2010 - Curso Matemáticas Financieras

Matemáticas Financieras
Notas de Clase -2010
Carlos Mario Morales C
Matemáticas Financieras 2010
Introducción
La Matemática Financiera es una derivación de las matemáticas aplicadas que estudia el valor
del dinero en el tiempo. La disciplina a través de una serie de modelos matemáticos sirve de
apoyo a las personas, administradores y comerciantes en la toma racional de decisiones al
momento de escoger la mejor alternativa de inversión.
De esta forma, la matemática financiera es una herramienta básica para la Gestión y
Administración Financiera; actividad está en la cual directa o indirectamente está involucrado
todo el staff administrativo de la empresa que tiene a su cargo asegurar los resultados; es decir
la generación de valor del negocio.
Así, el texto ofrece a los estudiantes y profesionales con orientación a los negocios los
fundamentos básicos para el ejercicio de la administración financiera. En la primera parte se
estudia el tema de las matemáticas financieras; la segunda analiza la evaluación financiera de
proyectos y finalmente en la tercera, se hace una introducción a los indicadores financieros.
El texto propone el estudio de las matemáticas financieras desde la dimensión práctica, sin
dejar de realizar las conceptualizaciones necesarias; es decir, a partir de los elementos teóricos
se realizan aplicaciones orientadas a situaciones empresariales, permitiendo a los estudiantes,
de esta forma, desarrollar las habilidades requeridas para una práctica profesional financiera.
Para procurar lo anterior, la exposición de cada tema se inicia con los elementos teóricos
ilustrando su aplicación con ejemplos o situaciones de la práctica empresarial; en cada unidad
de aprendizaje se presentan ejercicios resueltos y se proponen casos para su solución.
Para la solución de los ejemplos, casos y ejercicios aplicamos en forma combinada las fórmulas
y las funciones financieras de Excel o simplemente la función, utilizando el siguiendo
procedimiento1 básico:
1. Identificación del problema y ordenamiento de los datos,
2. Aplicación del modelo apropiado para el caso identificado (fórmula o fórmulas) y,
3. Empleo de las funciones financieras de Excel.
1
ACHING GUZMAN, Cesar. Aplicación Financieras de Excel. Editorial: Prociencia y Cultura S.A. Bogotá: 2006
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Matemáticas Financieras 2010
Conceptos Generales
Algunas definiciones
Matemáticas financieras
Conjunto de herramientas matemáticas, que permiten analizar cuantitativamente la viabilidad
o factibilidad económica y financiera de los proyectos de inversión. Analiza el valor del dinero
en el tiempo
Interés
El interés es la cantidad que se paga o se cobra por el uso del dinero. Cuando alguien toma
prestado dinero, este debe pagar por su uso; en dicho pago debe estar incluido tanto la pérdida
del valor del dinero; como también la renta por el uso del dinero.
De igual manera, si en vez de un crédito lo que se hace es prestar dinero (invertir), entonces se
querrá recibir, aparte de lo invertido, un monto a través del cual se recupere el valor que ha
perdido el dinero en el tiempo y una renta por el préstamo del dinero.
Tasa de interés
Es el porcentaje al que está invertido un capital en una unidad de tiempo, determinando lo que
se refiere como "el precio del dinero en el mercado financiero".
La tasa de interés (expresada en porcentajes) representa un balance entre el riesgo y la posible
ganancia (oportunidad) de la utilización de una suma de dinero en una situación y tiempo
determinado. En este sentido, la tasa de interés es el precio del dinero, el cual se debe
pagar/cobrar por tomarlo prestado/cederlo en préstamo en una situación determinada.
Porcentajes
Cuando se opera con porcentajes en este texto, se hace con la expresión decimal (0.20), por
ejemplo 20% = 0.20 = (20/100), que es la forma correcta de trabajar con las fórmulas. Los
resultados de las operaciones lo expresamos generalmente con cuatro decimales, en el caso de
los factores o índices. Las respuestas finales de los ejercicios se expresan en con dos decimales.
En ambos casos los resultados son redondeados por exceso o por defecto
Interés Simple
Si una operación es a interés simple, entonces el interés es calculado sobre el capital original
para el periodo completo de la transacción y los interés son pagados al prestamista, sin que
estos se reinviertan. Es decir, al cabo del periodo se reconoce al prestamista los intereses;
iniciándose a partir de allí una nueva liquidación solo sobre el monto original; sin que los
intereses se capitalicen para generar nuevos sobre ellos nuevos intereses.
Capitalización de intereses
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Si al final del periodo de inversión en vez de devolver los intereses devengados al prestamista,
estos se suman al capital original, para a partir de ahí, calcular un nuevo interés, se dice que los
intereses se capitalizan.
Interés Compuesto
Si una operación es a interés compuesto, entonces el interés es calculado sobre el capital para
un periodo reinvirtiéndose los intereses; es decir, al cabo del periodo los intereses se
capitalicen para calcular sobre dicho monto los nuevos intereses.
Proyecto de Inversión
Son oportunidades de desembolsos de dinero del cual se espera obtener rendimientos (flujos
de efectivo o retornos) de acuerdo a unas condiciones particulares de riesgo. Los rendimientos
deben permitir recuperar las inversiones, cubrir los gastos operacionales y además obtener una
rentabilidad de acuerdo al nivel de riesgo.
Riesgo
El riesgo se describe como la posibilidad de que un resultado esperado no se produzca. Cuanto
más alto sea el nivel de riesgo, tanto mayor será la tasa de rendimiento y viceversa.
Factibilidad Económica
Tiene que ver con determinar la bondad de invertir o no los recursos económicos en una
alternativa de inversión –proyecto-; sin importar el origen de dichos recursos.
Factibilidad Financiera
Tiene que ver con determinar si el retorno es atractivo o no para los dueños del dinero, para el
inversionista. Es decir, lo que interesa es determinar si la inversión efectuada exclusivamente
por el dueño, obtiene la rentabilidad esperada por él.
