1
M
X
V ar(Ybi )
=
i=1
Entonces tenemos
πIi
¶
µ
1
b
+
.
V ar(Yi ) 1 −
πIi
i=1
M
X
E[V̂U P ] + E[V̂U S ] = V ar[Ybπ ].
2
Es importante ver que V̂U P es un estimador sesgado de VU P y que V̂U S es un estimador sesgado de VU S . El
estimador V̂U P sobrestima VU P y prácticamente V̂U P es a veces más grande V̂U S .
De nuevo, hay un estimador más práctico, pero sesgado
¶2 X
´2
X cIi µ
1 X ck|i ³
bi − Yc
c∗ +
Vd
ar2 (Ybπ ) =
Y
yk − ybk∗ ,
(4.10)
i
2
2
πIi
πIi
πk|i
i∈SI
i∈SI
donde
c∗
Yc
i = πIi
P
k∈Si
b
j∈S cIj Yj /πIj
P
j∈S cIj
,
m
cIi = (1 − πIi )
,
m−1
P
ck|i yk /πk|i
Pi
ybk∗ = πk|i k∈S
,
k∈Si ck|i
ck|i = (1 − πk|i )
4.2.3.
ni
.
ni − 1
Selección de las unidades primarias con probabilidades iguales
En las dos etapas se usa un plan simple.
Las probabilidades de inclusión para la primera etapa
πIi =
y
πIij =
m
, i = 1, ..., M
M
m(m − 1)
, i = 1, ..., M, j = 1, ..., M, i 6= j.
M (M − 1)
Para la segunda etapa ni , La probabilidad de inclusión para todo el diseño muestral
πk =
mni
.
M Ni
El estimador de Horvitz-Thompson es
M X X Ni yk
Ybπ =
,
m
ni
i∈SI k∈Si
y su estimador de varianza se simplifica
M − m 2 M X 2 Ni − ni 2
Vd
ar(Ybπ ) = M 2
s +
s ,
Ni
Mm I
m
ni Ni i
i∈SI
25
donde
s2I
Ã
1 X
=
m−1
Ybπ
Ybi −
M
i∈SI
y
s2i
Ã
X
1
=
ni − 1
k∈Si
Ybi
yk −
Ni
!2
,
!2
.
Se puede coger tamaños de muestras de unidades secundarios proporcionales a los tamaños de la población
ni = n0
Ni
,
N
Se logra
n0
, k ∈ Ui .
N
Al final, la probabilidad de inclusión para todo el diseño muestral
πk|i =
πk =
n0 mNi
.
MN
Este plan tiene problemas importantes. El tamaño de la muestra nS es aleatorio, y es de media
Ã
!
Ã
!
X
X
X
Ni
Ni m
mn0 Ni
E (nS ) = E
ni = E
n0
=
n0
=
.
N
N M
N
k∈SI
4.2.4.
k∈SI
k∈UI
Plan bietápico autoponderado
En la primera etapa, se selecciona las unidades primarias con probabilidades de inclusión proporcionales al
tamaño de las unidades primarias
Ni
πIi =
m,
N
Se supone πIi < 1.
En la segunda etapa se selecciona unidades secundarias según un plan aleatorio simple sin reemplazamiento
con un tamaño de muestra ni = n0 constante (en cada unidad primaria).
n0
.
Ni
πk|i =
La probabilidad de inclusión es
πk = πIi πk|i =
Ni mn0
mn0
=
, k ∈ Ui .
N Ni
N
Las probabilidades de inclusión son constantes para todas las unidades primarias de la población.
El plan es de tamaño fijo.
El estimador de Horvitz-Thompson del total es :
N X
Ybπ =
yk .
n
k∈S
4.3.
Planes multi-etápicos
Suponemos que tenemos M unidades primarias y que el primer diseño muestral consiste en seleccionar m
unidades primarias con probabilidades de inclusión πIi para i = 1, ..., M. También SI representa la muestra
aleatoria de unidades primarias seleccionadas. Suponemos que en cada unidad primaria, se puede calcular el
estimador de Horvitz-Thompson Ybi del total Yi para las m unidades primarias seleccionadas. El estimador
de Horvitz-Thompson del total viene dado por
Ybπ =
X Ybi
.
πIi
k∈SI
26
Usando exactamente el mismo desarrollo que por los planes bietápicos, la varianza del estimador de HorvitzThompson es
M X
M
M
X
X
Yi Yj
V ar(Ybi )
∆Iij , +
,
V ar(Ybπ ) =
π π
πIi
i=1 j=1 Ii Ij
i=1
y puede estimarse sin sesgo por
Vd
ar1 (Ybπ )2 =
X X Ybi Ybj ∆Iij
X Vd
ar(Ybi )
+
πIi πIj πIij
πIi
i∈SI j∈SI
o por
Vd
ar2 (Ybπ )2 =
i∈SI
¶2 X d b
X cIi µ
V ar(Yi )
bi − Yc
c∗ +
Y
,
i
2
πIi
πIi
i∈SI
donde
i∈SI
P
∗
Yc
i
= πIi
j∈S cIj Yj /πIj
P
j∈S cIj
y donde
cIi = (1 − πIi )
,
m
.
m−1
Conclusión : la expresión es recursiva
El estimador de Horvitz-Thompson y su estimador de varianza se escribe como una función del estimador
del total y del estimador de la varianza calculada al nivel inferior.
³
´
Ybπ = T Ybi , πIi , i ∈ SI ,
y
³
´
Vd
ar(Ybπ ) = Q Ybi , Vd
ar(Ybi ), πIi , i ∈ SI .
El estimador Vd
ar(Ybi ) puede igualmente escribirse como una función de las etapas inferiores.
4.4.
Muestreo en dos fases
- En la primera fase, se selecciona una muestra con cualquier plan pI (Sa ) de tamaño n (eventualmente con
un plan multi-etápico).
- En la segunda fase, se selecciona una muestra Sb según otro diseño muestral en Sa con un plan p(sb |Sa ) =
P r(Sb = sb |Sa ).
El plan de segundo etapa puede depender de lo que pasó en la primera etapa. Tenemos
πak = P r (k ∈ Sa ) ,
πak` = P r (k y ∈ Sa ) , k 6= `, con πakk = πak ,
½
πak` − πak πa` , k 6= `
∆ak` =
πak (1 − πak ), k = `
además
πbk = P r (k ∈ Sb |Sa ) ,
πbk` = P r (k y ∈ Sb |Sa ) , k 6= `, con πbkk = πbk ,
½
πbk` − πbk πb` , k 6= `
∆bk` =
πbk (1 − πbk ), k = `
Los πbk , πbk` y ∆bk` son variables aleatorias que dependen de Sa .
La probabilidad de inclusión de la unidad k es
πk = πak E(πbk ).
27
Pero esta probabilidad no puede ser calculada. Se estima el total por
X yk
YbE =
,
πak πbk
k∈Sb
que no es el estimador de Horvitz-Thompson, en efecto no se divide los yk por las probabilidades de inclusión.
Este estimador se llama : estimador por expansión. Es insesgado. En efecto,
¯ !
!
Ã
Ã
³ ´
X yk
X yk ¯¯
.
E YbE = EE
¯ Sa = E
πak πbk ¯
πak
k∈Sb
k∈Sb
La varianza del estimador por expansión Särndal y Wretman (1987).
Teorema 4
³
V ar YbE
´
X X yk y`
=
∆ak` + E
πak πa`
k∈U `∈U
Ã
X X
k∈Sa `∈Sa
yk y`
∆bk`
πak πbk πa` πb`
!
,
Esta varianza puede estimarse por
³ ´
X X yk y`
X X
yk y`
∆ak`
∆bk`
Vd
ara YbE =
+
.
πak πa` πak` πbk`
πak πbk πa` πb` πbk`
k∈Sb `∈Sb
k∈Sb `∈Sb
28
(4.11)
Capítulo 5
Muestreo con probabilidades desiguales
Brewer y Hanif, 1983, Gabler, 1990
5.1.
Información auxiliar y probabilidades de inclusión
Variable auxiliar x conocida sobre U .
x es aproximadamente proporcional a y.
Selección de las unidades con probabilidades de inclusión proporcional a x.
Varianza
¶2
³ ´ 1 X X µy
y`
k
V ar Ŷπ =
−
(πk π` − πk` ).
2
πk
π`
(5.1)
k∈U `∈U
`6=k
5.2.
Cálculo de las probabilidades de inclusión
Calculamos
xk n
πk = X , para todo k ∈ U.
x`
`∈U
Algunos de los πk pueden tener πk > 1.
Estas unidades son incluidas en la muestra con una probabilidad 1.
Se vuelve a empezar el cálculo sobre las unidades que quedan.
Al final, tenemos dos grupos :
- un primer grupo de unidades con probabilidades de inclusión iguales a 1
- un segundo grupo con probabilidades de inclusión 0 < πk < 1 y proporcional a xk .
El problema es seleccionar n unidades con probabilidades de inclusión fijadas con
X
πk = n.
0 < πk < 1, para todo k ∈ U, tal que
(5.2)
k∈U
Ejemplo 1. Si N = 6, n = 3, x1 = 1, x2 = 9, x3 = 10, x4 = 70, x5 = 90, x6 = 120, tenemos
X=
X
xk = 300,
k∈U
y entonces
1 nx2
9 nx3
1 nx4
7 nx5
9 nx6
6
nx1
=
,
=
,
=
,
=
,
=
,
= > 1.
X
100 X
100 X
10 X
10 X
10 X
5
La unidad 6 es seleccionada (con una probabilidad 1). Luego, volvemos a calcular las probabilidades de
inclusión
X
xk = 180,
k∈U \{6}
29
y entonces
(n − 1)x1
1
(n − 1)x2
1
(n − 1)x3
1
P
=
,P
=
,P
= ,
x
90
x
10
x
9
`∈U \{6} `
`∈U \{6} `
`∈U \{6} `
(n − 1)x4
7 (n − 1)x5
P
= ,P
= 1.
9
x
`∈U \{6} `
`∈U \{6} x`
Las probabilidades de inclusión son
π1 =
1
1
1
7
, π2 =
, π3 = , π4 = , π5 = 1, π6 = 1.
90
10
9
9
Dos unidades son seleccionadas con una probabilidad 1. El problema es reducido a la selección de una unidad
en una subpoblación de tamaño 4.
5.3.
Muestreo con probabilidades desiguales con reemplazamiento
Hansen y Hurwitz (1943).
Sea
pk = P
xk
`∈U
x`
, k ∈ U,
y
vk =
k
X
p` , con v0 = 0.
`=1
- u es una variable continua, uniforme en [0, 1[
- se selecciona la unidad k tal que vk−1 ≤ u < vk .
- esta operación es repetida m veces de manera independiente.
ỹi es la iésima unidad seleccionada en la muestra
Y es estimado por el estimador de Hansen-Hurwitz
m
1 X ỹi
YbHH =
.
m i=1 pi
Como
·
¸ X
ỹi
yk
E
=
pk = Y,
pi
pk
k∈U
YbHH es un estimador insesgado Y . En efecto,
µ ¶
m
m
´
1 X
ỹi
1 X
b
=
E YHH =
E
Y = Y.
m i=1
pi
m i=1
³
Varianza :
1
V ar[YbHH ] =
m
Ã
X y2
k
− t2y
pk
!
k∈U
y puede estimarse por
¶2
µ
1 X
yk
=
−Y
pk
,
m
pk
k∈U
m
Vd
ar[YbHH ] =
X
1
m(m − 1) i=1
30
µ
ỹi
− YbyHH
pi
¶2
.
(5.3)
5.4.
Plan de Poisson
Cada unidad de U es seleccionada de manera independiente con una probabilidad de inclusión πk .
πk` = πk π` ,
∆k` = πk` − πk π` = 0, para todos k 6= `.
El diseño muestral viene dado por
(
p(s) =
Y
)
πk
×
k∈s

 Y

k∈U \s


(1 − πk ) , para todos s ⊂ U.

