Tema 6: El modelo b]sico de equilibrio general din]mico

Tema 6: El modelo básico de equilibrio general dinámico
José L. Torres
Universidad de Málaga
Hora 31 (29 noviembre 2011)
José L. Torres (Universidad de Málaga)
Tema 6: Equilibrio general dinámico
Hora 31 (29 noviembre 2011)
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Tema 6: Un modelo básico de equilibrio general dinámico
Estructura del tema:
1
Los consumidores
2
Las empresas
3
Equilibrio del modelo
4
El modelo con impuestos
5
Ampliaciones al modelo básico
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Tema 6: Equilibrio general dinámico
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Tema 6: Un modelo básico de equilibrio general dinámico
Tres tipos de agentes:
Número grande de consumidores o familias idénticas
(consumidor o familia representativa).
Número grande de empresas idénticas (empresa
representativa).
Un gobierno.
Tanto las empresas como el gobierno tienen vida in…nita.
Los consumidores pueden tener vida …nita o bien vida in…nita.
Equilibrio General Competitivo.
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Tema 6: Un modelo básico de equilibrio general dinámico
Diferentes formas resolver el modelo de equilibrio general:
1
Análisis del diagrama de fases (ecuaciones diferenciales en tiempo
continuo).
2
Log-linearización del modelo en torno al estado estacionario.
3
Estado de espacios.
4
Programación dinámica.
5
Resolución númerica en ordenador.
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6.1. Los consumidores
Concepto de agente representativo.
Suponemos que todos los agentes son idénticos en preferencias y
tecnologías.
Podemos analizar el comportamiento de uno de ellos y luego agregar.
Idea de Robinson Crusoe.
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6.1. Los consumidores
El agente representativo es optimizador (maximiza una determinada
función objetivo).
En el caso de los consumidores la función objetivo es la utilidad o
felicidad instantánea.
Felicidad: Salud, dinero y amor.
La utilidad o felicidad depende de dos elementos: Consumo, C , y
Ocio, O.
Maximización de la función objetivo sujeta a una determinada
restricción. En el caso de los consumidores es la restricción
presupuestaria.
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6.1. Los consumidores
Supuestos adicionales:
Mercados de capitales perfectos.
Utilidad aditivamente separable en el tiempo.
Separabilidad entre consumo y ocio.
Ahorro como variable de estado.
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6.1. Los consumidores
Función de utilidad instantánea:
U (C , O )
(1)
UC > 0,
UO > 0
(2)
UCC < 0,
UOO < 0
(3)
UCO > 0
(4)
Suponemos que la función de utilidad es separable en el tiempo.
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6.1. Los consumidores
Problema de maximización intertemporal:
∞
max
∑ βt U (Ct , Ot )
(5)
(C t ,O t ) t =0
donde β es el factor de descuento intertemporal, β 2 (0, 1), siendo:
β=
1
1+θ
(6)
donde θ es la tasa de preferencia subjetiva intertemporal (θ > 0).
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6.1. Los consumidores
Dotaciones: El consumidor es el propietario de los factores
productivos de la economía:
Trabajo.
Capital.
Las familias alquilan sus factores productivos a las empresas (precio
de los factores productivos es el precio de alquiler).
Las familias son las propietarias de las empresas.
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6.1. Los consumidores
Vamos a parametrizar la función de utilidad para obtener soluciones
explícitas.
Tenemos una gran variedad de funciones de utilidad que cumplen las
condiciones anteriores.
Nosotros vamos a utilizar la siguiente:
U (Ct , Ot ) = γ log Ct + (1
γ) log(Nt H
Lt ),
(7)
γ 2 (0, 1), elasticidad de sustitución entre consumo y ocio.
Nt : Población (todos son trabajadores o es la población >16 años y <65
años).
H : Número total de horas efectivas disponibles (16 horas al día x 6 días a
la semana x 52 semanas al año): 4.992 horas.
Lt : Número de horas dedicadas a trabajar.
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6.1. Los consumidores
Los consumidores alquilan a las empresas tanto su tiempo (trabajo)
como sus ahorros en forma de capital.
Suponemos que los bene…cios de la empresa representativa son nulos.
Si la empresa representativa obtiene bene…cios extraordinarios,
entonces tendríamos que incluir dicha cantidad en la restricción
presupuestaria del consumidor. NO afecta a la solución.
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6.1. Los consumidores
Problema general (con inversión):
∞
max
∑ βt
(C t ,It ,O t ) t =0
γ log Ct + (1
γ) log(Nt H
Lt ) ,
(8)
sujeto a:
Ct + It = Wt Lt + Rt Kt ,
(9)
Ecuación de acumulación del capital:
Kt + 1 = ( 1
δ) Kt + It ,
(10)
Rt :Tipo de interés (precio relativo en términos de unidades de consumo).