Factibilidad económica versus factibilidad financiera
En el ámbito de la evaluación de proyecto es de vital importancia comprender que a cada
decisión de inversión, corresponde una decisión de financiación. Con la condición fundamental
de que la rentabilidad de la inversión, debe satisfacer la estructura financiera de la empresa. La
decisión de inversión, como ya se menciono, tiene que ver con la estructura operativa de la
empresa y con una de las funciones de la Administración financiera que es definir donde
invertir.
Para poder tomar la decisión de invertir hay necesidad de definir los indicadores de gestión
financiera que permitan establecer si la empresa cumple con su objetivo financiero básico y si
los proyectos de inversión que enfrenta cotidianamente la acercan a su meta. La decisión de
financiación, otra de las decisiones fundamentales de la administración, tienen que ver con la
estructura financiera de la empresa o proyecto, esta estructura se refiere a los dueños de los
recursos (deuda o recursos propios), la cual tiene un costo que se denomina el costo de capital
promedio ponderado. Al evaluar la estructura financiera del proyecto, interesa diseñar
indicadores financieros que permitan identificar si los inversionistas o dueños de la empresa
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están alcanzando la meta financiera, la cual en empresas que tengan ánimo de lucro, es ganar
más dinero ahora y en el futuro.
Valor Económico Agregado
Si la rentabilidad de una inversión supera el costo de capital promedio ponderado entonces se
puede afirmar que se generara valor económico para los propietarios de la empresa. Solamente
en este caso se puede decir que los inversionistas están satisfaciendo sus expectativas y
alcanzando sus objetivos financieros.
Inflación
Se define como inflación al aumento generalizado del nivel de precios de bienes y servicios en
una economía. También se puede definir como la caída del poder adquisitivo de una moneda
en una economía en particular. Esto significa que, en una economía con inflación, la cantidad
de productos que se pueden comprar con una cantidad determinada de dinero hoy es mayor a
cantidad de productos que se podría comprar dentro de un tiempo.
Deflación
Contrario a la inflación, la deflación es la disminución generalizada del nivel de los precios de
los bienes y servicios en una economía; es decir, es el aumento del poder adquisitivo de la
moneda. Esto significa que, en una economía con deflación, la cantidad de productos que se
pueden comprar con una cantidad determinada de dinero hoy es menor a la cantidad de
productos que se podría comprar dentro de un tiempo.
Devaluación
No se puede confundir con la inflación, la devaluación es la pérdida del valor del dinero con
respecto a otra moneda, por ejemplo el dólar. La devaluación puede ser causada por muchos
factores: la falta de demanda de la moneda o una mayor demanda de la moneda con la cual se
le compara.
Reevaluación
Es lo contrario a la devaluación, es decir es la valorización de una moneda, con respecto a otra.
Nomenclatura básica
VP:
VF:
j:
t:
m:
n:
i:
iEA:
I:
VPN:
TIR:
Capital principal; valor presente, expresado en valores monetarios
Capital más interés; valor futuro expresado en valores monetarias
Tasa nominal o la tasa de interés anual
Número de años (tiempo)
Número de capitalizaciones por año
Número de períodos de composición
Tasa de interés efectiva
Tasa de interés efectiva anual
Interés
Valor Presente Neto
Tasa Interna de Retorno
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A:
VPA:
VFA:
ia:
iv:
Anualidad o cuota uniforme
Valor presente de una anualidad
Valor futuro de una anualidad
Tasa de interés anticipada
Tasa de interés vencida
Funciones Financieras de Excel
Las funciones financieras más utilizadas en el texto son:
NPER
Devuelve el número de períodos de una inversión basándose en los pagos periódicos
constantes y en la tasa de interés constante.
Sintaxis: NPER(tasa; pago; va; vf; tipo)
Tasa: tasa de interés por período.
Pago: pago efectuado en cada período; debe permanecer constante durante la vida de la
anualidad. Por lo general, pago incluye el capital y el interés, pero no incluye ningún otro
arancel o impuesto.
Va: Valor actual o la suma total de una serie de futuros pagos.
Vf: es el valor futuro o un saldo en efectivo que se desea lograr después de efectuar el último
pago. Si el argumento vf se omite, se supone que el valor es 0 (por ejemplo, el valor
futuro de un préstamo es 0).
Tipo: es el número 0 ó 1 e indica cuándo vencen los pagos (0=final del periodo; 1=inicio del
periodo)
PAGO
Calcula el pago de un préstamo basándose en pagos constantes y en una tasa de interés
constante.
Sintaxis: PAGO(tasa;nper;va;vf;tipo)
Tasa: es el tipo de interés del préstamo.
Nper: es el número total de pagos del préstamo.
Va: es el valor actual, o la cantidad total de una serie de futuros pagos. También se conoce
como valor bursátil.
Vf: es el valor futuro o un saldo en efectivo que se desea lograr después de efectuar el último
pago. Si el argumento vf se omite, se supone que el valor es 0 (es decir, el valor futuro de
un préstamo es 0).
Tipo: es el número 0 o 1, e indica cuándo vencen los pagos (0=final del periodo; 1=inicio del
periodo)
TASA
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Devuelve la tasa de interés por período de una anualidad. TASA se calcula por iteración y puede
tener cero o más soluciones. Si los resultados sucesivos de TASA no convergen dentro de
0,0000001 después de 20 iteraciones, TASA devuelve el valor de error #¡NUM!
Sintaxis: TASA(nper;pago;va;vf;tipo;estimar)
Nper: es el número total de períodos de pago en una anualidad.
Pago: es el pago efectuado en cada período, que no puede variar durante la vida de la
anualidad. Generalmente el argumento pago incluye el capital y el interés, pero no
incluye ningún otro arancel o impuesto. Si se omite el argumento pago, deberá incluirse
el argumento vf.
Va: es el valor actual, es decir, el valor total que tiene actualmente una serie de pagos
futuros.
Vf: es el valor futuro o un saldo en efectivo que se desea lograr después de efectuar el último
pago. Si el argumento vf se omite, se supone que el valor es 0 (por ejemplo, el valor
futuro de un préstamo es 0).