(5.4)
En un plan de Poisson, ∆k` = 0 cuando k 6= `,
la varianza del estimador puede ser calculada simplemente
h i X π (1 − π )y 2
k
k k
V ar Ybπ =
,
2
πk
(5.5)
h i
X (1 − πk )y 2
k
Vd
ar Ybπ =
.
πk2
(5.6)
k∈U
y puede estimarse por
k∈Se
5.5.
Muestreo de entropía máxima con tamaño fijo
Buscamos un diseño muestral con la entropía máxima sobre el conjunto de todas las muestras de U de
tamaño fijo n.
Sn = {s|#s = n}.
El problema es maximizar
I(p) = −
X
p(s) log p(s),
s∈Sn
sujeta a que
X
p(s) = πk , y
X
p(s) = 1.
(5.7)
s∈Sn
s3k
s∈Sn
Existe una solución pero es complicada.
p(s)
=
P
exp
P
λk
P
k∈s
s∈Sn exp
k∈s
λk
Un algoritmo (ver Chen y Dempster, y Deville) permite calcular los πk a partir de los λk .
5.6.
El diseño muestral sistemático
Madow (1949)
Método con tamaño fijo.
Tenemos 0 < πk < 1, k ∈ U con
X
πk = n.
k∈U
Sea
Vk =
k
X
π` , para todos k ∈ U, con Vo = 0.
`=1
Una variable uniforme es generada en [0, 1].
- la primera unidad seleccionada k1 es tal que Vk1 −1 ≤ u < Vk1 ,
31
(5.8)
- la segunda unidad seleccionada es tal que Vk2 −1 ≤ u + 1 < Vk2 y
- la jésima unidad seleccionada es tal que Vkj −1 ≤ u + j − 1 < Vkj .
Ejemplo 2. N = 6 y n = 3
π1 = 0, 2, π2 = 0, 7, π3 = 0, 8, π4 = 0, 5, π5 = π6 = 0, 4,
V1 = 0, 2, V2 = 0, 9, V3 = 1, 7, V4 = 2, 2, V5 = 2, 6, V6 = 3.
u = 0, 3658,
Las unidades 2, 3 y 5 son seleccionadas.
Figura 5.1: Muestreo sistemático
0,9
0.2
0
1.7
2.2
2.6
2
1
u
3
u +2
u +1
El algoritmo puede también ser presentado de la manera siguiente :
Primero, se selecciona la unidad k tal que los intervalos [Vk−1 − u, Vk − u[ contienen un número entero.
Algoritmo de muestreo sistemático
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
Definición a, b, u real; k entero;
u = un número aleatorio uniforme en [0,1];
a = −u;
¯
¯ b = a;
¯
Repetir para k = 1, .., N ¯¯ a = a + πk ;
¯ si bac 6= bbc seleccionar k.
El problema es que la mayoría des las probabilidades de inclusión son
La matriz de probabilidades de inclusión viene dada por :

−
0 0, 2 0, 2 0
0
 0
−
0,
5
0,
2
0,
4
0,
3

 0, 2 0, 5 − 0, 3 0, 4 0, 2

 0, 2 0, 2 0, 3 −
0 0, 3

 0 0, 4 0, 4 0
−
0
0 0, 3 0, 2 0, 3 0
−
5.7.
5.7.1.
iguales a cero.








El método de escisión
Escisión en dos partes
(1)
La técnica básica es muy simple : cada πk se separa en dos partes πk
(1)
(2)
πk = λπk + (1 − λ)πk ;
(1)
(2)
0 ≤ πk ≤ 1 y 0 ≤ πk ≤ 1,
X (1) X (2)
πk =
πk = n,
k∈U
(2)
y πk
que verifican :
(5.9)
(5.10)
(5.11)
k∈U
donde λ puede elegirse libremente con 0 < λ < 1. El método consiste en seleccionar n unidades con probabilidades desiguales
(
(1)
πk , k ∈ U, con una probabilidad λ
(2)
πk , k ∈ U, con una probabilidad 1 − λ.
32


π1
 .. 
 . 


 πk 


 . 
 .. 
πN
©
© HH

HH
λ ©©
©©
©
¼©
©

(1)
π1
 .
 ..

 (1)
 πk

 ..
 .
(1)
πN








1−λ
HH
HH
H
j
 (2)
π1
 .
 ..

 (2)
 πk

 ..
 .
(2)
πN









Figura 5.2: Escisión en dos partes
El problema es reducido a otro problema de muestreo con probabilidades desiguales. Si la escisión es tal
(1)
(2)
que uno o algunos de los πk y de los πk son iguales a 0 o 1, el problema de muestreo será más simple en
la próxima etapa porque la escisión es aplicada a una población más pequeña.
5.7.2.
Escisión en M partes
El método puede ser generalizado a una técnica de escisión en M vectores de probabilidades de inclusión.
(j)
Primero, construimos los πk y los λj de manera que
M
X
λj = 1,
j=1
0 ≤ λj ≤ 1 (j = 1, ..., M ),
M
X
(j)
λj πk = πk ,
j=1
(j)
πk
0≤
≤ 1 (k ∈ U, j = 1, ..., M ),
X (j)
πk = n (j = 1, ..., M ).
k∈U
(j)
El método consiste en seleccionar uno de los vectores πk con probabilidades λj (j = 1, ..., M ). De nuevo,
(j)
los πk son tales que el problema de muestreo será más simple en la próxima etapa.
5.7.3.
Plan con un soporte mínimo
(π(1) , ..., π(k) , ..., π(N ) ) representa el vector de probabilidades de inclusión. Luego, definimos
λ
(1)
π(k)
=
mı́n{1 − π(N −n) , π(N −n+1) },
½
0 si k ≤ N − n
=
1 si k > N − n,
33


λ1
©
©
©
¼©
©

(1)
π1
 .
 ..

 (1)
 πk

 ..
 .
(1)
πN









π1
 .. 
 . 


 πk 


 . 
 .. 
πN
©
© HHH
©
λj
H
©
...
?

(i)
π1
 .
 ..

 (i)
 πk

 ..
 .
(i)
πN









λ
HH M
HH
H
j
 (M )
π1
 .
 ..

 (M )
...
 πk

 ..
 .
(M )
πN









Figura 5.3: Escisión en M partes
(2)
π(k)
 π(k)

 1−λ
=

 π(k) − λ
1−λ
if k ≤ N − n
if k > N − n.
Ejemplo 1. Suponemos que N = 6, n = 3, π1 = 0,07, π2 = 0,17, π3 = 0,41, π4 = 0,61, π5 = 0,83,
π6 = 0,91. En este caso, la solución se encuentra en 4 etapas. El vector de probabilidades de inclusión se
separa en dos partes dadaos en las columnas 2 y 3 de la Tabla 1. Con la probabilidad λ = 0,59, la muestra
{4, 5, 6} es seleccionada y con probabilidad 1 − λ = 0,41, otro diseño muestral se aplica con probabilidades
de inclusión dadas por (0.171, 0.415, 1, 0.049, 0.585, 0.780). En la etapa 2, la escisión se aplica al vector y,
en 4 etapas la muestra es seleccionada. El diseño muestral es el siguiente p({4, 5, 6}) = 0, 59; p({3, 5, 6}) =
Cuadro 5.1: Plan con soporte mínima
πk
0, 07
0, 17
0, 41
0, 61
0, 83
0, 91
Etapa 1
λ = 0, 59
0 0, 171
0 0, 415
0
1
1 0, 049
1 0, 585
1 0, 780
Etapa 2
λ = 0, 585
0 0, 412
0
1
1
1
0 0, 118
1
0
1 0, 471
Etapa 3
λ = 0, 471
0 0, 778
1
1
1
1
0 0, 222
0
0
1
0
Etapa 4
λ = 0, 778
1
0
1
1
1
1
0
1
0
0
0
0
(1 − 0, 59) × 0, 585 = 0, 24; p({2, 3, 6}) = (1 − 0, 59 − 0, 24) × 0, 471 = 0, 08; p({1, 2, 3}) = (1 − 0, 59 − 0, 24 −
0, 08) × 0, 778 = 0, 07; p({2, 3, 4}) = 1 − 0, 59 − 0, 24 − 0, 08 − 0, 7 = 0, 02.
El diseño muestral viene dado por p({4, 5, 6}) = 0,59, p({3, 5, 6}) = (1−0,59)×0,585 = 0,24, p({2, 3, 6}) =
(1 − 0,59 − 0,24) × 0,471 = 0,08, p({1, 2, 3}) = (1 − 0,59 − 0,24 − 0,08) × 0,778 = 0,07, p({2, 3, 4}) =
(1 − 0,59 − 0,24 − 0,08 − 0,7) = 0,02.
34
5.7.4.
Escisión en planes simples
Este método permite separar el vector de probabilidades de inclusiones en dos partes. Definimos
½
¾
N
N
λ = mı́n π(1) ,
(1 − π(N ) ) ,
(5.12)
n N −n
y calculamos, para k ∈ U,
(1)
π(k) =
n
πk − λ N
n (2)
, π(k) =
.
N
1−λ
(2)
(2)
Si λ = π(1) N/n, entonces π(1) = 0; si λ = (1 − π(N ) )N/(N − n), entonces π(N ) = 1. En la próxima etapa, el
problema se reduce en la selección de una muestra de tamaño n − 1 o n en una población de tamaño N − 1.
En N − 1 etapas, el problema es reducido.
Ejemplo 2 Con los mismos πk que en el ejemplo 1, el resultado del método viene dado en la Tabla 2. El
Cuadro 5.2: Descomposición en planes simples
πk
0, 07
0, 17
0, 41
0, 61
0, 83
0, 91
Etapa 1
λ = 0, 14
0, 5
0
0, 5 0, 116
0, 5 0, 395
0, 5 0, 628
0, 5 0, 884
0, 5 0, 977
Etapa 2
λ = 0, 058
0
0
0, 600 0, 086
0, 600 0, 383
0, 600 0, 630
0, 600 0, 901
0, 600
1
Etapa 3
λ = 0, 173
0
0
0, 5
0
0, 5 0, 358
0, 5 0, 657
0, 5 0, 985
1
1
Etapa 4
Etapa 5
λ = 0, 045
λ = 0, 688
0
0
0
0
0
0
0
0
0, 667 0, 344 0, 5
0
0, 667 0, 656 0, 5
1
0, 667
1
1
1
1
1
1
1
problema consiste finalmente en seleccionar uno de los 6 planes simples definidos en las columnas de la Tabla
3. λ1 = 0,14, λ2 = (1 − 0,14) × 0,058 = 0,050, λ3 = (1 − 0,14) × (1 − 0,058) × 0,173 = 0,14, λ4 = (1 − 0,14) ×
(1 − 0,058) × (1 − 0,173) × 0,045 = 0,03, λ5 = (1 − 0,14) × (1 − 0,058) × (1 − 0,173) × (1 − 0,045) × 0,688 = 0,44,
λ6 = (1 − 0,14) × (1 − 0,058) × (1 − 0,173) × (1 − 0,045) × (1 − 0,688) = 0,200.
Cuadro 5.3: Escisión en N planes simples
k
1
2
3
4
5
6
5.7.5.
λ1 = 0, 14
0, 5
0, 5
0, 5
0, 5
0, 5
0, 5
λ2 = 0, 050
0
0, 6
0, 6
0, 6
0, 6
0, 6
λ3 = 0, 14
0
0, 5
0, 5
0, 5
0, 5
1
λ4 = 0, 03 λ5 = 0, 44
0
0
0
0
0, 667
0, 5
0, 667
0, 5
0, 667
1
1
1
El método del pivote
Solamente dos probabilidades de inclusión son modificadas : i y j.
Si πi + πj > 1, entonces
1 − πj
λ=
,
2 − πi − πj