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6.1. Los consumidores
Lagrangiano (con inversión):
max
(C t ,K t ,O t )
βt γ log Ct + (1
λt [Ct + Kt +1
Wt Lt
γ) log(Nt H
(Rt + 1
Lt )
δ ) Kt ] ,
(11)
Tenemos que tener en cuenta que la restricción presupuestaría sería
λt [Ct + Kt +1
...
λt
1
[Ct
1
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+ Kt
(Rt + 1
Wt 1 Lt 1 (Rt
δ ) Kt ]
Wt Lt
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1
+1
δ ) Kt
1]
... (12)
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6.1. Los consumidores
Condiciones de primer orden:
γ
= λt ,
Ct
1 γ
= λ t Wt ,
Nt H Lt
βt +1 λt +1 [Rt +1 + 1 δ] = βt λt ,
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(13)
(14)
(15)
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6.1. Los consumidores
Condición que iguala el ratio de sustitución marginal entre consumo y
ocio al coste de oportunidad de una unidad adicional de ocio:
1
γ
γ
Ct
= Wt .
Nt H Lt
(16)
Condición que iguala el ratio marginal del consumo con el de la
inversión:
Ct +1
= β [Rt +1 + 1
Ct
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δ] ,
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(17)
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6.2. Las empresas
Son las que producen los bienes.
Para ello alquilan los factores productivos a las familias.
Suponemos que las empresas maximizan bene…cios, sujetas a la
restricción tecnológica.
Problema de optimización en la que se determina un vector de
factores productivos, dados unos precios de los mismos, y a través de
la función tecnológica, el nivel de producción.
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6.2. Las empresas
Tecnología: Función de producción agregada:
Yt = At F (Kt, Lt )
(18)
Yt : Producción agregada de la economía.
At : Productividad Total de los Factores.
Cumple las siguientes propiedades:
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FK > 0, FL > 0
(19)
FKK < 0, FLL < 0
(20)
FKL > 0
(21)
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6.2. Las empresas
Condiciones de Inada:
lim FK = ∞, lim FK = 0
(22)
lim FL = ∞, lim FL = 0
(23)
K !0
L !0
K !∞
L !∞
Es decir, para producir hacen falta ambos factores productivos.
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6.2. Las empresas
Representación grá…ca:
Yt
6
-
Kt ,Lt
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6.2. Las empresas
Maximización de bene…cios:
max Πt = Pt Yt
Wt Lt
Rt Kt
(24)
sujeto a:
Yt = At F (Kt, Lt )
(25)
Si suponemos rendimientos constantes a escala y mercados
competitivos: Πt = 0.
Condiciones de primer orden:
At Pt FK (Kt, Lt )
Rt = 0
(26)
At Pt FL (Kt, Lt )
Wt = 0
(27)
El valor del producto margional es igual al precio del factor.
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6.2. Las empresas
El precio relativo de los factores es igual a su productividad marginal.
At FK (Kt, Lt ) =
Rt
Pt
(28)
At FL (Kt, Lt ) =
Wt
Pt
(29)
El precio del bien lo normalizamos a 1 (Pt = 1) :
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At FK (Kt, Lt ) = Rt
(30)
At FL (Kt, Lt ) = Wt
(31)
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6.2. Las empresas
El problema de maximización de bene…cios de la empresa también es
intertemporal.
La empresa maximizaría el valor presente de los bene…cios. La tasa de
actualización sería el tipo de interés real.
Sin embargo, el resultado sería el mismo que si el problema fuese
estático.
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6.2. Las empresas
Ejemplo: Función de producción Cobb-Douglas:
At F (Kt, Lt ) = Ktα L1t
α
(32)
α : elasticidad del nivel de producción respecto al capital.
También la podemos interpretar como la participación de las rentas
de capital en la renta total. 1 α sería la participación de las rentas
laborales en la renta total.
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6.2. Las empresas
Condiciones de primer orden:
αAt Ktα
1 1 α
Lt
α)At Ktα Lt
(1
Rt = 0
α
(33)
Wt = 0
(34)
O escrito de otro modo:
Rt =
Wt =
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(1
αAt Ktα L1t
Kt
α
α)At Ktα L1t
Lt
α
=α
Yt
Kt
= (1
Tema 6: Equilibrio general dinámico
(35)
α)
Yt
Lt
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(36)
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6.2. Las empresas
Como podemos comprobar las productividades marginales son
decrecientes:
FKK = (α
FLL =
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α (1
1)αAt Ktα
2 1 α
Lt
<0
(37)
α 1
<0
(38)
α)At Ktα Lt
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6.2. Las empresas
Combinando las condiciones de primer orden obtenemos:
αAt Ktα 1 L1t α
Rt
=
Wt
(1 α)At Ktα Lt α
(1
Rt
αYt Lt
=
α)Yt Kt
Wt
α
(1
Kt =
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α)
(40)
Rt Kt
Wt Lt
(41)
Wt Lt
α) Rt
(42)
=
α
(1
(39)
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