Tipo: es el número 0 ó 1 e indica cuándo vencen los pagos. (0=final del periodo; 1=inicio del
periodo)
VA
Devuelve el valor actual de una inversión. El valor actual es el valor que tiene actualmente la
suma de una serie de pagos que se efectuarán en el futuro. Por ejemplo, cuando pide dinero
prestado, la cantidad del préstamo es el valor actual para el prestamista.
Sintaxis: VA(tasa;nper;pago;vf;tipo)
Tasa: es la tasa de interés por período. Por ejemplo, si obtiene un préstamo para un automóvil
con una tasa de interés anual del 10 por ciento y efectúa pagos mensuales, la tasa de
interés mensual será del 10%/12 o 0,83%. En la fórmula escribiría 10%/12, 0,83% ó 0,0083
como tasa.
Nper: es el número total de períodos de pago en una anualidad. Por ejemplo, si obtiene un
préstamo a cuatro años para comprar un automóvil y efectúa pagos mensuales, el
préstamo tendrá 4*12 (ó 48) períodos. La fórmula tendrá 48 como argumento nper.
Pago: es el pago efectuado en cada período, que no puede variar durante la anualidad.
Generalmente el argumento pago incluye el capital y el interés, pero no incluye ningún
otro arancel o impuesto. Por ejemplo, los pagos mensuales sobre un préstamo de 10.000
$ a cuatro años con una tasa de interés del 12 por ciento para la compra de un automóvil,
son de 263,33 $. En la fórmula escribiría -263,33 como argumento pago. Si se omite el
argumento pago, deberá incluirse el argumento vf.
Vf:
es el valor futuro o un saldo en efectivo que se desea lograr después de efectuar el último
pago. Si el argumento vf se omite, se supone que el valor es 0 (por ejemplo, el valor
futuro de un préstamo es 0). Si desea ahorrar 50.000 $ para pagar un proyecto especial
en 18 años, 50.000 $ sería el valor futuro. De esta forma, es posible hacer una estimación
7 | Carlos Mario Morales C
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conservadora a cierta tasa de interés y determinar la cantidad que deberá ahorrar cada
mes. Si se omite el argumento vf, deberá incluirse el argumento pago.
Tipo: es el número 0 ó 1 e indica cuándo vencen los pagos. (0=final del periodo; 1=inicio del
periodo)
VF
Devuelve el valor futuro de una inversión basándose en pagos periódicos constantes y en una
tasa de interés constante.
Sintaxis: VF(tasa;nper;pago;va;tipo)
Tasa: es la tasa de interés por período.
Nper: es el número total de períodos de pago en una anualidad.
Pago: es el pago que se efectúa cada período y que no puede cambiar durante la vigencia de la
anualidad. Generalmente, el argumento pago incluye el capital y el interés pero ningún
otro arancel o impuesto. Si se omite el argumento pago, se deberá incluir el argumento
va.
Va:
es el valor actual o el importe total de una serie de pagos futuros. Si se omite el
argumento va, se considerará 0 (cero) y se deberá incluir el argumento pago.
Tipo: es el número 0 ó 1 e indica cuándo vencen los pagos. Si se omite el tipo, se calculará
como 0. (0=final del periodo; 1=inicio del periodo)
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1
Unidad de Aprendizaje
Interés Simple
Contenido
Introducción
1.
Concepto del interés simple
2.
Formula de interés simple
3.
Clases de interés simple
4.
Capital Final – Valor futuro
5.
Capital inicial – Valor presente
6.
Representación gráfica –Flujo de Caja-
7.
Interés Anticipado - Descuento simple.
8.
Tasa realmente cobrada en una operación de descuento
9.
Descuentos en cadena
10. Ejercicios resueltos
11. Ejercicios propuestos
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Matemáticas Financieras 2010
Introducción
Si se considera el dinero como un bien es de esperarse en una economía de mercado, que el
costo que se paga por su uso sufra altas y bajas, como cualquier mercancía. De esta forma el
costo del dinero dependerá de las condiciones de oferta y demanda del mercado y otras
variables como la inflación, devaluación y revaluación.
Por eso la expresión: “No es lo mismo un millón de pesos de hoy, que un millón de pesos
dentro de un año”, se utiliza para significar que el poseedor del dinero espera que se le
recompense por no utilizar el dinero y ponerlo a disposición de otro, por un tiempo.
De esta forma, para las personas no es igual recibir una misma cifra de dinero hoy que un
tiempo después; es decir, no se puede decir que dichos valores sean equivalentes. Dos cifras de
dinero son equivalentes cuando a una persona le es indiferente recibir una suma de dinero hoy
(VP) y recibir otra suma diferente (VF) al cabo de un periodo. El Interés es el monto de dinero
que permite hacer equivalente una cifra pasada, con una cifra futura; es decir, el interés
permite hacer equivalente cifras de dinero en el tiempo.
El concepto de interés es de uso amplio en la vida comercial y financiera; esto ha conducido a
que tenga múltiples acepciones, entre otras:
-
El valor del dinero en el tiempo
-
Valor recibido o entregado por el uso del dinero
-
Utilidad o ganancia que genera un capital
-
Precio que se paga por el uso del dinero
-
Rendimiento de una inversión
-
Entre otros.
1.
Concepto de Interés Simple
Es el canon de arrendamiento que se paga por hacer uso de un monto de dinero llamado
principal o capital, durante un periodo de tiempo determinado. Se dice que el interés es Simple
cuando se paga dicho canon de arrendamiento al momento de liquidarse, es decir al final del
periodo.
2.
Formula de interés simple
El interés simple es el resultado de calcular el capital por la tasa periódica de interés por el
número de periodos, es decir:
I = VP * i * n (1)
VP: Capital o monto principal
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i: Tasa de interés periódica
n: Número de periodos.
3.
Clases de interés simple
No existe un criterio único para aplicar el interés simple; la aplicación depende de la operación
comercial o financiera o incluso muchas veces del sector económico o las costumbres
comerciales.