k ∈ U \{i, j}
 πk
(1)
1
k=i
πk =

πi + πj − 1 k = j,

k ∈ U \{i, j}
 πk
(2)
πi + πj − 1 k = i
πk =

1
k = j.
35
λ6 = 0, 200
0
0
0
1
1
1
Por otra parte, si πi + πj < 1, entonces
λ=
(1)
πk
(2)
πk
5.7.6.
πi
,
πi + πj

 πk
πi + πj
=

0

 πk
0
=

πi + πj
k ∈ U \{i, j}
k=i
k = j,
k ∈ U \{i, j}
k=i
k = j.
Método de Brewer
Brewer y Hanif, 1983, método 8, p. 26.
Brewer, 1975.
draw by draw procedure
λj
=
Luego, calculamos
(j)
πk
(N
)−1
X πz (n − πz )
πj (n − πj )
.
1 − πz
1 − πj
z=1

 πk (n − 1)
=
n − πj

1
si k 6= j
si k = j.
La validez del método se deriva del resultado siguiente :
Teorema 5
N
X
(j)
λj πk = πk ,
j=1
para todo k = 1, . . . , N,
5.8.
Varianza en planes con probabilidades desiguales
Aproximación de la varianza
X bk
2
(yk − yk∗ ) .
πk2
V ar(Ybπ ) =
k∈U
con
P
bk =
b` y` /π`
`∈U b`
`∈U
yk∗ = πk
P
N πk (1 − πk )
.
(N − 1)
Estimación de la aproximación de la varianza
Vd
ar(Ybπ ) =
X ck
2
(yk − ŷk∗ ) .
πk2
k∈S
con
P
yk∗ = πk
ck =
`∈S c` y` /π`
P
`∈S b`
nπk (1 − πk )
.
(n − 1)
36
Capítulo 6
Muestreo equilibrado
6.1.
Introducción
Thionet (1953)
Royall y Herson (1973)
Deville, Grosbras y Roth (1988),
Ardilly (1991),
Hedayat y Majumdar (1995)
Brewer (1999)
Definición 2 Un diseño muestral p(s) es equilibrado sobre las variables x1 , ..., xp , si verifica las ecuaciones
de equilibrio dadas por
b π = X,
X
(6.1)
lo que se puede también escribir
X xkj
k∈s
πk
=
X
xkj ,
k∈U
para toda s ∈ S tal que p(s) > 0, y para todos j = 1, ..., p, o con otras palabras
³ ´
b π = 0.
V ar X
Ejemplo 3. Un muestreo de tamaño fijo es equilibrado sobre la variable xk = πk , k ∈ U. En efecto,
X
X
X xk
1=
πk = n.
=
πk
k∈S
k∈S
k∈U
Ejemplo 4. Un plan estratificado es equilibrado sobre las variables
½
1 si k ∈ Uh
δkh =
0 si k ∈
/ Uh .
Ejemplo 5. N = 10, n = 7, πk = 7/10, k ∈ U,
xk = k, k ∈ U .
X
X k
=
k,
πk
k∈S
lo que da que
X
k∈U
k = 55 × 7/10 = 38,5,
k∈S
ES IMPOSIBLE: Problema de redondeo.
37
6.2.
Representación por un cubo
Representación geométrica de un diseño muestral.
s = (I[1 ∈ s] ... I[k ∈ s] ... I[N ∈ s])0 ,
donde I[k ∈ s] toma el valor 1 si k ∈ s y 0 sino.
Geométricamente, cada vector s es un vértice de un N -cubo.
X
E(s) =
p(s)s = π,
s∈S
donde π = [πk ] es el vector de probabilidad de inclusión.
(111)
(011)
(010)
(110)
π
(101)
(000)
(100)
Figura 6.1: Muestras posibles en una población de tamaño N = 3
6.3.
Muestras equilibradas
Método del cubo
1. fase de vuelo,
2. fase de aterrizaje.
Las ecuaciones de equilibrio (6.1) pueden también ser escritas
X
X
ak ck =
ak πk
k∈U
(6.2)
k∈U
ck ∈ {0, 1}, k ∈ U,
donde ak = xk /πk , k ∈ U. (6.2) define un subespacio en RN de dimensión N − p.
El problema
Se elige un vértice del N -cubo (una muestra) que queda en el subespacio Q.
Si C representa el N -cubo en RN . Los vértices del N -cubo son las muestras de U , la intersección entre
C y Q es no-vacio, porque π es en el interior de C y pertenecen a Q.
La intersección entre el N -cubo està un subespacio lineal define un poliedro convexo K que es definido
por
©
ª
K = C ∩ Q = [0, 1]N ∩ (π + Ker A)
y tiene la dimensión N − p.
38
Ejemplo 6.
π1 + π2 + π3 = 2. P
xk = πk , k ∈ U y k∈S ck = 2.
(111)
(011)
(010)
(110)
(101)
(000)
(100)
Figura 6.2: Plan de tamaño fijo
Ejemplo 7.
6 × π2 + 4 × π3 = 5.
x1 = 0, x2 = 6 × π2 y x3 = 4 × π3 .
6c2 + 4c3 = 5.
(111)
(011)
(010)
(110)
(101)
(000)
(100)
Figura 6.3: Los vértices de K no son vértices del cubo
Ejemplo 8.
π1 + 3 × π2 + π3 = 4.
39
(111)
(011)
(010)
(110)
(101)
(000)
(100)
Figura 6.4: Algunos vértices de K son vértices del cubo y otros no le son
x1 = π1 , x2 = 3 × π2 y x3 = π3 .
c1 + 3c2 + c3 = 4.
6.4.
La martingala equilibrada
Definición 3 Un proceso aleatorio discreto π(t) = [πk (t)], t = 0, 1, ... en RN se llama una martingala
equilibrada para un vector de probabilidades de inclusión π y para las variables auxiliares x1 , ..., xp , si
1. π(0) = π,
2. E [π(t)|π(t − 1), ...., π(0)] = π(t − 1), t = 1, 2, ...
©
ª
3. π(t) ∈ K = [0, 1]N ∩ (π + Ker A) , donde A es una matriz p×N dada por A = (x1 /π1 . . . xk /πk . . . xN /πN ) .
6.5.
Implementación de la fase de vuelo
Primero, inicializamos por π(0) = π. Luego, En la etapa t = 1, ...., T,
1. Definimos un vector u(t) = [uk (t)] 6= 0 tal que
(i) u(t) es en el núcleo (kernel)de la matriz A,
(ii) uk (t) = 0 si πk (t) es entero.
2. Calculamos λ∗1 (t) y λ∗2 (t), el valor más grande tal que
0 ≤ π(t) + λ1 (t)u(t) ≤ 1,
0 ≤ π(t) − λ2 (t)u(t) ≤ 1.
3. Elegimos
½
π(t) =
π(t − 1) + λ∗1 (t)u(t)
π(t − 1) − λ∗2 (t)u(t)
donde
q1 (t) = λ∗2 (t)/{λ∗1 (t) + λ∗2 (t)}
q2 (t) = λ∗1 (t)/{λ∗1 (t) + λ∗2 (t)}.
40
con una probabilidad q1 (t)
con una probabilidad q2 (t),
6.6.
Método simple.
Definimos un vector v(t) = [vk (t)].

−


X
X


vk (t) − a0k 
a` a0` 
a` v` (t) k ∈ Ut−1
uk (t) =

`∈Ut−1
`∈Ut−1


0
k∈
/ Ut−1 ,
donde Ut = {k ∈ U |0 < πk (t) < 1} y
6.7.
³P
`∈Ut−1
a` a0`
´−
es una generalización de
P
`∈Ut−1
a` a0` .
Implementación de la fase de aterrizaje
Sea T la ultima etapa de la fase 1,
y notamos por π∗ = [πk∗ ] = π(T ). Sea también U ∗ = {k ∈ U |0 < πk∗ < 1} ,
El problema es buscar un plan de muestreo que da una muestra s ⊂ U tal que
X
X
X
ak ≈
ak πk∗ =
ak πk ,
k∈s
k∈U
k∈U
lo que es equivalente a buscar un diseño muestral que da una muestra s∗ ⊂ U ∗ tal que
X
X
ak ≈
ak πk∗ ,
k∈s∗
k∈U ∗
donde s∗ = U ∗ ∩ s.
Como q = #U ∗ es inferior o igual a p,
Solución
Aplicación del algoritmo del símplex sobre el programa lineal,
X
C(s∗ )p(s∗ ),
mı́n
p(.)
sujeto a que
s∗ ⊂U ∗
X
p(s∗ ) = 1,
s∗ ⊂U
X
p(s∗ ) = πk , k ∈ U,
s∗ 3k
0 ≤ p(s∗ ) ≤ 1, s∗ ⊂ U,
donde C(s∗ ) es el coste asociado a la muestra s∗ . Este coste aumenta si las ecuaciones de equilibrio (6.1) no
se verifican.
6.8.
Varianza en un plan equilibrado
³
´
³
´
bpoiss =
V ar Ybbal = V ar E
N X Ek2
πk (1 − πk ) ,
N −p
πk2
k∈U
donde
Ek = yk − x0k B.
41
Capítulo 7
Estimación con informaciones auxiliares
y planes simples
Un estimador de La clase de los estimadores lineales es de la forma
X
Ybw = w0 (S) +
wk (S)yk ,
(7.1)
k∈S
donde los pesos wk (S) pueden depender de la información auxiliar disponible y de los datos observados.
7.1.
7.1.1.
Postestratificación
El problema y la notación
Holt y Smith (1979), Jagers (1986); Jagers, Oden y Trulsson (1985).
La variable auxiliar es cualitativa y puede coger H valores distintos.
Partición de la población U = {1, ..., k, ..., N } en H subconjuntos, Uh , h = 1, .., H, llamados postestratos, tal
que
H
[
\
Uh = U y Uh Ui = ∅, h 6= i.
h=1
El número de elementos del postestrato es Nh .
H
X
Nh = N.
h=1
El total en la población puede escribirse :
Y =
X
yk =
k∈U
H X
X
yk =
h=1 k∈Uh
H
X
Nh Y h ,
h=1
y la media :
Y =
H
H
1 X
1 X X
1 X
yk =
yk =
Nh Y h ,
N
N
N
k∈U
h=1 k∈Uh
h=1
donde Y h representa la media del postestrato h
Yh =
1 X
yk , h = 1, .., H.
Nh
k∈Uh
Además,
2
σyh
representa la varianza del postestrato h
2
σyh
=
¢2
1 X ¡
yk − Y h ,
Nh
k∈Uh
42
2
y Syh
la varianza corregida
Nh
σ2 .
Nh − 1 yh
2
Syh
=
La varianza total σy2 se obtiene a partir de la formula clásica de descomposición de varianza.
σy2 =
H
H
1 X
1 X
1 X
2
(yk − Y )2 =
Nh σyh
+
Nh (Y h − Y )2 .
N
N
N
k∈U
7.1.2.
h=1
(7.2)
h=1
El estimador postestratificado
Se selecciona en la población una muestra aleatoria S con un muestreo aleatorio simple .
Las frecuencias de los postestratos nh son variables aleatorias que tienen una distribución geométrica.
Como πk = n/N, k ∈ U, el estimador de Horvitz-Thompson de Y viene dado por
H
N X
N X
Ybπ =
yk =
nh Yb h ;
n
n
k∈S
h=1
nh >0
donde Yb h es la media de la muestra en el postestrato h
1 X
Yb h =
yk .
nh
k∈Sh
El estimador postestratificado se define por :
H
X
Ybpost =
Nh Yb h .
h=1
nh >0
Es necesario el conocimiento de las frecuencias de la población Nh para calcular este estimador .
Los postestratos tienen que ser bastante grandes
n
Nh
≥ 30,
N
lo que hace que sea muy improbable tener nh nulos.
7.1.3.
Propiedad del estimador
E(Ybpost |nh , h = 1, ..., H) =
H
X
Nh E(Yb h |nh , h = 1, ..., H)
h=1
nh >0
=
H
X
Nh Y h
h=1
nh >0
=
Y −
H
X
Nh Y h .
(7.3)
h=1
nh =0
El sesgo se escribe

