Clase8ControlPorRealimentaciondeEstado 247KB Mar 14 2016

Control Automático
Control por realimentación de estado
Contenido
 Controlabilidad



De estado
De salida
En tiempo
e po d
discreto
sc e o
 Realimentación de estado



Cálculo por sustitución directa
Cálculo por transformación FCC
Cál l por lla fó
Cálculo
fórmula
l d
de Ackermann
A k
 Ejemplos y ejercicios
E. Interiano
2
Controlabilidad
 La
L controlabilidad
t l bilid d ttrata
t d
de lla existencia
i t
i d
de un
vector de control que puede causar que el
estado del sistema llegue a algún estado
arbitrario en un tiempo finito.
 El concepto de controlabilidad es la base
para solucionar el problema de la ubicación
de polos
 Si el sistema es de estado completamente
controlable entonces es posible seleccionar
controlable,
los polos en lazo cerrado deseados (o las
raíces de la ecuación característica))
E. Interiano
3
Controlabilidad de estado
Partimos del sistema
x  Ax(t )  Bu(t )
y (t )  Cx(t )  Du(t )
Para que este sistema sea de estado
completamente controlable, es necesario y
suficiente que la matriz de controlabilidad M de
n x nr tenga rango n
M  [B AB A 2 B    A n -1B]
E. Interiano
4
Pruebas para la controlabilidad
de estado
 Si M no es cuadrada, se puede formar la
matriz MM’, que es de n x n; entonces si MM’
es no singular M tiene rango n.
 El par [A, B] es completamente controlable si
A y B están en la Forma Canónica
Controlable o FCC, o son transformables a la
Forma Canónica Controlable
E. Interiano
5
Pruebas para la controlabilidad
de estado (2)
 Si llos valores
l
propios
i d
de A son diferentes
dif
t yA
está en la Forma Canónica Diagonal el par
[A B] es completamente controlable si todos
[A,
los elementos de B no son cero
 Si A está en la Forma Canónica de Jordan,
el par [A,
[A B] es completamente controlable si
NO todos los elementos en los renglones de
B que corresponden al último renglón de
cada bloque de Jordan son cero
E. Interiano
6
Ejemplo 1: Controlabilidad
 Sea el sistema descrito por:
 2 1 
A

0
1


1 
B 
0 
 La matriz de controlabilidad es
1 - 2
M  B AB  

0
0


 Que es singular y por lo tanto el sistema es
no controlable.
E. Interiano
7
Controlabilidad de salida
S ell sistema
Sea
i t
x  Ax(t )  Bu(t )
y (t )  Cx
C (t )  Du
D (t )
El sistema posee controlabilidad de salida completa sí y
sólo sí, la matriz de m x (n + 1) r
posee rango
p
g m
[D CB CAB
CA 2 B    CA n-1B]
Así, la presencia del término Du(t) ayuda a establecer
la controlabilidad de la salida.
E. Interiano
8
Controlabilidad de estado en
tiempo discreto
Partimos del sistema
x((k  1)T )  A d x(kT )  B d u(kT )
y (kT )  Cx(kT )  Du(kT )
Para que este sistema sea de estado
completamente controlable, es necesario y
suficiente que la matriz de controlabilidad M de
n x nr tenga rango n
M  [B d
E. Interiano
Ad Bd
n -1
Ad Bd    Ad Bd ]
2
9
Ejemplo 2: Controlabilidad en
tiempo discreto
Sistemas completamente controlables
 1
x(k  1)  
 0
 x1 (k  1)   2
 x (k  1)  0
 2
 
 x3 (k  1)    0

 
x
(
k
1
)

 4
 
 x5 (k  1)   0
E. Interiano
1
2
0
0   x1 (k )  2
  u( k )



- 2  x2 (k ) 3 
0
1
2
5
0
0  x1 ( k )  0
  x ( k )  0
 2  
  x3 (k )   3
 

1   x4 ( k )   0
 5   x5 (k )  2
1
0
 u1 (k ) 
0 

u
(
k
)