Por lo anterior, dependiendo de la base en días para el cálculo, se puede hacer distinción de
dos clases de aplicaciones:
Interés Ordinario, que es aquel donde se toma como base para el cálculo, un año de 360 días e
Interés Exacto, cuando se toma como base para el cálculo, años de 365 días; los cuales a su vez
pueden llegar a tomar algunas de las variantes que se muestran en la siguiente tabla:
Interés Ordinario
Con tiempo exacto (Interés Bancario)
(Base de Cálculo 360)
(Considera los días exactos en los cuales se ha utilizado el
préstamo y una base de 360 días al año)
Con tiempo aproximado (Interés Comercial)
Tiempo exacto
Meses de 30 días
(Considera indistintamente meses de 30 días y una base de
360 días al año)
Interés Exacto
Exacto o Verdadero (Interés Racional)
(Base de Calculo 365)
(Considera los días exactos en los cuales se ha utilizado el
préstamo y la base son los días exactos del año)
Exacto sin Bisiesto (Interés base 365 días)
(Considera los días exactos en los cuales se ha utilizado el
préstamo y una base de 365 días al año (No considera
bisiestos))
Con tiempo aproximado
Tiempo exacto
Tiempo exacto sin
bisiesto
Meses de 30 días
(Considera meses de 30 días y la base son los días exactos
del año (No tiene utilidad práctica))
Clases de interés simple - Ejemplos
Ejemplo 1
Sandra quiere conocer cuál es el interés que debe cancelar por el mes de febrero del año 2004
(bisiesto) sobre un préstamo de $1´000.000, si se le cobra una tasa del 20% Nominal Anual.
Solución
11 | Carlos Mario Morales C
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El monto o capital es: $1´000.000
El interés es 20% Nominal anual; es decir, es lo que se cobraría por un año.
El periodo en que se causa el interés es una fracción de año: 29 (días del mes de febrero) de
360 días, si aplicamos interés bancario.
Con las anteriores consideraciones, el interés se calcula, como:
I = 1´000.000 * 0,2 * (29/360) = 16.666,11
El monto que Sandra debe cancelar por el préstamo de un millón durante el mes de febrero,
aplicando interés bancario es: 16.666,11
Ejemplo 2
Sandra quiere conocer cuál es el interés que debe cancelar por el mes de febrero del año 2004
(bisiesto) sobre un crédito comercial de $1´000.000 para la compra de un TV, si se le cobra una
tasa del 20% Nominal Anual.
Solución
El monto o capital es: $1´000.000
El interés es 20% Nominal anual; es decir, es lo que se cobraría por un año.
El periodo en que se causa el interés es una fracción de año: 30 (días del mes de febrero) de
360 días, si aplicamos interés comercial.
Con las anteriores consideraciones, el interés se calcula, como:
I = 1´000.000 * 0,2 * (30/360) = 16.666,67
El monto que Sandra debe cancelar por el crédito para la compra de un TV durante mes de
febrero, aplicando interés comercial es: 16.666,67
Ejemplo 3
Sandra quiere conocer cuál es el interés que debe cancelar por el mes de febrero del año 2004
(bisiesto) sobre un préstamo de $1´000.000, si se le cobra una tasa del 20% Nominal Anual y el
prestamista hace el cálculo con interés racional
Solución
El monto o capital es: $1´000.000
El interés es 20% Nominal anual; es decir, es lo que se cobraría por un año.
El periodo en que se causa el interés es una fracción de año: 29 (días del mes de febrero) de
366 días, si aplicamos interés racional.
Con las anteriores consideraciones, el interés se calcula, como:
I = 1´000.000 * 0,2 * (29/366) = 15.846,99
12 | Carlos Mario Morales C
Matemáticas Financieras 2010
El monto que Sandra debe cancelar por el préstamo en este caso es de: 15.846,99
Ejemplo 4
Sandra quiere conocer cuál es el interés que debe cancelar por el mes de febrero del año 2004
(bisiesto) sobre un préstamo de $1´000.000, si se le cobra una tasa del 20% Nominal Anual y el
prestamista hace el cálculo con interés base 365
Solución
El monto o capital es: $1´000.000
El interés es 20% Nominal anual; es decir, es lo que se cobraría por un año.
El periodo en que se causa el interés es una fracción de año: 28 (días del mes de febrero) de
365 días, si aplicamos interés base 365, que recordemos no considera bisiestos.
Con las anteriores consideraciones, el interés se calcula, como:
I = 1´000.000 * 0,2 * (28/365) = 15.342,47
El monto que Sandra debe cancelar por el préstamo en este caso es de: 15.342,47
Ejemplo 5
Sandra quiere conocer cuál es el interés que debe cancelar por el mes de febrero del año 2004
(bisiesto) sobre un préstamo de $1´000.000, si se le cobra una tasa del 20% Nominal Anual y el
prestamista hace el cálculo con interés exacto-tiempo aproximado
Solución
El monto o capital es: $1´000.000
El interés es 20% Nominal anual; es decir, es lo que se cobraría por un año.
El periodo en que se causa el interés es una fracción de año: 30 (días del mes de febrero) de
366 días, si aplicamos interés exacto-tiempo aproximado.
Con las anteriores consideraciones, el interés se calcula, como:
I = 1´000.000 * 0,2 * (30/366) = 16.393,44
El monto que Sandra debe cancelar por el préstamo en este caso es de: 16.393,44
4.
Capital Final – (Valor futuro)
El capital final que recibirá el prestamista o inversionista, corresponde al capital inicial más los
intereses. A este valor se le denomina valor final, valor futuro y se representa por VF
VF = VP + I
VF = VP + (VPin)
13 | Carlos Mario Morales C
Matemáticas Financieras 2010
VF = VP( 1 + in) (2)
Donde:
VP: Capital o monto principal
i: Tasa de interés periódica
n: Número de periodos.
VF: Valor futuro
5.
Capital Inicial – (Valor presente)
El capital inicial que deberá aportar el prestamista o inversionista, se puede calcular a partir del
valor futuro, el interés y la cantidad de periodos a los cuales se hace la inversión. A este valor se
le denomina valor presente y se representa por VP
VF = VP( 1 + in)
VP = VF/(1+in) (3)
Donde:
VP: Capital o monto principal
i: Tasa de interés periódica
n: Número de periodos.