EE(Ybpost |nh , h = 1, ..., H)


= E Y −
H
X

Nh Y h 
h=1
nh =0
= Y −
H
X
h=1
43
Nh Y h P r[nh = 0].
Como los nh tienen una distribución geométrica,
µ
¶µ
¶
Nh
N − Nh
r
n−r
µ ¶
P r[nh = r] =
, r = 0, ..., n,
N
n
se obtiene
P r[nh = 0] =
donde
N [n] =
(N − Nh )[n]
,
N [n]
N!
= N × (N − 1) × ... × (N − n + 2) × (N − n + 1),
(N − n)!
lo que da finalmente
E(Ybpost ) = Y −
H
X
Nh Y h
h=1
(N − Nh )[n]
≈ Y.
N [n]
La varianza
V ar(Ybpost ) = V arE(Ybpost |nh , h = 1, ..., H)
+ EV ar(Ybpost |nh , h = 1, ..., H).
Por (7.3),
V arE(Ybpost |nh , h = 1, ..., H) ≈ 0,
y entonces
V ar(Ybpost ) ≈ EV ar(Ybpost |nh , h = 1, ..., H).
(7.4)
Condicionalmente a los nh , el plan es m.a.s. en cada postestrato.
La varianza condicional es entonces la misma que para un plan estratificado
V ar(Ybpost |nh , h = 1, ..., H) =
H
X
Nh
h=1
nh >0
La varianza no-condicional es
V ar(Ybpost ) =
E