0  2 
1 
10
Controlabilidad de salida en
tiempo discreto
Sea el sistema
x((k  1)T )  A d x(kT )  B d u(kT )
y (kT )  Cx(kT )  Du(kT )
El sistema posee controlabilidad de salida completa sí y
sólo
ól sí,
í lla matriz
ti d
de m x (n
( + 1) r
posee rango m
[D CBd
n -1
CAd B d    CAd B d ]
Así, la p
presencia de la matriz D en la ecuación de salida
siempre ayuda a establecer la controlabilidad de la
salida.
E. Interiano
11
Controlabilidad de estado
completo a partir de G(s) o G(z)
 La
L condición
di ió d
de controlabilidad
t l bilid d necesaria
i es
que no haya cancelación polo-cero en la
función de transferencia o matrices de
transferencia; ya que si se produce
cancelación el sistema no se podrá controlar
en la dirección del modo cancelado.
( z  0.5)
G( z) 
( z  0.5)( z  0.8)
 Debido a la cancelación del polo (z+0
(z+0.5),
5) el
sistema no es de estado completamente
controlable.
controlable
E. Interiano
12
Realimentación de estado
Tenemos un sistema descrito por
x  Ax  Bu
Hacemos la señal u como
u  Kx
Sustituyendo obtenemos
x  ( A  BK ) x(t )
E. Interiano
13
Realimentación de estado
Puede
P
d observarse
b
que ell nuevo sistema
i t
posee
una nueva matriz ~
A  ( A  BK )
Que posee nuevos valores propios 1, 2, …n
det( I  ( A  BK ))  0
E. Interiano
14
Condición necesaria y suficiente
para la ubicación arbitraria de polos
 La ubicación arbitraria de los polos para un
determinado sistema, es posible si y solo si,
el sistema tiene estado completo controlable,
es decir, la matriz M tiene rango n (tiene
inversa en un sistema SISO).
 Los valores propios de la matriz A – BK (que
se designan 1, 2, …n) son los polos de
lazo cerrado deseados
E. Interiano
15
Ejemplo 3: Ubicación de
polos por tres métodos
Considere el sistema continuo
1  0 
 0
x  
x   u

20.6 0 1
y  1 0x
Requisitos: se desea colocar arbitrariamente
los polos de lazo cerrado en  = -1.8
1 8  j 2.4
2 4 es
decir, los valores propios de (A – BK) deben
ser:
1 = -1.8 + j 2.4
2 = -1.8 – j 2.4
E. Interiano
16
Ejemplo 3: Prueba de aptitud,
controlabilidad
Verificamos
V
ifi
lla que lla matriz
t i controlabilidad
t l bilid d M
tiene rango 2; por lo que es controlable
0 1 
M  B AB  

1
0


La ecuación característica del sistema es
I  A 

1
 20.6

 2  20.6  0
Y las raíces características son  =  4.539.
El sistema
i t
es iinestable
t bl !
E. Interiano
17
Ejemplo 3.1: Solución 1 por
sustitución directa de K
Por sustitución directa de K = [k1, k2] en el
polinomio característico deseado
1  0
 0   0

    k1 k 2  
I  A  BK  


 0   20.6 0 1

 20.6  k1
1
 2  k2  k1  20.6
  k2
Comparando con (-1)(-2) = 2 + 3.6 + 9
K = [ 29.6 3.6 ]
E. Interiano
18
Transformación a FCC
 Se define
x̂ˆ como un nuevo vector de estado
x  Txˆ
 Si el sistema tiene estado completo
controlable, es transformable a la forma FCC
y entonces la matriz T tiene inversa.
 Utilizando la matriz T se puede transformar el
ssistema
s e a a la
a forma
o a ca
canónica
ó ca co
controlable:
t o ab e
x̂  T1 ATxˆ  T1Bu
E. Interiano
19
Cálculo de la matriz T
Sea T la
S
l matriz
ti d
de ttransformación,
f
ió con M la
l
matriz de controlabilidad T  MW
Y con
 a1 a2
a
 2 a3

 
W 



 
an1 1

0
 1
   an1 1
   1 0 
  
  

  
   0 0 

   0 0 
donde los ai son los coeficientes del polinomio
característico
E. Interiano
I  A  n  an1n1    a1  a0
20
Ecuación característica
La ecuación característica del sistema
realimentado se encuentra como
I  ( A  BK )  T 1 (I  ( A  BK ))T  I  T 1 AT  T 1BKT  0
Donde KT de define como la matriz de coeficientes
KT   0 1   n1 
Sustituyendo T-1AT, T-1B y KT en
I  T AT  T BKT  0
1
E. Interiano
1
21
Ecuación característica (2)
 0
 0

I   

 0
 a0
Obtenemos

1
0

0

1
0


0
 a1
0 
 a2 

1
0
0

0

1

0

0
a0   0  a1  1  a2   2 
   (an 1   n 1 )
n
E. Interiano
n 1
0  0 
0  0
      0 1   n 1  
  