VF: Valor futuro
6.
Representación gráfica –Flujo de Caja-
Para mayor comprensión del comportamiento de las operaciones financieras; estas se pueden
representar a través de una gráfica denominada FLUJO DE CAJA. El flujo de Caja ilustra en una
línea del tiempo los ingresos con flechas hacia arriba y los egresos, inversiones, que ocurren en
una operación financiera.
Ingresos
Horizonte de tiempo
Egresos
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Matemáticas Financieras 2010
Grafica No 1 – Flujo de Caja
Ejemplos valor presente y valor futuro.
Ejemplo 6.
María Cristina quiere saber cuánto recibirá al final “exactamente” si presta $3´000.000 entre el
23 de agosto hasta el 27 de octubre de 1999 a una tasa de interés del 35% nominal anual
La situación se ilustra gráficamente como se muestra a continuación:
VF =¿?
23/08/99
Días = 65
27/10/99
i = 35% NA
VP = 3´000.000
El monto o capital es: $3´000.000
El interés es 35% Nominal anual; es decir, es lo que se cobraría por un año.
El periodo, en el cual se causan intereses, en días entre 23.08.1999 y el 27.10.1999 es 65 días;
que es una fracción de año o 365 días, si aplicamos interés racional.
Con las anteriores consideraciones, el valor final se calcula, como:
VF = VP(1 + in)
VF = 3´000.000*(1+(0,2*(65/365))) = 3´186.986,30
El monto que recibirá María Cistina al final será: 3´186.986,10; esto significa que ella a
devengado 186.986,30 pesos de interés.
Ejemplo 7.
Juan debe pagar $600.000 de matrícula en la universidad el día 13 de diciembre. ¿Cuánto
dinero debe depositar el 5 de agosto del 2005 en una cuenta de ahorros que paga el 23%
Nominal anual?
La situación se ilustra gráficamente como se muestra a continuación:
VF = $600.000
05/08/05
Días = ¿?
i = 23% NA
VP = ¿?
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13/12/05
Matemáticas Financieras 2010
El Valor Final (VF) es: $600.000
El interés es 23% Nominal anual; es decir, es lo que se cobraría por un año.
El periodo, en el cual se causan intereses, en días entre 05.08.2005 y el 13.12.2005 es 130 días;
que es una fracción del año o 360 días, si aplicamos interés bancario.
Con las anteriores consideraciones, el valor presente se calcula, como:
VP = VF/(1 + in)
VP = 600.000/(1+(0,23*(130/360))) = 553.988,23
El monto que Juan debe depositar en la cuenta de ahorros es: $553.988,23.
Ejemplo 8
Julián dueño de una pequeña empresa ha tenido excedentes por $3´000.000 durante el pasado
periodo; él quiere conocer a que tasa de interés comercial dichos excedentes se convertirán en
$3´500.000 en 6 meses.
La situación se ilustra gráficamente como se muestra a continuación:
VF = $3´500.000
VP = 3´000.000
6 Meses
i= ¿?
El Valor Final (VF) es: $3´500.000
El Valor inicial (Presente) es: $3´000.000
El periodo, en el cual se causan intereses son 6 meses (180 días) que es una fracción del año
(360 días); si aplicamos interés Comercial.
Con las anteriores consideraciones, el interés se calcula, como:
VF = VP * (1 + in)
((VF/VP) -1)/n = i
i = ((3´500.000/3´000.000)-1)/(180/360))) = 0,33333
La tasa de Interés NA que se le debe reconocer a Julián es: 33,33%
Ejemplo 9
16 | Carlos Mario Morales C
Matemáticas Financieras 2010
Julián dueño de una pequeña empresa ha tenido excedentes por $3´000.000 durante el pasado
periodo; él quiere conocer durante cuánto tiempo debe colocar este dinero para convertir
estos excedentes en $4´500.000, si la entidad bancaria le reconoce un interés NA del 27%.
La situación se ilustra gráficamente como se muestra a continuación:
VF = $4´500.000
VP = 3´000.000
n = ¿?
i= 27%
El Valor Final (VF) es: $4´500.000
El Valor inicial (Presente) es: $3´000.000
El periodo necesario para acumular la cifra final, en días, serán una fracción del año (360 días);
si aplicamos interés bancario.
La tasa de interés Nominal Anual: 27%
Con las anteriores consideraciones, el número de días se calcula, como:
VF = VP * (1 + in)
((VF/VP) -1)/i = (n/360)
i = ((3´500.000/3´000.000)-1)*360/(0,27))) = 666,67
El número de días que se debe colocar el monto inicial para al final obtener los 4,5 milloes es:
667
7.
Interés Anticipado - Descuento
El interés anticipado consiste en causar los intereses al principio del periodo. El descuento se
representa por la letra “D”
Tasa Anticipada (Tasa de descuento): Es la que genera el interés anticipado y se representa por
la letra “d”
Descuento Simple
Consiste en cobrar los intereses por anticipado calculados sobre el valor final; de esta forma el
Descuento se calcula, como:
D = VF*d*n
(3)
17 | Carlos Mario Morales C
Matemáticas Financieras 2010
Donde:
d: Tasa de descuento
D: Descuento
Valor Líquido (VT)
Es el valor nominal menos el descuento
VT = VF – D
VT = VF – (VF*d*n)
VT = VF*(1 – d*n) (4)
Ejemplos Interés Anticipado - Descuento
Ejemplo 10
El 17 de abril del 99 una pequeño comerciante compra mercancías por un valor de $8´000.000
para surtir su almacén; este realiza el pago a la fabrica a través de una letra de cambio por valor
nominal de $8´000.000 con vencimiento el 17 de julio.
El 20 de junio la fábrica por problemas de liquidez ofrece en venta la letra al banco Medellín, el
cual hará un descuento (interés anticipado) del 36% aplicado al valor final del documento.