H
X


H
X
≈
h=1
Nh − nh 2
Syh .
nh



Nh
h=1
nh >0
N h − nh 2
Syh

nh

½
µ ¶
¾
1
2
Nh Nh E
− 1 Syh
.
nh
Tenemos que calcular la esperanza de n−1
h . Si
²=1−
tenemos
µ
E
1
nh
nh
N nh
=1−
,
E(nh )
nNh
¶
=
1
E
E(nh )
µ
1
1−²
¶
.
Cuando n es grande, podemos considerar que ² está cerca de cero y usar un desarrollo en serie.
µ ¶
1
1
E
≈
E(1 + ² + ²2 ).
nh
E(nh )
Como
E(nh ) = n
Nh
Nh N − Nh N − n
y V ar(nh ) = n
,
N
N
N
N −1
44
(7.5)
(7.6)
se obtiene
µ
E
1
nh
(
µ
¶ µ
¶2 )
1
nh N
nh N
E 1+ 1−
+ 1−
E(nh )
nNh
nNh
½
¾
2
N
N V ar(nh )
1+0+
Nh n
n2 Nh2
N
(N − Nh )N N − n
+
.
Nh n
Nh2
n2 (N − 1)
¶
≈
=
=
(7.7)
Usando el resultado (7.7) en la expresión (7.6),
H
H
N −n X
(N − n)N 2 X N − Nh 2
2
Syh .
V ar(Ybpost ) ≈
Nh Syh
+ 2
n
n (N − 1)
N
h=1
(7.8)
h=1
Esta varianza se compone de dos partes. La primera es igual a la varianza del estimador de Horvitz-Thompson
para el plan estratificado con afijación proporcional.
V ar(Ybpost )
V ar(Ybprop )
(
)−1
H
N −n X
2
=
Nh Syh
n
h=1
)
(
H
H
(N − n)N 2 X N − Nh 2
N −n X
2
×
Nh Syh + 2
Syh
n
n (N − 1)
N
h=1
h=1
ÃH
!−1 H
X Nh
X N − Nh
N
2
2
= 1+
Syh
Syh
n(N − 1)
N
N
h=1
= 1 + O(n
7.2.
7.2.1.
−1
h=1
).
Estimación de calibración sobre márgenes
El problema
Sean dos variables auxiliares cualitativas.
La primera variable permite dividir la población en H subconjuntos U1. , ..., Uh. , ..., UH. , y
la segunda en I subconjuntos U,1 , ..., U.i , ..., U.I .
U11
..
.
...
U1i
..
.
...
U1I
..
.
U1.
..
.
Uh1
..
.
...
Uhi
..
.
...
UhI
..
.
Uh.
..
.
UH1
U,1
. . . UHi
. . . U.i
. . . UHI
. . . U.I
UH.
U
Nhi = #Uhi , h = 1, ..., H, i = 1, ..., I, (desconocidos)
Nh. = #Uh. , h = 1, .., H, (conocidos)
N.i = #U.i , i = 1, ..., I, (conocidos)
Sea una muestra aleatoria simple de tamaño fijo.
El objetivo es entonces estimar el total
X
yk .
Y =
(7.9)
k∈U
El estimador lineal es
Ybw =
X
wk (S)yk ,
k∈S
donde los pesos wk (S) dependen de los nhi y de los totales marginales de la población Nh. y Nh. .
45
(7.10)
Cuadro 7.1: Frecuencias según dos variables
n11
..
.
...
n1i
..
.
...
n1I
..
.
n1.
..
.
nh1
..
.
...
nhi
..
.
...
nhI
..
.
nh.
..
.
nH1
n,1
. . . nHi
. . . n.i
. . . nHI
. . . n.I
nH.
n
Estimador “calado” sobre los márgenes.
Idea de calibración
Nh. =
X
zk ,
k∈U
donde zk es igual a 1 si k ∈ Uh. y 0 sino.
bh. Se dice que es de calibración sobre Nh. si
El estimador N
X
bh. =
N
wk (S)zk = Nh. .
k∈S
7.2.2.
Calibración sobre márgenes
Deming y Stephan (1940) y Stephan (1942). Frielander, (1961), Ireland y Kullback, (1968), Fienberg, (1970),
Thionet, (1959 et 1976), Froment y Lenclud, (1976) y Durieux y Payen, (1976).
“método iterativo del cociente”
Iterative Proportional Fitting Procedure (IPFP).
“calibración sobre márgenes”
Calibración, tabla de partida
a11
..
.
...
a1i
..
.
...
a1I
..
.
a1.
..
.
ah1
..
.
...
ahi
..
.
...
ahI
..
.
ah.
..
.
aH1
a,1
. . . aHi
. . . a.i
. . . aHI
. . . a.I
aH.
a..
Buscamos una tabla que està próxima a la tabla de los ahi Con las márgenes bh. , h = 1, ..., H, y b.i , i = 1, ..., I.
Inicialización
(0)
bhi = ahi , h = 1, ..., H, i = 1, ..., I.
Luego se repite los dos afijaciones siguientes para j = 1, 2, 3, ....
(2j−1)
bhi
(2j−2)
= bhi
(2j)
(2j−1)
bhi = bhi
b.i
,h
(2j−1)
b.i
donde
(2j−2)
bh.
bh.
,h
(2j−2)
bh.
=
I
X
= 1, ..., H, i = 1, ..., I,
= 1, ..., H, i = 1, ..., I,
(2j−2)
, h = 1, ..., H,
(2j−1)
, h = 1, ..., H.
bhi
i=1
y
(2j−1)
b.i
=
H
X
bhi
h=1
46
El algoritmo puede verse como un problema de optimización donde se minimiza la entropía.
Se busca la tabla de los bhi que minimiza
H X
I
X
bhi log
h=1 i=1
bhi
,
ahi
sujeta a que
I
X
bhi = bh. , h = 1, ..., H,
(7.11)
i=1
y
H
X
bhi = b.i , i = 1, ..., H.
(7.12)
h=1
Tenemos la ecuación de Lagrange
L(bhi , λh , µi )
=
H X
I
X
H
bhi X
bhi log
+
λh
ahi
h=1 i=1
h=1
ÃH
!
I
X
X
+
µi
bhi − b.i .
i=1
Ã
I
X
!
bhi − bh.
i=1
h=1
Anulando las derivadas de L con respecto a los bhi , tenemos :
log
bhi
+ 1 + λh + µi = 0,
ahi
(7.13)
Si αh = exp (−1/2 − λh ) y βi = exp (−1/2 − µi ), de (7.13), podemos escribir
bhi = ahi αh βi , h = 1, ..., H, i = 1, ..., I.
7.2.3.
Estimación de calibración
Estimador de calibración
YbC =
H X
I
X
bChi Yˆ hi ,
N
h=1 i=1
donde
1 X
Yˆ hi =
yk
nhi
k∈Shi
T
y Shi = Uhi S.
El estimador es entonces linear y puede escribirse
Yb =
X
wk (S)yk ,
k∈S
donde
wk (S) =
bChi
N
, k ∈ Uhi .
nhi
Los pesos wk (S) son funciones no-lineales de los nhi y de los márgenes conocidos.
47
(7.14)
7.3.
7.3.1.
La variable auxiliar es cuantitativa
El problema
Supongamos que el total X de la variable auxiliar x es conocido,
X
X=
xk ,
k∈U
donde x1 , ..., xk , ..., xN son los N valores tomados por la variable x sobre las unidades de U . Queremos
estimar
X
Y =
yk ,
k∈U
7.3.2.
Notación
X = N −1 X y Y = N −1 Y representan las medias de las variables x y y en la población. Las varianzas
corregidas son
1 X
Sy2 =
(yk − Y )2
N −1
k∈U
y
Sx2 =
1 X
(xk − X)2 .
N −1
k∈U
y
1 X
(xk − X)(yk − Y ),
N −1
Sxy =
k∈U
la covarianza entre las dos variables.
En un plan simple, los estimadores de Horvitz-Thompson s de los totales son
N X
yk = N Yb ,
Ybπ =
n
k∈S
y
X
b
bπ = N
X
xk = N X,
n
k∈S
donde
1X
yk
Yb =
n
k∈S
y
b = 1 Xx .
X
k
n
k∈S
Tenemos igualmente
s2y =
1 X
(yk − Yb )2 ,
n−1
k∈S
s2x =
1 X
b 2
(xk − X)
n−1
k∈S
y
sxy =
1 X
b
b
(xk − X)(y
k − Y ).
n−1
k∈S
48
7.3.3.
Estimación de diferencia
El estimador de diferencia viene dado por
bπ .
YbD = Ybπ + X − X
Es un estimador linear con :
wk (S) = N/n, k ∈ U, y
bπ .
w0 (S) = X − X
El estimador de diferencia verifica :
bπ ) = Y + X − X = Y.
E(YbD ) = E(Ybπ ) + E(X) − E(X
Como este estimador es insesgado, su error cuadrático medio es igual a su varianza
V ar(YbD )
bπ ) − 2Cov(X
bπ , Ybπ )
= V ar(Ybπ ) + V ar(X
¢
N (N − n) ¡ 2
=
Sy + Sx2 − 2Sxy .
n
Esta varianza puede estimarse sin sesgo por
¢
N (N − n) ¡ 2
sy + s2x − 2sxy .
Vd
ar(YbD ) =
n
7.3.4.
Estimación de razón
El estimador de razón (en ingles ratio estimator) es definido mediante
X Ybπ
Ybregr =
.
bπ
X
Este estimador es lineal con
wk (S) =
XN
.
bπ n
X
Para calcular el sesgo, tenemos que calcular la esperanza de
bπ
Ybπ − rX
Ybπ
−Y =X
,
YbR − Y = X
bπ
bπ
X
X
donde
r=
Si
²=
se puede escribir
Y
.
X
bπ − X
X
,
X
bπ
Ybπ − rX
.
YbR − Y =
1+²
Con un desarrollo de YbR − Y , se logra
YbR − Y
=
≈
≈
bπ )(1 − ² + ²2 − ²3 + ...)
(Ybπ − rX
bπ )(1 − ²)
(Ybπ − rX
Ã
!
bπ − X
X
bπ ) 1 −
(Ybπ − rX
.
X
49
(7.15)
Si se supone que ² es pequeño cuando n es grande, se logra una aproximación del sesgo de este estimador
Ã
!
bπ − X
X
bπ ) 1 −
E(YbR − Y ) ≈ E(Ybπ − rX
X
bπ )
E(Ybπ − rX
n
o
n
o
bπ − X) − rE X
bπ (X
bπ − X)
E Ybπ (X
−
X
bπ ) − Cov(X
bπ , Ybπ )
rV ar(X
X
N (N − n) rSx2 − Sxy
.
n
X
≈
≈
≈
La esperanza del estimador de razón es entonces dada por
E(YbR − Y ) + Y ≈ Y +
N − n rSx2 − Sxy
.
n
X
El sesgo es despreciable cuando n es grande.
7.3.5.
Precisión del estimador de razón
ECM (YbR ) = E(YbR − Y )2 .
En una primera aproximación, por (7.15),
ECM (YbR ) ≈
≈
≈
≈
b π )2
E(Ybπ − rX
n
o2
bπ − X)
E (Ybπ − Y ) − r(X
bπ ) − 2rCov(X
bπ , Ybπ )
V ar(Ybπ ) + r2 V ar(X
¢
N (N − n) ¡ 2
Sy + r2 Sx2 − 2rSxy .
n
Este error cuadrático medio puede estimarse por
¡
¢
\ (YbR ) = N (N − n) s2y + r̂2 s2x − 2r̂sxy ,
ECM
n
donde
r̂ =
7.3.6.
Ybπ
.
bπ
X
Estimación de regresión
El estimador de regresión viene dado por
bπ ),
Ybregr = Ybπ + b̂(X − X
donde
sxy
,
sx2
X
b
(xk − X)y
k.
b̂ =
sxy =
1
n−1
k∈S
El estimador es linear con w0 (S) = 0 y
wk (S) =
b
N
1
bπ ) (xk − X) , k ∈ U.
+
(X − X
n
n−1
s2x
50
No es posible calcular exactamente la esperanza matemática y la varianza del estimador de regresión. Pero,
bπ ) + (b̂ − b)(X − X
bπ ),
Ybregr = Ybπ + b(X − X
donde
b=
(7.16)
Sxy
.
Sx2
Si se suprime el último termino de la expresión (7.16),
bπ ).
Ybregr ≈ Ybπ + b(X − X
Tenemos entonces
n
o
bπ ) ≈ Y
E(Ybregr ) ≈ E Ybπ + b(X − X
y
ECM (Ybregr ) ≈
≈
≈
n
o2
bπ ) − Y
E Ybπ + b(X − X
¢
N (N − n) ¡ 2
Sy − 2bSxy + b2 Sx2
n
¢
N (N − n) 2 ¡
S y 1 − ρ2 ,
n
donde
ρ=
Sxy
.
Sx Sy
Este error cuadrático medio puede estimarse por
¡
¢
\ (Ybregr ) = N (N − n) s2y 1 − ρ̂2 ,
ECM
n
donde
ρ̂ =
sxy
.
sx sy
La estimación de regresión puede ser generalizada al uso de varias variables auxiliares
7.3.7.
Discusión de los tres métodos
Cuadro 7.2: Métodos de estimación
n
Estimador
estimador HT
de diferencia
de razón
de regresión
Definición
N X
yk
Ybπ =
n
k∈S
bπ
YbD = Ybπ + X − X
bπ
Ybregr = Ybπ X/X
bπ )
YbRY = Ybπ + b̂(X − X
51
N (N −n)
n
o−1
× ECM
Sy2
Sy2 + Sx2 − 2Sxy
Sy2 + r2 Sx2 − 2rSxy
¡
¢
Sy2 1 − ρ2
7.3.8.
Comparación del estimador de diferencia y del estimador de HorvitzThompson
V ar(Ybπ ) − V ar(YbD )
ª
N (N − n) 2 N (N − n) © 2
=
Sy −
Sy + Sx2 − 2Sxy
n
n
ª
N (N − n) ©
=
2Sxy − Sx2 .
n
El estimador de diferencia es entonces mejor que el estimador de Horvitz-Thompson cuando
2Sxy − Sx2 > 0;
lo que puede escribirse de la forma
b>
7.3.9.
1
.
2
Comparación del estimador de razón y del estimador de Horvitz-Thompson
ECM (Ybπ ) − ECM (Ybregr )
ª
N (N − n) 2 N (N − n) © 2
≈
Sy −
Sy + r2 Sx2 − 2rSxy
n
n
ª
N (N − n) ©
≈
2rSxy − r2 Sx2 .
n
El estimador de razón es generalmente mejor que el estimador de Horvitz-Thompson cuando
2rSxy − r2 Sx2 > 0,
es decir, cuando
b>
7.3.10.
r
r
si r > 0 y b < si r < 0.
2
2
Comparación del estimador de razón y del estimador de diferencia
ECM (YbD ) − ECM (Ybregr )
ª
N (N − n) © 2
N (N − n) 2
(Sy + Sx2 − 2Sxy ) −
Sy + r2 Sx2 − 2rSxy
≈
n
n
ª
N (N − n) ©
≈
2(1 − r)Sxy − (1 − r2 )Sx2 .
n
El estimador de razón es generalmente preferible cuando
2(1 − r)Sxy − (1 − r2 )Sx2 > 0,
es decir cuando
7.3.11.
2(1 − r)b > (1 − r2 ).
Comparación del estimador de regresión con los otros estimadores
ECM (Ybπ ) − ECM (Ybregr ) ≈ ρ2 ECM (Ybπ ) ≥ 0,
52
ECM (YbD ) − ECM (YbRY )
N (N − n) 2
N (N − n)
≈
(Sy + Sx2 − 2Sxy ) −
(1 − ρ2 )Sy2
n
n
N (N − n)
Sxy 2
≈
(Sx −
) ≥ 0,
n
Sx
y
ECM (YbR ) − ECM (YbRY )
N (N − n)
N (N − n) 2
(Sy + r2 Sx2 − 2rSxy ) −
(1 − ρ2 )Sy2
≈
n
n
N (N − n)
Sxy 2
≈
(rSx −
) ≥ 0.
n
Sx
53
Capítulo 8
Estimación con informaciones auxiliares
y planes complejos
8.1.
El problema y la notación
El objetivo es siempre estimar el total
Y =
X
yk ,
k∈U
La información auxiliar viene dada por : J variables auxiliares
x1 , ..., xj , ..., xJ .
El valor tomado por la variable xj sobre la unidad k es xkj .
xk = (xk1 , ..., xkj , ..., xkJ )0 es el vector de los valores tomados por las J variables auxiliares sobre k.
X
1 X
xkj , j = 1, ..., J,
xkj = y Xj =
Xj =
N
k∈U
k∈U
o
X=
X
1 X
xk = y X =
xk .
N
k∈U
k∈U
El vector X es conocido sobre la población total.
Dos estimadores
El estimador de regresión :
Särndal, Swensson y Wretman (1992).
Calibración
Deville y Särndal (1992) y Deville, Särndal y Sautory (1993).
Estimadores de la clase de los estimadores lineales
YbG =
X
wk (S)yk .
k∈S
8.2.
El estimador de regresión
Si existe una relación lineal entre los xk e yk , se busca el vector de coeficientes de regresión b ∈ RJ que
minimiza:
X
2
ck (yk − x0k b) ,
(8.1)
k∈U
donde ck es un coeficiente de ponderación estrictamente positivo que permite dar una importancia particular
a cada unidad. Anulando la derivada de (8.1) con respecto a b, buscamos
X
ck xk (yk − x0k b) = 0,
k∈U
54
lo que da
X
ck xk yk =
k∈U
X
ck xk x0k b.
k∈U
Si
T=
X
ck xk x0k
k∈U
y
t=
X
ck xk yk
k∈U
y que suponemos que T es inversible, logramos el coeficiente de regresión :
b = T−1 t.
Como T y t son totales podemos estimarlos por estimadores de Horvitz-Thompson :
b =
T
X ck xk x0
k
πk
k∈S
y
b
t=
X ck xk yk
,
πk
k∈S
que no tienen sesgo para T y t. Luego se estima b por
b=T
b −1b
t.
b
b no es insesgado para b.
Atención b
El estimador de regresión :
8.2.1.
b
b π )0 b.
Ybgreg = Ybπ + (X − X
(8.2)
Otra presentación del estimador de regresión
Ybgreg es un estimador lineal
X
Ybgreg =
wk (S)yk ,
k∈S
donde
wk (S) =
o
1 n
b π )0 T
b −1 ck xk .
1 + (X − X
πk
Otra presentación viene dada por
Ybgreg
=
=
b + Ybπ − X
b
b0 b
X0 b
π
X ek
b+
X0 b
,
πk
k∈S
donde
b
ek = yk − x0k b.
Los ek son los residuos : las diferencias entre los valores observados y los valores predichos. En algunos casos
X ek
πk
k∈S
es nulo; el estimador de regresión tiene entonces una forma más simple.
Teorema 6 Una condición suficiente para que
X ek
= 0,
πk
k∈S
es que existe un vector λ tal que
λ0 x k =
1
, para todo k ∈ U.
ck
55
Demostración
X ek
πk
k∈S
´
X 1 ³
b
yk − x0k b
πk
k∈S
´
X 1 ³
0
b
=
yk − ck λ xk x0k b
πk
=
k∈S
= Ybπ −
X ck λ0 xk x0
k b −1b
T t
πk
k∈S
X ck xk yk
0
= Ybπ − λ
k∈S
πk
= Ybπ − Ybπ
= 0.
2
En el caso donde la condición suficiente del teorema 6 es verificada, el estimador de regresión puede escribirse
simplemente
b
Ybgreg = X0 b.
8.2.2.
Calibración del estimador de regresión
Un estimador se llama de calibración sobre un total de una variable auxiliar si es exactamente igual a este
total. Suponemos que calculemos el estimador de regresión para la variable auxiliar xj . El coeficiente de
regresión es
Ã
!−1
X ck xk x0
X ck xk xkj
k
b=
b
= (0 . . . 0 1 0 . . . 0)0 .
πk
πk
k∈S
El estimador es
8.2.3.
k∈S
b=X
b π )0 b
bj,greg = X
b π + (X − X
bjπ + (Xj − X
bjπ ) = X .
X
j
j
Estimación de razón
El estimador de razón se logra usando una sola variable auxiliar y cogiendo xk = xk , ck = 1/xk . Tenemos
P
b
bb = P k∈S yk /πk = Yπ ,
bπ
X
k∈S xk /πk
y por (8.2)
b
b
b π ) Yπ = X Yπ ,
Ybgreg = Ybπ + (X − X
bπ
bπ
X
X
(8.3)
que es el estimador de razón.
8.2.4.
Plan simple y estimación de regresión
El estimador de regresión en el m.a.s. se logra cogiendo πk = n/N, ck = 1, y xk = (1, xk )0 . Luego tenemos