1  0 
 an 1  1

0



0

1

   an 1   n 1 
  (a1  1 )  (a0   0 )  0
22
La matriz K
Igualando los coeficientes del polinomio característico
de (A-BK) con los coeficientes de potencias iguales de
 obtenidos de los polos deseados
(  1 )(   2 ) (   n )  n   n 1n 1  1   0  0
n  (an 1   n 1 )n 1  (a1  1 )  (a0   0 )  0
a0   0   0   0   0  a0
KT   0 1   n 1 
a1  1  1  1  1  a1

an1   n1   n1   n1   n1  an1
Finalmente:
K   0  a0 
E. Interiano
1  a1 
K   0 1   n 1 T 1

 n 1  an 1 T 1
23
Pasos para el diseño por
ubicación de polos por FCC
1. V
1
Verifique
ifi
la
l condición
di ió de
d controlabilidad
t l bilid d d
dell sistema
i t
con M.
M
2. A partir del polinomio característico de la matriz A,
n1
I  A  n  an

   a1  a0
n 1
determine los valores de ai
3. Determine la matriz de transformación T que transforma la
ecuación de estado del sistema a la forma canónica controlable
(si ya está en forma FCC, entonces T = I).
4. Utilizando los valores propios i deseados, halle el polinomio
característico
t í ti correspondiente
di t
(  1 )(   2 )  (   n )  n   n 1n 1  1   0
determine los valores de i
5. Determine la matriz K de ganancia de realimentación de estado
K   0  a0 
E. Interiano
1  a1 

 n 1  an 1 T 1
24
Ejemplo 3.2: Solución 2 por
transformación a FCC
Y que ell sistema
Ya
i t
esta
t en forma
f
FCC,
FCC T = I
Se tiene de la ecuación característica que
a1 = 0,
a0 = -20.6
De los valores de i deseados
(-1)(-2) = ( + 1.8 - jj2.4)) ( + 1.8 + jj2.4)) =
2 + 3.6 + 9
1 = 3.6 ,
E. Interiano
0 = 9
25
Ejemplo 3: Solución por
transformación a FCC (cont.)
Por lo tanto
K = [ (0 – a0)
(1 – a1) ] T-1
K = [ (9 + 20.6)
(3.6 – 0) ] I-1
K = [ 29.6 3.6 ]
E. Interiano
26
Fórmula de Ackermann
 Para sistemas SISO, existe una forma sistemática de
calcular la matriz K
K  0 0  1 M 1φ(A)

K  0 0  1 B AB  A
n 1

1
B φ(A)
 φ(A)
( ) es el polinomio característico
í
del sistema
realimentado, evaluado en la matriz A del sistema
original.
original
 Si el sistema es completamente controlable, la matriz
de controlabilidad M tiene rango n y es no singular
singular.
E. Interiano
27
Ejemplo 3.3: Solución 3 usando
la fórmula de Ackermann
Considere el sistema
1  0 
 0
x  
x   u

20.6 0 1
y  1 0x
se desea colocar arbitrariamente los polos de
lazo cerrado en  = -1.8
18j2
2.4
4 es decir
decir, los
valores propios de (A – BK) deben ser:
1 = -1.8 + j 2.4
2 = -1.8 – j 2.4
E. Interiano
28
Ejemplo 3.3:
3 3: cálculo de φ(A)
2

(

)


 3 .6   9
Calculamos φ(A) con
φ(A))  A 2  3.6 A  9I
φ(
3 .6  9 0 
0   0
20.6


φ(A)  



0
20.6
0.6
74
7
.
16
6
0
0
9

 
 

 29.6 3.6 
φ(A))  
φ(

74
.
16
29
.
6


Finalmente
1
0 1   29 .6

K  0 1 

1 0  74 .16
E. Interiano
3 .6 
 29 .6 3.6 

29 .6 
30
Ejemplo 3: Resultados
Realimentado
Original
Respuesta realimentada
con u = -Kx
E. Interiano
31
Ejemplo 3:Análisis de resultados
 Se puede apreciar que la matriz K puede
obtenerse por varios métodos y que el
resultado esperado para los valores de los
polos de lazo cerrado se cumple en todos los
casos
 También se puede observar que la
realimentación de estado, de la forma
planteada, no corrige el error de estado
estacionario
E. Interiano
32
Ejemplo 4: Usando la fórmula
de Ackermann
El sistema
i t
di
discreto
t
1.65  0.675
1 
x(k  1)  
x( k )   u ( k )

0 
 1
0 
y (k )  1 0.825x(k )
T  0.01s
Tiene el polinomio característico (en z)
 z  1.65 0.675
2
zI  A  

z
 1.65 z  0.675

z 
 1
con polos en z = 0.9 y z = 0.75 y
E. Interiano
1 1.65
M

0
1


33
Ejemplo 4: continuación
 Los polos de lazo cerrado deben estar en
1, 2  0.25  j 0.25
 Y el error de estado estacionario debe ser
cero ante una entrada escalón normalizada
El polinomio característico deseado es
 ( z )  ( z  1 )( z   2 )  z 2  0.5 z  0.125
Después de comprobar la controlabilidad
K  0 1 B
E. Interiano
AB  φ(A)
1
34
Ejemplo 4: cálculo de φ(A)
Calculamos φ(A)
φ(A))  A 2  0.5A  0.125I
φ(
0 
2.0475 - 1.1138  0.825  0.3375 0.125