¿Cuál es el valor que recibirá la fabrica – Valor líquido?
La situación se ilustra gráficamente como se muestra a continuación:
VF = 8´000.000
17/07
17/04/99
i= 36%
VT = ¿?
20/06
El Valor Final (VF) es: $8´000.000
El periodo en que se causa el descuento es: entre el 20/06 y 17/07, es decir: 27 días que es una
una fracción del año (360 días); si aplicamos interés bancario.
La tasa de descuento Nominal Anual: 36%
Con las anteriores consideraciones, el Valor Liquido se calcula, como:
VT = VF * (1 - dn)
18 | Carlos Mario Morales C
Matemáticas Financieras 2010
VT = (8´000.000 * (1 -0,36(27/360)) = 7´784.000,00
El valor que recibirá el fabricante es: 7´784.000,00
Ejemplo 11
¿Cuál debe ser el valor nominal de un documento de cambio que un comerciante descuenta a
un interés del 38% Nominal Anual entre el 17.12.98 y el 25.01.99 y su valor liquido es
$6´374.370?
La situación se ilustra gráficamente como se muestra a continuación:
VF = ¿?
25/01/99
17/12/98
i= 38%
VT = 6´374.370
El Valor Nominal (VF) es: ¿?
El periodo en que se causa el descuento es: entre el 17/12/98 y 25/01/77, es decir: 39 días que
es una fracción del año (360 días); si aplicamos interés comercial.
La tasa de descuento Nominal Anual: 38%
Con las anteriores consideraciones, el Valor Nominal (VF) se calcula, como:
VF = VT/(1 - dn)
VT = (6´374.370 / (1 -0,38(39/360)) = 6´648.047,97
El valor nominal del documento debe ser: 6´648.047,97
8.
Tasa Real en una operación de Descuento
La tasa de descuento se aplica al valor final del documento; a diferencia del interés simple que
se aplica al valor inicial, en consecuencia, es lógico, que para el mismo valor se obtienen
diferentes resultados de interés cobrado; para calcular la tasa real en una operación de
descuento debemos aplicar la formula de monto simple al resultado final. Lo anterior se ilustra
con el siguiente ejemplo.
Ejemplo 12
Si el Banco Medellín descuenta una letra de cambio de $6´000.000 35 días antes del
vencimiento al 38%. ¿Cuál es la tasa de interés simple real que se cobra por esta operación?
La situación se ilustra gráficamente como se muestra a continuación:
19 | Carlos Mario Morales C
Matemáticas Financieras 2010
VF = 6´000.000
35 días
i= 38%
VT = ¿?
Lo primero que debemos hacer es investigar cual es el Valor liquido de la transacción: VT
Valor Nominal (VF): 6´000.000
El periodo en que se causa el descuento es 35 días que es una fracción del año (360 días); si
aplicamos interés bancario.
La tasa de descuento Nominal Anual: 38%
Con las anteriores consideraciones, el Valor Nominal (VF) se calcula, como:
VT = VF*(1 - dn)
VT = (6´000.000*(1- -0,38(35/360)) = 5´778.333,33
El valor líquido de la letra de cambio es: 5´778.333,33
Así, la situación de la operación financiera se muestra en la siguiente gráfica, a partir de esta se
pide determinar la Tasa de Interés Real de la operación.
VF = 6´000.000
35 días
i= ¿?
VT = 5´778.333,33
Podemos de la formula VF = VP(1+in), despejar i para conocer, así la verdadera tasa de interés
de la operación
VF = VP(1+in)
((VF/VP) -1)/n = i
((6´000.000/5´778.333,33)-1)/(35/360) = 0,3946
La tasa Nominal Anual Real de interés de la operación es: 39,46%
9.
Descuentos en Cadena
20 | Carlos Mario Morales C
Matemáticas Financieras 2010
En una operación comercial pueden ocurrir varios descuentos; tal es el caso cuando una
empresa vende mercancía; en este caso se ofrecen una serie de descuentos que son aplicables
a la misma factura.
Descuento por volumen
Descuento por pronto pago
Descuento por embalaje
Descuento por temporada
Descuento por fidelidad
En la siguiente tabla se muestra el efecto matemático causado por una serie de descuentos
sobre un mismo monto (una factura por ejemplo).
Descuentos en Cadena
Valor Factura Antes
Tasa
descuento
Valor Descuento
Valor Factura Después de Descontada
A
d1
Ad1
A - Ad1 = A(1-d1)
A(1-d1)
d2
A(1-d1) d2
A(1-d1)-A(1-d1) d2 = A(1-d1)(1-d2)
A(1-d1)(1-d2)
d3
A(1-d1)(1-d2) d3
(A(1-d1)(1-d2)-A(1-d1)(1-d2)d3) =
A(1-d1)(1-d2)(1-d3)
…
…
…
…
A(1-d1)(1-d2)…(1-dn-1)
dn
A(1-d1)(1-d2)…
(1-dn-1) dn
= A(1-d1)(1-d2)(1-d3)…(1-dn)
El descuento total será el valor inicial del monto (factura) menos el valor final, es decir después
de ser descontado el monto.
D = A(1-(1-d1)(1-d2)…(1-dn))
Al dividir el valor final del monto (factura) con el valor inicial de la misma factura, se obtiene la
tasa de descuento promedio, esto es:
d = 1-(1-d1)(1-d2)…(1-dn)
Ejemplo 13
Un comerciante quiere conocer el descuento promedio que obtiene y el valor final de una
factura después de realizar compras por $12´361.500; si el proveedor de la mercancía le
21 | Carlos Mario Morales C
Matemáticas Financieras 2010
concede los siguientes descuentos: por pronto pago: 10%; por compra al por mayor 25%; y por
temporada: 8%
El descuento total lo puede calcular como:
D = A(1-(1-d1)(1-d2)…(1-dn))
D = 12´361.500*(1-(1-0,1)(1-0,25)(1-0,08)) = 4´685.008,5
De esta forma, el valor final de la factura es: A – D = 12´361.500 - 4´685.008,5 = 7´676.491,5
La tasa de descuento total se calcula como:
d = 1-(1-d1)(1-d2)…(1-dn)
d = 1-(1-0,1)(1-0,25)(1-0,08) = 0,3790 = 37,90%
10. Ejercicios resueltos
1) Calcular el interés simple comercial de $300.000 desde el del 18 de marzo al 18 de junio del
mismo año al 3.4% mensual.