bπ
N
X

X
b =
T
 X
bπ N
x2k  ,
n
k∈S

b −1
T
N X 2
xk
n
 n
= 2 2

k∈S
N sx (n − 1)
bπ
−X
56

bπ
−X

,
N


Ybπ


X
b
t= N
xk yk  ,
n
k∈S

N X 2
N X
b
b
Y
x
−
X
x
y
π
k
k
π
n
k
b −1b
,

n
n
T
t= 2 2
k∈S
k∈S
N sx (n − 1)
2
N sxy

donde
s2x
n
=
n−1
y
sxy
n
=
n−1
Ã
Ã
b2
1X 2 X
xk − π2
n
N
!
,
k∈S
bπ Ybπ
1X
X
xk yk −
n
N2
!
.
k∈S
b xπ = (0, X − X
bπ )0 , tenemos finalmente
Como X − X
³
´0
³
´
bπ T
b −1b
bπ sxy ,
Ybgreg = Ybπ + X − X
t = Ybπ + X − X
s2x
que es el estimador de regresión clásico.
8.3.
8.3.1.
Estimación de calibración
El método
Deville y Särndal (1992) y Deville, Särndal y Sautory (1993).
La información auxiliar usada es un vector de totales conocidos X.
El método de calibración consiste en buscar nuevos coeficientes de ponderación.
Estimador lineal que se escribe
X
YbG =
wk (S)yk ,
k∈S
donde los wk (S), k ∈ S son los pesos que dependen de la muestra.
Propiedad de calibración
X
b =
wk xk = X.
X
(8.4)
k∈S
Como existe une infinidad de pesos wk que verifican la relación (8.4), vamos a buscar pesos próximos a los
pesos πk−1 del estimador de Horvitz-Thompson , lo que va dar un pequeño sesgo.
Definimos
1
dk =
, k ∈ S,
πk
El objetivo consiste entonces en la búsqueda a los pesos wk próximos de los dk que verifican la calibración.
Pseudo-distancia Gk (wk , dk ), (la simetría no es requerida.)
Gk (wk , dk ) es positiva, derivable con respecto a wk estrictamente convexa, tal que Gk (dk , dk ) = 0.
Los pesos wk , k ∈ S, se logran minimizando
X Gk (wk , dk )
qk
k∈S
sujeto a que la calibración sea verificada.
qk coeficientes de ponderación
L(wk , k ∈ S, λj , j = 1, ..., J)
=
J
X Gk (wk , dk ) X
−
λj
qk
j=1
k∈S
57
(
X
k∈S
)
wk xkj − Xj
,
donde los λj son los multiplicadores de Lagrange.
J
∂L(wk , k ∈ S, λj , j = 1, ..., J)
gk (wk , dk ) X
=
−
λj xkj = 0,
∂wk
qk
j=1
donde
gk (wk , dk ) =
(8.5)
∂Gk (wk , dk )
.
∂wk
Como Gk (., dk ) es estrictamente convexo y positivo y
Gk (dk , dk ) = 0,
gk (., dk ) es estrictamente creciente y gk (dk , dk ) = 0.
Los pesos

wk = dk Fk 
J
X

λj xkj  ,
(8.6)
j=1
donde dk Fk (.) es la función inversa de gk (., dk )/qk .
La función Fk (.) es estrictamente creciente y Fk (0) = 1, y Fk0 (.) la derivada de Fk (.) es entonces estrictamente
positiva.
Además, suponemos que Fk0 (0) = qk .
Ecuaciones de calibración :
à J
!
X
X
dk xkj Fk
λi xki = Xj , j = 1, ..., J,
(8.7)
i=1
k∈S
que permite obtener los λj .
Con una escritura matricial
X
¡
¢
dk xk Fk x0k λ = X,
(8.8)
k∈S
donde λ = (λ1 , ..., λj , ..., λJ )0 .
Al final,una vez calculado λ, podemos calcular el estimador de calibración :
X
¡
¢
YbCAL =
dk yk Fk x0k λ .
(8.9)
k∈S
8.3.2.
Elección de la pseudo-distancia
 wα
k


α−1 + (α − 1)dk − αwk


d

k


α(α − 1)
α
wk
G (wk , dk ) =
w
log
+ dk − wk
 k

dk




 dk log dk + wk − dk
wk
α ∈ R\{0, 1}
α=1
α = 0.
Si derivamos Gα (wk , dk ) con respecto a los wk , logramos
µ α−1
¶

wk

1

−
1
α ∈ R\{1}
(α − 1) dα−1
g α (wk , dk ) =
k

 log wk
α = 1.
dk
La inversa de g α (wk , dk )/qk con respecto a wk es :
p
½
dk α−1 1 + qk u(α − 1) α ∈ R\{1}
dk Fkα (u) =
dk exp qk u
α = 1.
Según los diferentes valores de α, logramos varias pseudo-distancias. Les distancias más usadas son los casos
α = 2 (khi-cuadrado) y α = 1 (entropía).
58
Cuadro 8.1: Pseudo-distancias para la calibración
α
Gα (wk , dk )
2
(wk −dk )2
2dk
1
1/2
0
−1
8.3.3.
wk log
wk
dk
g α (wk , dk )
+ dk − wk
dk log
dk
wk
+ wk − dk
−1
1 + qk u
Khi-cuadrado
log
wk
dk
exp(qk u)
Entropía
(1 − qk u/2)−2
Distancia de Hellinger
(1 − qk u)−1
Entropía Inversa
(1 − 2qk u)−1/2
Khi-cuadrado inverso
1−
³
(wk −dk )2
2wk
T ipo
wk
dk
q ´
³
2 1 − wdkk
√
√
2( wk − dk )2
Fkα (u)
1−
dk
wk
d2k
2
wk
´
/2
El método lineal
Un caso particular importante se logra usando como pseudo-distancia una función de tipo chi-cuadrado (caso
α = 2) :
25
20
15
10
5
0
0
10
30
20
40
Figura 8.1: Método lineal : función G(wk , dk ) con qk = 1 y dk = 10
(wk − dk )2
,
2dk
G2 (wk , dk ) =
obtenemos una función lineal
Fk (u) = 1 + qk u.
Las ecuaciones de calibración son
Xj =
X
Ã
xkj dk
1 + qk
J
X
!
λi xki
, j = 1, ..., J,
i=1
k∈S
o, con escritura matricial,
bπ +
X=X
X
dk xk qk x0k λ
k∈S
0
donde λ = (λ1 , ..., λj , ..., λJ ). Si la matriz
Ã
λ=
P
k∈S
X
dk xk qk x0k es inversible, podemos calcular λ :
!−1
dk xk qk x0k
k∈S
59
³
´
bπ .
X−X
(8.10)
3
2
1
0
-1
0
10
30
20
40
Figura 8.2: Método lineal: función g(wk , dk ) con qk = 1 y dk = 10
6
4
2
0
-2
-4
-4
0
-2
4
2
Figura 8.3: Método lineal: función Fk (u) con qk = 1
Luego, podemos calcular los wk mediante

wk
= dk 1 + qk
J
X

λj xkj 
j=1
³
´
0
= dk 1 + qk λ xk

!−1 
Ã


³
´0 X
bπ
dk xk qk x0k
xk .
= d k 1 + qk X − X


k∈S
Al final, el estimador se escribe
YbL
=
X
wk yk
k∈S
³
=
bπ
Ybπ + X − X
´0
Ã
X
!−1
dk xk qk x0k
k∈S
X
xk dk qk yk .
k∈S
Si cogemos qk = ck , k ∈ U .
8.3.4.
El método del “raking ratio”
El método del “raking ratio” que incluye el estimador de calibración sobre márgenes se logra usando una
pseudo-distancia de tipo “Entropía” (caso α = 1) :
G1 (wk , dk ) = wk log
wk
+ dk − wk .
dk
Obtenemos
Fk (u) = exp qk u.
60
14
12
10
8
6
4
2
0
10
30
20
40
Figura 8.4: “Raking ratio": función G(wk , dk ) con qk = 1 y dk = 10
1
0
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-5
5
0
15
10
20
30
25
Figura 8.5: “Raking ratio": función g(wk , dk ) con qk = 1 y dk = 10
70
60
50
40
30
20
10
0
-4
0
-2
4
2
Figura 8.6: “Raking ratio": función Fk (u) con qk = 1
Los pesos son siempre positivos.
El estimador viene dado por