φ(A)  




1.65
.65
0.675
0
.
5
0
0
0
.
5
125

 
 

1.34  0.77625 
φ(A))  
φ(

1
.
15

0
.
55


Finalmente
1
1 1.65  1.34
K  0 1 


1  1.15
0
E. Interiano
 0.77625 
 1.15  0.55 

 0.55 
35
Ejemplo 5: El sistema
realimentado no homogéneo
Donde r(k) es una entrada forzada y K0 es una
ganancia que se calcula para que el error de
estado estacionario sea cero con
u(k)
( ) = K0r(k)
( ) - Kx(k)
( )
E. Interiano
36
Ejemplo 5: El sistema
realimentado no homogéneo (2)
~ ~
Las matrices A y B
x ( k  1)  Ax ( k )  Bu ( k )  Ax ( k )  B ( K 0 r ( k )  Kx ( k ))
x ( k  1)  ( A  BK ) x ( k )  BK 0 r ( k )
~
~
x ( k  1)  Ax ( k )  Br ( k )
1.65  0.675  1 
0.5  0.125 
~
A  A  BK  
    [1.15  0.55]  


1
0
0
1
0

  


1 
K0 
~
B  BK 0    * K 0   
0
0
E. Interiano
37
Ejemplo 5: Haciendo cero el
error de estado estacionario
Encontramos la función de transferencia
1
 z  0.5 0.125  K 0 
~ 1 ~
G ( z )  C ( zI  A ) B  [1 0.825]
 0

z
1

  
G(z) representa
(z + 0.825)
0 825)
al sistema
G( z )  K0  2
(estable) de lazo
z - 0.5 z + 0.125
cerrado
Para una entrada escalón normalizada, con el
teorema del valor final, (z 1), calculamos K0
K0 = 0.625/1.825 = 0.3425
E. Interiano
38
Ejemplo 5: Resultados
Respuesta compensada
con u = -Kx y K0 = 0.3425
E. Interiano
39
Ejemplo 5: Análisis de resultados
 Los polos de lazo cerrado se encuentran en el sitio
deseado.
 El error de estado estacionario es cero; pero requiere
conocer exactamente la planta, y ante cualquier cambio,
debe reajustarse la constante K0.

El método usado no es recomendable para eliminar
completamente el error de estado estacionario
estacionario, es mejor
aplicar el método de la realimentación de estado integral.
 Para este ejemplo
ejemplo, el tiempo de muestreo parece muy
grande para la ubicación deseada de los polos.

Se está exigiendo al sistema ser demasiado rápido.
E. Interiano
40
Resumen
 El proceso de diseño inicia con la selección de la




ubicación deseada para los polos a partir de algún
tipo de requisitos,
requisitos típicamente de comportamiento en
el dominio del tiempo.
La controlabilidad es un requisito sine qua non para
la ubicación de polos por realimentación de estado.
Existen
ste varios
a os métodos
étodos de cálculo
cá cu o para
pa a la
a matriz
at
ganancia constante K.
La corrección del error de estado estacionario debe
hacerse por aparte de la ubicación de polos.
El método es aplicable a sistemas en tiempo
continuo y tiempo discreto.
E. Interiano
41
Ejercicio 1: Resuelva usando la
fórmula de Ackermann
Considere
C
id
ell sistema
i t
continuo
 2
x   2
 0
y  0 0
0.5 1 0.5
0 0 x   0 u
1 0  0 
1x
se desea colocar arbitrariamente los polos de lazo
cerrado en:
1 = -1 + j
2 = -1
1–j
3 = -5
E. Interiano
Solución: K = [10 13 12]
42
Ejercicios
 0.9319 - 0.02414
 0.01931 
x(k  1)  
 x(k )  
u


0.03863 0.99951 
0.0003908
y (k )  0 1.25 x(k )
1 Encuentre si el sistema es completamente
1.
controlable,
2 Encuentre la matriz K que ubica los polos de
2.
lazo cerrado en  = 0.6 +/- j0.25
3 A) ¿Qué
3.
Q é es respuesta
t dead
d d beat?
b t?
B) Encuentre la matriz K si el sistema
controlado
t l d d
debe
b ttener respuesta
t dead-beat
d db t
E. Interiano
45
Tarea
 Investigue el método para calcular K para
sistemas MIMO. ¿Cuál función de Matlab
realiza este cálculo?
 Investigue la realimentación de estado
integral
 Investigue que es un observador de estado
E. Interiano
46
Referencias
[1] Ogata, Katsuhiko. „Ingeniería de Control
Moderna“, Pearson, Prentice Hall, 2003, 4ª
Ed., Madrid.
[2] Ogata, Katsuhiko. „Sistemas de Control en
tiempo discreto
discreto“,, Prentice Hall, 1996, 2ª
2
Ed., México.
E. Interiano
47