18.03
3 meses
18.06
i = 3,4% mensual
I = (300.000 x 0,034) x 3 = 30.600
2) Una persona invierte $250.000 al 40% desde el 15 de septiembre de 1998 hasta el 18 de
noviembre de 1998. Calcular: a) El monto racional y b) el monto bancario
15.09
18.11
i = 40%
250.000
Real
Bancario
Septiembre
15
15
Octubre
31
31
22 | Carlos Mario Morales C
Matemáticas Financieras 2010
Noviembre
18
18
Total
64
63
I = 250.000 (64/365) x 0,4 = 17.534,22; entonces el valor final S = 267.534,22 (Racional)
I = 250.000 (64/360) x 0,4 = 17.777,77; entonces el valor final S = 267.777,77 (Bancario)
3) ¿Cuánto debe invertirse hoy 17 de octubre en un fondo que garantiza el 28% simple real
para que el 20 de marzo del siguiente año pueda retirar la suma de $150.000?
S = 150.000
17.10
20.03
i = 28%
P = ¿?
Real
Bancario
Comercial
Octubre
14
14
13
Noviembre
30
30
30
Diciembre
31
31
30
Enero
31
31
30
Febrero
28
28
30
Marzo
20
20
20
Total
154
S = P + iPn
S = P(1 + in)
P = S/(1 + in)
P = 150.000/(1 + 0,028 x( 154/365)) = 134.151,73 (Racional)
4) Hallar el valor presente de $500 000 en 31/2 años a1 3% mensual
42 meses
P = ¿?
23 | Carlos Mario Morales C
S = 500.000
Matemáticas Financieras 2010
S = P(1 + in)
P = S/(1 + in)
P = 500.000/(1 + (0,03 x 42)) = 221.238,93
5) Hace 6 años compré un lote en $900 000 y hoy se vendió en $6 millones. Hallar la tasa de
interés comercial que gane en este negocio.
i = ¿?
900.000
S = 6´000.000
6 años
S = P( 1 + in)
S/P = 1 + in
((S/P) – 1)/n = i
((6´000.000/900.000) – 1)/6 = i; es decir: i = 94.44%
6) ¿Qué tan rentable es un documento que hoy se puede comprar en $75 000 el cual
devolverá al cavo de 3 años la suma de $330.000?
S = 330.000
3 años
i = ¿?
75.000
i = ((S/P)-1)/n
i = ((330.000/75.000)-1)/3 = 1,13333; es decir: i = 113,33%
7) Se recibe un préstamo por $1 millón al 42% nominal anual periodo vencido el día 8 de
agosto de 1999 con vencimiento el 8 de marzo del 2000. Hallar el valor final del préstamo
calculando los intereses:
a) interés exacto o racional
b) interés comercial o base 360
c) interés bancario
24 | Carlos Mario Morales C
Matemáticas Financieras 2010
d) interés base 365
Nota: Tenga en cuenta que el año 2000 es un año bisiesto
P = 1´000.000
08.03.00
i = 42%
08.08.99
S = ¿?
Exacto o racional
Bancario
Comercial
Agosto
23
23
22
Septiembre
30
30
30
Octubre
31
31
30
Noviembre
30
30
30
Diciembre
31
31
30
Enero
31
31
30
Febrero
29
29
30
Marzo
8
8
8
Total
213
213
210
a) Interés exacto racional
I = 1´000.000 x 0,42 x (213/366) = 244.426,20
S = 1´244.426,20
b) Interés Comercial
I = 1´000.000 x 0,42 x (210/360) = 245.000
S = 1´245.000
c) Interés Bancario
I = 1´000.000 x 0,42 x (213/360) = 248.500
S = 1´248.500
8) Un pagaré con valor presente de $300.000 emitido el 15 de septiembre de 1999 con plazo
de 270 días a una tasa de interés del 30% nominal anual período vencido. Hallar el valor
futuro y la fecha de vencimiento en:
25 | Carlos Mario Morales C
Matemáticas Financieras 2010
a)
b)
c)
d)
interés exacto o racional
interés comercial o base 360
interés bancario
interés base 365
S=¿?
15.09.99
270 dias – 30%
300.000
a) Interés Exacto o racional
S = P(1 + in) = 300.000( 1 + 0,3(270/366)
S = 366.393,42
Fecha de vencimiento: 11.06.2000
b) Interés Comercial
S = P(1 + in) = 300.000( 1 + 0,3(270/360)
S = 367.500
Fecha de vencimiento: 15.06.2000
c) Interés Bancario
S = P(1 + in) = 300.000( 1 + 0,3(270/360)
S = 367.500
Fecha de vencimiento: 11.06.2000
d) Interés Base
S = P(1 + in) = 300.000( 1 + 0,3(270/365)
S = 366.575
Fecha de vencimiento: 12.06.2000
9) Una letra por $550000 madura el 23 de agosto de 1998 y va a ser descontada el 17 de julio
del mismo año al 38%. Determinar el valor de la transacción.
26 | Carlos Mario Morales C
Matemáticas Financieras 2010
$550.000
17.07.98
38%
17.07.98
P= ¿?
D = Sdn – Descuento- d: tasa de descuento – n: número de periodos
VL = S – D – Valor LiquidoVL = S – Sdn
VL = S( 1-dn)
Exacto o racional
Comercial
Julio
14
13
Agosto
23
23
Total
37
36
VL = 550.000(1 – 0,38(36/360)
VL = 529.100 - Valor ComercialVL = 550.000(1 – 0,38(37/360)
VL = 528.519 - Valor Bancario-
10)
El 15 de diciembre de 1999 una empresa recibe un pagaré por $2 millones a un plazo de
90 días al 25% nominal anual vencido de interés comercial simple. El 14 de enero lo negocia
con un banco que lo adquiere a una tasa de descuento del 29% nominal anual anticipado en
interés bancario. ¿Cuánto recibirá la empresa por el pagaré y cuánto ganará el banco en la
operación de descuento?