wk = dk exp qk
J
X

λj xkj  ,
j=1
donde les λj son calculados por la ecuación
X
k∈S
Ã
dk xkj exp qk
J
X
!
λi xki
= Xj , j = 1, ..., J.
i=1
Caso particular : la calibración sobre márgenes.
En este caso, los xki son iguales a 1 o 0 según que la unidad i esté o no en la subpoblación Ui ⊂ U. Si,
además, qk = 1, k ∈ U, tenemos
Y
wk = dk
βi
i|Ui 3k
61
donde βj = exp λj . Los βj son calculados mediante la ecuación
X
Y
dk xkj
βi = Xj , j = 1, ..., J.
k∈S
8.3.5.
i|Ui 3k
El método logit
2
1.5
1
0.5
0
10
20
30
40
Figura 8.7: Método logístico: función G(wk , dk ) con qk = 1, dk = 10, L = 0, 2 y H = 3
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
-0.1
0
10
30
20
40
Figura 8.8: Método logístico: función g(wk , dk ) con qk = 1, dk = 10, L = 0, 2 y H = 3
3
2.5
2
1.5
1
0.5
0
-4
-2
0
2
4
Figura 8.9: Método logístico : función Fk (u) con qk = 1, L = 0, 2, y H = 3
A veces se quiere que los wk no sean demasiado variable.
Es posible imponer que los pesos wk se encuentren entre dos valores Ldk y Hdk (L < 1 < H) usando una
función de tipo logit
G(wk , dk )
(
=
ak log
bk
ak
+ bk log
1−L
H −1
∞
1
A
Ldk < wk < Hdk
en otro caso,
62
donde
ak =
wk
wk
H −L
− L, bk = H −
,A =
.
dk
dk
(1 − L)(H − 1)
Obtenemos
Fk (u) =
L(H − 1) + H(1 − L) exp(Aqk u)
.
H − 1 + (1 − L) exp(Aqk u)
Tenemos Fk (−∞) = L, Fk (∞) = H. Los pesos obtenidos estan entonces siempre en el intervalo [Ldk , Hdk ].
8.3.6.
El método lineal truncado
Más simplemente, para restringir el intervalo de soluciones, podemos usar una función del tipo
25
20
15
10
5
0
10
30
20
40
Figura 8.10: Método lineal truncado : función G(wk , dk ) con qk = 1, dk = 10, L = 0, 2 y H = 3
3
2
1
0
-1
0
10
30
20
40
Figura 8.11: Método lineal truncado: función g(wk , dk ) con qk = 1, dk = 10, L = 0, 2 y H = 3
3
2.5
2
1.5
1
0.5
0
-4
-2
0
2
4
Figura 8.12: Método lineal truncado: función Fk (u) con qk = 1, L = 0, 2, y H = 3