S=¿?
15.12.99
15.01.00
i = 25%
15.03.00
S = 2´000.000 (1 + 0,25(90/360)) = 2´125.000
VL = S(1 – dn)
27 | Carlos Mario Morales C
Matemáticas Financieras 2010
VL = 2´125.000 (1 – 0,29(60/360)) = 2´022.291,67
La empresa recibirá: $ 2´022.291,67
El Banco Ganará: $ 102.708,33
11. Ejercicios propuestos
1) Halle el valor de maduración de un pagaré con vencimiento el 20 de abril si va a ser
descontado el13 de marzo del mismo año a140% y su valor de transacción es de $ 78 400.
2) Una persona solicita un préstamo a un banco por la suma de $800 000, a un plazo de 90
días y le cobran una tasa anticipada del 38%.
a) ¿Cuál es el valor líquido que le entregan?
b) Suponga que el banco cobra $15 000 por el estudio del crédito, ¿cuál será el valor
liquido?
3) ¿Cuál es el valor del documento que queda en poder de un banco, si el prestatario recibe
un valor liquido de $50 000 por un documento con maduración en 90 días, si le cobran una
tasa de descuento del 41 %?
a) Sin tener en cuenta costos de apertura del crédito y
b) Teniendo en cuenta que el banco cobra $2000 por estudio del documento
4) Un documento de valor inicial $70 000 es fechado el 25 de septiembre de 1998 a un plazo
de 325 días y un interés del 32%. Si es descontado por un banco el18 de marzo de 1999 al
40% determinar: a) la fecha de vencimiento b) El valor al vencimiento c) El valor de
transacción.
5) Hallar la verdadera tasa bancaria que cobra un banco cuando descuenta un documento con
valor de maduración de $400 000 si es descontado 25 días antes del vencimiento al41 %
nominal anual anticipado.
6) Un almacén ofrece los siguientes descuentos, sobre una mercancía cuyo costo
de $200 000: 30% por venta al por mayor,
mercancía sin empaque.
inicial es
10% por pago al contado y 5% por enviar la
a) ¿Cuál es el valor final de la factura?
b) ¿Cuál es el descuento promedio que se otorgó?
7) Una fábrica ofrece un descuento del 25% en ventas al por mayor, e15% por pronto pago y
e14% por embalaje. ¿Cuál debe ser el descuento adicional que puede ofrecerse a los
empleados de la misma fábrica para que el descuento total no sea superior al 35%?
28 | Carlos Mario Morales C
Matemáticas Financieras 2010
8) Demostrar que el interés simple producido por un capital C, colocado durante n años a la
tasa de interés i es igual al interés simple que producirá a la tasa proporcional (i/m)
colocado durante m.n periodos.
9) Calcular la tasa de interés simple proporcional mensual equivalente a la tasa del 9%.
10) Calcular el interés simple que produce un capital de $10.000 en 3 años al 0,8% mensual.
11) ¿A qué tasa de interés el monto de $20.000 será $21.200, a interés simple, en 9 meses?
12) El 10 de enero de 2006 se firmo un pagaré de $6.000 con 9% de interés. ¿En que fecha los
intereses serán de $359?
13) ¿Qué suma debe invertirse al 9% para tener $2000 dentro de 8 meses?
14) Una persona firma un pagare por $20.000 el 15 de mayo con vencimiento el 13 de agosto y
recibe solo $19.559,90. ¿A que tasa de descuento racional le fue descontado el pagaré?
15) Un inversionista recibió un pagaré que gana intereses del 8%, por $120.000, el 15 de julio a
150 días. El 20 de octubre del mismo año lo ofrece a otro inversionista que desea ganar
10%. ¿Cuánto recibe por el pagaré el primer inversionista?
29 | Carlos Mario Morales C
Matemáticas Financieras 2010
2
Unidad de Aprendizaje
Interés Compuesto
Contenido
Introducción
1.
Concepto del interés simple
2.
Formula de interés simple
3.
Clases de interés simple
4.
Capital Final – Valor futuro
5.
Capital inicial – Valor presente
6.
Representación gráfica –Flujo de Caja-
7.
Interés Anticipado - Descuento simple.
8.
Tasa realmente cobrada en una operación de descuento
9.
Descuentos en cadena
10. Ejercicios resueltos
11. Ejercicios propuestos
30 | Carlos Mario Morales C
Matemáticas Financieras 2010
1.
Concepto de Interés compuesto
En general las operaciones financieras se realizan utilizando interés compuesto.
Con este interés, a diferencia del interés simple, cada vez que se liquidan los
intereses, éstos se acumulan al capital para formar un nuevo capital (monto),
sobre el cual se liquidan intereses nuevamente.
Por ejemplo, si se invierte un capital de $1000 al 10% trimestral, durante un año,
bajo la modalidad de Interés simple, la liquidación de los intereses será así:
I = (1.000)*(10%)*4 = $400,
Al cabo de un año el inversionista recibirá $1.400, $1000 correspondiente al
capital y $400 a los intereses. La situación se ilustra en la siguiente grafica:
$100
10%
$100
$1.000
$100
$100
10%
1
2
3
4
$1.000
De otra forma, si la inversión se hace a interés compuesto entonces al final del primer trimestre
se liquidan los primeros intereses (1000x0,1 = $100) y estos se acumulan al capital para obtener
un monto de $1.100 al cabo del primer periodo; al final del 2do periodo se liquidan los
segundos intereses sobre el monto anterior $1100 x 0,1 = 110 y estos se acumulan al capital
obteniendo para este periodo un nuevo monto de $1.210; y así sucesivamente hasta
$1.464,10; la situación se ilustra en la siguiente grafica:
$1.464
$1.331
$1.210
$1.100
10%
10%
1
2
$1.000
31 | Carlos Mario Morales C
3
4