 (wk − dk )2
G(wk , dk ) =
dk

∞
63
Ldk < wk < Hdk
sino.
Obtenemos una función lineal truncada

 1 + qk u
H
Fk (u) =

L
si
si
si
(L − 1)/qk ≤ u ≤ (H − 1)/qk
u > (H − 1)/qk ≥ H
u < (L − 1)/qk ≤ L
64
Capítulo 9
Estimación de la varianza por
linealización
Las funciones de interés estimadas por muestreo son a veces funciones mas complejas que simples totales,
por ejemplo coeficientes de regresión, de correlación, varianza, índices de desigualdades. Además, se usa
generalmente una información auxiliar para la calibración de los estimadores, lo que da una forma mas
compleja a los estimadores.
Es posible aproximar la varianza por las técnicas de linealización para estimar la precisión de estos
estimadores. Las técnicas de linealizsación han sido introducida por Woodruff (1971). Las aplicaciones en la
teoría de muestreo han sido desarrolladas por Binder (1983), Binder y Patak (1994), Wolter (1985), Deville
(1999).
9.1.
Orden de magnitud en probabilidad
Las técnicas de linealización estàn basadas en los métodos de desarrollo en Serie de Taylor. El desarrollo
se hace con respeto a una variable aleatoria. Para tratar estos problemas vamos a introducir los ordenes de
magnitud en probabilidad
Definición 4 Una sucesión de números fn , n = 1, 2, ... es dice que es de orden de magnitud inferior a
hn > 0, n = 1, 2, ..., si
fn
lı́m
= 0.
n→∞ hn
Se escribe
fn = o (hn ) .
Definición 5 Una sucesión de números fn , n = 1, 2, ... està acotada por hn > 0, n = 1, 2, ..., si existe M > 0
tal que
| fn |≤ M hn ,
para todo n = 1, 2, .... Se escribe
fn = O (hn ) .
Se puede también definir el orden de magnitud en probabilidad.
Definición 6 Una sucesión de variables aleatorias Xn converge en probabilidad hacia una variable aleatoria
X si, para todo ² > 0,
lı́m P r [| Xn − X |> ²] = 0.
n→∞
Se escribe
p lı́m Xn = X,
n→∞
o mas simplemente
P
Xn −→ X.
65
La convergencia en probabilidad permite introducir la noción de orden de magnitud aleatoria :
Definición 7 Sea Xn una sucesión de variables aleatorias, Xn se dice que es inferior en probabilidad a
hn > 0, si
Xn
p lı́m
= 0.
n→∞ hn
Se escribe
Xn = op (hn ) .
Definición 8 Sea Xn una sucesión de variables aleatorias, Xn se dice que està acotada por hn > o en
probabilidad por hn > 0 si para todo ² > 0, existe un número M² > 0 tal que
P r [| Xn |≥ M² hn ] ≤ ²,
para todo n = 1, 2, 3, ... se escribe
Xn = Op (hn ) .
Teorema 7 Sean Xn y Yn dos sucesiones de variables aleatorias, tales que
Xn = op (hn ) e Yn = op (gn ),
si a es un real α > 0, entonces
(i) aXn = op (hn ),
(ii) | Xn |α = op (hα
n ),
(iii) Xn Yn = op (hn gn ),
(iv) Xn + Yn = op (máx(hn , gn )) .
Demostración
(i) Si Xn = op (hn ) e Yn = op (gn ), entonces
¯
·¯
¸
¯ Xn ¯
¯ > ² = 0,
lı́m P r ¯¯
n→∞
hn ¯
y
(9.1)
·¯ ¯
¸
¯ Yn ¯
¯
¯
lı́m P r ¯ ¯ > ² = 0.
n→∞
gn
para todo ² > 0. Lo que implica que
aXn = op (hn ).
(ii) Como
¯
¯
·¯
¸
·¯
¸
¯ Xn ¯
¯ X n ¯α
α
¯
¯
¯
¯
Pr ¯
> ² = Pr ¯
>² ,
hn ¯
hn ¯
se obtiene | Xn |α = op (hα
n ).
(iii) Luego, tenemos que, para todo ² > 0,
¯
·¯
¸
·¯ ¯
¸
¯ Xn ¯
¯ Yn ¯
¯
¯
¯
¯
Pr ¯
> ² + Pr ¯ ¯ > ²
hn ¯
gn
≥
≥
lo que implica que
¯
·¯
¯ Xn ¯
¯ > ² donde
¯
Pr ¯
hn ¯
¯
·¯
¸
¯ Xn Yn ¯
¯ > ²2 ,
P r ¯¯
hn gn ¯
¯ ¯
¸
¯ Yn ¯
¯ ¯>²
¯ gn ¯
¯
·¯
¸
¯ Xn Yn ¯
2
¯
¯
lı́m P r ¯
> ² = 0,
n→∞
hn gn ¯
y
Xn Yn = Op (hn gn ).
(iv) Al final, Xn + Yn = op (máx(hn , gn )) es obvio.
2
66
Teorema 8 Sean Xn y Yn los dos sucesiones de variables aleatorias, tales que
Xn = Op (hn ) e Yn = Op (gn ),
si a es un real y α > 0,
aXn = Op (hn ),
| Xn |α = Op (hα
n ),
Xn Yn = Op (hn gn ),
Xn + Yn = Op (máx(hn , gn )) .
Los demostraciones son similares a la precedente.
2
Teorema 9 Desigualdad de Bienaymé-Tchebychev (caso discreto) Sean α > 0 y X una variable
aleatoria discreta tal que E[X α ] < ∞, entonces para todo ² > 0 y para todo A ∈ R,
P r [| X − A |≥ ²] ≤
E [| X − A |α ]
.
²α
Demostración
Si se nota X1 , ..., Xi , ..., XI , a los valores posibles X, se puede escribir
E [| X − A |α ] =
I
X
| Xi − A |α P r[X = Xi ]
i=1
I
X
=
| Xi − A |α P r[X = Xi ]
i=1
|Xi −A|<²
+
I
X
| Xi − A |α P r[X = Xi ]
i=1
|Xi −A|≥²
≥
²α
I
X
P r[X = Xi ]
i=1
|Xi −A|≥²
=
α
² P r [| X − A |≥ ²] .
2
Teorema 10 Sea Xn una sucesión de variables aleatorias tal que
£ ¤
E Xn2 = O(hn ),
√
entonces Xn = Op ( hn ).
Demostración
£ ¤
Como E Xn2 = O(hn ) entonces existe un MA > 0 tal que
£ ¤
E Xn2 ≤ MA hn
√
para todo n. Por otro lado, con α = 2, A = 0, y ² = MB hn , por la desigualdad de Bienaymé-Tchébichev,
se tiene
i E £X 2 ¤
h
p
n
.
P r | Xn |≥ MB hn ≤
M B hn
Si tomamos, MB ≥ MA α, se tiene
£ ¤
E Xn2
MA
=
≤ α,
M B hn
MB
lo que da
h
i
p
P r | Xn |≥ MB hn ≤ α,
√
y entonces Xn = Op ( hn ).
2
67
Teorema 11 Sea Xn una sucesión de variables aleatorias tales que
£
¤
E (Xn − E[Xn ])2 = O(hn ),
y que
p
E [Xn ] = O( hn ),
√
entonces Xn = Op ( hn )
Demostración
Como
£
¤
£ ¤
E Xn2 = E (Xn − E[Xn ])2 + E[Xn ]2 = O(hn ),
el resultado viene del teorema 11.
2
Ejemplo 9. Sea X1 , ..., Xn , n variables independientes con la misma distribución de media µ y con desviación
tipica σ. La variable
n
1X
Xn
X̄n =
n i=1
tiene varianza
£ ¤ σ2
V ar X̄n =
,
n
y entonces X̄n = Op (n−1/2 ).
Teorema 12 Sea Xn una sucesión de variables aleatorias tales que Xn = x0 + Op (hn ), f (x) una función
derivable α veces con derivadas continuas en el punto x = x0 , y hn una sucesión de números positivos tales
que lı́mn→∞ hn = 0,
α−1
X
f (i) (x0 )
f (Xn ) = f (x0 ) +
(Xn − x0 )i
+ Op (hα
n ),
i!
i=1
donde f (i) (x0 ) es la i-ésima derivada de f (x) calculada en el punto x = x0 .
Demostración
Con un desarrollo en Serie de Taylor, tenemos
f (Xn ) = f (x0 ) +
α−1
X
(Xn − x0 )i
i=1
f (i) (x0 )
f (α) (b)
+ (Xn − x0 )α
,
i!
α!
donde b varia entre x0 y Xn . Puesto que f (α) (.) es una función continua, f (α) (b) està acotado, en probabilidad,
i.e. f (α) (b) = Op (1). Se obtiene
f (α) (b)
(Xn − x0 )α
= Op (hα
n ).
α!
2
Teorema 13 Sean X1n , ..., Xjn , ..., Xpn , p sucesiones de variables aleatorias tales que Xjn = xj0 +Op (hn ), j =
1, ..., p, f (x1 , ..., xp ) una función continua cuyas derivadas parciales existen y son continuas en los puntos
xj = xj0 , y hn una sucesión de números positivos tales que lı́mn→∞ hn = 0, entonces
f (X1n , ..., Xpn )
= f (x10 , ..., xp0 )
¯
p
X
∂f (x1 , ..., xp ) ¯¯
+
(Xjn − xj0 )
¯
∂xj
xj =xj0
j=1
+
Op (h2n ).
68
Demostración
Aplicando un desarrollo en Serie de Taylor, se logra
f (X1n , ..., Xpn )
=
+
+
f (x10 , ..., xp0 )
¯
p
X
∂f (x1 , ..., xp ) ¯¯
(Xjn − xj0 )
¯
∂xj
xj =xj0
j=1
¯
p X
p
X
(Xjn − xj0 )(Xin − xi0 ) ∂ 2 f (x1 , ..., xp ) ¯¯
,
¯
2!
∂xj ∂xi
xj =bj
j=1 i=1
¡ ¢
donde los bj están entre Xjn y xj0 . Como en el teorema precedente, (Xjn − xj0 )(Xin − xi0 ) = Op h2n que
multiplica una cantidad acotada en probabilidad.
2
9.2.
Aproximación de la varianza por linealización
9.2.1.
Linealisación de una función de totales
El objetivo es estimar la varianza de una función de p totales cuyas derivadas existen y son continuas
hasta el orden dos
θ = f (Y1 , ..., Yj , ...Yp ).
Para estimar esta función, se utiliza el estimador por substitución
θb = f (Yb1 , ..., Ybj , ...Ybp ),
donde los Ybj son los estimadores (eventualmente sesgados) de los Yj . Generalmente los Ybj son los estimadores
de Horvitz-Thompson, pero pueden también ser estimadores de razón, de regresión o más complejos.
Definición 9 Si N −α θ está acotado para todo valor de N, entonces θ se dice que es de grado α.
Por ejemplo R = Y /X es de grado 0, Y es de grado 1, y = Y /N es de grado 0 (porque es una razón de dos
funciones de grado 1) y V ar[Ybπ ] es de grado 2.
En muestreo, no existe una teoría asintótica general. Existen resultados particulares para los planes
simples (Madow, 1948) y para algunos planos con probabilidades desiguales (Rosen, 1972a, 1972b). Vamos
a suponer que los Ybj verifican las condiciones siguientes :
1. Los Ybj son lineales homogéneos, es decir que pueden ser escritos de la manera siguiente
X
Ybj =
wk (S)ykj , j = 1, ..., p,
(9.2)
k∈S
donde ykj es el valor tomado por la j-isima variable sobre la unidad k. El caso más simple viene dado
por el estimador de Horvitz-Thompson donde wk (S) = 1/πk .
2.
¶
µ
Ybj − Yj
1
, j = 1, ..., p.
= Op √
N
n
³ ´
3. Tenemos un estimador de la varianza de cada uno de los Ybj que se nota por Vd
ar Ybj .
³ ´−1/2 ³
´
4. Las Vd
ar Ybj
Ybj − Yj tienen una distribución normal centrada reducida.
Estas cuatro hipótesis son bastante simple y son verificadas para los planes simples y los planes estratificados (si el numero de estratos es n) y para los planes con conglomerados (si el numero de conglomerados
crece con n).
69
Definición 10 La variable
vk =
p
X
ykj
j=1
¯
∂f (a1 , ..., ap ) ¯¯
, k ∈ U,
¯
∂aj
a1 =Y1 ,...,ap =Yp
(9.3)
es llamada la variable linearizada de θ = f (Y1 , ..., Yp ).
b
Teorema 14 Sea vk , k ∈ U, la variable linealizsada de una función de interés θ de grado α estimada por θ,
sobre los dos primeras condiciones, entonces
µ ¶
´
³
1
N −α θb = N −α θ + N −α Vb − V + Op
,
n
donde
V =
X
vk ,
k∈U
Vb =
X
wk (S)vk ,
k∈S
y los wk (S) están definidos de la misma manera que en (9.2).
Demostración
Si se nota Yb j = Ybj /N, tenemos
N −α θb =
N −α f (Yb1 , ..., Ybj , ..., Ybp ) = N −α f (N Yb 1 , ..., N Yb j , ..., N Yb p ).
La condición 2 implica que Yb j = yj + Op (n−1/2 ) y con el teorema 13, tenemos
N −α θb = N −α f (N Yb 1 , ..., N Yb j , ..., N Yb p )
= N −α f (N y1 , ..., N yj , ..., N yp )
p ³
´ ∂f (N a , ..., N a ) ¯¯
X
1
p ¯
b
−α
+N
Y j − yj
¯
∂a
j
a1 =y1 ,...,ap =yp
j=1
µ ¶
1
+Op
n
= N −α θ
p ³
´ ∂f (a , ..., a ) ¯¯
X
1
p ¯
b
+N
Yj − Yj
¯
∂a
j
a1 =Y1 ,...,ap =Yp
j=1
µ ¶
1
+Op
n
µ ¶
´
³
1
−α
−α b
= N θ+N
V − V + Op
.
n
2
³
´
Observar que N −α Vb − V = Op (n−1/2 ). La varianza del estimador de la función de interés puede ser
aproximada simplemente. En efecto,
h
i
V ar N −α θb
·
µ ¶¸
1
−α
−α b
= V ar N θ + N (V − V ) + Op
n
" µ ¶ #
·
µ ¶¸
2
h
i
1
1
−α b
−α b
= V ar N V + 2E N (V − V ) × Op
+ E Op
n
n
"
#
µ
¶
Vb
1
= V ar
+ EOp
.
α
3/2
N
n
¡
¢
Considerando que EOp n−3/2 es despreciable, se puede construir una aproximación de la varianza
h i
b = V ar Vb .
AV ar[θ]
−α
70
9.3.
Estimación de la varianza
Para estimar la varianza, no se puede usar directamente los vk , porque los vk dependen de los totales de
la población Yj quienes son desconocidos. Se aproximan los vk combinado los totales desconocidos por los
estimadores, y vbk es la aproximación de la variable linealizsada. Deville (1999) ha probado que si el número
de totales a estimar en vk no crece con n, entonces la aproximación de la varianza lograda con los vbk es
válida para grandes tamaños de muestra.
b se usa un estimador de la varianza. Si los Ybj son estimadores de
Al final, para estimar la varianza de θ,
Horvitz-Thompson, se puede usar de manera general el estimador de la varianza de Horvitz-Thompson :
h i X vb2
X X vbk vb` πk` − πk π`
k
Vd
ar θb =
(1 − πk ) +
.
2
πk
πk π`
πk`
k∈S
k∈S `∈S
`6=k
Ejemplo 10. El problema más clásico consiste en estimar la razón R = Y /X y la varianza en un plan
simple. Primero, se define f (a1 , a2 ) = a1 /a2 y entonces
R = f (Y, X).
El estimador viene directamente dado par
b
b = f (Y,
b X)
b = Y.
R
b
X
Luego, se calculan las derivadas parciales
¯
∂f (a1 , a2 ) ¯¯
¯
∂a1
a =Y,a2 =X
¯ 1
¯
∂f (a1 , a2 ) ¯
¯
∂a2
=
1
X
=
−
a1 =Y,a2 =X
y por (9.3), se obtiene
vk =
La varianza aproximada se escribe
donde
Sv2
Y
X2
yk
Y
1
− 2 xk =
(yk − Rxk ) .
X
X
X
³ ´
b = N N − n Sv2 ,
AV ar R
n
µ
¶2
¢
1 X
V
1 ¡
=
vk −
= 2 Sy2 − 2RSxy + R2 Sx2 .
N −1
N
X
k∈U
b se empieza a estimar los vk por
Para estimar la varianza de R,
vbk =
y, como
´
1 ³
b k ,
yk − Rx
b
X
N X
vbk = 0,
Vb =
n
k∈S
se obtiene el estimador de la varianza
´
³ ´
X
N −n 1 ³ 2
b xy + R
b2 s2x .
b =NN −n 1
sy − 2Rs
V[
AR R
vbk2 = N
b2
n n−1
n X
k∈S
71
(9.4)
Ejemplo 11. En un plan complejo con probabilidades de inclusión de segundo orden positivas, se quiere
estimar la varianza del vector de coeficientes de regresión
Ã
b=
b
X ck xk x0
k
πk
!−1
k∈S
X ck xk yk
.
πk
k∈S
La función de interés a estimar es
Ã
b=
X
!−1
ck xk x0k
k∈U
X
ck xk yk .
k∈U
Si se nota por
T=
X
ck xk x0k ,
k∈U
el vector de las variables linealizsadas es egual a
vk
=
T−1 ck xk yk − T−1 ck xk x0k T−1
X
ck xk yk
k∈U
=
T−1 xk ck (yk − x0k b) .
Si se nota por ek = yk − x0k b, tenemos
Al final, se estima vk por
vk = T−1 xk ck ek .
(9.5)
b −1 xk ck ebk ,
bk = T
v
donde
b=
T
X ck xk x0
k
,
πk
k∈S
y
b
ebk = yk − x0k b.
9.4.
Linealización por etapas
9.5.
Descomposición en etapas de la linealización
La técnica de linealización puede ser aplicada por etapas. Suponemos que θ = f (Y1 , ..., Yj , ..., Yp , λ)
donde λ es también una función de totales de la qual conocemos la variable linealizada uk , entonces es fácil
demostrar que la linealizada de θ puede escribirse de la forma
vk =
p
X
j=1
ykj
¯
¯
∂f (a1 , ..., ap , λ) ¯¯
∂f (Y1 , ..., Yp , z) ¯¯
.
+ uk
¯
¯
∂aj
∂z
z=λ
a1 =Y1 ,...,ap =Yp
Ejemplo 12. Para un plan con probabilidades de orden 1 y 2 conocidas, queremos calcular la varianza del
cuadrado del estimador de razón de Hájek dado por
!−1
Ã
X yk
X 1
b
.
YH =
πk
πk
k∈S
k∈S
Se observa que la linealizada para la media y = Y /N se deduce de la linealizada de un razón (9.4) :
uk =
1
(yk − y) .
N
72
Aplicando el método de linealización por etapas, la linealizada de y2 es
vk = 2yuk =
Se estima vk por
vbk =
9.6.
2y
(yk − y) .
N
´
2Yb H ³
yk − Yb H .
b
N
Linealización del estimador de regresión
El estimador de regresión se definió en (8.2) :
b
Ybgreg = Ybπ + (tx − b
txπ )0 b.
Podemos escribirlo de la forma
b
Ybgreg = f (Ybπ , b
txπ , b).
b del cual conocemos la linealizada (9.5). Si se usa la
Este estimador depende de dos totales Ybπ , b
txπ , y de b
técnica de linealisación por etapas f (Y, tx , b), se obtiene
uk
=
=
=
yk − x0k b + (tx − tx )0 vk
yk − x0k b
ek ,
(9.6)
donde vk es la linealizada de b que no interviene en la linealizada de uk . El estimador de la linealizada es
entonces
b
u
bk = ebk = yk − x0k b.
La varianza puede ser estimada simplemente mediante el residuo de la regresión.
73
Capítulo 10
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